直角三角形性质应用(讲义及习题).

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人教版九年级数学下册知识讲义-28.2解直角三角形的应用(附练习及答案)-

初中数学解直角三角形的应用学习目标一、考点突破1. 弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、方位角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应。

2. 能够恰当地把实际问题转化为数学问题，从而利用直角三角形的知识解决实际问题。

二、重难点提示重点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

难点：如何添作适当的辅助线构造直角三角形。

考点精讲常见应用问题类型1. 仰角和俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角。

2. 方位角：指北（或指南）方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角。

北西南东ABCDO60°70°30°45°3. 坡度和坡角：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h∶l。

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i＝hl＝tanα。

BChlα【核心突破】（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”。

（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。

（3）工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡。

【重要提示】仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北（南）方向而言的。

典例精讲例题1如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图。

已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A. 10.8米B. 8.9米C. 8.0米D. 5.8米思路分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA 中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到。

直角三角形性质与判定练习题

C'B CADE E N M DCBA 1.1直角三角形性质和判定练习题直角三角形性质：1、直角三角形两锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30度。

直角三角形的判定：5、两角互余的三角形是直角三角形。

一、选择题1、下列定理中，没有逆定理的是（） A 、两直线平行，同旁内角互补。

B 、等边对等角。

C 、全等三角形对应角相等。

D 、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

2、如图，∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（） A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个第2题第3题第4题第5题3、在直角三角形ABC 中，若∠C=90°，D 是BC 边上的一点，且AD=2CD ，则∠ADB 的度数是（） A ．100° B ．110° C ．120° D ．150°4、三角形ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AB ，AC 于D,E ，若∠A=400，则∠EBC=（（）。

A.15°B.20°C.30°D.无法判断。

5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线。

则∠1与∠2的关系是（）A ．∠1<∠2B ．∠1=∠2;C ．∠1>∠2D ．不能确定6、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于 ( ) A.2aB.3a C.4a D.以上结果都不对7、下列命题错误的是（） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。

直角三角形性质应用(勾股定理、互余、特殊角)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？问题2：勾股定理及勾股定理逆定理的内容分别是什么？问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？问题4：使用公式法和割补法，常常借助特殊角，常见的特殊角有哪些？一般需要怎么处理？问题5：含30°角的直角三角形的三边比是__________；含45°角的直角三角形的三边比是__________．直角三角形性质应用（勾股定理、互余、特殊角）一、单选题(共6道，每道13分)1.如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC=( )A.8B.5C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形2.如图，下列说法：①若∠ACB=90°，AD=BD，则AD=BD=CD；②若∠ACB=90°，AD=CD，则AD=BD=CD；③若∠ACB=90°，BD=CD，则AD=BD=CD．其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则AD与BD的关系是( )A.AD=3BDB.AD=2BDC.2AD=3BDD.AD=4BD答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接EB，若AE=4，则BC的长是( )．A. B.C. D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AE=4cm，则CD的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形6.如图，已知在△AED中，∠AED=90°，AE=ED，等腰Rt△ABC的面积是1，AB=2AD，∠BAE=30°，AC与DE相交于点F，则△ADF的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形二、填空题(共2道，每道11分)7.已知：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠EDF=____度．答案：20解题思路：试题难度：知识点：直角三角形两锐角互余8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过E作EF∥BC交∠ACD的平分线于F，EF 交AC于M，若CM=5，则____．答案：100解题思路：试题难度：一颗星知识点：勾股定理。

第19讲直角三角形(讲练)(解析版)

直角三角形知识梳理：一、直角三角形的定义：１、有一个角是直角的三角形。

２、具有一般三角形的性质即：内角和为180度；三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、直角三角形的性质1、角的性质：直角三角形的两锐角互余。

2、边的性质：直角三角形的三边满足勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股关系．常见勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等．3、斜边上的高：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

4、斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5、两个特殊的直角三角形：◆含30°角的直角三角形中30°角所对应的直角边是斜边的一半。

◆等腰直角三角形的底角等于45°，等腰直角三角形具有直角三角形和等腰三角形的性质。

6、HL定理：如果两直角三形的斜边和其中一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

三、直角三角形的判定1、定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

4、中线逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

四、直角三角形的应用：在几何题目中一般通过以下方式构造直角三角形：１、最简单的就是过一点向对边做垂线，出现直角三角形。

在作辅助线时需要注意，当出现特殊角，比如30度角，45度角，60度角，一般需要将这些角放在直角三角形中，不能破坏这些角。

２、等腰三角形的三线合一性质也是我们构造直角三角形中常用的一种方式。

３、在圆中，直径所对的圆周角是90°，构造直径所对的圆周角是常用的构造直角三角形的方法。

五．特殊三角形三边关系含特殊角的三角形图例三边比值含30︒的直角三角形1:3:2含45︒的直角三角形1:1:21．（2019秋•海淀区校级期中）如图，ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，//DE AB ，交AC 于点E ，3ED =，则AE 的长为( )A ．1.5B ．2C ．3D ．3.5【解答】解：AB AC =Q ，AD BC ⊥，BD CD ∴=，//DE AB Q ，AE CE ∴=， 132DE AE AB ∴===，故选：C ．2．（2019春•海淀区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，则AB 的长度为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，22228610AB AC BC ∴=+=+=，故选：D ．3．（2019春•西城区期末）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是a ，b ，c ，下列条件中，不能判定ABC ∆是直角三角形的是( )A ．90AB ∠+∠=︒B ．A BC ∠+∠=∠ C ．1a =，3b =，10c =D ．::1:2:2a b c =【解答】解：（D ）设1a =，2b =，2c =，b c aQ，=>∴∆不是直角三角形，故D不能判断，ABC故选：D．4．（2019春•东城区期末）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ AB⊥，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是()A2B5C21D．51【解答】解：由题意得，1BC AB==，由勾股定理得，222=+=AC AB BC则2AM=∴点M21，故选：C．5．（2019春•西城区期末）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是()A．21m B．13m C．10m D．8m【解答】解：如图，已知AB ACCH=米，设AB AC x==CD=米，5⊥，1⊥，CH AB=，CD BD米．在Rt ACH ∆中，222AC AH CH =+Q ，2225(1)x x ∴=+-，13x ∴=，13AB ∴=（米)，故选：B ．6．（2019春•海淀区校级期中）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的中线，若A a ∠=，则BCD ∠的度数为（用含a 的代数式表示）【解答】解：9090B A a ∠=︒-∠=︒-，90ACB ∠=︒Q ，CD 为AB 边上的中线，12CD AB BD ∴==， 9090BCD B A a ∴∠=∠=︒-∠=︒-，故答案为：90a ︒-．7．（2019秋•延庆区期末）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，CD 是ACB ∠的平分线，DE 垂直平分BC ，若2DE =，则AB = ．【解答】解：CD Q 是ACB ∠的平分线，ACD BCD ∴∠=∠，DE Q 垂直平分BC ，BD CD ∴=，DCB B ∴∠=∠，2ACB B ∴∠=∠，90A ∠=︒Q ，30B ∴∠=︒，90DEB ∠=︒Q ，24BD CD DE ∴===，2AD DE ==，6AB ∴=，故答案为：6．8．（2019秋•海淀区校级期中）已知，如图，6AB BC ==，15A ∠=︒，则ABC ∆的面积为．【解答】解：6AB BC ==Q ，15A ∠=︒，15ACB A ∴∠=∠=︒，30CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒，过C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于D ，90D ∴∠=︒，132CD BC ∴==， ABC ∴∆的面积为1163922AB CD =⨯⨯=g ，故答案为：9．9．（2018•海淀区一模）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．【解答】证明：90ACB ∠=︒Q ，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==， ABC DCB ∴∠=∠，//DC EF Q ，CBF DCB ∴∠=∠，CBF ABC ∴∠=∠．BC ∴平分ABF ∠．10．（2019•海淀区校级模拟）如图，四边形ABCD 中，90C ∠=︒，AD DB ⊥，点E 为AB 的中点，//DE BC ．（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）连接EC ，若30A ∠=︒，23DC =，求EC 的长．【解答】（1）证明：AD DB ⊥Q ，点E 为AB 的中点， 12DE BE AB ∴==． 12∴∠=∠．//DE BC Q ，23∴∠=∠．13∴∠=∠．BD ∴平分ABC ∠．（2）解：AD DBQ，30⊥∠=︒A∴∠=︒．160∴∠=∠=︒．3260Q，∠=︒90BCD∴∠=︒．430∴∠=∠+∠=︒．CDE2490在Rt BCDDC=，∆中，360∠=︒，23DB∴=．4Q，160=DE BE∠=︒，∴==．DE DB42222∴=+=+=．(23)427EC DE CD考点一直角三角形的性质例1．（2019春•昌平区校级月考）如图，若30AB=)AC m∠=︒，20=，则(B∠=︒，90CA．25m B．30m C．203m D．40m【解答】解：30∠=︒，20=，AC mQ，90CB∠=︒∴=，40AB m故选：D．【专项训练】1．（2018春•海淀区期末）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，若4AB =，则CD 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：Q 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，4AB =， 114222CD AB ∴==⨯=，故选：A ．2． Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2B A ∠=∠，3BC cm =，AB = cm ．【解答】解：如图：Rt ABC ∆Q 中，90C ∠=︒，2B A ∠=∠ 90A B ∴∠+∠=︒30A ∴∠=︒，60B ∠=︒∴12BC AB =， 3BC cm =Q ，236AB cm ∴=⨯=．故答案为：6．考点二直角三角形的有关证明与计算例2．（2018秋•东城区期末）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC∠的平分线，且交AD 于P ，如果2AP =，则AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：ABC ∆Q 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，60ABC ∴∠=︒．又BE Q 是ABC ∠的平分线，30EBC ∴∠=︒，60AEB C EBC ∴∠=∠+∠=︒，C EBC ∠=∠，60AEP ∴∠=︒，BE EC =．又AD BC ⊥，60CAD EAP ∴∠=∠=︒，则60AEP EAP ∠=∠=︒，AEP ∴∆的等边三角形，则2AE AP ==，在直角AEB ∆中，30ABE ∠=︒，则24EB AE ==，4BE EC ∴==，6AC CE AE ∴=+=．故选：C ．【专项训练】1．（2019秋•丰台区期末）如图，ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD AC ⊥交BC 于点D ，3AD =，则BC = ．【解答】解：AB AC =Q ，120BAC ∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒，AD AC ⊥Q ，90DAC ∴∠=︒，又30C ∠=︒，26CD AD ∴==，120BAC ∠=︒Q ，90DAC ∠=︒，30BAD ∴∠=︒，DAB B ∴∠=∠，3BD AD ∴==，9BC BD CD ∴=+=，故答案为：9．2．（2019秋•朝阳区校级期中）已知：如图，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OA ，PD OA ⊥于D ，若6PC =，则PD = ．【解答】解：过P 作PE OB ⊥于E ，AOP BOP ∠=∠Q ，PD OA ⊥，PE PD ∴=，//PC OA Q ，15CPO POA BOP ∴∠=∠=︒=∠，30ECP BOP CPO ∴∠=∠+∠=︒，90PEC ∠=︒Q ，116322PE PC ∴==⨯=，即3PD PE ==．故答案为：3．3．（2018秋•平谷区期末）如图，在ABC∆中，BD是ABC⊥，交BD∠的平分线，过点C作CE BD 的延长线于点E，60ECD∠=︒．∠=︒，15ABC（1）直接写出ADB∠的度数是；（2）求证：BD AB=；（3）若2AB=，求BC的长．【解答】解：（1）CE BEQ，⊥∴∠=︒，90EQ，∠=︒15ECD∴∠=∠=︒-︒=︒ADB CDE901575故答案为75︒．（2）证明：BDQ平分ABC∠，∠=︒，60ABCABD DBC∴∠=∠=︒，30∠=︒Q，ADB75∴∠=︒，75A∴∠=∠，A ADB∴=．AB DB（3）过点D作DF BC⊥，交BC于F点．⊥Q，DF BCDFB DFC∴∠=∠=︒，90Q，∠=︒DBF3012DF BD ∴=， 2BD AB ==Q ，1DF ∴=，3FB ∴=，CE BE ⊥Q ，90E ∴∠=︒，30DBC ∠=︒Q ，60ECB ∴∠=︒，15ECD ∠=︒Q ，45DCB ∴∠=︒，45DCF FDC ∴∠=∠=︒，1FD FC ∴==，31BC ∴=+．考点三勾股定理例3．（2019秋•大兴区期末）直角三角形的两边长为3cm ，4cm ，则第三边边长为．【解答】解：（1）若把两边都看作是直角边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm ，则：2223425x =+=，5x ∴=；（2）若把4cm 长的边看作斜边，设第三边长为xcm ，则：22234x +=，222437x =-=，7x∴=．故答案为：5cm或7cm．【专项训练】1．（2019春•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为(1,3)，则OA 的长为．【解答】解：由点的坐标、勾股定理得，221(3)2OA=+=，故答案为：2．2．（2019•北京一模）如图，边长为1的正方形网格中，AB3．（填“>”，“=”或“<”)【解答】解：222222AB=+，23，3AB∴<，故答案为：<．3．（2018•大兴区一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S，若12310S S S++=，求2S的值．以下是求2S的值的解题过程，请你根据图形补充完整．解：设每个直角三角形的面积为S12S S -= （用含S 的代数式表示）①23S S -= （用含S 的代数式表示）②由①，②得，13S S +=因为12310S S S ++=，所以22210S S +=．所以2103S =．【解答】解：设每个直角三角形的面积为S ，124S S S -=（用含S 的代数式表示）①234S S S -=（用含S 的代数式表示）②由①，②得，1322S S S +=，因为12310S S S ++=，所以22210S S +=．所以2103S =．故答案为：4S ；4S ；22S ．考点四勾股定理逆定理例4．（2019秋•昌平区校级期末）已知ABC ∆的三边分别长为a 、b 、c ，且满足22(17)|15|16640a b c c -+-+-+=，则ABC ∆是( )A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形【解答】解：22(17)|15|16640a b c c -+-+-+=Q ，22(17)|15|(8)0a b c ∴-+-+-=，170a ∴-=，150b -=，80c -=，17a ∴=，15b =，8c =，22281517+=Q ，ABC ∴∆是以a 为斜边的直角三角形；故选：A ．【专项训练】1．（2019春•西城区校级期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )A ．2，4，4B ．2，2，2C ．3，4，5D ．5，12，14【解答】解：A 、22224204+=≠Q ，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B 、222(2)262+=≠Q ，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、22234255+==Q ，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意；D 、22251216914+=≠Q ，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C ．2．（2019秋•昌平区期末）如果正整数a 、b 、c 满足等式222a b c +=，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为( )A ．47B ．62C ．79D ．98【解答】解：由题可得，2321=-，422=⨯，2521=+，⋯⋯21a n ∴=-，2b n =，21c n =+，∴当2165c n =+=时，8n =，63x ∴=，16y =，79x y ∴+=，故选：C ．3．（2019秋•昌平区校级期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB 的长为，BC 的长为，CD 的长为，AD 的长为；（2）连接AC ，通过计算ACD ∆的形状是；ABC ∆的形状是．【解答】解：（1）由题意22125AB =+，22345BC =+，222222CD =+=，222425AD =+，5，5，225（2）222425+=Q ，25AD =，AC AD ∴=，ACD ∴∆是等腰三角形，5AB Q 25AC =5BC =，22225AB AC BC ∴+==，90BAC ∴∠=︒ABC ∴∆是直角三角形，故答案为等腰三角形，直角三角形．考点五勾股定理的应用例5．（2019秋•怀柔区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈10=尺）如果设竹梢到折断处的长度为x 尺，那么折断处到竹子的根部用含x 的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得：222(10)4x x -+=故答案为：(10)x -，222(10)4x x -+=．【专项训练】1．（2019春•海淀区期末）如图，某港口P 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P ，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile ，“长峰”号每小时航行16n mile ，它们离开港口1小时后，分别到达A ，B 两个位置，且20AB n =mile ，已知“远洋”号沿着北偏东60︒方向航行，那么“长峰”号航行的方向是．【解答】解：由题意得：P与O重合，如图所示：=mile，20OB nAB n=mile，=mile，1612OA n222Q，+=121620222∴+=，OA OB AB∴∆是直角三角形，PAB90∴∠=︒，AOBQ，∠=︒60DOA∴∠=︒-︒-︒=︒，180906030COP∴“长峰”号航行的方向是南偏东30︒，故答案为：南偏东30︒．2．（2019•怀柔区一模）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km，北京生存岛实践基地A处的坐标是(2,0)，A处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，且A在B南偏西45︒方向上，则雁栖湖国际会展中心B处的坐标是．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，过点B作BC x⊥轴于D，⊥轴于C，作BD y则BD OC=．Q处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，A在B南偏西45︒方向上，A∠=∠=︒．∴=，45BAC ABC4AB km∴=．AC BC22216+==Q，AC BC AB∴==．AC BC22∴=+=+．222OC OA AC∴+，22)．(222B故答案是：(222+，22)．3．（2019春•西城区校级期中）如图，凹四边形ABCD中，CD ADCD=，26AB=，AD=，6⊥，8BC=，求凹四边形ABCD的面积．24【解答】解：连接AC ，在Rt ACD ∆中，8AD =，6CD =， 22228610AC AD CD ∴=+=+=，在ABC ∆中，222222102426AC BC AB +=+==Q ， ABC ∴∆为直角三角形； ∴图形面积为：111024689622ABC ACD S S ∆∆-=⨯⨯-⨯⨯=．。

第25章_解直角三角形知识点总结及练习题

第25章解直角三角形知识点复习及练习题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项如图：已知 ∠ACB=90° CD ⊥AB 则有 BD AD CD •=2 AB AD AC •=2 AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60° 90° sinα21 22 23 1cos α 123 22 21 0tan α 033 13不存在cot α 不存在 3133 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A) ， cosA=sin(90°—A) ， tanA=cot(90°—A) ，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

直角三角形的性质培优提高讲解与练习

直角三角形的性质【知识点1】直角三角形的性质(1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°AB AD AC •=2(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即222c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB •CD=AC •BC 【知识点2】直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……）例1．（2010•黄岩区模拟）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。

求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GFG E F DCBA例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。

求证：EF ⊥BD例4．如图，在矩形ABCD 中，，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则DM+CN 的值为( ) A. 1 B.C.D.【练一练】一、填空题1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；4.等边三角形的高为2，则它的面积是。

八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定Ⅰ1-1-2含30°角的直角三角形的性质及其应用习题

解：过点D作DC⊥AB于点C.∵∠DAB＝15°， ∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴DB＝AB＝100 m， ∴在Rt△DBC中，DC＝ ×100＝50(m)．答：河宽是50 m.
8．[临湘期中]如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是BC上一点，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若BD＝3，CD＝2，则AE的长为________．
D
6．[教材改编题]如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2 m，∠A＝30°，则AB等于________m.
8
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝ AD.又DE＝2 m，∴AD＝4 m．∵D是．[教材改编题]如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与其所在河岸的直线成15°角，然后沿该直线行走100 m到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°角，问河宽是多少米？
4
9．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于点E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝ AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
10．[邵阳洞口期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E.若BC＝9，则DE的长是( ) A．3 B．4 C．4.5 D．5

直角三角形综合应用(讲义和习题)含答案

直角三角形综合应用（讲义）➢ 课前预习1. 请填写“勾股定理”或“勾股定理逆定理”：条件是直角三角形时，考虑___________________；要证明三角形是直角三角形，考虑____________________．2. 下列是不完整的弦图，请补全．赵爽弦图毕达哥拉斯弦图➢ 知识点睛1. 单个直角的思考角度：（1）从边的角度考虑①勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； ②勾股定理逆定理：如果三角形___________等于_________，那么这个三角形是_______三角形．常用的特殊直角三角形：（2）从角的角度考虑①直角三角形两锐角_______；②有两个角互余的三角形是____________．255A CB A CB 12431145°BCA a 2+b 2=c2C BACBA βαCA B2. 多个直角的思考角度：①等面积思想②弦图：当直角三角形的斜边作为正方形的边或者等腰直角三角形的直角边时，考虑补全弦图证全等．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，AC =4，BC =3，95DB ，则AD 的长为________．第1题图第2题图2. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB 上，连接B′C ．若∠ACB =∠A′C′B′=90°，AC =BC =2，则B′C 的长为_______．ab=ch Dh C BAc ba h =h 1+h 2h 2h 1h C B Ah h=h 1+h 2+h 3h 3h 2h 1ACBADBC C'(A')B'ABC3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =3，AC 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，则BM 的长为_______．第3题图第4题图 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是BC 边上一点，AD =BD ，若AB =6，BD =4，则CD 的长为_________．5. 如图，由四个边长为2的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中AC 边上的高为___________．第5题图第6题图6. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长为___________．7. 如图，在△ABC 中，点M 是AC 边上一个动点，若AB =AC =10，BC =12，则BM 的最小值为___________．NMC B AD C BACBAEPD CBAMCAB8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若ab =8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为________．9. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ ∥AB ，则正方形EFGH 的边长为___________．10. 如图，直线l 上有三个正方形A ，B ，C ，若正方形A ，C 的面积分别为5和11，则正方形B 的面积为________．第10题图第11题图11. 如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1，l 2，l 3分别通过A ，B ，C 三点，且l 1∥l 2∥l 3，若直线l 1与l 2的距离为7，直线l 2与l 3的距离为5，则正方形ABCD 的面积为________．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3，以斜边AC 为边作正方形ACDE ，连接BE ，则BE 的长为________．图1图2H GF ED CBAIJL KlCBAADCB l 1l 3l 2EDCBA13. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACD =90°，AC =CD ，若AB =1，AD则BD 的长为_______．14. 如图，正方形ABCD 的边长为10，AG =CH =8，BG =DH =6，连接GH ，则线段GH 的长为__________．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为BC 延长线上一点，当△ABD 为等腰三角形时，CD 的长为___________．AB CDABC DH GAC【参考答案】【参考答案】➢课前预习1.勾股定理；勾股定理逆定理2.图略．➢知识点睛1.（1）①平方和；平方；②两边的平方和；第三边的平方；直角；（2）①互余；②直角三角形➢精讲精练1.16 52.3.7 84.1 25.56.24 57.48 58. 39.1010.1611.7412.13.14.15.76或2或3直角三角形综合应用（习题）➢ 复习巩固1. 如图，AB ⊥CD 于点B ，△ABD 和△B CE 都是等腰直角三角形，若CD =17，BE =5，则AC =_________．第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 上的一点，且∠BAE =25°，∠CDE =65°，AE =2，DE =3，则AD =________．3. 如图，在长方形纸片ABCD 中，E 是AD 的中点，且AE=，BE 的垂直平分线MN 恰好经过点C ，则CD =__________，BM =__________．第3题图第4题图4. 如图，在△ABD 中，∠D =90°，C 是BD 上一点，BC =9，AB =17，AC =10，则AD =__________．5. 如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上的高AD =___________．6. 如图，点P 为等边△ABC 内一点，过点P 分别向△ABC 的三边作垂线，垂足分别为点D ，E ，F ，若PD +PE +PF =3，则 △ABC 的边BC 上的高为__________．EDCBAA B C DEM NEDBC A DC B AFEP D CBAABC D7. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC中，若直角边AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2中的实线）为__________．8. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49；②x -y =2；③2xy +4=49；④x +y =9．其中正确的是（） A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④图2图1CBAxy9.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_______．10.如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=12，AC=20，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，且B，C，D在一条直线上，连接EG，则△AEG的面积是_________．第10题图第11题图11.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长为_________．12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AD=则BD的长为_________．13.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=1，DC=2，BC=3，点P是线段BC上一动点（不与点B，C重合），若△APD是等腰三角形，则CP的长是__________．【参考答案】1.132.3.3；24.85.13S4l321S3S2S1GFED CBAl3l2l1CBADCBAPDCBA6. 37.768. B9. 410.9611.12.13.或1。

初中数学三角形模块5-3 直角三角形讲义(含答案解析)

第三部分直角三角形一、知识梳理：1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：222+=a b c （5）勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．2.直角三角形的判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有两个角的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（4）勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系式：222+=a b c，那么这个三角形是直角三角形．二、题型练题型一直角三角形的两锐角互余例1.若直角三角形的一个锐角为15︒，则另一个锐角等于________．75°【分析】根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°－90°－15°＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．变式11.如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.60°【答案】A【解析】【分析】由AC l ⊥及160∠=︒，可求得ACB ∠的度数，再由//a b 即可求出2∠的度数．【详解】∵AC l ⊥，160∠=︒∴90130ACB ∠=︒-∠=︒∵//a b∴230ACB ∠=∠=︒故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质．题型二直角三角形斜边上的中线例2.如图在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，5EF ＝，EFM ∆的周长为13，则BC 的长是（）A .6B .8C .10D .12B 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC ＝2MF ＝2EM ，所以MF ＝EM ，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC＋EF，代入数据进行计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，∴BC＝2MF，BC＝2EM．∴MF＝EM．∴△EFM的周长＝MF＋EM＋EF＝BC＋EF．∵EF＝5，△EFM的周长为13，∴BC＝13－5＝8故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．变式22.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=12AB=4，∵BC=14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．题型三直接考查勾股定理例3.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A.4B.5C.4或5D.5C【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论．【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，∴①4是此直角三角形的斜边长；②当45=．综上所述，斜边长为4或5故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．变式33.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A. 2.5B.3C.2D.3.5【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．【详解】解：∵AC =3，BC =4，∴AB =5，∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD =AC ，∴AD =3，∴BD =AB -AD =5-3=2．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．题型四勾股数例4.下列数组是勾股数的是（）A .2、3、4B .0.3、0.4、0.5C .6、8、10D .7、12、15C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】A ．22223134+=≠，此数组不是勾股数；B ．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；C ．222 6810+=，此数组是勾股数；D ．222 71219315+=≠，此数组不是勾股数；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形．变式44.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的边长是（）A.13B.C.47D.【答案】B【解析】【分析】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，根据勾股定理进行求解．【详解】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，由勾股定理得：x 2＝32+52＝34，y 2＝22+32＝13，z 2＝x 2+y 2＝47，即最大正方形E 的面积为：z 2＝47，边长为z 故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键．题型五勾股定理的证明例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．见解析．【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a =-，根据Rt ABC Rt DAE D @D ，易证90DAB ︒∠=，再根据ADE ABC ADFB DFCE S S S S D D =++四边形四边形，ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a=-ADE ABC ADFB DFCES S S S D D =++四边形四边形()1122ab ab b a b =++-⋅2ab b ab=+-2b =Rt ABC Rt DAE∆≅∆ AB AD c\==ADE BAC∴∠=∠90ADEDAE °??Q 90BAC DAE °\??即90DAB ︒∠=，∴AD AB⊥∴ADB DFBADFB S S S ∆∆=+四边形()()21122c a b b a =++⋅-222111222c b a =+-即有：2222111222b c b a =+-∴222+=a b c 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．变式55.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c 为边长所得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH 组成的，其中BF a =，AF b =．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形ABCD 的面积是13，2BF =，求小正方形EFGH 的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，记图中正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的面积分别为1S ，2S ，3S ．若12348S S S ++=，求边AB 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF 的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的边长，求出其面积，代入12348S S S ++=，进一步整理可得解．【详解】解：（1）∵Rt ABF Rt DAE Rt CDH Rt BCG∆≅∆≅∆≅∆∴BF AF DH CG a ====，AF DE CH BG b====∴小正方形EFGH 的边长=b a-又大正方形的边长为c∴正方形ABCD 的面积为2c ，4个全等直角三角形的面积和为2ab ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;2214()2c ab b a =⨯+-∴()222c ab b a =+-经过整理可得222c a b =+（2）∵大正方形ABCD 的面积是13，∴213c =∵2BF =，且222BF AF AB +=∴2221349AF AB BE =-=-=∴3AF =(负值舍去)∴321EF =-=∴小正方形EFGH 的面积为1；（3）∵正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，∴AM AF b ==，MB BF a ==，∴正方形MNKT 的边长为a b +，∴正方形MNKT 的面积为()2a b +．而正方形ABCD 的边长为c ，正方形EFGH 的边长为()b a -，∴正方形ABCD 的面积为2c ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，∴()()22248a b c b a +++-=，整理得，2348c =，∴4c =（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．题型六勾股定理的实际应用例6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m ，顶端距离地面2m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m ，那么小巷的宽度为（）A .3.2mB .3.5mC .3.9mD .4mC【分析】如图，在Rt △ACB 中，先根据勾股定理求出AB ，然后在Rt △A ′BD 中根据勾股定理求出BD ，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1.5米，AC ＝2米，∴AB 2＝1.52＋22＝6.25，∴AB ＝2.5米，在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝0.7米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2，∴BD 2＋0.72＝6.25，∴BD 2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC＋BD＝1.5＋2.4＝3.9米．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式66.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.16mB.20mC.24mD.28m【答案】C【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC=10米，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，∴x2+102=（x+2）2，解得：x=24，∴AB=24．∴旗杆的高24米，故选：C ．【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．题型七勾股定理的逆定理例7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）A .4，5，6B .7，24，25C .5，12，13D .1，2A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】解：A 、∵222456+≠，∴三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意；B 、∵22272425+=，∴三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、∵22251213+=，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、∵22212+=，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键．变式77.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，若AD 是ABC 的高，则AD 的长为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB 2，AC 2，BC 2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：2222420AB =+=222215AC =+=2223425BC =+=∵222+AB AC BC =∴△ABC 是直角三角形又∵AD 是ABC 的高∴1122AC AB BC AD ⋅=⋅，11522AD ⨯，解得：=2AD 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．题型八勾股定理的逆定理的应用例8.如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆是（）三角形．A .锐角B .直角C .钝角D .等腰A【分析】根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断．【详解】解：根据网格图可得：2224117AC =+=，2223110AB =+=，2224325CB =+=，222171025AC AB CB +=+>= ，ABC ∆∴是锐角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a 、b 、c ，①当a 2＋b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2＋b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形；③当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 为直角三角形．变式88.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A.北偏西15︒B.南偏西75°C.南偏东15︒或北偏西15︒D.南偏西15︒或北偏东15︒【答案】C【解析】【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．题型九勾股定理与折叠问题例9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求GF 的长．（1）详见解析；（2）3【分析】（1）根据翻折的性质可得AEF CEF ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等可得∠=∠AFE CEF ，然后求出AEF AFE ∠=∠，根据等角对等边可得AE AF =；（2）根据翻折的性质可得AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，再根据勾股定理有：2224(8)x x =+-，于是有5AE AF ==，进而得到3GF FD ==．【详解】解：（1）由翻折的性质得，AEF CEF ∠=∠，矩形ABCD 的对边//AD BC ，AFE CEF ∴∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=；（2）由翻折的性质得，AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2224(8)x x ∴=+-，解得：5x =，5AE ∴=，又由（1）可知，5AF =，853FD AD AF ∴=-=-=，由翻折的性质得，3GF FD ==．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出AE 的长度是解题的关键．变式99.如图，在Rt ABC 中，90,5,8ACB AC BC ∠=︒==，点D 是边BC 的中点，点E是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是（）A.2B.4-C.3D.4-【答案】B【解析】【分析】连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．【详解】解：连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，∵点D 是边BC 的中点，∴142CD GD BC ===,在Rt △ACD 中AD =∴4AG AD GD =-=．故选：B【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F 的运动轨迹是解题的关键．题型十最短距离问题例10.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它爬的最短距离是_____．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，根据题意得：20AC =，55515BC =++=，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC =+，即2222015AB =+，∴25AB =，故答案为：25【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．变式1010.如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，3AE =，1EB =，在AC 上有一点P ，使为EP BP +最短．则最短距离EP BP +为_________．【答案】5【解析】【分析】连接DE ，交直线AC 于点P ，根据四边形ABCD 是正方形可知B 、D 关于直线AC 对称，所以DE 的长即为EP+BP 的最短距离，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】连接DE，交直线AC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为EP+BP的最短距离，∵AE=3，EB=1，∴AD=AB=AE+BE=4，∴5==．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、正方形的性质以及勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．实战练11.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A0.5km A.0.6km B.0.9km C.1.2km【答案】D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.故选D视频12.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，把Rt △ABC 绕着点A 逆时针旋转，使点C 落在AB 边的C ′上，C'B 的长度是（）A.1B.32C.2D.52【答案】A【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB =5，再由旋转的性质得出4AC AC '==，从而可求出BC '的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，∴222AB AC BC =+∴5AB ===由旋转的性质得，4AC AC '==∴541C B AB AC ''=-=-=故选：A ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出AB =5是解答此题的关键．13.下列各组数中不是勾股数的是（）A.3，4．5B.6．8．10C.5，12．13D.4，5，6【答案】D【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42=25=52，是勾股数，此选项不符合题意；B 、62+82＝100=102，是勾股数，此选项不符合题意；C 、52+122＝169=132，是勾股数，此选项不符合题意；D 、42+52=41≠62，不是勾股数，此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2＝c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…14.满足下列条件的三角形：①三边长之比为3：4：5；②三内角之比为3：4：5；③n 2﹣1，2n ，n 2+1；1+1-，6．其中能组成直角三角形的是（）A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．【详解】①三边长之比为3:4:5；则有222(3)(4)(5)x x x +=，为直角三角形；②三个内角度数之比为3:4:5，则各角度数分别为31804512︒⨯=︒，41806012︒⨯=︒，51807512︒⨯=︒，不是直角三角形；③22222(1)(2)(1)n n n -+=+ ，∴是直角三角形；④116++=<，∴构不成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10=尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（）A.2223(1)x x -=- B.2223(10)x x -=-C.2223(1)x x +=- D.2223(10x)x +=-【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理列方程解答．【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键．16.如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（）A.0＜h ≤11B.11≤h ≤12C.h ≥12D.0＜h ≤12【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．17.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿()方向航行．A.西南B.东北C.西北D.东南【答案】C【解析】【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．【详解】解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．18.如图，在 ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A.5B. 4.8C.3D.2.4【答案】B【解析】【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB 2+BC 2=AC 2，即∠ABC =90°．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形EDFB 是矩形，∴EF =BD ．∵BD 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即4.8，∴EF 的最小值为4.8，故选：B ．【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．19.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC ==，CD =，AD =，AB BC ⊥，则四边形ABCD 的面积是()A. 2.5B.3C. 3.5D.4【答案】A【解析】【分析】如下图，连接AC ，在Rt △ABC 中先求得AC 的长，从而可判断△ACD 是直角三角形，从而求得△ABC 和△ACD 的面积，进而得出四边形的面积．【详解】如下图，连接AC∵AB=BC=1，AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中，，111122ABC S =⨯⨯=∵，又∵(222+=∴三角形ADC 是直角三角形∴122ADC S == ∴四边形ABCD 的面积=12+2=52故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测△ADC 是直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可．20.某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】【分析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，连接QB ，此时QA+QB 的值最小．作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出AC 即可；【详解】解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE ⊥MN ，BF ⊥MN∴四边形AEFD 为矩形∴12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，∴由勾股定理得：13AC ===∴这个最短距离为13km ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．培优练21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝70（km）∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．。

第3讲直角三角形的性质应用（2012）

第3讲直角三角形与勾股定理一、内容提要1、理解直角三角形的有关概念；2、掌握直角三角形中两锐角互余的性质，会根据一个角、两个角的大小关系来判定直角三角形；3、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质和直角三角形全等的HL 判定定理的应用；其它性质：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 4、掌握勾股定理及逆定理的应用二、热身练习【A 】组题1. 1. 下列说法错误的是（下列说法错误的是（下列说法错误的是（））A.A.有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B. B. B.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形C.C.直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高D. D. D.任何一个三角形中，最大角不小于任何一个三角形中，最大角不小于60度 2．如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（为（） A ．21B ．2 C ．3 D ．4 3．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（为点）是（）A2m B.3m C.6m D.9m 4．若△．若△ABC ABC 三边长a,b,c 满足满足|a+b |a+b |a+b－－7|+|a 7|+|a－－b －1|+1|+（（c －5）2=0=0，，则△则△ABC ABC 是（是（）） A ．等腰三角形．等腰三角形 B B B．等边三角形．等边三角形．等边三角形 C C C．直角三角形．直角三角形．直角三角形 D D D．等腰直角三角形．等腰直角三角形．等腰直角三角形 5、如图，△、如图，△ABC ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，°，°，AB AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=10AB=10，，AC=6AC=6，则△，则△ACD 的周长为（的周长为（）） A 、16 B 16 B、、14 C 14 C、、20 D 20 D、、186、已知直角三角形的两边长为3cm 和4cm 4cm，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是 cm cm cm，斜边上的高为，斜边上的高为，斜边上的高为7、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为O （第3题图）题图）的值是三、例题分析：例1、如图，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两直角边长分别是6 EFF BD CEAcC D A C E 第5题 13 3 4 第8题★★例4、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=q （0°＜q＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1. ①q= 度；度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）. 图甲图甲活动二：活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1. 数学思考：数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1q= ，2q= ，3q= ；（用含q的式子表示）式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求q的范围. AEFBCDMN 第3题图乙图乙四、思维提升【B 】组题1、如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为点D 2；又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为点D 3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D n-1D n 的长为_ _ （n 为正整数）．2、在Rt ABC △中，90A Ð=°，BD 平分ABC Ð，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：的距离是：Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.6 3、如图所示，90E F Ð=Ð=，B C Ð=Ð，AE AF =，结论：①EM FN =；②C D D N =；③FAN EAM Ð=Ð；④ACN ABM △≌△．其中正确的有．其中正确的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．5、如图，以Rt Rt△△ABC 的三边a 、b 、c 为边向外作三个正方形，面积分别是S 1 ，S 2 ， S 3，根据勾股定理可得，勾股定理可得，S S 1 +S 2=S 3DA C 第2题B BA第1题D 1 D 5 D 2D 3 D 4D 0C1第4题C A S 2 S3 S 1 B BC于E，，请说明AG=AB。

直角三角形性质的应用练习题(含答案)

专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．【强化训练】1．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．（感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）（探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．2．综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC=90°，AB=BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．观察发现：（1）如图1．当A，B两点均在直线l的上方时，①猜测线段AD，CE与BE的数量关系，并说明理由；②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD=3，AD=9，请直接写出DH的长度．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．4．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=√2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=78．【解析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】（1）在△ACE和△BCD中，{AC＝BC∠ACB＝∠ACB＝90°CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°， ∴AE ⊥CF ；（3）如图3，∵AC=2√2， ∴BC=AC=2√2， ∵CE=1， ∴CD=CE=1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD=√CD 2+BC 2=3， ∵点F 是BD 中点， ∴CF=DF=12BD=32，同理：EG=12AE=32，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC ， ∵∠ACB=90°，点F 是BD 的中点， ∴FH=12CD=12，∴S △CEF =12CE•FH=12×1×12=14，由（2）知，AE ⊥CF ，∴S △CEF =12CF•ME=12×32ME=34ME ，∴34ME=14， ∴ME=13，∴GM=EG-ME=32-13=76， ∴S △CFG =12CF•GM=12×32×76=78．【强化训练】1．在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点C 、D 重合），连结BE ．（感知）如图①，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ．易证△ABF ≌△BCE ．（不需要证明）（探究）如图②，取BE 的中点M ，过点M 作FG ⊥BE 交BC 于点F ，交AD 于点G ．（1）求证：BE=FG ．（2）连结CM ，若CM=1，则FG 的长为．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，{∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABC=∠BCE=90°，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB ，∴PG=BC ，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE ，在△PGF 和△CBE 中， {∠PQF =∠CBEPQ =BC∠PFG =∠ECB =90° ， ∴△PGF ≌△CBE （ASA ）， ∴BE=FG ；（2）由（1）知，FG=BE ，连接CM ，∵∠BCE=90°，点M 是BE 的中点， ∴BE=2CM=2， ∴FG=2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6， ∵BE ⊥CG ，∴S 四边形CEGM =12CG×ME=12×6×3=9，故答案为：9．2．综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC 的顶点C 放置在直线l 上，∠ABC =90°，AB =BC ，过点A 作AD ⊥l 于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ．观察发现：（1）如图1．当A ，B 两点均在直线l 的上方时， ①猜测线段AD ，CE 与BE 的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段DC ，AD 与BE 的数量关系；操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC 绕着点C 逆时针旋转至图2位置时，线段DC ，AD 与BE 又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC 绕着点C 继续旋转至图3位置时，AD 与BC 交于点H ，若CD =3，AD =9，请直接写出DH 的长度．【答案】（1）①AD+CE=BE．理由见解析；②DC+AD=2BE；（2）CD−AD=2BE；证明见解析；（3）DH的长度为32．【分析】（1）过点B作BF⊥AD，根据已知条件结合直角三角形性质证明ΔCBE≅ΔABF，从而得到四边形DEBF为正方形，最后得出①AD+CE=BE，直接写出②DC+AD=2BE（2）过点B作BG⊥AD，先证明ΔBCE≅ΔBAG，证明四边形DEBG为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点B作BF⊥AD，证明ΔBAF≅ΔBCE，四边形DEBF为正方形，再求解.【解答】解：（1）①AD+CE=BE．理由如下：如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，∵BE⊥l，BF⊥AD，∴∠BEC=∠F=90°．又∵AD⊥l∴∠FDE=90°∴四边形DEBF为矩形．∴∠FBE=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠ABE=∠FBE−∠ABE．即∠CBE=∠ABF．在ΔCBE和ΔABF中，{∠CBE=∠ABF,∠CEB=∠AFB=90°,CB=AB,∴ΔCBE≅ΔABF(AAS)．∴CE=AF，BE=BF．又∵四边形DEBF为矩形，∴四边形DEBF为正方形．∴BE=DE=FD=FB．∴AD+CE=AD+AF=FD=BE．②DC+AD=2BE．（2）如图，过点B作BG⊥AD，交AD延长线于点G，∵BE⊥l，BG⊥AD，∴∠BEC=∠G=90°．又∵AD⊥l，∴∠GDE=90°．∴四边形DEBF为矩形．∴∠GBE=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠ABE=∠GBE−∠ABE，即∠CBE=∠ABG．在ΔBCE和ΔBAG中，{∠CBE=∠ABG,∠CEG=∠AGB=90°,CB=AB,∴ΔBCE≅ΔBAG(AAS)．∴CE=AG，BE=BG．又∵四边形DEBG为矩形，∴四边形DEBG为正方形．∴DE=BE=GB=DG．∵CD=CE+DE，∴CD=AG+BE=AD+DG+BE=AD+2BE．∴CD−AD=2BE．（3）如图，过点B作BF⊥AD，交DA于点F，同理可证，ΔBAF≅ΔBCE，四边形DEBF为正方形．∴CE=AF，ED=BE=DF．∵CD=CE−ED，∴CD=AF−BE=AD−DF−BE=AD−2BE．∴AD−CD=2BE．∵CD=3，AD=9，∴BE=ED=3，CE=CD+ED=6．∵DH∥EB，∴DHEB =CDCE．∴DH3=36．∴DH=32．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．【答案】(1)AF=√2AE；（2）AF=√2AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=√2AE，理由详见解析.【分析】（1）如图①中，结论：AF=√2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF=√2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF=√2AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF 是等腰直角三角形即可．【解答】（1）如图①中，结论：AF=√2AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE．（2）如图②中，结论：AF=√2AE．理由：连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，{EK=DK∠EKF=∠ADEKF=AD，∴△EKF≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE．（3）如图③中，结论不变，AF=√2AE．理由：连接EF，延长FD交AC于K．∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，{DF=AC∠EDF=∠ACEDE=CE，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，4．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．【解答】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=√2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】证明AF=CF+√2BF．如图②中，结论：CF﹣AF=√2BF．理由见解析；②如图③中，结论：CF+AF=√2BF．理由见解析.【分析】如图①中，作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解决问题.①如图②中，结论：CF－AF＝√2BF．作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解決问題.②如图③中，结论：CF＋AF＝√2BF，只要证明△BAH≌△BCF，即可解決问题.【解答】证明：如图①中，作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=BF，∴AF=CF+BF．①如图②中，结论：CF﹣AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．②如图③中，结论：CF+AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=BF．。

直角三角形的性质经典题 (所有题目都有答案有知识点归纳)

第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定（Ι）第1课时直角三角形的性质和判定要点感知1直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.预习练习1-1在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°1-2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm.要点感知2直角三角形的判定：有两个角__________的三角形是直角三角形.预习练习2-1在△ABC中，∠A=70°，∠B=20°，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定知识点1直角三角形的两个锐角互余1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是()A.24°B.34°C.44°D.46°2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于()A.60°B.75°C.90°D.105°3.如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=65°，∠BCE=35°，则∠ABF的度数是__________，∠FBC的度数是__________.4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形6.下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=()A.30°B.40°C.45°D.60°8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.9.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF 过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有()A.0个B.1个C.2个D.3个11.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于()A.110°B.100°C.80°D.70°12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为()A.3B.3.5C.4D.4.514.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，求DE的长.16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E 是AC的中点.(1)试说明DE=BE；(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)17.如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于AB. CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=1218.如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E.求证：∠E=1∠A.详细答案在后面，所有题目都有答案，所有大题都有规范详细过程，同学们可以模仿学习。

《直角三角形》讲义

《直角三角形》讲义一、直角三角形的定义在平面几何中，如果一个三角形中有一个角是直角（90 度），那么这个三角形就被称为直角三角形。

直角所对的边称为斜边，其余的两条边称为直角边。

直角三角形是一种非常特殊且重要的三角形类型，在数学和实际生活中都有广泛的应用。

二、直角三角形的性质1、角的性质直角三角形的两个锐角之和为 90 度。

这是因为三角形的内角和为180 度，减去直角的 90 度，剩下的两个角之和必然是 90 度。

2、边的性质（1）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。

这是直角三角形最著名的性质之一，也是解决许多与直角三角形相关问题的关键。

（2）斜边最长：在直角三角形中，斜边总是比任意一条直角边长。

3、特殊的直角三角形（1）等腰直角三角形：两条直角边长度相等的直角三角形称为等腰直角三角形。

其两个锐角都是 45 度，斜边长度是直角边长度的√2 倍。

（2）30°－60°－90°直角三角形：如果一个直角三角形的一个锐角是 30 度，另一个锐角是 60 度，那么其边长关系为：短直角边是斜边的一半，长直角边是短直角边的√3 倍。

三、直角三角形的判定1、一个角为 90 度的三角形是直角三角形。

2、若一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

四、直角三角形中的三角函数在直角三角形中，我们引入了三角函数来描述边与角之间的关系。

1、正弦（sin）正弦函数定义为对边与斜边的比值。

对于角 A ，sin A ＝对边／斜边。

2、余弦（cos）余弦函数定义为邻边与斜边的比值。

对于角 A ，cos A ＝邻边／斜边。

3、正切（tan）正切函数定义为对边与邻边的比值。

对于角 A ，tan A ＝对边／邻边。

通过这些三角函数，我们可以在已知直角三角形的某些边和角的情况下，求出其他的边和角。

第14讲直角三角形的性质-九年级数学上册同步讲义(华师大版)(学生版)[001]

第14讲直角三角形的性质目标导航1、掌握直角三角形的性质及其推论2、能利用直角三角形的性质定理及其推论进行有关的计算和证明。

3、经历“实践（动手操作）—探索—发现—猜想—证明”的过程，培养学生的数形结合思想方法和数学建模能力，体会演绎推理的严谨性和“转化”思想解决实际问题中的应用。

知识精讲知识点01 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系【微点拨】直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.【即学即练1】探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

实验探究操作步骤：①把矩形ABCD图片的两条对角线画出来；②沿着对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形；③观察这个直角三角形，找出发现归纳结论。

提出猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明猜想已知：如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线.能力拓展考法011.已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm 和cm 。

求斜边上中线的长。

2.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图。

自动扶梯AB的倾斜角为30，大厅两层之间的距离为6米。

你能算出自动扶梯AB 的长吗？分层提分题组A 基础过关练1.在直角三角形中,若斜边上的中线长为6,则斜边长为( )A.3B.6C.12D.无法确定2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜边AB上的高,若AD=3 cm,则斜边AB的长为( )A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm3.如图2,在△ABC中,AH⊥BC于点H,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点.如果ED=5 cm,那么FH的长为( )图2A.5 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定4.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD的长为( )图3A.2B.3C.4D.25.如图4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E是垂足,连结CD.若BD=1,则AC的长是 ( )图4A.2B.2C.4D.46.如图5,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,A'B'表示竹竿AB沿墙上下滑动过程中的某个位置,则在竹竿AB滑动过程中( )A.下滑时,OP的长增大B.上升时,OP的长减小C.无论怎样滑动,OP的长不变D.只要滑动,OP的长就变化题组B 能力提升练7.如图6,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线.若∠A=26°,则∠BDC的度数为.图68.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,F是AD的中点.若AB=8,则EF= .图79.如图8,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AD=6,则CD= .图810.如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3,则BD的长度为.图911.如图10,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为.图10题组C 培优拔尖练12.如图11,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG 交AC于点H,则GH的长等于 cm.图1113.如图12,BD⊥OA于点D,交射线OC于点P,PD=1,∠B=30°,若点P到OB的距离为1,则OP的长为.图1214.已知:如图13,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E.若AE=2,求BE的长.图1315.已知:如图14,∠ABC=∠ADC=90°,O是线段AC的中点.(1)求证:OB=OD;(2)若∠ACD=30°,OB=6,求△AOD的周长.图14。

八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)资料

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用图4１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

2023中考九年级数学分类讲解 -第九讲直角三角形、锐角三角函数及其应用(含答案)(全国通用版)

第九讲直角三角形、锐角三角函数及其应用专项一直角三角形知识清单1. 直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的；（3）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a，b，c满足；（4）直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．2. 直角三角形的判定（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角的三角形是直角三角形；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形；（4）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形是直角三角形．（这个结论在做填空、选择题时可直接用）3. 勾股数：能够成为的三个正整数，称为勾股数．考点例析例1 如图1，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E．若∠A＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．90°图1分析：根据平行线的性质，得∠D＝∠A＝40°，再在Rt△CED中，根据“直角三角形的两个锐角互余”即可求得∠C的度数．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线．若DE＝6，则BF的长为（）A．6 B．4 C．3 D．5图2分析：根据三角形的中位线定理可求出AC 的长，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求得BF 的长．例3 如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8．若E ，F 是BC 边上的两个动点，以EF 为边的等边三角形EFP 的顶点P 在△ABC 的内部或边上，则等边三角形EFP 的周长的最大值为．图3分析：当点F 与点C 重合，点P 落在AB 边上时，△EFP 的边长最长，周长也最长，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AC 的长，再利用三角函数，或求出AP 利用勾股定理均可求得△EFP 边长的最大值，进而得解．例4 如图4，某港口P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A ，B 处，且相距20海里．若甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．图4分析：由题意，知AP ＝12，BP ＝16，AB ＝20，根据勾股定理的逆定理，可推出△APB 是直角三角形，且∠APB ＝90°，结合甲船的航行方向可推出乙船的航行方向．例5 如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E ，F ，G ，H ，M ，N 都在同一个圆上．记该圆的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则12S S 的值是（） A ．5π2 B ．3π C ．5π D ．11π2图5分析：设Rt △ABC 的三边长为a ，b ，c ，其中c 为斜边，设⊙O 的半径为r ，根据图形的特点找出a ，b ，c，r的等量关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．跟踪训练1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2 C．254D．74第1题图第2题图第3题图2.如图，已知A（8，0），C（-2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B 的坐标为（）A.（0，5）B.（5，0）C.（6，0）D.（0，6）3.（2021·成都）如图，图中数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．4.（2021·西宁）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE．若DE＝92，AE＝152，则点A到BC的距离是．第4题图第5题图5.如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为．6.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．第6题图第7题图7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4．若M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．专项二锐角三角函数知识清单1. 锐角三角函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则∠A的正弦：sin A＝ac；∠A的余弦：cos A＝；∠A的正切：tan A＝．∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．2. 特殊角的三角函数值考点例析例1如图1，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（）A．1sin3B=B．25sin C C．1tan2B=D．22sin sin1B C+=图1分析：利用正方形网格的特点，由勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理推出△ABC 是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义对选项逐一判断即可．归纳：锐角三角函数使用的前提一定是直角三角形，并能准确地找出某个角的对边、邻边和斜边．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．35B5C．45D25三角函数α30°45°60°sin αcos αtan α图2分析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得CE ＝AE ＝BE ，进而得到∠BEC ＝2∠A ，连接BF ，由EF ⊥AB ，得∠BFC ＝2∠A ，所以∠BEC ＝∠BFC ，从而有∠CEF ＝∠CBF ．根据三角形的面积公式求出AF 的长，在Rt △BCF 中，利用勾股定理求出CF ，再根据锐角三角函数的定义求解即可．归纳：一个锐角的三角函数值仅与这个锐角的大小有关，而与这个锐角在何处、在何种三角形中无关（即与三角形三边的长短无关）．当一个锐角的三角函数值求解较烦琐或不易直接求得时，可转化为求与其相等的角的三角函数值．跟踪训练1.tan 30°的值等于（）A B C ．1 D ．22.如图，在平面直角坐标系内有一点P （3，4），连接OP ，则OP 与x 轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A ．34B ．43C ．35D ．45第2题图第3题图第4题图3.如图，在△ABC 中，O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是（）A ．12B ．2CD 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在网格线的交点上，则sin ∠ACB 的值是．专项三解直角三角形知识清单解直角三角形的几种常见类型及解法：考点例析例1 在△ABC 中，∠ABC ＝90°．若AC ＝100，sin A ＝35，则AB 的长是（） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80分析：利用锐角三角函数的定义求出BC 的长，然后再利用勾股定理即可求得AB 的长．例2 如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有（）A ．h 1＝h 2B ．h 1＜h 2C ．h 1＞h 2D ．以上都有可能分析：分别作出△ABC 底边BC 上的高和△PQR 底边QR 上的高，再利用锐角三角函数分别表示出h 1和h 2，即可确定其大小关系．跟踪训练1.如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD 若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（）A B C ．1 D第1题图第2题图2.如图，△ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是（1，0），(，且∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，则顶点A 的坐标是．3.在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝BC ＝5，则△ABC 的面积为．4.在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C ==．（1）如图①，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图②所示）．若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ，求景观桥CD 的长度．① ②第4题图专项四锐角三角函数的实际应用知识清单锐角三角函数的实际应用主要是测量物体的高度、测量两点之间的距离等，常用到下面几个概念：1. 仰角、俯角如图1，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做，视线在水平线下方的角叫做．图1 图2 图32. 坡度、坡角如图2，坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），用字母i 表示；坡面与水平面的夹角α叫做坡角，i ＝＝，坡度越大，α越，坡面越．3. 方位角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向所成的小于90°的角．如图3，点A位于点O的北偏东方向，点B位于点O的60°方向，点C位于点O的（或）方向．考点例析例1 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图1，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处的俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处的俯角为35°，则M，N之间的距离为（参考数据：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7）（）A．188 m B．269 m C．286 m D．312 m图1分析：在Rt△AON中，由AO的长和∠N的度数求出ON的长，再在Rt△BOM中，由BO的长和∠M的度数求出MO的长，结合MN＝MO+ON即可求得M，N之间的距离．例2 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°．已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75）（）A．6米B．3米C．2米D．1米分析：画出示意图如图2所示，在Rt△BAD中，由AB＝5，∠BAD＝37°，求出BD的长，在Rt△BCD中，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BC的长，进而得解．图2例3 如图3，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）图3分析：过点P作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，由P A的长和∠A的度数求出PC的长，再在Rt△BPC 中，由PC的长和∠B的度数即可求得PB的长．跟踪训练1.如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E处，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin 32°B．15tan 64°C．15sin 64°D．15tan 32°第1题图第2题图第3题图2.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4．根据小颖的测量数据，计算筑物BC）（）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米3.某景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B）专项五锐角三角函数中的建模思想知识清单根据实际问题建立数学模型，再通过解决数学问题达到解决实际问题的目的，这种思想被称为建模思想．考点例析例一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32 cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84 cm，另一段支撑杆DE＝70 cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果保留整数；参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27）分析：过点D作DM⊥EF于点M，DN⊥BA交BA的延长线于点N，解Rt△ABC求出BC的长，再解Rt△BDN 求出DN的长，易得四边形MFND是矩形，利用矩形的性质可得MF＝DN及∠BDM的度数，进而求得∠EDM，最后解Rt△EMD求出EM的长，进而得解．解：归纳：解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，作恰当的辅助线，将其转化为直角三角形求解．跟踪训练1.如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8 cm，AB ＝16 cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 70°≈0.94）①②①②③第1题图第2题图2.某种落地灯如图①所示，AB为立杆，其高为84 cm；BC为支杆，可绕点B旋转，其中BC长为54 cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．已知支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图②，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50 cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图②所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图③），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90 cm，求CD的长．（结果精确到1 cm；参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）参考答案专项一直角三角形例1 B 例2 A 例3例4 北偏东50°例5 C 解析：如图，取AB的中点O，AC的中点D，连接OC，OD，OE，OG．因为圆心在线段EF和MN的垂直平分线上，所以点O为圆心．设AC＝a，BC＝b，AB＝c，则a2+b2＝c2．在Rt△ABC中，O为AB的中点，所以OA＝OB＝OC．又D为AC的中点，所以OD∥BC．所以OD⊥AC．因为OG，OE为⊙O的半径，所以OD2+DG2＝OB2+BE2，即2222222a cb cb⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．整理，得a＝b．所以215π4Sc=，224Sc=．所以12SS＝5π．1．D 2．D 3．100 4．3655．50 6．20 7．2专项二锐角三角函数例1 A例2 A 解析：连接BF．在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，所以CE＝AE＝BE，所以∠A＝∠ACE．所以∠BEC＝2∠A．因为EF⊥AB，所以EF是AB的垂直平分线．所以S△BEF＝S△AEF＝5，∠FBA＝∠A．所以∠BFC＝2∠A．所以∠BEC＝∠BFC．又∠BEF＝∠BCF＝90°，所以∠CEF＝∠CBF．因为S △AFB ＝2S △AEF ＝10，所以12AF ·BC ＝10．因为BC ＝4，所以AF ＝BF ＝5．所以CF 3．所以sin ∠CEF ＝sin ∠CBF ＝35CF BF =．1．A 2．D 3．A 4 专项三解直角三角形例1 D 例2 A1．C 2．( 3．2或144．解：（1）因为∠B ＝45°，∠C ＝75°，所以∠A ＝180°-∠B -∠C ＝60°．所以6sin 60sin 45b =︒︒，解得b ＝（2）因为sin sin AB AC ACB B =∠14sin B =，解得sin B ．所以∠B ＝60°．所以tan B ＝CD BD =BD CD ．在Rt △ACD 中，AC 2＝CD 2+AD 2，即196＝CD 2+210⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得CD ＝CD ＝-（舍去）．所以景观桥CD 的长度为专项四锐角三角函数的实际应用例1 C 例2 D 例3 1．C 2．A3．解：（1）过点C 作CD ⊥AB 于点D ．在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，AC ＝600，所以CD ＝12AC ＝300．在Rt △BCD 中，∠B ＝75°-∠A ＝45°，所以BC ＝sin 45CD ︒＝．答：景点B 和C 处之间的距离为m ．（2）在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，AC ＝600，所以AD ＝AC ·cos 30°＝．在Rt △BCD 中，∠B ＝45°，所以BD ＝CD ＝300．所以AB ＝AD +BD ＝．所以AC +BC -AB ＝600+-（300+≈205（m ）．答：大桥修建后，从景点A 到景点B 比原来少走约205 m ．专项五锐角三角函数中的建模思想例过点D 作DM ⊥EF 于点M ，DN ⊥BA 交BA 的延长线于点N ．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝32，所以BC ＝AB ·cos 60°＝16．因为CD ＝84，所以BD ＝BC +CD ＝16+84＝100．在Rt △BDN 中，DN ＝BD ·sin 60°＝＝．易得四边形MFND 是矩形，所以MF ＝DN ＝，MD ∥FN ．所以∠BDM ＝∠ABC ＝60°．因为∠BDE ＝75°，所以∠EDM ＝∠BDE -∠BDM ＝75°-60°＝15°．在Rt △EMD 中，DE ＝70，所以EM ＝DE ·sin 15°≈70×0.26＝18.2．所以EF ＝EM +MF ＝18.2+≈105．答：支撑杆上的点E 到水平地面的距离EF 约是105 cm ．1．6.32．解：（1）如图①，过点D 作DF ⊥BC 于点F ．在Rt △DCF 中，CD ＝50，∠FCD ＝60°，所以FC ＝CD ·cos 60°＝25．所以F A ＝AB +BC -FC ＝84+54-25＝113（cm ）．答：灯泡悬挂点D 距离地面的高度为113 cm ．（2）如图②，过点C 作CG 垂直于地面于点G ，过点B 作BN ⊥CG 于点N ，过点D 作DM ⊥CG 于点M ．在Rt △BCN 中，BC ＝54，∠BCN ＝20°，所以CN ＝BC ·cos 20°≈54×0.94＝50.76．所以CM ＝CN +NG -MG ＝CN +AB -MG ＝50.76+84-90＝44.76．在Rt △DCM 中，∠DCM ＝∠BCD -∠BCN ＝40°，所以CD ＝cos40CM ≈44.760.77≈58（cm ）．答：CD 的长约为58 cm ．① ②第2题图。

直角三角形的性质例题精讲与同步训练(含解答)-

直角三角形的性质重难点重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.讲一讲例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ， ∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC 可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt △ADE 中，有∠A=30°，则DE 可求.解：在Rt △ABC 中∵∠ACB=90 ∠A=30°∴AB BC 21= ∵AB=8 ∴BC=4∵D 为AB 中点，CD 为中线 ∴421==AB CD ∵DE ⊥AC ，∴∠AED=90° 在Rt △ADE 中，AD DE 21=， AB AD 21= ∴241==AB DE 例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=. 分析：CE 在Rt △DEC 中，可知是CD 的一半，又D 为中点，故CD 为BC 上的一半，因此可证.证明：∵DE ⊥AC 于E ，∴∠DEC=90°(垂直定义) ∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60°∵在Rt △EDC 中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30° ∴CD EC 21=∵D 为BC 中点，∴BC DC 21=∴AC DC 21= ∴AC CE 41=.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.分析：证AB=BD 只需证明∠BAO=∠BOA 由已知中等腰直角三角形的性质，可知BC DF 21=。

直角三角形的性质习题教学教材

直角三角形的性质习题精品资料直角三角形的性质（一）1•在直角三角形ABC中，/ ACB=90度，CD是AB边上中线, 若CD=5cm,则AB= ____ 三角形ABC的面积= ____________2. 在直角三角形ABC中，/ ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有 __________腰三角形.3. 如图，在△ ABC中，/ B= / C，D、E分别是BC、AC的中点,AB=6，求DE 的长。

4、E、F分别是AC、BD的中点求证：EF丄BD直角三角形性质（二）1、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3,则腰长为____________2、三角形ABC中，AB=AC=6，/ B=30。

，则BC边上的高AD= ______________仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢33、Rt △ ABC 中，/ C=90°,z A=15 °,AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E,求证 AD=2BC.4、5、已知：△ ABC 中,AB=AC ，/ B=30°,AD 丄AB ,求证：2DC=BD5.如图，△ ABC 中，/ C=90°,Z A=60 °,EF 是AB 的垂直平分线，判断 CE 与BE 之间的关系B F A直角三角形的性质（三）1. ________________________________________________________ 在直角三角形中，有一个锐角为 52度，那么另一个锐角度数为 ___________ :B D C精品资料2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6,那么该三角形的斜边长为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢33、在厶ABC 中，/ ACB=90 °,CE 是AB 边上的中线，那么与 CE 相等的线段有 _________ 与/ A 相等的角有 ___________ 若/ A=35 °，那么/ECB= ________ .4、已知：/ ABC= / ADC=90 度，E 是 AC 中点。