国际数学家大会和菲尔兹奖
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2． 提出一个“好的问题”是不容易 的
这是因为在解决问题前，要想预先判 断一个问题的价值是困难的，问题的价值 最终取决于科学从该问题得到的收益。因 此，只有对该学科的知识有广泛而深入了 解的学者，对该学科的发展有清醒的认识 和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价 值的“好的问题”
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3． “好的问题”的标准
趣题——找次品：
有12个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准。请用一架不带砝码的 天平，最多三次使用该天平，找出上述 次品乒乓球，并判断它是重于标准球， 还是轻于标准球。
1
思考题
如果只要求找出次品乒乓球，并不要 求判断次品是过重还是过轻，那么三次 使用该天平，最多可以从多少个乒乓球 中找出唯一的次品？
他的数学成就，也包括他优秀的人品。
22
1．第一次世界大战时拒绝在“宣言” 上签字 在第Fra Baidu bibliotek次世界大战爆发时，德国政府
让它的一批最著名的科学家和艺术家出来
发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇 帝威廉二世。“宣言”的第一句是：“说 德国人发动了战争，这不是事实”。
23
“宣言”的题目是《告文明世界》， 邀请了一批知名人士签字。当局认为，知 名人士中的数学家，大半只是为他们的同 行所了解而不为外界熟知，因而只邀请了 世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签 名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用 不变量观点统一几何学的那位数学家克莱 因，没有什么怀疑就签了名。但希尔伯特 仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言” 内容的真实性，从而拒绝签字。
变分法等。第二问题和第十问题的研究，
还促进了现代计算机理论的成长。
18
重要的问题，历来是推动科学前进的
杠杆。但一位科学家，如此自觉、如此集
中地提出如此一整批问题，并且如此持久 地影响了一门学科的发展，这在科学史上 是仅有的。
19
在20世纪末，人们也想模仿19世纪 末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问 题。但由于20世纪数学的发展，数学的分 支越来越细，已没有一个人能像当年的希 尔伯特那样涉及数学的广泛领域。于是人 们想到了组成一个数学家的小组，来做这 件事，并且已经付诸行动，但最终并没有 做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟 大。
20
当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美
的。一些评论者认为，其局限性是，希尔
伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这
两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，
这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔
伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数
学。
21
四．希尔伯特的人品
希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，
而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是
尽管有困难，人们仍希望给出“好的
问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲 中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙 述如下：
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1）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，让 别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂 的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题 使人们望而生畏。” 2）难而又可解决 希尔伯特说：“为了具有吸引力，一 个数学问题应该是困难的，但又不应是完 全不可解决，而使我们劳而无功的。” 3）对学科发展有重大推动意义
16
三、“希尔伯特问题”解决的现状 经过一个世纪加十年，希尔伯特的23 个问题中，将近一半已经解决或基本解决。 有些问题虽未解决，但也取得了重要 进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯 特问题的数学家，就自然地被公认为世界 一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特 问题的特殊地位。
17
希尔伯特问题的研究与解决，大大推 动了许多数学分支的发展，这些分支包 括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物 理、概率论、数论、函数论、代数几何、 常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、
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17.正定形式的平方和表示。 18.用全等多面体构造空间。 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？ 20.一般边值问题。 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。 22.通过自守函数使解析关系单值化。 23.变分法的进一步发展。
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二、 适当的问题对科学发展的价值 1． 有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否 认的。一门学科充满问题，它就充满生命 力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的 衰落。正是通过解决问题，人们才能够发 现学科的新方法、新观点和新方向，达到 更为广阔和高级的新境界。
2
趣题——填骨牌：
用１０个 １×２ 矩形骨牌挤满 ２×１０ 矩形盒， 有多少种方法？如下图。
1
2
（ 矩形骨牌 ）
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（ 矩形盒 ）
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答:(1)
；
(2)
，
；
(3)
，
，
；
……
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用１０个 １×２ 矩形骨牌挤满 ２×１０ 矩形盒， 有多少种方法？如下图。
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第三章第六节 希尔伯特和他的23个问题
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一、 希尔伯特的23个问题 希尔伯特（德国，1862—1943年） 是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学 家之一。他提出的 23 个问题更是功勋卓 著、影响深远。 那是 1900年 8 月在巴黎召开的国际数 学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题 为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪 数学研究的成果和发展趋势提出 23 个问 题，成为数学史上的一个重要里程碑。
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在世纪之交提出的这 23 个问题，涉 及现代数学的许多领域。一个世纪以来， 这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴 趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动 作用。 （由于我们这个课的同学绝大多数不
是数学专业的，我们不想在这里一一介绍 这23个问题，而是统一展示一下。）
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希尔伯特的23个问题
1.证明“连续性假设”，即证明任一实数 集或者能与自然数集建立一一对应，或 者能与全体实数集建立一一对应。 2.研究算术公理的相容性。 3.两个等底等高的四面体的体积相等。 4.直线作为两点间最短距离的问题。
9
5.李（S.Lie）的连续变换群概念，不要定 义群的函数的可微性假设。 6.物理学的公理化。 7.某些数的无理性和超越性。 8.素数问题。 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。 10.丢番图方程的可解性。 11.系数为任意代数数的二次型。
10
12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。 14.证明某类完全函数系的有限性。 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基 础。 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。
2． 提出一个“好的问题”是不容易 的
这是因为在解决问题前，要想预先判 断一个问题的价值是困难的，问题的价值 最终取决于科学从该问题得到的收益。因 此，只有对该学科的知识有广泛而深入了 解的学者，对该学科的发展有清醒的认识 和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价 值的“好的问题”
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3． “好的问题”的标准
趣题——找次品：
有12个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准。请用一架不带砝码的 天平，最多三次使用该天平，找出上述 次品乒乓球，并判断它是重于标准球， 还是轻于标准球。
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思考题
如果只要求找出次品乒乓球，并不要 求判断次品是过重还是过轻，那么三次 使用该天平，最多可以从多少个乒乓球 中找出唯一的次品？
他的数学成就，也包括他优秀的人品。
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1．第一次世界大战时拒绝在“宣言” 上签字 在第Fra Baidu bibliotek次世界大战爆发时，德国政府
让它的一批最著名的科学家和艺术家出来
发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇 帝威廉二世。“宣言”的第一句是：“说 德国人发动了战争，这不是事实”。
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“宣言”的题目是《告文明世界》， 邀请了一批知名人士签字。当局认为，知 名人士中的数学家，大半只是为他们的同 行所了解而不为外界熟知，因而只邀请了 世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签 名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用 不变量观点统一几何学的那位数学家克莱 因，没有什么怀疑就签了名。但希尔伯特 仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言” 内容的真实性，从而拒绝签字。
变分法等。第二问题和第十问题的研究，
还促进了现代计算机理论的成长。
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重要的问题，历来是推动科学前进的
杠杆。但一位科学家，如此自觉、如此集
中地提出如此一整批问题，并且如此持久 地影响了一门学科的发展，这在科学史上 是仅有的。
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在20世纪末，人们也想模仿19世纪 末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问 题。但由于20世纪数学的发展，数学的分 支越来越细，已没有一个人能像当年的希 尔伯特那样涉及数学的广泛领域。于是人 们想到了组成一个数学家的小组，来做这 件事，并且已经付诸行动，但最终并没有 做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟 大。
20
当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美
的。一些评论者认为，其局限性是，希尔
伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这
两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，
这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔
伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数
学。
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四．希尔伯特的人品
希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，
而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是
尽管有困难，人们仍希望给出“好的
问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲 中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙 述如下：
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1）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，让 别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂 的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题 使人们望而生畏。” 2）难而又可解决 希尔伯特说：“为了具有吸引力，一 个数学问题应该是困难的，但又不应是完 全不可解决，而使我们劳而无功的。” 3）对学科发展有重大推动意义
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三、“希尔伯特问题”解决的现状 经过一个世纪加十年，希尔伯特的23 个问题中，将近一半已经解决或基本解决。 有些问题虽未解决，但也取得了重要 进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯 特问题的数学家，就自然地被公认为世界 一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特 问题的特殊地位。
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希尔伯特问题的研究与解决，大大推 动了许多数学分支的发展，这些分支包 括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物 理、概率论、数论、函数论、代数几何、 常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、
11
17.正定形式的平方和表示。 18.用全等多面体构造空间。 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？ 20.一般边值问题。 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。 22.通过自守函数使解析关系单值化。 23.变分法的进一步发展。
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二、 适当的问题对科学发展的价值 1． 有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否 认的。一门学科充满问题，它就充满生命 力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的 衰落。正是通过解决问题，人们才能够发 现学科的新方法、新观点和新方向，达到 更为广阔和高级的新境界。
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趣题——填骨牌：
用１０个 １×２ 矩形骨牌挤满 ２×１０ 矩形盒， 有多少种方法？如下图。
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（ 矩形骨牌 ）
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（ 矩形盒 ）
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答:(1)
；
(2)
，
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用１０个 １×２ 矩形骨牌挤满 ２×１０ 矩形盒， 有多少种方法？如下图。
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第三章第六节 希尔伯特和他的23个问题
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一、 希尔伯特的23个问题 希尔伯特（德国，1862—1943年） 是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学 家之一。他提出的 23 个问题更是功勋卓 著、影响深远。 那是 1900年 8 月在巴黎召开的国际数 学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题 为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪 数学研究的成果和发展趋势提出 23 个问 题，成为数学史上的一个重要里程碑。
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在世纪之交提出的这 23 个问题，涉 及现代数学的许多领域。一个世纪以来， 这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴 趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动 作用。 （由于我们这个课的同学绝大多数不
是数学专业的，我们不想在这里一一介绍 这23个问题，而是统一展示一下。）
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希尔伯特的23个问题
1.证明“连续性假设”，即证明任一实数 集或者能与自然数集建立一一对应，或 者能与全体实数集建立一一对应。 2.研究算术公理的相容性。 3.两个等底等高的四面体的体积相等。 4.直线作为两点间最短距离的问题。
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5.李（S.Lie）的连续变换群概念，不要定 义群的函数的可微性假设。 6.物理学的公理化。 7.某些数的无理性和超越性。 8.素数问题。 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。 10.丢番图方程的可解性。 11.系数为任意代数数的二次型。
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12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。 14.证明某类完全函数系的有限性。 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基 础。 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。