正态总体均值及方差的假设检验表复习课程
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8.2-0单正态假设检验
解 这里方差σ2未知，因此检验统计量为
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
2
2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2
2 0
2
2 0
2
2
11-正态总体的假设检验
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？
解： 原假设 H ， 备择假设 H 70 0 : μ70 1 :μ
检验统计量： T X μ 0
S n
拒绝域：
W {T t （ 1 ） } α n
2
1n X i μ 0 2 ( ) 是σ2的无偏估计量, 此时，因为 n i1 σ 0 n X 2 i μ 0 2 ( ) 偏小或偏大， 拒绝域应表现为 χ σ i 1 0
2 2 ( X μ ) ( X μ ) i i 2 2 i 1 i 1 P { χ ( n )} P { χ ( n )} α α α 2 2 1 2 2 σ σ 0 0
拒绝域：
2 2 W { χ χ ( n 1 ) } α
2 2 ( n 1 ) χ ( 8 ) 15 . 507 n=9 ，α=0.05， χ α 0 . 05
W{χ215 .507 }
2 ( n 1 ) S χ2 σ2
2 8 0 .007 .507 15 .68 15 2 0 .005
因为
χ 2 W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
三、两个正态总体均值的假设检验
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( X , X , , X 1 1 1 2 n 1
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( Y , Y , , Y 2 2 1 2 n 2
2
n=36， α=0.05，
t ( n 1 ) t ( 35 ) 2 . 0301 α / 2 0 . 025
解： 原假设 H ， 备择假设 H 70 0 : μ70 1 :μ
检验统计量： T X μ 0
S n
拒绝域：
W {T t （ 1 ） } α n
2
1n X i μ 0 2 ( ) 是σ2的无偏估计量, 此时，因为 n i1 σ 0 n X 2 i μ 0 2 ( ) 偏小或偏大， 拒绝域应表现为 χ σ i 1 0
2 2 ( X μ ) ( X μ ) i i 2 2 i 1 i 1 P { χ ( n )} P { χ ( n )} α α α 2 2 1 2 2 σ σ 0 0
拒绝域：
2 2 W { χ χ ( n 1 ) } α
2 2 ( n 1 ) χ ( 8 ) 15 . 507 n=9 ，α=0.05， χ α 0 . 05
W{χ215 .507 }
2 ( n 1 ) S χ2 σ2
2 8 0 .007 .507 15 .68 15 2 0 .005
因为
χ 2 W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
三、两个正态总体均值的假设检验
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( X , X , , X 1 1 1 2 n 1
2 ) 的样本, 为取自总体 N ( Y , Y , , Y 2 2 1 2 n 2
2
n=36， α=0.05，
t ( n 1 ) t ( 35 ) 2 . 0301 α / 2 0 . 025
8.3 正态总体方差的假设检验v2Up20140631有推导
25 9200 46 44.314 , 5000
所以拒绝 H 0 , 认为这批电池的寿命的波动性较
以往的有显著的变化.
二、两个正态总体方差的假设检验
设 X 1 , X 2 ,, X n1 为来自正态总体 N ( 1 , 1 )的
2
样本, 设 Y1 ,Y2 ,,Yn1 为来自正态总体 N ( 2 , 2 )的
要使 P{ H 0 为真, 拒绝 H 0 } , 只需令
( n 1) S 2 ( n 1) k P 2 2 . 2 2 0 0
因
( n 1) S
2
2
~ ( n 1),
2
( n 1)k
0
2
( n 1)
2
2 1 / 2
2
( n 1)
2 0.99
( 25) 11.52,
0 5000, 由(3.1)拒绝域为 ( n 1) s 2 ( n 1) s 2 44.31. 11.52, 或 2 2 0 0
由观察值s 9200得
2
( n 1) s
2
0
2
于是得拒绝域为:
( n 1) s
2
0
2
2 1 / 2
( n 1) 或
( n 1) s
2
0
2
2 / 2 ( n 1).
下面来求单边检验问题的拒绝域 ( 设显著水平 为 )
H0 : 0 ,
2 2
H1 : 0 ,
2 2
因H 0中的全部 都比H1中的 要小，
正态总体均值、方差的检验法见下表
第二节 正态总体均值的假设检验8-2
14
三、基于成对数据的检验（t 检验）:
设X和Y是两个正态总体, 均值分别为 1 和 2 ， X 和 Y不是相互独立的。取成对样本 : (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , … , ( Xn , Yn )。 要检验： H0 : 1 = 2 , H1 : 1 ≠ 2 . 可以把这个问题转化成单个总体的假设检验 ， 令Z = X - Y , 它服从 N ( , 2) , 这里 (= 1- 2) , 2 均未知。 Zi = Xi – Yi (i=1 , 2 , … , n)是来自该正态总体的样本。 显然 , 检验 H0 : 1= 2 , H1 : 1 ≠ 2 等价于检验 H0 : =0 , H1: ≠0,
11
例 2. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建 议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行 的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能 做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后用建议的方法 炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为: 标准方法: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 新方法: 79.1 76.0 81.0 75.5 76.7 77.3 80.0 77.3 79.1
16
解: 分别作各对数据的差 zi = xi - yi ，如上表 ,
并假设 z1 , z2 , … , z9 来自正态总体N ( , 2 ) ,
这里 , 2 均属未知 。若两台仪器的性能一样, 则各对数据的差异可看作是随机误差, 而随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零， 因此本题归结为检验假设: H0: =0 , H1: ≠ 0. 由前面的结论知，可取 T =
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?
解 : 按题意需检验 H 0 : 0 = 225 , H 1 : > 225 . X- 取 a = 0 .05，统计量： t = 。 S n 当 H 0 成立时，由 X - 0 S n X- S n ，
正态总体均值和方差的假设检验
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
7-2 正态总体均值与方差的假设检验
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15,
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48,
2
0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
H1 : 0 10
x 9.2
s 1.6
x 0 9.2 10 于是 T 3.54 2.01 t0.025 49 s n 1.6 50
故在 0.05 的水平下，丰产林的树高与10米的差异 有统计意义。（拒绝原假设）
例7 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来
单边检验
2
得H0 的拒绝域为：
2 n 1 S 2 0
12 n
或
2 n 1 S 2 0
2 n
作业
• 习题七：3，5，9，12.
• 复习第七章（可做习题七之1~13题） • 复习5~7章，准备课堂测验
例5 P160 8 从某批矿砂中，抽取容量为 5 的一个样本，测得其 含镍量为（单位：%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测量值服从正态分布，问在 这批矿砂的含镍量为 3.25 ？
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中 随机的抽取15段进行测量, 其结果如下（单位：cm） 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解
要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15,
x 10.48,
2
0.05,
x 0 10.48 10.5 0.516, 则 / n 0.15 / 15
查表得 u0.05 1.645,
H1 : 0 10
x 9.2
s 1.6
x 0 9.2 10 于是 T 3.54 2.01 t0.025 49 s n 1.6 50
故在 0.05 的水平下，丰产林的树高与10米的差异 有统计意义。（拒绝原假设）
例7 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来
单边检验
2
得H0 的拒绝域为：
2 n 1 S 2 0
12 n
或
2 n 1 S 2 0
2 n
作业
• 习题七：3，5，9，12.
• 复习第七章（可做习题七之1~13题） • 复习5~7章，准备课堂测验
例5 P160 8 从某批矿砂中，抽取容量为 5 的一个样本，测得其 含镍量为（单位：%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测量值服从正态分布，问在 这批矿砂的含镍量为 3.25 ？
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中 随机的抽取15段进行测量, 其结果如下（单位：cm） 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有 变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1) 解
数理统计与管理课件 (9)
(3)对于给定的显著性水平α=0.05 ，查标准正态分布表 z z0.025 1.96
2
(4)计算统计量观察值 (5)结论
x 0 1637 1600 z 1.258 n 150 26
z 1.258 z 1.96
2
接受原假设H0
即不能否定这批产品该项指标为1600。
X 0 对于给定的显著性水平α=0.05 ， S n 查t分布表得 t (n 1) t0.05 (8) 1.8595
S பைடு நூலகம்0 .3
t
由题意， x 62 .5
计算统计量观察值
x 0 62.5 62.0 5 S n 0.3 9
由于
t 5 t (n 1) 1.8595
X 0 选取统计量 Z n
查标准正态分布表
对于给定的显著性水平α=0.05 ，
z z0.05 1.645
已知n=9，σ=3， x 13.5 计算统计量观察值 x 0 13.5 15.5 z 2 n 3 9 由于 z 2 z 1.645 所以拒绝原假设H0，而接受H1， 即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。
(2) H0：μ= μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 T t (n 1) 时，拒绝H0 S n
当 T X 0 t (n 1) 时，接受H0 S n (3) H0：μ= μ0，H1：μ<μ0；检验规则为
X 0 当 T t (n 1) 时，拒绝H0 S n X 0 当 T t (n 1) 时，接受H0 S n
(2) H0：μ= μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 Z z 时，拒绝H0 n
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
正态总体方差的假设检验
解 依题意需检验假设
由于 未知，故检验统计量
H0
： 2
2 0
82
，H1 ： 2
82
．
2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1) ．
2 0
已知 n 8， s2 93.268 ，代入公式得
2
(8 1) 93.268 82
10.201 2
．
ห้องสมุดไป่ตู้
又显著性水平 0.05 ，查表得
2 1
/2
(n
1)
概率论与数理统计
假设检验
正态总体方差的假设检验
1.1 单个正态总体方差的检验
设总体 X ~ N( ， 2 ) ， ， 2 均未知，X 1 ，X2 ， ，Xn 为来自总体 X 的样本，现检验假设
H0
： 2
2 0
，H1
： 2
2 0
，
其中
2 0
为已知常数．
由于 S 2
是 2 的无偏估计，当 H0
为真时，比值 s2
解 依题意需检验假设
H0
：12
2 2
，H1 ：12
2 2
．
由于 1 ，2 未知，故检验统计量
F
S12 S22
~
F (m 1，n 1) ．
经计算得 s12 0.885 7 ，s22 0.828 6 ，故检验统计量的观测值为
F
s12 s22
0.885 7 0.828 6
1.07 ．
假设检验
又 m 1 7，n 1 7 ， 0.05 ，查表得
2 1
/
2
(n
1)]
[ 2
2/2 (n 1)]} ，
则 H0 的拒绝域为
8.2正态总体均值的假设检验
t t ( n1 n2 2).
x y 因为 t 4.295, 1 1 sw 10 10
t0.05 (18) 1.7341,
所以拒绝 H 0 ,
即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.
例5 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工 的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
或 H0： 0；H1：0
X 0 P Z / n
拒绝域为 Z Z
2、方差未知 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 构造T统计量 T X 0 ~ t (n 1)
t检验 双边检验
X 0 由 P t 2 (n 1) S n 确定拒绝域 T t 2 (n 1) x 0 如果统计量的观测值 T t 2 (n 1) S n
则拒绝原假设；否则接受原假设
S
n
例2 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。
得 k t / 2 (n1 n2 2).
故拒绝域为
( x y) t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
正态总体方差的假设检验
H0称为原假设或零假设, H1 称为备择假设.
(4). 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假
设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.
(5). 两类错误及记号
真实情况
所作
(未知)
接受 H0
H0 为真
正确
H0 不真
犯第II类错误
决策 拒绝 H0
犯第I类错误 正确
F0.975 (9,
9) 0.248, 取统计量F
sx2 sy2
2.67 2.12, 1.21
0.248 F 2.12 4.03,
故接受
H0,
认为
2 x
y2.
再验证 x y , 假设 H0 : x y , H1 : x y .
取统计量
犯第一类错误的概率为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率,
则犯第二类错误的概率往往增大.
若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.
(6). 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考 虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.
(7). 双边备择假设与双边假设检验
在 H0 : 0 和 H1 : 0 中, 备 择 假 设H1 表 示 可 能 大 于0 , 也 可 能 小 于0 , 称 为 双 边 备 择 假 设, 形 如 H0 : 0 , H1 : 0 的 假 设 检 验 称 为 双 边 假设 检 验.
(8). 右边检验与左边检验
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验.
分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
解 依题意, 两总体 X 和Y 分别服从正态分布
N (1, 2 )和N (2 , 2 ), 1, 2, 2均为未知,
(4). 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假
设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.
(5). 两类错误及记号
真实情况
所作
(未知)
接受 H0
H0 为真
正确
H0 不真
犯第II类错误
决策 拒绝 H0
犯第I类错误 正确
F0.975 (9,
9) 0.248, 取统计量F
sx2 sy2
2.67 2.12, 1.21
0.248 F 2.12 4.03,
故接受
H0,
认为
2 x
y2.
再验证 x y , 假设 H0 : x y , H1 : x y .
取统计量
犯第一类错误的概率为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率,
则犯第二类错误的概率往往增大.
若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.
(6). 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考 虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.
(7). 双边备择假设与双边假设检验
在 H0 : 0 和 H1 : 0 中, 备 择 假 设H1 表 示 可 能 大 于0 , 也 可 能 小 于0 , 称 为 双 边 备 择 假 设, 形 如 H0 : 0 , H1 : 0 的 假 设 检 验 称 为 双 边 假设 检 验.
(8). 右边检验与左边检验
形如 H0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验.
分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
解 依题意, 两总体 X 和Y 分别服从正态分布
N (1, 2 )和N (2 , 2 ), 1, 2, 2均为未知,
第二节单正态总体的假设检验
P{|T |k }
查 t 分布表得 kt / 2t0.025(8) 2.306,从而拒绝域
为 | t | 2.306. (4) 因为 x 49.9, s2 0.29, 所以
| t | x 50 0.56 2.036,| t | 0.56 2.036, s/ n
故应接受 H0 , 即以为包装机工作正常.
由此即得拒绝域为
u
x
0
/n
u / 2 ,
即
W (,u / 2 ) (u / 2 ,).
根据一次抽样后得到旳样本观察值 x1, x2 ,, xn 计 算出 U旳观察值 u, 若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H0 ,
即以为总体均值与0 有明显差别；
若 u u / 2 , 则接受原假设 H0 , 即以为总体均值与
S/ n 故选用 T 作为检验统计量，记其观察值 t. 因为 X
是 旳无偏估计量，S 2是 2 旳无偏估计量, 当 H0
成立时，t 不应太大，当 H1 成立时，t 有偏大旳趋
势, 故拒绝域形式为
t x 0 k
s/ n
（ k 待定）.
对于给定旳明显性水平 , 查分布表得
k t / 2(n 1), 使 P{T t / 2(n 1)} ,
使
P{ 2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
2
/
2
(
n
1)}
,
由此即得拒绝域为
2
n1
2 0
s
2
2 1
/
2
(
n
1)
或
2
n1
2 0
s
2
2 1
《概率论与数理统计教学课件》8第八章—正态总体均值和方差的假设检验
0
真)
P1 2
(
x y
11
k)
k t (n1 n2 2)
sw
n1 n2
2
概率统计
在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x y
sw
11
t (n1 n2 2)
2
n1 n2
注:
当
2 1
2 2
2
未知时
检验假设
或
H0 : 1 -2 (或1 2 ), H0 : 1 2 （或1 2 ),
2
概率统计
所以拒绝H 0 ,可认为这两种轮胎的耐磨性有显著差异。
注： ▲ 用两种不同的方法得到了两种不同的结论，那么
究竟应该采取哪一个结论比较合理呢？
显然，应该采取第二种方法得出的结论是合理的
因为数据配对的方法是针对同一架飞机的，它是 排除了因飞机之间的试验条件的不同而对数据产 生的干扰，所以它是直接反映了这两种轮胎的耐 磨性的显著差异的情况，因此，应采取第二种方 法得出的结论，即可认为这两种轮胎的耐磨性有 显著差异。
概率统计
按单个正态总体中当 2 未知时，关于 的假设检验
的计算公式，可得 H0 的拒绝域为：
C { t t t (n 1)}
2
经计算 d 320 , s2 89425 ,
t
d s
320 2.83 89425
n
8
t (n 1) t0.05 (7) 2.365
2
2
因为： t 2.83 t0.05 (7) 2.365
为已知常数，显著水平为
概率统计
Q 检验统计量
(X Y)
~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
真)
P1 2
(
x y
11
k)
k t (n1 n2 2)
sw
n1 n2
2
概率统计
在显著性水平 下, H0 的拒绝域:
x y
sw
11
t (n1 n2 2)
2
n1 n2
注:
当
2 1
2 2
2
未知时
检验假设
或
H0 : 1 -2 (或1 2 ), H0 : 1 2 （或1 2 ),
2
概率统计
所以拒绝H 0 ,可认为这两种轮胎的耐磨性有显著差异。
注： ▲ 用两种不同的方法得到了两种不同的结论，那么
究竟应该采取哪一个结论比较合理呢？
显然，应该采取第二种方法得出的结论是合理的
因为数据配对的方法是针对同一架飞机的，它是 排除了因飞机之间的试验条件的不同而对数据产 生的干扰，所以它是直接反映了这两种轮胎的耐 磨性的显著差异的情况，因此，应采取第二种方 法得出的结论，即可认为这两种轮胎的耐磨性有 显著差异。
概率统计
按单个正态总体中当 2 未知时，关于 的假设检验
的计算公式，可得 H0 的拒绝域为：
C { t t t (n 1)}
2
经计算 d 320 , s2 89425 ,
t
d s
320 2.83 89425
n
8
t (n 1) t0.05 (7) 2.365
2
2
因为： t 2.83 t0.05 (7) 2.365
为已知常数，显著水平为
概率统计
Q 检验统计量
(X Y)
~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
正态总体均值与方差的假设检验概述PPT(50张)
而同一对中两个数据的差异则可看成是仅 由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限 于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因 素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响. 表中第三行表示各对数据的差 di xiyi
设 d1,d2, ,dn来自正 N (d 态 ,2)总 , 体
这里 d,2均为未 . 若两知 台机器的性能一样,
则各对数 d1,d 据 2, ,d 的 n属 差 随 异 机 , 误
随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.
要检 H 0:验 d 0假 H ,1:d 设 0.
设 d 1 , d 2 ,, d n 的 样 本 均 值 d , 样 本 修 正 方 差 s n * 2 ,
按关于单个正态分布均值的t检验, 知拒绝域为
第5.2节 正态总体均值与方差的 假设检验
一、 t 检验 二、 2 检验
三、F 检验 四、单边检验
一、t 检验
1 . 2 为 已 知 ,关 于 的 检 验 ( U 检 验 )
在上节中讨论过正 体态 N(总,2)
当 2为已 ,关 知 于 时 0的检验 : 问题
假 设 检 验 H 0 : 0 ,H 1 : 0
1.9 0 1.6 0 1.8 0 1.5 0 1.7 0 1.2 0 1.7 0 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变
化, 试问该机工作是否正常? (0.05 )
解 因X 为 ~N (,2),0.15,
要检验假设
H 0:1.5 0, H 1:1.5 0,
n15, x1.04,80.0,5
d0
t sn* /
n t/2(n1),
由n9, t /2 (8 ) t0 .0( 0 8 )5 3 .35 , d5 04 .06,
两个正态总体均值差和方差的假设检验
方差齐性检验是检验 两个正态总体方差是 否相等的统计方法。
常用的方差齐性检验 方法有：Levene检验、 Bartlett检验和Welch 检验。
Levene检验基于方差 分析，通过比较不同 组间的方差来判断方 差是否齐性。
Bartlett检验基于 Kruskal-Wallis秩和 检验，通过比较不同 组间的中位数和四分 位距来判断方差是否 齐性。
独立样本的均值检验
1
独立样本的均值检验是用来比较两个独立正态总 体的均值是否存在显著差异的统计方法。
2
常用的独立样本均值检验方法包括t检验和z检验， 其中t检验适用于小样本和大样本，而z检验适用 于大样本。
3
在进行独立样本均值检验时，需要满足独立性、 正态性和方差齐性的假设，以确保检验结果的准 确性和可靠性。
根据研究目的和数据类型，选择合适的统计量 来描述样本数据。
确定临界值
根据统计量的分布和显著性水平，确定临界值。
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量的值。
做出决策
将样本统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝原假设的决策。
解读结果
根据决策结果解读研究问题，给出结论和建议。
Part
02
两个正态总体均值的假设检验
Part
05
结论与展望
假设检验的优缺点
理论基础坚实
假设检验基于概率论和统计学原理，具有坚实的理论基础。
操作简便
假设检验提供了清晰的步骤和标准，方便研究者进行操作。
假设检验的优缺点
• 实用性强：假设检验广泛应用于各个领域，为科学研究和实践提供了有效的工具。
假设检验的优缺点
01
对数据要求较高
假设检验对数据的分布、样本量 等有一定的要求，不符合条件的 样本可能导致检验结果不准确。
8-3双正态总体中均值和方差的假设检验
2 2 (n1 1) S X (n2 1) SY X Y ． T ~ t (n1 n2 2) ， 其中 S n1 n2 2 1 1 S n1 n2
又由 0.01 ， n1 5, n2 4 ，得 H 0 的拒绝域为
2 W {T T t (n1 n2 2) 0.005 (7) 3.4995} ． 2
1 2
2
2 ( 12 , 2 均未知，
但 1 2 )
2 2
X Y T 1 1 S n1 n2 ~ t (n1 n2 2)
T t (n1 n2 2) T t (n1 n2 2)
T t (n1 n2 2)
2
F F (n1 1, n2 1) F F1 (n1 1, n2 1)
§3 双正态总体中均值和方差的假设检验
设 ( X1 , X 2 ,, X n1 ) 为来自总体 X ~ N (1,12 ) 的一个简单随 机样本，样本均值为 X ，样本方差为 S12 ； (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) 为来
2 自总体 Y ~ N (2 , 2 ) 的一个简单随机样本，样本均值为Y ，样
将观察值代入统计量计算得 0.215 0.180 T0 2.245 W ， 4 4 4 7.505 10 3 2.593 10 1 1 5 42 5 4 所以两地土壤含水率的均值无显著差别．
•4
例 3.2
在例 3.1 中，根据抽样结果说明，假定在两地土壤含水率
的两方差相等在显著性水平 0.05 下是否合理．
2 2 解 本题的假设检验问题为 H0 : 12 2 ， H1 : 12 2 ．
依题意，选择统计量及其分布为
又由 0.01 ， n1 5, n2 4 ，得 H 0 的拒绝域为
2 W {T T t (n1 n2 2) 0.005 (7) 3.4995} ． 2
1 2
2
2 ( 12 , 2 均未知，
但 1 2 )
2 2
X Y T 1 1 S n1 n2 ~ t (n1 n2 2)
T t (n1 n2 2) T t (n1 n2 2)
T t (n1 n2 2)
2
F F (n1 1, n2 1) F F1 (n1 1, n2 1)
§3 双正态总体中均值和方差的假设检验
设 ( X1 , X 2 ,, X n1 ) 为来自总体 X ~ N (1,12 ) 的一个简单随 机样本，样本均值为 X ，样本方差为 S12 ； (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) 为来
2 自总体 Y ~ N (2 , 2 ) 的一个简单随机样本，样本均值为Y ，样
将观察值代入统计量计算得 0.215 0.180 T0 2.245 W ， 4 4 4 7.505 10 3 2.593 10 1 1 5 42 5 4 所以两地土壤含水率的均值无显著差别．
•4
例 3.2
在例 3.1 中，根据抽样结果说明，假定在两地土壤含水率
的两方差相等在显著性水平 0.05 下是否合理．
2 2 解 本题的假设检验问题为 H0 : 12 2 ， H1 : 12 2 ．
依题意，选择统计量及其分布为
一个正态总体期望与方差的假设检验
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
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U≥
a1≥a2
a1<a2
U≤-
= 未知
a1=a2
a1≠a2
|T|≥
a1≤a2
a1>a2
T≥
a1≥a2
a1<a2
T≤-
单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α)
待估参数
条件
检验统计量
拒绝域
均值a
已知
N(0,1)
未知
方差
a=a0已知
a未知
2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α)
待估参数
条件
正态总体均值及方差的假设检验表
正态总体均值及方差的假设检验表：
单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α)
条件Hale Waihona Puke 原假设H0备择假设H1
检验统计量
拒绝域
σ2= 已知
a=a0
a≠a0
N(0,1)
|U|≥
a≤a0
a>a0
U≥
a≥a0
a<a0
U≤-
σ2未知
a=a0
a≠a0
|T|≥
a≤a0
a>a0
T≥
a≥a0
T≥
a1≥a2
a1<a2
T≤-
a1，a2已知
=
≠
或
≤
>
≥
<
a1，a2未知
=
≠
或
≤
>
≥
<
2个配对样本正态总体均值的假设检验表(显著性水平α)
Z=ξ-η～N(a1-a2， + )，Zi=ξi-ηi.
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
， 已知
a1=a2
a1≠a2
N(0,1)
|U|≥
a1≤a2
a1>a2
检验统计量
拒绝域
均值a1-a2
， 已知
N(0,1)
= 未知
方差
a1，a2已知
a1，a2未知
， ， ．
a<a0
T≤-
a=a0已知
=
≠
或
≤
>
≥
<
a未知
=
≠
或
≤
>
≥
<
2个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α)
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
， 已知
a1=a2
a1≠a2
N(0,1)
|U|≥
a1≤a2
a1>a2
U≥
a1≥a2
a1<a2
U≤-
= 未知
a1=a2
a1≠a2
,
|T|≥
a1≤a2
a1>a2
a1≥a2
a1<a2
U≤-
= 未知
a1=a2
a1≠a2
|T|≥
a1≤a2
a1>a2
T≥
a1≥a2
a1<a2
T≤-
单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α)
待估参数
条件
检验统计量
拒绝域
均值a
已知
N(0,1)
未知
方差
a=a0已知
a未知
2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α)
待估参数
条件
正态总体均值及方差的假设检验表
正态总体均值及方差的假设检验表：
单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α)
条件Hale Waihona Puke 原假设H0备择假设H1
检验统计量
拒绝域
σ2= 已知
a=a0
a≠a0
N(0,1)
|U|≥
a≤a0
a>a0
U≥
a≥a0
a<a0
U≤-
σ2未知
a=a0
a≠a0
|T|≥
a≤a0
a>a0
T≥
a≥a0
T≥
a1≥a2
a1<a2
T≤-
a1，a2已知
=
≠
或
≤
>
≥
<
a1，a2未知
=
≠
或
≤
>
≥
<
2个配对样本正态总体均值的假设检验表(显著性水平α)
Z=ξ-η～N(a1-a2， + )，Zi=ξi-ηi.
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
， 已知
a1=a2
a1≠a2
N(0,1)
|U|≥
a1≤a2
a1>a2
检验统计量
拒绝域
均值a1-a2
， 已知
N(0,1)
= 未知
方差
a1，a2已知
a1，a2未知
， ， ．
a<a0
T≤-
a=a0已知
=
≠
或
≤
>
≥
<
a未知
=
≠
或
≤
>
≥
<
2个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α)
条件
原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
， 已知
a1=a2
a1≠a2
N(0,1)
|U|≥
a1≤a2
a1>a2
U≥
a1≥a2
a1<a2
U≤-
= 未知
a1=a2
a1≠a2
,
|T|≥
a1≤a2
a1>a2