2.5.2细长压杆临界力计算—欧拉公式(精)
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2
Pcr
2 EI
(2l )
2
Pcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
二、临界应力
在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力。
Pcr 2 EI cr A l 2 A
令
I 2 i A
则
i
I A
式中
i — 回转半径（惯性半径） ，单位mm。
则临界应力计算公式写为：
2 Ei2 2 E cr 2 l l 2
i
Ei E cr 2 2 l l
2 2 2
令
l i
i
— 压杆的柔度或细长比， 表示压杆的细长程度， 无量纲。
则临界应力计算公式可简化为：
2 2 3
1 6 10 120 110 200 i 4
l
三、欧拉公式的适用范围
E E cr 2 p 2 P
2 2
p
Fra Baidu bibliotek
的压杆为细长压杆（或大柔度杆件）。
小结：
稳定性的概念：压杆稳定是指平衡状态的稳定性。
欧拉公式：
EI Pcr 2 l
当两个方向约束相同时，杆将绕EI值较小的轴产生
弯曲，所以欧拉公式中的I取Imin。
例1：一端固定、一端自由的受压柱，长l 5，材料 m
弹性模量
解：
。试计算柱子的临界力。 E 200 GPa
I
D 64
y
4
d
4
64 102
4
86 4 2.6 10 6 mm 4
2
E cr
2
2
欧拉公式的适用范围：大柔度杆件或细长杆件。
LOGO
51.26kN
Pcr
2 EI
2l
2 200103 2.6 106
2
2 5000
2
z
86 102
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 一端固定 另端自由 Pcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
l
I
——杆件横截面对形心轴的惯性矩。
一端固定，一端自由：
Pcr
Pcr
EI
2
2l
2
两端固定：
0.5l 2
2 EI
一端固定，一端铰支：
Pcr
0.7l
2 EI
2
临界力公式可写成下面的统一形式：
式中：
2 EI Pcr 2 l
— 长度系数。
l — 计算长度；
工程力学应用
细长压杆的临界力公式—欧拉公式
一、临界力
压杆的临界力大小可以由实验测试或理论推导得到。
临界力的大小与压杆的长度、截面形状及尺寸、材料以及
两端的支承情况有关。
两端铰支的细长压杆临界力计算公式：
Pcr
Pcr
EI
2
l
2
---欧拉公式
式中：
E
——圆周率； ——材料的弹性模量； ——杆件长度；
E cr 2
2
例２ 一两端铰支的圆截面细长木柱，l 6 m 直径
d 200 mm ，材料的弹性模量
E 10GPa, p 110 求木柱的临界力和临界应力。
解：（１）计算临界应力
(2)计算临界力
3
E 1010 cr 2 6 . 85 MPa 2 120
Pcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Pcr B
Pcr
0.7l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
l
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
Pcr
2 EI
(2l )
2
Pcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
二、临界应力
在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力。
Pcr 2 EI cr A l 2 A
令
I 2 i A
则
i
I A
式中
i — 回转半径（惯性半径） ，单位mm。
则临界应力计算公式写为：
2 Ei2 2 E cr 2 l l 2
i
Ei E cr 2 2 l l
2 2 2
令
l i
i
— 压杆的柔度或细长比， 表示压杆的细长程度， 无量纲。
则临界应力计算公式可简化为：
2 2 3
1 6 10 120 110 200 i 4
l
三、欧拉公式的适用范围
E E cr 2 p 2 P
2 2
p
Fra Baidu bibliotek
的压杆为细长压杆（或大柔度杆件）。
小结：
稳定性的概念：压杆稳定是指平衡状态的稳定性。
欧拉公式：
EI Pcr 2 l
当两个方向约束相同时，杆将绕EI值较小的轴产生
弯曲，所以欧拉公式中的I取Imin。
例1：一端固定、一端自由的受压柱，长l 5，材料 m
弹性模量
解：
。试计算柱子的临界力。 E 200 GPa
I
D 64
y
4
d
4
64 102
4
86 4 2.6 10 6 mm 4
2
E cr
2
2
欧拉公式的适用范围：大柔度杆件或细长杆件。
LOGO
51.26kN
Pcr
2 EI
2l
2 200103 2.6 106
2
2 5000
2
z
86 102
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 一端固定 另端自由 Pcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
l
I
——杆件横截面对形心轴的惯性矩。
一端固定，一端自由：
Pcr
Pcr
EI
2
2l
2
两端固定：
0.5l 2
2 EI
一端固定，一端铰支：
Pcr
0.7l
2 EI
2
临界力公式可写成下面的统一形式：
式中：
2 EI Pcr 2 l
— 长度系数。
l — 计算长度；
工程力学应用
细长压杆的临界力公式—欧拉公式
一、临界力
压杆的临界力大小可以由实验测试或理论推导得到。
临界力的大小与压杆的长度、截面形状及尺寸、材料以及
两端的支承情况有关。
两端铰支的细长压杆临界力计算公式：
Pcr
Pcr
EI
2
l
2
---欧拉公式
式中：
E
——圆周率； ——材料的弹性模量； ——杆件长度；
E cr 2
2
例２ 一两端铰支的圆截面细长木柱，l 6 m 直径
d 200 mm ，材料的弹性模量
E 10GPa, p 110 求木柱的临界力和临界应力。
解：（１）计算临界应力
(2)计算临界力
3
E 1010 cr 2 6 . 85 MPa 2 120
Pcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Pcr B
Pcr
0.7l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
l
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )