第4讲.提公因式法、公式法、分组分解法.教师版

板块

考试要求

A 级要求

B 级要求

C 级要求

因式分解

了解因式分解，熟悉因

式分解

掌握因式分解的基本方法，并且能熟

练运用因式分解解决题目

更深层次的掌握因式分

解的其他方法

基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

()m a b c ma mb mc ++++ƒ

整式的乘积因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

知识点睛

中考要求

第四讲

提公因式法、公式法、

分组分解法

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.

板块一、因式分解的概念

【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.

⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+

⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++

【解析】 ⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；

⑷是.

【点评】教师在讲解此题时，一定要对因式分解的注意事项进行强调

板块二、提公因式法

重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整

式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．

重、难点

例题精讲

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例2】 分解因式：

⑴ad bd d -+；

⑵4325286x y z x y -

⑶322618m m m -+- ⑷23229

632

x y x y xy ++

【解析】 ⑴1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=⋅-⋅+⋅=⋅-+

最后一项1d d =⋅，系数1一般可省略，但因式分解时提出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因 分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于 多项式的项数.

⑵43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式 ⑶323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+ 或32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=-- 若多项式第一项为负，一般有两种处理方法：

①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式； ②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式.

⑷23222322291363(1269)(423)222

xy

x y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++

因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁.

【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+- 【解析】

222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+

【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+- 【解析】 ⑴23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-

⑵32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-

【例3】 分解因式 ⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-

⑵346()12()m n n m -+-

【解析】 ⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+

⑵原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-

【巩固】 分解因式：

⑴55()()m m n n n m -+-

⑵()()()2

a a

b a b a a b +--+