李春葆《数据结构教程》(第4版)笔记和课后习题详解(数组和广义表)【圣才出品】

第6章数组和广义表
6.1 复习笔记
一、数组
1．数组的基本概念
（1）数组的逻辑表示
从逻辑结构上看，数组A是由n（n>1）个相同类型数据元素a1，a2，…，a n构成的有限序列，其逻辑表示为：
A＝（a1，a2，…，a n）
其中，a i（1≤i≤n）表示数组A的第i个元素。

（2）多维数组
一个二维数组可以看做是每个数据元素都是相同类型一维数组的一维数组。

以此类推，任何多维数组都可以看做是一个线性表，且表中的每个数据元素也是一个线性表。

多维数组是线性表的推广。

推广到d（d≥3）维数组，不妨把它看做是一个以d-1维数组作为数据元素的线性表；或者这样理解，它是一种较复杂的线性表结构，由简单的数据结构即线性表辗转合成而得。

抽象数据类型d维数组定义如下：
2．数组的存储结构
（1）数组的性质
①数组中的数据元素数目固定，一旦定义了一个数组，其数据元素数目不再有增减的变化；
②数组中的数据元素具有相同的数据类型；
③数组中的每个数据元素都和惟一的下标值对应；
④数组是一种随机存储结构，可随机存取数组中的任意数据元素。

（2）数组的存储方式
①一维数组
由于数组的所有元素都存储在连续内存单元中，所以线性表的顺序存储结构应采用一维数组来描述。

在一维数组中，一旦a1的存储地址即LOC（a1）确定，且假设每个数据元素占用k个存储单元，则任一数据元素a i的存储地址LOC（a i）就可由以下公式求出：
LOC （a i ）＝LOC （a 1）+（i-1）×k（2≤i ≤n ）………………（6.1）
该式说明一维数组中任一数据元素的存储地址都可直接计算得到，即一维数组中任一数据元素都可直接存取。

所以一维数组具有随机存储特性。

②二维数组
二维及多维数组也具有随机存储特性。

对于一个m 行n 列的二维数组A m ×n ，有:
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n m m m n n n m a a a a a a a a a A ,2,1,,22,21,2,12,11,1 ………………………………………………（6.2） 将A m×n 简记为A ，A 是这样的一维数组：
A ＝（a 1，a 2，…，a i ，…，a m ）…………………………………（6.3）
其中，a i ＝（a i ，1，a i ，2，…a i ，n ）（1≤j ≤m ）
对于二维数组来说，由于计算机的存储结构是线性的，如何用线性的存储结构存放二维数组元素就有一个行／列排放次序问题。

对式（6.2）中m 行n 列的二维数组A m ×n ，当满足式（6.3）时，采用的即是以行序为主序的存储方式，即先存储第1行，然后紧接着存储第2行，最后存储第m 行。

此时，二维数组的线性排列次序为：
n m m m n n a a a a a a a a a ,2,1,,22,21,2,12,11,1,,,,,,,,,,,,
在大多数程序设计语言中采用的是以行序为主序的存储方式。

在FORTRAN 等少数程序设计语言中，采用的是以列序为主序的存储方式，即先存储第一列数据元素，紧接着存储第二列数据元素，最后存储第n 列数据元素。

对一个已知以行序为主序的计算机系统，当二维数组第一个数据元素a 1，1的存储地址 LOC （a 1，1）和每个数据元素所占用的存储单元k 确定后，该二维数组中任一数据元素a i ，j 的存储地址可由下式确定：
LOC （a i ，j ）=LOC （a 1，1）+［（i-1）×n+（j-1）］×k ……………………（6.4）
其中n 为列数。

由此可以得知：类似于一维数组，一旦二维数组的下标值确定，数据元素类型确定，各数组元素的存储位置也就可以确定，即二维数组也具有随机存储特性。

上述推导公式和结论可推广至三维甚至多维的数组。

以上的讨论均假设二维数组的行、列下界为1。

假设二维数组行下界是c 1，行上界是d 1，列下界是c 2，列上界是d 2，即数组A ［c 1,，c 2，d 2］，则式（6.4）可改写为：
k c j c d c i a LOC a LOC c c j i ⨯-++-⨯-+=)]()1()[()()(2221,,21……………（6.5）
3．特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。

（1）对称矩阵的压缩存储
①n 阶对称矩阵
若一个n 阶方阵A ［n ］［n ］中的元素满足a i ，j ＝a j ，i （0≤i ，j ≤n-1），则称其为n 阶对称矩阵。

②对称矩阵的压缩
假设以一维数组B ［0．．n （n+1）／2－1］作为n 阶对称矩阵A 的存储结构，在B 中只存储对称矩阵A 的下三角元素a i ，j （i ≥j ）。

假设A 的下三角中元素a i ，j 存储在B 数组的b k 元素中。

对于元素a i ，j ，不包括当前行，它前面共有i 行（行下标为0～i-1，行下标为0的行有1个元素，行下标为1的行有2个元素，…，行下标为i-1的行有i 个元素），则这i 行有1+2+…+i ＝i （i+1）／2个元素，在当前行中，元素a i ，j 的前面亦有j 个元素，即元素a i ，j 之前共有i （i+1）／2+j 个元素，即A 中任一元素a i ，j 和b k 之间存在着如下对应关系：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤++≥++=j i i j j j i j i i k 2
)1( 2)1( ③非对称矩阵的存储
有些非对称的矩阵也可借用此方法存储，如n 阶下（上）三角矩阵。

n 阶下（上）三角矩阵，是指矩阵的上（下）三角（不包括对角线）中的元素均为常数c 或0的n 阶方阵。

设以一维数组B ［0．．n （n+1）／2］作为n 阶三角矩阵A 的存储结构，则A 中任一元素a i ，j 和B 中元素b k 之间存在着如下对应关系：
上三角矩阵：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥-++-=j i n n j i i j i n i k 2
)1( 2)12(* 下三角矩阵：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥++=j i n n j i j i i k 2
)1( 2)1( 其中，B 的元素b n （n+1）/2中存放着常数c 。

（2）对角矩阵的压缩存储
若一个n 阶方阵A 其所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，则称之为n 阶对角矩阵。

若其主对角线上下方各有b 条次对角线，则称b 为矩阵半带宽，（2b+1）为矩阵带宽。

对于半带宽为b （0≤b ≤（n-1）／2）的对角矩阵，｜i-j ｜≤b 的元素a i ，j 不为零，其余元素为零。

半带宽为b 的对角矩阵示意图如图6-1所示。

图6-1 半带宽为b的对角矩阵
对于b=1的三对角矩阵，只存储其非零元素，并存储到一维数组B中，即将A的非零元素a i，j存储到B的元素b k中。

A中第0行和第n-1行都只有两个非零元素，其余各行均有3个非零元素。

对于不在第0行的非零元素a i，j来说，在它前面存储了矩阵的前i行元素，这些元素的总数为：2+3（i-1）。

若a i，j是本行中需要存储的第1个元素，则k＝2+3（i-1）=3i-1，此时，j＝i-1，即k=2i+i-1=2i+j。

若a i，j是本行中需要存储的第2个元素，则k=2+3（i-1）+1＝3i，此时，i=j，即k=2i+i=2i+j。

若a i，j是本行中需要存储的第3个元素，则k=2+3（i-1）+2＝3i+1，此时，j＝i+1，即k=2i+i+1=2i+j。

归纳起来有：k=2i+j。

（3）总结
以上讨论的对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵的压缩存储方法是把有一定分布规律的值相同的元素（包括0）压缩存储到一个存储空间中。

这样的压缩存储只需在算法中按公式作映射即可实现矩阵元素的随机存取。

二、稀疏矩阵
1．稀疏矩阵的三元组表示
（1）表示方法
稀疏矩阵的压缩存储方法是只存储非零元素，由于稀疏矩阵中非零元素的分布没有任何规律，所以在存储非零元素时还必须同时存储该非零元素所对应的行下标和列下标。

这样，稀疏矩阵中的每一个非零元素需由一个三元组（i，j，a i，j）惟一确定，稀疏矩阵中的所有。