第4讲.提公因式法、公式法、分组分解法.教师版

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++ƒ整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：知识点睛中考要求第四讲提公因式法、公式法、分组分解法①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.板块一、因式分解的概念【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【解析】 ⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.【点评】教师在讲解此题时，一定要对因式分解的注意事项进行强调板块二、提公因式法重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．重、难点例题精讲提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例2】 分解因式：⑴ad bd d -+；⑵4325286x y z x y -⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++【解析】 ⑴1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=⋅-⋅+⋅=⋅-+最后一项1d d =⋅，系数1一般可省略，但因式分解时提出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因 分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于 多项式的项数.⑵43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式 ⑶323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+ 或32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=-- 若多项式第一项为负，一般有两种处理方法：①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式； ②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式.⑷23222322291363(1269)(423)222xyx y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁.【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+- 【解析】222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+- 【解析】 ⑴23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-⑵32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-【例3】 分解因式 ⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-⑵346()12()m n n m -+-【解析】 ⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+⑵原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-【巩固】 分解因式：⑴55()()m m n n n m -+-⑵()()()2a ab a b a a b +--+【解析】 ⑴555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n -+-=---=--=-⑵()()()2a ab a b a a b +--+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+--+=+-=-+⎡⎤⎣⎦【巩固】 分解因式：⑴2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+- 【解析】 ⑴原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =-+-=-+-=--⑵原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+-++-=-+=-+【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++L【解析】 原式()()()20051111x x x x x x ⎡⎤=+++++++⎣⎦L ()()()()200411111x x x x x x x ⎡⎤=++++++++⎣⎦L…()()2005111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()20071x =+【例4】 分解因式：⑴()()2121510n na ab ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n nnna ab ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.【解析】 n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x -=-；21n +是奇数，2121()()n n x y y x ++-=--.2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--[]2()()()2()n x y x y x z y z =----+-2()()n x y y z =--.【例5】 (2005年长沙市中考题)先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =． 【解析】 利用因式分解化简．()()()()()()()222y x y x y x y x x y y x y x x x y x x x y x xy +++--=++--=+-=+-=，把2x =-，12y =代入，得原式1=-.【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-.【解析】 原式22(32)(21)(32)(21)(32)(21)3(32)(21)x x x x x x x x x =-+--+--+=--+,当23x =-时，原式4=-.【例6】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a abc b c a b c b c a --+-+++-的值.【解析】 原式22228()(2)333b c a =--=⨯-=【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.【解析】观察原式，我们发现公因式为2()x z x y --，故原式[]2()()()x z x y x y z a z y x z a =---+-++--2()()x z x y ax z xz yz ay =--+---.板块三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【例7】 分解因式：⑴44a b -⑵2249()16()m n m n +--⑶22()()a b c d a b c d +++--+-⑷(2007年十堰中考题)34xy xy -；⑸22()()a x y b y x -+-【解析】 ⑴44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=-++⑵原式[][]7()4()7()4()m n m n m n m n =++-+--(113)(311)m n m n =++ ⑶22()()(22)(22)4()()a b c d a b c d a c b d a c b d +++--+-=++=++ ⑷324(4)(2)(2)xy xy xy y xy y y -=-=-+⑸2222()()()()()()()a x y b x y x y a b x y a b a b ---=--=--+【巩固】 因式分解：⑴22()a b c +-⑵224(2)y z x -- ⑶481y -⑷229()4()m n m n --+ ⑸22122x y -+⑹22(32)16x y y --⑺44()()a x a x +--【解析】 ⑴22()()()a b c a b c a b c +-=+-++⑵224(2)(22)(22)y z x y z x y z x --=+--+ ⑶422281(9)(9)(9)(3)(3)y y y y y y -=+-=++-⑷229()4()m n m n --+22[3()][2()]m n m n =--+(5)(5)m n m n =--⑸2222111122()2()()2422x y x y x y x y -+=--=-+-⑹22(32)16x y y --22(32)(4)x y y =--(32)(36)x y x y =+-3(32)(2)x y x y =+-⑺442222()()()()()()a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--=+--++-⎣⎦⎣⎦[][]22()()()()()()a x a x a x a x a x a x ⎡⎤=+--++-++-⎣⎦222222(22)8()x a a x ax a x =⋅⋅+=+【巩固】 ⑴442222322(16)2(4)(4)2(4)(2)(2)y y y y y y y -=-=+-=++-⑵884411164(2561)(161)(161)444x x x x -=-=+-4224211(161)(41)(41)(161)(41)(21)(21)44x x x x x x x =++-=+++- ⑶7575525()()()()()()1()(1)(1)a b b a a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤-+-=---=---=--+--⎣⎦⑷2243()27()x x y y x ---2242223()27()3()9()x x y x y x y x x y ⎡⎤=---=---⎣⎦[][]223()3()3()3()(43)(23)x y x x y x x y x y x y x y =-+---=----⑸2222228(4)2(4)a a b b b a -+-2222222222228(4)2(4)2(4)(4)2(2)(2)a a b b a b a b a b a b a b =---=--=+-【巩固】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．【解析】 要证明712255- 能被120整除，就是在712255-分解的因式中是否含有120．()()()()727121214121221212112555555551551512451205⎡⎤-=-=-=-=+-=⨯=⨯⎣⎦【例8】 分解因式：⑴(深圳市中考题)2242x x -+= ； ⑵(泸州市中考题)244ax ax a -+= ； ⑶2844a a --= ； ⑷2292416x xy y -+=【解析】 ⑴2222422(21)2(1)x x x x x -+=-+=-⑵22244(44)(2)ax ax a a x x a x -+=-+=-⑶解首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a 降幂(或升幂)排列，从而有 2844a a --2484a a =-+-24(21)a a =--+24(1)a =--按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意．⑷2292416x xy y -+2(34)x y =-【巩固】 ⑴(淄博市中考题)分解因式：322269(69)(3)x x x x x x x x -+=-+=-⑵(太原市中考题)分解因式：()()22236332131x x x x x -+=-+=-⑶分解因式：32222244(44)(2)a c a bc ab c ac a ab b ac a b -+=-+=-⑷分解因式：222222545522522()2()()425225525m n mn mn mn mn ++=+⨯⨯+=+【例9】 (哈尔滨中考题)分解因式2222_________________a ab b c -+-=. 【解析】 222222()()()a ab b c a b c a b c a b c -+-=--=-+--【巩固】 分解因式：⑴22222()4x y x y +- ⑵222224()a b a b -+ 【解析】 ⑴22222222222()4(2)(2)()()x y x y x y xy x y xy x y x y +-=+-++=+-⑵222222222224()(2)(2)()()a b a b ab a b ab a b a b a b -+=--++=--+【例10】分解因式：⑴2222()4()4()m n m n m n +--+-；⑵22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；【解析】 把⑴中的m n +，2()m n -，⑵中的5m n +，3n m -当作整体来看待，运用完全平方公式进行分解.⑴[]222222()4()4()()2()(3)m n m n m n m n m n n m +--+-=+--=-；⑵[]2222(5)2(5)(3)(3)(5)(3)16()m n n m n m n m m n n m m n +-+-+-=+--=+【巩固】 分解因式：44222()4p q p q +-【解析】4424444224422222222()4(2)(2)()()p q p q p q p q p q p q p q p q +-=+++-=+-22222()()()p q p q p q =+-+【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+- 【解析】 ⑴2222222()4()4(2)(1)(2)x x x x x x x x +-++=+-=-+；⑵2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++【解析】 (24x +)相当于公式中的a ，4x 相当于公式中的b ．()()222248416x x x x ++++=()()()()2242222424416442x x x x x x x ++⋅+⋅+=++=+【巩固】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【解析】 由原题可得()2221a b m +-=，进而可求解．∵22244241a ab b a b m ++--+=，∴()2221a b m +-=， ∴21m a b =--+或21m a b =+-【例11】 化简：22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++- 【解析】 解题指导：化简就是要去掉式子中的括号，结果表示成一个多项式．22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++- 22()[()][()]()[()][()]a b c a b c a b a b a b c a b c =+--+-+-+++- 22222222()()()()()()a b c a b a b a b a b a b c =+⋅-+-+-+--⋅ 2()()c a b a b a b a b =⋅++-+-+222c a b =⋅⋅24abc =【巩固】 分解因式：24()520(1)x y x y ++-+-【解析】2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-【巩固】分解因式：66a b -【解析】 66a b -3232()()a b =-3333()()a b a b =+-2222()()()()a b a ab b a b a ab b =+-+-++或66a b -2323()()a b =-224224()()a b a a b b =-++4224()()()a b a b a a b b =+-++2222()()()()a b a ab b a b a ab b =+-+-++【巩固】 ⑴分解因式：523972x x y -⑵分解因式：66a b +【解析】 ⑴523972x x y -2339(8)x x y =-2339[(2)]x x y =-2229(2)(24)x x y x xy y =-++⑵66a b +2323()()a b =+22222222()[()()]a b a a b b =+-+224224()()a b a a b b =+-+【例12】 若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【解析】 这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ∆是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+- ∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --= ∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ∆是等腰三角形【巩固】 (江苏省镇江市中考题)若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A.大于零B.小于零 C 大于或等于零 D ．小于或等于零 【解析】222222222(2)()()()a b c ab a ab b c a b c a b c a b c +--=-+-=--=-+-- 又因为a ，b ，c 是三角形三边的长，所以a c b +>，a b c <+即0a b c -+>，0a b c --<，()()0a b c a b c -+--<，22220a b c ab +--<板块四、分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【例13】 分解因式：221x ax x ax a +++-- 【解析】 解法一：按字母x 的幂来分组．221x ax x ax a +++--22()()(1)x ax x ax a =+++-+2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-解法二：按字母a 的幂来分组．221x ax x ax a +++--22()(1)ax ax a x x =+-++-22(1)(1)a x x x x =+-++-2(1)(1)a x x =++-原式的6项是平均分配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项．如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配．特别注意结合选主元思想，在系数上分析分组！【巩固】 分解因式：1xy x y --+【解析】 法1：1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y --+=---=--法2 ：1(1)(1)(1)(1)xy x y y x x x y --+=---=--【巩固】 分解因式：ax by bx ay --+【解析】 ax by bx ay --+()()ax bx ay by =-+-()()x a b y a b =-+-()().x y a b =+-ax by bx ay --+()()a x y b x y =+-+()()x y a b =+-【巩固】 分解因式：2222ac bd ad bc +-- 【解析】 2222ac bd ad bc +--2222()()ac ad bd bc =-+-2222()()a c d b c d =---22()()a b c d =--()()()a b c d c d =-+-【巩固】 分解因式：22abx bxy axy y +--【解析】2222()()()()abx bxy axy y abx axy bxy y ax bx y y bx y bx y ax y +--=-+-=-+-=-+【巩固】 分解因式：32x bx ax ab +++【解析】 3222()()()()x bx ax ab x x b a x b x b x a +++=+++=++【巩固】 分解因式：32acx bcx adx bd +++【解析】 322()()acx bcx adx bd cx d ax b +++=++【巩固】 分解因式：22221a b a b --+【解析】 2222222221(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b b a b a a b b --+=---=--=+-+-【巩固】 分解因式：222221x y z x z y z --+ 【解析】 22222222221(1)(1)(1)(1)x y z x z y z x z y z y z y z x z --+=---=--【例14】 分解因式：2226923ax a xy xy ay -+-【解析】 原式3(23)(23)(3)(23)ax x ay y x ay ax y x ay =-+-=+-，体会利用系数分组引导整体因式分解【巩固】 分解因式：325153x x x --+ 【解析】322251535(3)(3)(51)(3)x x x x x x x x --+=---=-- 或322225153(51)3(51)(51)(3)x x x x x x x x --+=---=--【巩固】 分解因式：251539a m am abm bm -+- 【解析】 原式[]2(51539)5(3)3(3)(3)(53)m a a ab b m a a b a m a a b =-+-=-+-=-+【例15】 分解因式：3254222x x x x x --++-【解析】 解6项可以分成三组，每组两项．我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-5432(2)(2)(2)x x x x x =-+--- 42(2)(2)(2)x x x x x =-+---42(2)(1)x x x =-+-本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为l 的放在一组，系数为2的放在另一组．详细过程请读者自己完成．【巩固】 分解因式：432x x x x +++【解析】 法1：43232(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x +++=+++=++.法2：432x x x x +++32(1)(1)x x x x =+++22(1)(1)(1)x x x x x x =+-+++22(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤=+-++=++⎣⎦.法3：4323222(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+++=+++=+++=++⎣⎦.【例16】 分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++-+-+【解析】2222()()()()()(2)()(2)2()()a b a c c d b d a d a b d a d a c d a d a b c d +++-+-+=-+++-++=-+++【巩固】 分解因式：2293x x y y ---【解析】 原式=22(9)(3)(3)(3)(3)(3)(31)x y x y x y x y x y x y x y --+=+--+=+--【巩固】 分解因式：5544()x y x y xy +-+【解析】 原式44()()x x y y x y =---44()()x y x y =--22()()()()x y x y x y x y =--++222()()()x y x y x y =-++【例17】 分解因式：2212x x y ---+【解析】2212x x y ---+22(21)y x x =-++(1)(1)y x y x =++--【巩固】 分解因式：241194n n m x x y +-+ 【解析】 241194n n m x x y +-+241149n n m x x y =++-22211()()23n m x y =+-221111()()3232n m n m x y x y =++-+.【巩固】 分解因式：22(1)12a b b b --+-【解析】22222(1)12(1)(1)(1)(1)a b b b a b b b a --+-=---=--【巩固】 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++【解析】 444222222222a b c a b b c c a ---+++444222222(222)a b c a b b c c a =-++---44422222222(2224)a b c a b b c c a a b =-+++---22222[()(2)]a b c ab =-+--222222(2)(2)a b c ab a b c ab =-+-++--2222[()][()]a b c a b c =-+---()()()()a b c a b c a b c a b c =-+++--+--()()()()a b c a b c a b c b c a =+++--++-【巩固】分解因式：3232x x y y +--【解析】 原式3322()()x y x y =-+-22()()()()x y x xy y x y x y =-+++-+22()()x y x xy y x y =-++++【例18】分解因式：31ax x a +++【解析】 解根据a 的幂来分组是可以行得通的，恰好能用上公式(2)，并为下一步提公因式奠好基础．31ax x a +++3()(1)ax a x =+++2(1)(1)(1)a x x x x =+-+++2(1)(1)x ax ax a =+-++【巩固】 分解因式：4334a a b ab b --+【解析】43343333222()()()()a a b ab b a a b b a b a b a ab b --+=---=-++【巩固】 分解因式：33222x y x xy y ++++【解析】3322222222()()()()()x y x xy y x y x xy y x y x y x xy y x y ++++=+-+++=+-+++【巩固】 分解因式：4333x x y xz yz +++【解析】43333322()()()()()x x y xz yz x x y z x y x y x z x xz z +++=+++=++-+【巩固】 分解因式：54321x x x x x +++++【解析】 原式3223222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++=+-+++【巩固】 (第十五届“五羊杯”第15题)333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________.【解析】 原式22222()()()()()b a x y a b ab x y a b xy ⎡⎤=--++++++⎣⎦()()a b x y --22()a ab b ++22()x xy y ++ ()()a b x y abxy =---.【巩固】 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++【解析】333333222[()][()][()]3()()a b c b c a c a b a b c a b c =++++++++=++++【习题1】分解因式：22224()x a x a x +-- 【解析】2222224()(41)()x a x a x x a x +--=-+【习题2】分解因式：3222524261352xy z xy z x y z -++⑶【解析】3222524224226135213(214)xy z xy z x y z xy z y x z -++=---【习题3】不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值． 【解析】 ()()()()()()232327323732332166y x y y x y x y x y x y y x ---=-+-=-+=⨯=【习题4】分解因式：2121()()m m p q q p +--+-【解析】 212121221()()()()1()(1)(1)m m m m p q p q p q p q p q p q p q +---⎡⎤---=---=----+⎣⎦【习题5】分解因式：212312n n x y xy z +-(n 为大于1的自然数)．【解析】 因为n 大于1，所以10n ->，因此公因式是13n xy +．()2121131234n n n n x y xy z xy x y z ++--=-【习题6】分解因式：⑴22(23)9(1)x x +--⑵22222223(2)273(2)(3)a a b a b a a b b ⎡⎤+-=+-⎣⎦ ⑶222222(35)(53)a b a b --+-家庭作业⑷22()()()x x y y y x --+-【解析】 ⑴[][]22(23)9(1)(23)3(1)(23)3(1)5(6)x x x x x x x x +--=+--++-=-⑵2222222223(2)273(2)(3)3(24)(22)12(2)()a a b a b a a b b a a b a b a a b a b ⎡⎤+-=+-=+-=+-⎣⎦⑶原式22222222222222(53)(35)(53)(35)(53)(35)a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=---=----+-⎣⎦⎣⎦222222(88)(22)16()()()a b a b a b a b a b =-+=+-+⑷22()()()x x y y y x --+-22222()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y =---=--=-+【习题7】分解因式：⑴(北京市中考试题大纲卷)2244a a b -+-⑵(岳阳中考题)2222x y z yz ---【解析】 ⑴222244(2)(2)(2)a a b a b a b a b -+-=--=+---⑵2222x y z yz ---22222(2)()()()x y z yz x y z x y z x y z =-++=-+=++--【习题8】分解因式：⑴2222(3)2(3)(3)(3)x x x x -+--+-；⑵22229()6()()a b a b a b ++-+-.【解析】 把⑴中的23x -，3x -，⑵中的3()a b +，a b -，看作整体，运用完全平方公式进行分解.⑴22222222(3)2(3)(3)(3)(6)(2)(3)x x x x x x x x -+--+-=+-=-+；⑵[]22222229()6()()3()()(42)4(2)a b a b a b a b a b a b a b ++-+-=++-=+=+.【习题9】已知()222410a b a b +--+=，求()20062a b +的值． 【解析】 原式因式分解可得()2210a b +-=，进而可得，210a b +-=，即21a b +=． ∵()222410a b a b +--+=，∴()2210a b +-= ∴210a b +-=，∴()20062006211a b +==【习题10】分解因式：22222(91)36a b a b +--【解析】 原式2222(91)(6)a b ab =+--2222(916)(916)a b ab a b ab =+-++--22(3)1(3)1a b a b ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦(31)(31)(31)(31)a b a b a b a b =+++--+--【备选1】分解因式：22ax bx bx ax a b -+-+-【解析】 法1：原式2222()()()()()()()(1)ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x =-+-+-=---+-=--+法2：原式22222(1)(1)()(1)ax ax a bx bx b a x x b x x a b x x =-+-+-=-+--+=--+【备选2】分解因式：ax ay bx cy cx by -++-- 月测备选【解析】 ax ay bx cy cx by -++--()()()()a b c x a b c y x y a b c =+--+-=-+-【备选3】分解因式：2222224x y x z y z z --+【解析】22222242222222222()()()()()()()()x y x z y z z x y z z y z y z x z y z y z x z x z --+=---=--=-+-+【备选4】若a ，b ，c 为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么,,a b c 之间有什么关系？【解析】 由 444222222a b c a b b c c a ++=++，得 4442222222()2()a b c a b b c c a ++=++故 422442244224(2)(2)(2)0a a b b b b c c c c a a -++-++-+=即 222222222()()()0a b b c c a -+-+-=得 2222220,0,0a b b c c a -=-=-=，即 222a b c ==又由a ，b ，c 为正数，即得a b c ==【备选5】(北大附中测试题)a ，b ，c 是三角形ABC 的三条边，且2220,a b c ab bc ac ++---=则三角形ABC 是怎样的三角形?【解析】 2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=所以222222(2)(2)(2)0a b ab b bc c c ac a +-+-++-+=，即222()()()0a b b c c a -+-+-= 0a b -=，0b c -=，0c a -=；a b =，b c =，c a =；三角形ABC 是等边三角形。