高中数学专题复习与研究――用分类讨论的的思想解题
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是高中数学解题中非常重要的一种思维方法。
通过将问题分解成若干个相对简单的小问题，并对这些小问题进行分类讨论，可以使问题的解决变得清晰、简单。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用非常广泛，涉及到代数、几何、概率等各个方面。
本文将从代数、几何和概率三个方面，分别讨论分类讨论思想在高中数学解题中的应用。
一、代数解题在代数解题中，分类讨论思想常常用于对方程的解集进行分类讨论。
对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以根据判别式Δ=b^2-4ac的正负来分类讨论方程的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程有两个共轭复根。
通过这种分类讨论的方法，可以快速、清晰地得出方程的解的情况，同时也能够深入理解方程解的特性。
对于分式方程的解题也经常使用分类讨论思想。
对于分式方程\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}，可以对xyz的关系进行分类讨论，分别考虑xyz 为正数、负数和零的情况，从而得出方程的解集。
二、几何解题在几何解题中，分类讨论思想常常用于对几何图形的性质进行分类讨论。
对于三角形的面积公式S=\frac{1}{2}ab\sin C，可以根据角C的大小和边a、b的关系进行分类讨论。
当角C为锐角时，可以使用正弦定理求解三角形的面积；当角C为直角或钝角时，可以使用高度和底边长度相乘的方法求解三角形的面积。
通过对不同情况进行分类讨论，可以更深入地理解三角形面积公式的适用范围和条件。
对于不同类型的几何图形，也可以使用分类讨论思想进行划分和讨论。
对于平行四边形的特性和性质，可以根据对角线的位置和长度关系进行分类讨论，从而得出平行四边形的各种性质和定理。
三、概率解题在概率解题中，分类讨论思想常常用于对事件发生的可能性进行分类讨论。
对于从一副扑克牌中随机抽取一张牌，可以根据抽取的牌的花色和点数进行分类讨论，从而得出不同花色和点数的牌的概率。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论法可谓高中数学解题中重要的解题思想之一。
其主要特点是将一个问题分为若干个不同的情况来讨论，通过对各种情况的分析，最终得到问题的解法。
分类讨论法能够很好地帮助学生发现问题的规律，掌握解题方法，提高解题能力。
下面，我们就来对分类讨论思想在高中数学解题中的应用进行浅析。
一、分类讨论在函数方程中的应用在高中数学中，函数方程是一个比较重要的考点，也是学生容易忽视的地方。
分类讨论法在函数方程中的应用，能够帮助学生更好地理解和掌握函数方程的解法。
例如，对于一个函数方程 f(x) = ax+b，当我们要求解函数的解析式时，就需要分类讨论如下几种情况：1.若 f(x)在x=0处取值为c，则有f(0)=c，代入f(x) = ax+b中，得到b=c；3.由1、2可知，当f(x)在x=0或x=1处取值确定时，函数的解析式也就确定了。
因此，可以得到f(x) = cx+d。
分类讨论法在概率论与数理统计中的应用非常广泛。
先来看一个问题：在一批产品中，有A、B、C三个型号，A型产品占总数的20%，B型产品占总数的55%，C型产品占总数的25%，其中有5%的A型产品、8%的B型产品和15%的C型产品存在质量问题。
现在，从这批产品中随机抽取一个产品，请问：1.它是B型产品的概率是多少？对于这两个问题，都可以使用分类讨论法来解决。
对于第一个问题，可以将B型产品又分为质量正常和质量有问题两种情况。
因此，它是B型产品的概率等于是质量正常的B型产品与质量有问题的B型产品之和，即P(B) =P(B,正常) + P(B,问题) = 0.47。
分类讨论法在平面几何中也有着广泛的应用。
例如，在一个圆中，有三个相交的弦，它们所构成的图形将圆分成了四个部分。
现在，要求证其中的一个部分是个直角三角形。
如何做？通过分析可以得到，只有当这三条弦共用一点，且相互垂直时，才能使其中一个部分是个直角三角形。
因此，需要将这三条弦所组成的几何图形分为两种情况来讨论：1.这三个弦共用一个顶点，且两条较长的弦相互垂直；2.这三个弦共用一个顶点，且两条较短的弦相互垂直。
高考数学专题复习分类讨论思想方法教案
高考数学专题复习——分类讨论思想方法教案一、教学目标1. 让学生理解分类讨论思想方法在解决数学问题中的应用。
2. 培养学生运用分类讨论解决数学问题的能力。
3. 提高学生对高考数学题型的应对策略。
二、教学内容1. 分类讨论思想方法的定义及作用。
2. 分类讨论思想方法在高中数学中的应用实例。
3. 高考数学题型中分类讨论思想方法的具体运用。
三、教学重点与难点1. 重点：分类讨论思想方法的理解与应用。
2. 难点：如何引导学生自主发现和运用分类讨论思想方法解决数学问题。
四、教学过程1. 导入：通过一个简单的数学问题引入分类讨论思想方法。
2. 新课：讲解分类讨论思想方法的定义、作用和应用实例。
3. 练习：让学生尝试解决一些运用分类讨论思想方法的高中数学问题。
五、课后作业2. 布置一些运用分类讨论思想方法的高中数学题目，让学生课后练习。
3. 鼓励学生查阅相关资料，了解分类讨论思想方法在高考数学题型中的应用。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析典型的数学案例，让学生体会分类讨论思想方法的重要性。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用分类讨论的经历。
3. 练习巩固：设计具有针对性的练习题，让学生在实践中掌握分类讨论思想方法。
4. 拓展延伸：引导学生关注高考数学题型的新动态，了解分类讨论思想方法在实际应用中的广泛性。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
2. 课后作业：评估学生对分类讨论思想方法的理解和应用能力。
3. 阶段测试：通过阶段测试，检验学生对分类讨论思想方法的掌握情况。
4. 学生反馈：收集学生对教学过程和教学内容的意见和建议，不断优化教学方法。
八、教学资源1. 教材：选用权威的高中数学教材，为学生提供系统的知识体系。
2. 案例素材：收集各类高中数学题目，作为教学案例。
3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助课堂教学。
4. 网络资源：利用互联网查找相关资料，为学生提供更多的学习资源。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论思想是高中数学中常用的一种解题方法。
该思想可以帮助学生将复杂的问题分成几个简单的部分进行思考，以便更加清晰和系统地解决问题。
本文将探讨分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是将一个问题分成几个部分，分别进行独立的讨论，最后将结果合并在一起得出最终的结论。
在高中数学中，常常需要利用分类思想进行问题解决。
例如，在解决因式分解、方程、不等式等问题时，就需要分类讨论。
二、分类讨论的具体方法分类讨论主要包括以下几个步骤：1.明确问题：首先需要明确问题的具体内容。
2.划分范围：针对问题的不同情况，将范围进行分类划分。
分类的具体方法可以根据问题的不同而有所不同。
一般可以根据已知条件或者待求量的不同，将问题进行分类。
3.分别进行讨论：对于不同的情况，分别进行讨论。
在讨论过程中，需要仔细分析不同情况下的特点和规律，并且需要灵活应用数学知识和方法解决问题。
4.综合得出结论：由于不同情况下的讨论结果是独立的，因此最后需要对不同情况的结果进行综合，得出最终结论。
1.因式分解问题在因式分解问题中，经常需要利用分类讨论进行解决。
例如，当一个多项式中含有两个不同的平方差时，可以将这个多项式分为两种情况进行讨论：情况一：$(ax+by)^2-(mx+ny)^2$对于每种情况，可以利用公式展开，化简后得到因式分解的结果。
2.方程和不等式问题情况一：$|x-a|<b$3.几何问题在解决几何问题时，分类讨论的方法也十分常见。
例如，当需要求解三角形中某一边的长度时，可以将该三角形分成两类情况，即直角三角形和非直角三角形。
对于两种情况，需要分别运用三角函数、勾股定理等方法进行求解。
类似地，对于其他几何问题，也可以将其分成不同情况进行讨论，以便更好地解决问题。
四、总结。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是指在解决问题时，根据问题的性质和条件，将问题进行分类讨论，从而找到问题的解决方法。
在高中数学解题中，分类讨论思想是非常重要的，可以帮助学生更好地理清问题，找到解决问题的方法。
本文将从分类讨论思想的原理，分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用等方面进行浅析。
一、分类讨论思想的原理分类讨论思想的应用主要包括以下几个步骤：1. 理清问题的条件和特点，将问题进行分类。
在解决问题之前，首先要理解问题的条件和特点，然后将问题进行分类，找到各个分类之间的联系和差异。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
3. 对各个分类的解题方法进行整合。
在对每个分类的问题进行讨论和解决之后，可以对各个分类的解题方法进行整合。
这样可以得到一个综合的解题方法，有利于解决问题。
在高中数学中，分类讨论思想是非常重要的，在解决各种问题时都有着重要的应用。
下面将分别以代数、几何和概率统计为例，介绍分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用。
1. 代数在代数中，分类讨论思想常常应用于方程和不等式的解题中。
对于一元一次方程ax+b=cx+d，可以根据a和c是否相等，将方程分为a=c和a≠c两种情况进行讨论和解决。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
2. 几何3. 概率统计三、总结分类讨论思想在高中数学解题中有着重要的应用价值，对学生的数学学习和解题能力有着积极的促进作用。
希望通过对分类讨论思想在高中数学解题中的浅析，能够使学生更加深入地理解和掌握分类讨论思想，提高解决数学问题的能力，更好地应用数学知识解决实际问题。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论是高中数学中一种较为常见的解题思想，这种思想可以帮助我们在面对复杂问题时，将其分解成数个简单问题，从而使整个问题的解决变得更加容易。
下面我们将介绍分类讨论在高中数学解题中的应用。
1. 数列在数列的题目中，分类讨论常常被用来探讨数列的性质。
例如，在求等差数列或等比数列的前 $n$ 项和时，我们通常首先去求出 $n$ 为偶数和 $n$ 为奇数两种情况下的和，从而通过分类讨论得到这个数列的和。
2. 不等式在不等式的题目中，分类讨论可以帮助我们找到不等式的解集。
例如，如果我们要求解 $|x-2|\leq 5$ 的解集，我们可以将其拆分成两个方程，即 $x-2\leq 5$ 和 $2-x\leq 5$，从而得到 $x\in[-3,7]$。
3. 三角函数在三角函数的题目中，分类讨论常常被用来探讨三角函数的性质。
例如，在求$\sin(x)$ 的值域时，我们可以将其拆分成 $[-1,1]$ 的两个闭区间，即 $[-1,0]$ 和$[0,1]$，然后再讨论在这两个区间内 $\sin(x)$ 的取值情况。
在函数的题目中，分类讨论可以帮助我们找到函数的性质。
例如，在求一个函数的值域时，我们可以将其拆分成几个单调区间，然后再分类讨论每个单调区间的性质，从而得到整个函数的值域。
5. 几何在几何的题目中，分类讨论可以帮助我们找到几何图形的性质。
例如，在求一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以将其分类讨论为三种情况：底边等于其中一边，底边等于另一边，两边长度相等。
然后对于每一种情况进行讨论，从而得到这个三角形是否为等腰三角形。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用在高中数学的学习中，分类讨论思想是一种非常重要的解题方法，它可以帮助学生将复杂的问题分解成若干简单的部分，从而更容易地求解问题。
本文将从数学解题的角度，探讨分类讨论思想在高中数学中的应用，并通过具体的例子展示其解题的方法和技巧。
我们来看一道平面几何的例题：已知三角形ABC中AB=AC，D是AB的中点，E是AC上一点，使得AE=2EC。
连接DE并延长交BC于F，求证：EF∥AB。
这道题就可以通过分类讨论思想来解决。
我们可以将题目所给的条件进行分类讨论，分为AB=AC和AB≠AC两种情况。
对于AB=AC的情况，通过连接DE并延长交BC于F后，容易得到EF∥AB；对于AB≠AC的情况，同样可以通过连接DE并延长交BC于F后，容易得到EF∥AB。
通过分类讨论思想，我们可以很容易地证明EF∥AB。
接下来，我们来看一个代数题：已知函数f(x)=x^2+2ax+3a+1，若f(x)的值域为[4,∞)，求实数a的取值范围。
这道题同样可以通过分类讨论思想来解决。
我们可以通过对函数f(x)进行分类讨论，将其划分为两种情况：当a>0时，f(x)的最小值为3a+1，最小值不小于4，得到a≥1/2；当a≤0时，f(x)的最小值为3a+1，最小值不小于4，得到a≤-1。
通过分类讨论思想，我们可以得到实数a的取值范围为a≤-1或a≥1/2。
要善于对问题进行分类。
在解题过程中，要根据问题的特点和条件，合理地对问题进行分类，将其分解成若干简单的部分。
要善于发现问题的隐含条件。
有些问题可能存在隐含的条件，通过对问题进行分类讨论，可以更容易地发现这些隐含条件，并利用它们来求解问题。
要善于综合利用分类讨论的结果。
在对问题进行分类讨论后，得到若干不同的情况，需要善于综合利用这些情况的结果，从而得到问题的最终解答。
分类讨论思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
通过对问题进行分类讨论，可以将复杂的问题分解成若干简单的部分，从而更容易地求解问题。
2025年高考数学二轮复习-专题4-分类与讨论思想【课件】
①当 0<CQ<1时，S 为四边形； 2
②当 CQ＝12时，S 为等腰梯形；
③当
CQ＝2时，S 3
与
C1D1
的交点
R
满足
C1R＝12.
【解析】
对于①，延长
AP，DC
交于点
M，连接
MQ，如图
专题4 分类与讨论思想
1．分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的 对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结 论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是 “化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 2．分类讨论的原则： (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则的讨论．
①当 x∈(0，1]时没有零点，当 x∈(1，3)时有两个零点，即 y＝2x2＋kx－1 在(1，3)上有两个零点 x1，x2，则 x1x2＝－12，矛盾，不符合题意．
②分段函数的两段各有一个零点 x1，x2，令 0<x1<1，1<x2<3(当 x1＝1 时，两 个函数在交界处重合，易知不符合题意)，
(5)(2022·广东质量检测)已知函数 f(x)＝ln x－(a＋1)x，a∈R，讨论 f(x)的单调性． 【解析】 函数 f(x)＝ln x－(a＋1)x 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－(a＋1)． (ⅰ)当 a＋1≤0，即 a≤－1 时，f′(x)>0 对任意的 x∈(0，＋∞)恒成立，f(x) 在(0，＋∞)上单调递增． (ⅱ)当 a＋1>0，即 a>－1 时，令 f′(x)＝0，得 x＝a＋1 1，则当 0<x<a＋1 1时， f′(x)>0；当 x>a＋1 1时，f′(x)<0，所以 f(x)在0，a＋1 1上单调递增，在a＋1 1，＋∞ 上单调递减． 综上所述，当 a≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>－1 时，f(x)在 0，a＋1 1上单调递增，在a＋1 1，＋∞上单调递减．
浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要：分类讨论的思想是高中数学一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力具有较大的帮助．分类讨论思想方法是高考考试说明中明确要求学生掌握的思想方法之一，因此近几年来利用分类讨论思想解题是高考重点考察的热点问题．那么什么是分类讨论思想方法呢？分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合归纳各类结果得到整个问题的解答．下面对分类讨论思想在中学数学解题中的应用做一些探讨，不正之处，敬请斧正．关键词：分类讨论；高中数学；教育教学为了更具体更清晰的剖析分类讨论思想在高中数学中的应用，下面对分类讨论思想由于分类原因不同出现的几种常见类型一一举例说明．一．由数学概念、定义引起的分类讨论类型：有的概念（定义）本身是分类的，如绝对值、指数函数、对数函数等．例1．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()A．或2B．或C．或D．或2解析：不妨设|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m，其中m≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，e＝＝＝＝；二．由定理、公式、性质的条件限制引起的分类讨论：有些数学定理、公式、性质是分情况给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式等．例2．设等比数列的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．解析因为是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1>0，满足题设；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，则有①或②，由①得－11.所以q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．三．由数学运算要求引起的分类讨论：如不等式两边同乘（除）以一个正数、负数，指（对）数运算中底数等．例3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解析对a分a>1与00，得ax>1，所以当a>1时，x>0；当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)，当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0，则－2aa－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a＋∞)f′(x)＋0 －0 ＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(－∞，a－2]，[－2a，＋∞)上是增函数，在[a－2，－2a]上是减函数．所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝；在x＝－2a 处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝．六．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．例7. 某工厂有10名工人，其中4人仅会焊工，3人仅会车工，另外三人焊工车工都会（全能工），现需选出6人完成一件工作，需要焊工，车工各3人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑车工，因有6人会车工，故有种选法，但此时不清楚选出的车工中有几个是车焊工都会的，因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选．同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。
高考数学专题复习：分类讨论思想
高考冲刺：分类讨论思想编稿：林景飞审稿：张扬责编：辛文升热点分析高考动向分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3．分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4. 分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.经典例题透析类型一：不等式中的字母讨论1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是________.思路点拨：依据式子的特点，进行整理，分子分母同除以x.解析：对一切恒成立，在R+上的最大值.而.当且仅当即x=1时等取号.∴.举一反三：【变式1】解关于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式为: ，（下面按两个根与的大小关系分类）（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；（1）当，即时，不等式的解集为：；（2）当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；当时，；当或时，.【变式2】解关于的不等式:.解析：（1）当时，不等式为, 解集为；（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：①即时，方程有两根.则原不等式的解为.②即时，方程没有实根，此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.③即时，方程有两相等实根为，则原不等式的解为.（3）当时，恒成立，即时，方程有两根.此时，为开口向下的抛物线，故原不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.类型二：函数中的分类讨论2、设为实数，记函数的最大值为，（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）试求满足的所有实数.解析：（I）∵，∴要使有意义，必须且，即∵，且……①∴的取值范围是，由①得：，∴，，（II）由题意知即为函数，的最大值，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（III）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时，，综上所述，满足的所有实数为：或.举一反三：【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞）上恒有f(x)<3，求函数f(x).解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞）时，f(x)>3，不满足题意；(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞）时，即f(x)<3，满足题意为所求.综上，.【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.解析：令，则().(1)当即时，，解得:或（舍）；(2)当即时，,解得:或（舍）；(3)当即时，，解得（全都舍去）.综上，当或时，能使函数的最大值为 2.3、已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）求在区间上的最小值.解析：（1）函数的定义域为（0，+∞）对求导数，得解不等式，得0＜x＜e解不等式，得x＞e故在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减（2）①当2a≤ｅ时，即时，由（1）知在（0，e）上单调递增，所以②当a≥ｅ时，由（1）知在（e，+∞）上单调递减，所以③当时，需比较与的大小因为所以，若，则，此时若2＜a＜e，则，此时综上，当0＜a≤２时，；当a＞2时总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（２）中③比较大小时，作差应该是非常有效的方法.举一反三：【变式1】设，（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；（2）记f(x)在0<x≤１上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式. 解析：（1）设0<x1<x2<+∞则f(x2)-f(x1)=由题设x2-x1>0，ax1·x2>0∴当0<x1<x2≤时，，∴f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，则f(x)在区间[0，]单调递减，当<x1<x2<+∞时，，∴f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增. （2）因为0<x≤１，由（1）的结论，当0<≤１即a≥１时，g(a)=f()=2-;当>1，即0<a<1时，g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a)＝.【变式2】求函数在上的值域.解析：令，则(1)当0＜a≤１时，∵0≤x≤ａ只有a=1且x=1时f′(x)=0)，∴f′(x)≥0(∴f(x)在[0,a]上单增，从而，值域为；(2)当a>1时，，∴f(x)在单增，在上单减，∵0≤x≤ａ并且，∴，值域为；(3)当-1≤a<0时，∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上递减从而即，值域为(4)当a<-1时，∵0≤x≤|a|，∴f(x)在单减，在上单增，∴，又，∴，值域为.类型三：数列4、数列{a n}的前n项和为S n，已知{S n}是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.解析：设等比数列{S n}的公比为q，则q>0①q=1时，S n=S1=a1当n=1时，，a2=0，∴，即当n≥２时，a n=S n-S n-1=a1-a1=0，，即(2)q≠１时，S n=S1·q n-1=a1·q n-1当n=1时，∴，即.当n≥２时，a n=S n-S n-1=a1·q n-1-a1·q n-2=a1·q n-2(q-1)此时∴q>1时，，0<q<1时，.总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠１两种情况进行讨论.举一反三：【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠０）的前n项和S n. 解析：数列的通项a n=a n-1+a n+…+a2n-2讨论：（1）当a=1时，a n=n，S n=1+2+…+n=（2）当a=-1时，，∴，（3）当a≠±１且a≠０时，，∴.【变式2】设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和，证明:.解析：（1）当q=1时，S n=na1，从而，（2）当q≠１时，，从而由（1）（2）得:.∵函数为单调递减函数.∴∴.【变式3】已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.(Ⅰ)求q的值；(Ⅱ)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥２时，比较S n 与b n的大小，并说明理由.解析：(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,∵a1≠０，∴2q2-q-1=0，∴或，(Ⅱ)若q=1，则当n≥２时，若当n≥２时，故对于n∈N+，当2≤n≤９时，S n>b n；当n=10时，S n=b n；当n≥11时，S n<b n.【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥２。
分类讨论思想在高中数学教学中的应用研究
分类讨论思想在高中数学教学中的应用研究分类讨论是一种常见的解题方法，也是高中数学中常使用的思想。
它的核心思想是将问题分解为不同的情况进行讨论，并对每种情况分别求解，最终得到所有可能的解法。
在高中数学教学中，分类讨论思想可以应用于多个方面，如代数、几何、概率等。
下面就分别探讨一下分类讨论在这些方面的应用。
一、代数1. 解方程：当方程的系数和常数项比较复杂时，可以将其分解为不同的情况进行讨论。
例如：$|x+3|+|x-5|=5$，可以分为$x+3\geq0$和$x+3<0$两种情况进行讨论。
2. 因式分解：将多项式分解为因式时，常常需要进行分类讨论。
例如：$x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2$，需要对$x^2$的取值范围进行分类。
二、几何1. 计算面积或体积：当几何图形或立体形状比较复杂，难以直接计算时，可以将其分解为不同的简单图形进行讨论。
例如：计算图形$ABCD$和$ADE$的面积，可以将其分解为$\triangle ABE$和$\triangle CDE$两个三角形的面积。
2. 证明定理或性质：在证明几何定理或性质时，常常需要分类讨论不同的情况。
例如：证明等腰三角形底角相等的定理时，需要分为底角大于等于顶角和底角小于顶角两种情况进行讨论。
三、概率1. 计算概率：在计算概率时，常常需要考虑多种情况的概率，然后将它们求和。
例如：一个骰子投两次，计算点数之和为7的概率，可以将其分解为第一次投掷点数是1、2、3、4、5、6时，第二次投掷点数分别为6、5、4、3、2、1的情况，然后将这些概率相加得到答案。
2. 解决排列、组合问题：在排列、组合问题中，常常需要进行分类讨论以确定不同的情况。
例如：从10个球中取出3个，其中有1个特殊球，问有多少种选法使得特殊球被选中，需要分为特殊球被选中和特殊球不被选中两种情况计算。
综上所述，分类讨论思想在高中数学教学中有着广泛的应用。
通过分类讨论，可以将问题分解为多个简单的情况进行讨论，从而得到所有可能的解法。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
在高中数学中，分类讨论思想是一种常见的解题方法。
通过将问题分解成若干类别，
并分别进行讨论和解决，可以使复杂的问题变得清晰明了。
分类讨论思想在高中数学解题
中的应用非常广泛，涉及到各个数学领域，包括代数、几何、概率统计等。
本文将重点探
讨分类讨论思想在高中数学解题中的应用，并通过具体的例子加以说明。
在代数中，分类讨论思想常常用于解决方程和不等式问题。
对于一个复杂的方程或不
等式，我们可以首先将其分解成几种基本情况，然后针对每种情况分别进行讨论和解决。
通过这种方式，可以大大简化复杂问题的解决过程，并提高解题的效率。
以解代数方程为例，假设有一个复杂的方程组，在进行求解的时候可以将方程的解空
间进行分类讨论。
首先可以讨论方程的系数、变量的关系等，并将方程分解成几种基本情况，然后分别进行求解。
这样可以避免陷入到复杂的计算过程中，同时也可以减少出错的
可能性。
在几何中，分类讨论思想常常用于解决图形的性质和问题。
对于一个复杂的几何图形，我们可以将其分解成若干个简单的部分，并分别讨论每个部分的性质和问题。
这样可以使
复杂的几何问题变得简单，同时也可以从不同的角度去分析和解决问题。
以求解几何问题为例，假设有一个复杂的几何图形，需要求解其面积或者体积等问题。
我们可以将图形分解成若干个简单的部分，例如三角形、矩形、圆等，并分别进行讨论和
解决。
通过这种方式，可以将原来复杂的问题转化成一系列简单的子问题，从而方便我们
进行分析和求解。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用 (4)
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
高中高考数学专题总结复习分类讨论思想
二、分类议论思想高考动向分类议论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中常常使用的数学思想方法之一.突出考察学生思想的谨慎性和周祥性，以及认识问题的全面性和深刻性，提升学生剖析问题，解决问题的能力，能表现“侧重考察数学能力”的要求.所以分类议论是历年数学高考的要点与热门 .并且也是高考的一个难点.数学中的分类议论贯串教材的各个部分，它不单形式多样，并且拥有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类议论的常有情况（ 1）由数学观点惹起的分类议论：主假如指有的观点自己是分类的，在不一样条件下有不一样结论，则一定进行分类议论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（ 2）由性质、定理、公式惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，2在不一样条件下结论不一致，如二次函数y=ax +bx+c(a ≠，0)由 a 的正负而致使张口方向不确定，等比数列前n 项和公式因公比q 能否为 1 而致使公式的表达式不确立等.（3）由某些数学式子变形惹起的分类议论：有的数学式子自己是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0， a=0， a＜0， a＞ 0 解法是不一样的 .（4）由图形惹起的分类议论：有的图形的种类、地点也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的地点关系等 .（5）由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中常有.（6）由参数变化惹起的议论：所解问题含有参数时，一定对参数的不一样取值进行分类议论；含有参数的数学识题中，参变量的不一样取值，使得变形受限致使不一样的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确立的，标准是同一的；分类议论问题的难点在于什么时候开始议论，即认识为何要分类议论，又从几方面开始议论，只有明确了议论原由，才能正确、适合地进行分类与议论.这就要求我们正确掌握所用的观点、定理、定义，考虑问题要全面. 函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线地点关系中的鉴别式等等，常常是分类议论区分的依照.（ 2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级议论.当问题中出现多个不确立要素时，要以起主导作用的要素进行区分，做到不重不漏，而后对区分的每一类分别求解，再整合后获取一个完好的答案.数形联合是简化分类议论的重要方法.3．分类议论的一般步骤第一，明确议论对象，确立对象的范围；第二，确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类议论，获取阶段性结果；第四，概括总结，得出结论.4.分类议论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类议论是一种重要的解题策略，但这类分类议论的方法有时比较繁琐，如有可能，尽量防止分.经典例题透析种类一：不等式中的字母议论1、（ 2010·山）若于随意，恒建立， a 的取范是________.一反三：【式 1】解对于的不等式:（）.【式 2】解对于的不等式:.种类二：函数中的分类议论2、数，函数的最大，（Ⅰ），求的取范，并把表示的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求足的全部数 .分析：（ I）∵，∴要使存心，必且，即∵，且⋯⋯①∴的取范是，由①得：，∴，，（ II ）由意知即函数，的最大，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种状况进行议论：（ 1）当时，函数，的图象是张口向上的抛物线的一段，由知在上单一递加，故；（ 2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是张口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（ III ）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，进而有或，要使，一定有，，即，此时，，综上所述，知足的全部实数为：或.贯通融会：【变式1】函数的图象经过点(-1， 3)，且 f(x) 在 (-1， +∞)上恒有f(x)<3 ，求函数 f(x).分析： f(x) 图象经过点 (-1， 3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不知足题意；(2)当，则，此时，x∈ (-1，+∞)时，即 f(x)<3 ，知足题意为所求.综上，.【变式 2】已知函数有最大值2，务实数的取值.分析：令，则().(1)当即时，，解得 :或（舍）；(2)当即时，,解得 :或（舍）；(3) 当即时，，解得（全都舍去） .综上，当或时，能使函数的最大值为 2.贯通融会：【变式 1】设，（ 1）利用函数单一性的意义，判断f(x) 在（ 0， +∞）上的单一性；（2）记 f(x) 在 0<x≤1上的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的分析式 .分析：（1）设 0<x 1<x 2<+∞则f(x 2)-f(x 1)=由题设 x2-x1>0 ，ax1·x2>0∴当 0<x 1<x2≤时，，∴ f(x2)-f(x1)<0，即 f(x 2)<f(x 1)，则 f(x) 在区间 [0，]单一递减，当<x 1<x 2<+∞时，，∴ f(x 2)-f(x 1)>0，即 f(x 2)>f(x 1)，则 f(x) 在区间（，+∞）单一递加.（ 2）由于 0<x≤1，由（ 1）的结论，当 0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当>1，即 0<a<1 时， g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a) ＝.种类三：数列4、数列 {a n} 的前n 项和为S n，已知 {S n} 是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.分析：设等比数列 {S n} 的公比为q，则 q>0①q=1 时， S n=S1=a1当 n=1 时，，a2=0，∴，即当 n≥2时， a =S -Sn-1 =a -a =0，，即nn 1 1n-1n-1 (2)q ≠1时， S n=S1·q=a1·q当n=1 时，∴ ，即.当 n ≥2 ，a n =S n -S n-1 =a n-1n-2n-21·q -a 1·q =a 1·q (q-1)此∴ q>1 ，，0<q<1 ，.升 ： 等比数列前 n 和公式分 q=1 或 q ≠1两种状况 行 .一反三：【 式 1】求数列： 1， a+a 2 234 3456n,a +a +a ,a +a +a +a , ⋯⋯（此中 a ≠0）的前 n 和 S .分析： 数列的通 n-1 n2n-2a n =a +a +⋯ +a：（ 1）当 a=1 ， a n =n ， S n =1+2+⋯ +n=（ 2）当 a=-1 ，，∴ ，（ 3）当 a ≠±1且 a ≠0 ，，∴.【变式 2 】设 {a n} 是由正数组成的等比数列， S n是其前n项和，证明:.分析：（ 1）当 q=1 时，S n=na1，进而，（ 2）当 q≠1时，，进而由（ 1）（ 2）得 :.∵函数为单一递减函数.∴∴.【变式 3】已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列 .(Ⅰ )求 q 的值；(Ⅱ )设 {b } 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 S ，当 n≥2时，比较 S n n nn的大小，并说与 b明原由 .分析：2(Ⅰ )由题设 2a3=a1+a2，即 2a1q =a1+a1q,∵a1≠0，∴ 2q2 -q-1=0，∴或，(Ⅱ )若 q=1 ，则当 n≥2时，若当 n≥2时，故对于 n∈N +，当 2≤n≤9时， S n>b n；当 n=10 时， S n=b n；当 n≥11时， S n<b n.【变式 4 】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，此中；一般地，规定为的 k 阶差分数列，其中且 k∈ N* ， k≥2。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用高中数学是学生学习学术知识的重要一环，学习数学要想达到一定的水平，解题能力是不可缺少的。
高中数学的解题要求学生掌握解题的步骤，把握解题的方法，运用特定的方法，把一道题解决。
如果能够把一道题分类讨论，大大简化解题过程。
分类讨论法是一种超越解题步骤、强调自主思考和灵活运用解题方法的有效方法。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用，可以有效地推动数学知识的学习，帮助学生培养解决问题的能力，并提高解题的效率。
首先，运用分类讨论思想可以帮助学生掌握数学知识。
分类讨论法的运用让学生可以在更深入的层面上理解和掌握数学知识，而不仅仅是死记硬背的知识点。
运用分类讨论思想，学生可以将同一类型的题目归类，从而加深对知识的理解，促进知识的深化。
其次，分类讨论思想能够帮助学生培养解决问题的能力。
学生在分类讨论中要将各类问题进行归类，并找出把握和解决各类问题的通用方法，有助于学生掌握解决问题的技能，培养解决问题的能力。
最后，分类讨论思想能够有效提升解题的效率。
在分类讨论过程中，学生可以通过深入的认识和发现，找出统一的解题思路，同时也可以针对不同的题型运用特定的方法，解决相同类型的题目，从而提高解题效率，减少解题时间。
以上可见，分类讨论法在高中数学解题中的应用，有助于推动数学知识的学习，培养解决问题的能力，提高解题的效率，对于高中学生学习数学有重要意义。
因此，在高中数学解题中，学校和教师要采取有效的措施，注重培养学生分类讨论的能力，帮助学生找出解决问题的方法，培养学生分析问题的能力，从而使学生更加深入地掌握数学知识。
数学老师也可以通过课堂教学和作业测试，开展有效的分类讨论活动，让学生在解题过程中体验分类思考的乐趣。
总之，分类讨论思想在高中数学解题中的应用有着重要的作用，不仅能够促进学生数学学习，培养学生解决问题的能力，还能提高解题的效率。
培养学生分类讨论的能力，对于提高学生的学习效率和提升学习水平有重要的意义。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
思想在高中数学解题中的应用研究涉及到分类讨论的方法，这是解决复杂问题时常用
的一种策略。
分类讨论的方法在高中数学解题中有着广泛的应用，可以使问题的求解更加
简洁明了，提高解题效率。
分类讨论是将问题所涉及的对象按一定的特征进行分类，然后对每一类进行具体的分
析和处理。
在数学解题中，分类讨论可以根据题目中所给的条件和要求，将待求解的问题
进行合理的分类，然后对每一类情况进行分别讨论。
一种常见的分类讨论方法是针对数的正负性进行分类讨论。
例如在解一元二次方程时，可以根据判别式的正负值将问题分为三种情况：当判别式大于零时，方程有两个不相等的
实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程没有实
数根。
通过这种分类讨论的方法，可以很快得到方程的解。
另一种常见的分类讨论方法是针对不同情况下的特殊性进行分类。
例如在几何图形的
证明中，可以将图形分为三角形、四边形等不同类型，然后对每一种情况分别进行证明。
通过分类讨论的方法，可以将复杂的证明问题简化为若干个相对简单的情况，更容易找到
解决问题的方法和路径。
在数学解题中，分类讨论的方法可以使问题的求解更加系统和有条理。
通过将问题进
行分类，我们可以更好地理清思路，找到问题的关键之处，从而加快解题速度。
分类讨论
的方法还可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，提高他们解决问题的能力和自
主学习能力。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究
分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论是一种常用的数学解题思想，在高中数学的学习中随处可见。
分类讨论的核心思想是将一个问题分成几个子问题，分别讨论，最后将各个子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种思想的应用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题能力。
代数方程是高中数学学习中的重要内容，分类讨论思想在代数方程的解题中有着广泛的应用。
例如，对于二次方程 $ax^2+bx+c=0$，我们可以首先判断其系数 $b^2-4ac$ 的正负性，从而划分出两种情况进行讨论，即 $b^2-4ac>0$ 和 $b^2-4ac≤0$ 两种情况。
针对这两种情况，我们可以分别利用求根公式得到其解，最后将解按条件分类合并，得到原方程解的结论。
几何证明中的问题千变万化，但分类讨论思想同样可以发挥重要作用。
例如，对于三角形中线长度之间的关系，我们可以将三角形分成三类，即等腰三角形、直角三角形和一般三角形。
对于每一类三角形，我们可以利用不同的方法进行证明，最终将三种情况的证明结论汇总，得到三角形中线长度之间的关系的结论。
例如，在区间 $[0,1]$ 上取一点 $x$，如果 $x$ 是有理数的概率为 $0$，而$x$ 是无理数的概率为 $1$。
对于这个问题，我们可以将区间 $[0,1]$ 分成有理数集和无理数集两部分，分别计算其概率，最后将两个概率相加即可得到原概率的结论。
四、分类讨论思想在函数的连续性和导数中的应用例如，对于一个函数 $f(x)$，如果该函数在某个点 $x_0$ 处连续但不可导，则可以将 $x_0$ 分成 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左右两侧的情况讨论，分别探讨其左右导数与函数值之间的关系，最终得到 $x_0$ 处导数不存在的结论。
总之，分类讨论思想在高中数学的学习中应用广泛，对提高学生的解题能力和理解能力都具有重要的促进作用。
学生在学习数学时，应该多加思考，善于运用分类讨论思想，不断提高自己的解题能力。
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高中数学专题复习与研究――用分类讨论的的思想解题参数广泛地存有于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。
以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型，。
一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。
本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨，不妥之处，敬请斧正。
解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；使用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等实行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。
它实际上是一种化难为易。
化繁为简的解题策略和方法。
一、科学合理的分类把一个集合A 分成若干个非空真子集A i （i=1、2、3···n ）（n ≥2，n ∈N ），使集合A 中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。
即①A 1∪A 2∪A 3∪···∪A n ＝A ②A i ∩A j ＝φ（i,j ∈N,且i ≠j ）。
则称对集A 实行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。
在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。
二、确定分类标准在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：（1）根据数学概念来确定分类标准例如：绝对值的定义是： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a所以在解含有绝对值的不等式|log 31x|+|log 31 (3－x)|≥1时，就必须根据确定log 31x ，log 31（3－x ）正负的x 值1和2将定义域（0，3）分成三个区间实行讨论，即0＜x ＜1，1≤x ＜2，2≤x ＜3三种情形分类讨论。
例1、 已知动点M 到原点O 的距离为m ，到直线L ：x ＝2的距离为n ，且m+n ＝4（1）求点M 的轨迹方程。
（2）过原点O 作倾斜角为α的直线与点M 的轨迹曲线交于P,Q 两点，求弦长｜PQ ｜的最大值及对应的倾斜角α。
解：（1）设点M 的坐标为（x,y ），依题意可得：22y x ++2-x = 4根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x ＞2还是x ≤2，所以以2为标准实行分类讨论可 得轨迹方程为：y 2 = ⎩⎨⎧<≤--<≤--)32()3(12)21()1(4x x x x解（2）如图1，因为P ，Q 的位置变化， 弦长｜PQ ｜的表达式不同，故必须分 点P ，Q 都在曲线y 2=4(x+1)以及一点 在曲线y 2=4(x+1)上而另一点在 曲线y 2=－12（x －3）上可求得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-<≤+≤=)32(cos 18)30(cos 183(sin 42παπαπαααπαPQ从而知当3πα=或32πα=时,.316max =PQ（2）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。
数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在使用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。
例如，对数函数y ＝log a x 的单调性是分0＜a ＜1和a ＞1两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式；如log x 31>－1就应以底数x ＞1和0＜x ＜1实行分类讨论，即：当x ＞1时，x 131>, 当0＜x ＜1时，x131<. 又如，等比数列前几项和公式是分别给出的：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn所以在解这类问题时，如果q 是能够变化的量，就要以q 为标准实行分类讨论。
例2，设首项为1，公比为q （q ＞0）的等比数列的前n 项和为S n ,又设T n ＝1+n nS S ，n ＝1，2，···求T n解：当q ＝1时，S n ＝n ，T n ＝1+n n, 1lim =∴∞→n n T当q ≠1时，S n ＝111111111+++--=--=--n nn n n nq q T qq S qq 于是当0＜q ＜1时，1lim ,0lim =∴=∞→∞→n n nn T q 当q ＞1时，qT q nn n n 1lim ,01lim=∴=∞→∞→ 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=∞→)1(1)10(1lim q qq T n n（3）根据运算的需要确定分类标准。
例如：解不等式组⎩⎨⎧<<<<a x x 143显然，应以3，4为标准将a 分为1＜a ≤3，3＜a ≤4，a ＞4三种情况实行讨论。
例3，解关于x 的不等式组⎩⎨⎧-<-<1)1(log 22log 22a x a xx a a其中a ＞0且a ≠1。
解，因为不等式中均含有参数a ，其解的状况均取决于a ＞1还是a ＜1，所以1为标准实行分类，（Ⅰ）当0＜a ＜1时，可求得解为：21<<+x a ;（Ⅱ）当a ＞1时，可解得：⎩⎨⎧+<<>102a x x , 此时不等式组是否有解关键取决于1+a与2的大小关系，所以以21=+a 即a ＝3为标准实行第二次分类。
（1）当1＜a ≤3时解集为Φ （2）当a ＞3时解集为 ).1,2(+a综上所述：当0＜a ＜1时，原不等式解集为 (2, )1+a ;当1＜a ≤3时，解集为Φ；当a ＞3时，解集为 (2,)1+a .三、分类讨论的方法和步骤（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；（2）确定分类标准科学合理分类； （3）逐类实行讨论得出各类结果； （4）归纳各类结论。
例4，若函数f （x ）＝a+bcosx+csinx 的图象经过点（0,1）和（2π,1）两点，且x ∈[0,2π]时，｜f （x ）｜≤2恒成立，试求a 的取值范围。
解：由f （0）＝a+b ＝1，f （2π）＝a+c ＝1，求得b ＝c ＝1－a f （x ）＝a+（1－a ）（sinx+cosx ）＝a+2（1－a ）sin （x+4π）∵1)4(22,4344≤+≤∴≤+≤ππππx sim x ①当a ≤1时，1≤f （x ）≤a ＋2（1－a ）∵｜f （x ）｜≤2∴只要a+2（1－a ）≤2解得a ≥2-∴－2≤a ≤1；②当a ＞1时，a ＋2（1－a ）≤f （x ）≤1，∴只要a ＋2（1－a ）≥－2，解得a ≤4+32 , ∴1＜a ≤4+32，综合①，②知实数a 的取值范围为[－2，4+32]。
例5，已知函数f （x ）＝sim 2x-asim 22x),(R a R x ∈∈ 试求以a 表示f （x ）的最大值b 。
解：原函数化为f （x ）＝16)4()4(cos 22-+--a a x令t ＝cosx ，则－1≤t ≤1记g （t ）＝－（-t 16)4()422-+a a 。
t ∈[－1，1]因为二次函数g （t ）的最大值的取得与二次函数y=g(t)的图象的顶点的横坐标相对于定义域[－1，1]的位置密切相关，所以以4a相对于区间[－1，1]的位置分三种情况讨论： （1）当－1≤4a ≤1，即－4≤a ≤4时，b=g(t)max ＝16)4(2-a , 此时t=4a;（2）当4a＜－1, 即a ＜－4时，b ＝－a , 此时 t=1-（3）当4a＞1, 即a ＞4时，b ＝0, 此时, t=1 综上所述：b ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-≤≤-->)4()44(16)4()4(02a a a a a 例6、等差数列｛a n ｝的公差d ＜0，S n 为前n 项之和，若S p ＝S q ，（p,q ∈N ，p ≠q ）试用d ，p ，q 表示S n 的最大值。
略解：由S p ＝S q p ≠q 可求得d q p a 211-+-= ∵d ＜0，∴a 1＞0，当且仅当⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 时S n 最大。
由a n ≥0 得n ≤21++q p ，由a n+1≤0得，n ≥21-+q p ∴21-+q p ≤n ≤21++q p ，∵n ∈N ，∴要以21-+q p 是否为正整数即p+q 是奇数还是偶数为标准分两类讨论。
（1）当p+q 为偶数时n ＝2qp +，S n 最大且为(S n )max =d q p 8)(2+-（2）当p+q 为奇数时，n ＝21-+q p 或n ＝21++q p , S n 最大，且 为（S n ）max＝d q p 8)(12+- 分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提升学生分析问题和解决问题的水平无疑具有较大的协助。
不过并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。
例7、解关于x 的不等式：223x x -+≥a －略解：使用数形结合的思想解题如图： 在同一坐标系内作出y ＝223x x -+和y ＝a －x 的图象，以L 1 , L 2, L 3在y 轴上的截距作为分类标准， 知： 当a ≤－1时; －1≤x ≤3 L 3当－1＜a ≤3时; 27212++--+a a a ≤x ≤3当3＜a ≤1+22时; 2721272122++-++≤≤++--+a a a x a a a当a ＞1+22时，不等式无解。
例8、实数k 为何值时，方程kx 2+2|x|+k=0有实数解？略解：使用函数的思想解题： 由方程可得k ＝212x x +-所以方程有解时k 的了值范围就是函数f （x ）＝212xx +-的值域，显然－1≤f(x)≤0故－1≤k ≤0即为所求。
2000年7月。