人教版高中数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系
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AE BF 1 ED FC 2
练习3
B
F
C
n直线相交最多有几个交点？
本节小结
基本知识 （1）空间直线的三种位置关系．
（2）平行线的传递性． （3）等角定理． （4）异面直线所成的角．
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
作业
P48 练习1，2 P51 -52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6， B组1
2.1空间点，直线，平面之间的位置关系
空间中两直线的位置关系
学习目标：1、空间中两条直线的三种位置关系。 2、理解异面直线所成的角的概念，并 熟练求异面直线所成的角
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上 的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 （ ）
A1 相交垂直 垂直 异面垂直 A
D1 B1
C1
D B
C
练习1
在如图所示的长方体中，AB= 3 ，且 AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.
D1
C1
A1
D
A
B1 B
C
O
30
练习2
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，
BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， EF 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E D
判断对错：
1、分别在两个平面内的两条直线一定是Байду номын сангаас面直线。( ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定 与另一条直线垂直。 ( )
思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
B1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
A
D B
C
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证 EFGH是一个平行四边形。 A 证明： 解题思想： 连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 H 把所要解的立体几何问题转化为平面几何 1 E ∴EH ∥BD且EH = BD 的问题 2
两个平面之间的位置关系有且只 有以下两种
//
• l
l
探究1
，直线a、b，且//，a，b， 已知平面 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
a b
答：平行或异面
探究2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线 有多少条？画出图形表示你的结论.
b β γ
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角。 b a′ ？ O P a b′
a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
D
G
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
探究
在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四 边形EFGH 是什么图形？ 答：四边形EFGH是菱形 A
1 1 因为EF AC， EH BD 2 2 且AC BD 所以EF EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B
H
E D
G
C
F
2、等角定理
A1 B1 D
D1
C1
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
C
A
B
观察正方体ABCD A1B1C1D1 ADC与A1D1C1，ADC与A1B1C1
的两边怎样的位置关系，大小如何？
两直线的夹角： 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
空间中直线与平面之间的位置关系
2019年3月21日星期四
【目标导学】
学习目标: 1.直线与平面的三种位置关系
【主体自学】 ：看书P53至54 限时5分钟
思考下面问题： 1.直线与平面有哪三种位置关系？ 2.如何表示直线与平面的三种位置关系？
直线与平面的位置关系有且只有三种:
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
∨
X
X
X
。（
）
反 思 与 延 伸
• 问题1、平行于同一平面的两条直线 一定是两条平行直线吗？ • 问题2、两条平行线中的一条平行一 个平面，则另一条也一定平行于这个 平面吗？ • 问题3、无公共点的两条直线一定是 D′ 平行直线吗？
A′
D A B′ C B
C′
小结：
空间中直线与平面之间的位置关系有几种？
作业:
P52 习题2.1 A组4(4)(5) 7，8 B组 2，3
2、平行
m
3、异面直线
m
l l
P
只有一个公共点
没有公共点
没有公共点 不同在任一平面
在同一平面
探究:
G
C
A
A D B H G(C) F E D F(B)
H
E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?
二、空间直线的平行关系
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 如果a//b，b//c，那么a//c
a
如图：
a
a
（2）直线在平面外：
a
①直线a和面α 相交 ：
.
A
a A 如图：
②直线a和面α 平行 ：
a //
a
如图：
尝
则 l//
试
练
习
例1、判断下列命题的正确
（1）若直线 l 上有无数个点不在平面内， （2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任 意一条直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行。（ ） （4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。（ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点 必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可 以确定一个平面。 （）
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有
几种位置关系? 空间的两直线呢? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线
一、空间中两直线的位置关系
m
P l l 图1 图2
m
l
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。
1、异面直线 不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
空间中的平行线具有传递性 问题 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？ D
C F D F
A
B E A 三条平行线共面
C
B
E 三条平行线不共面
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D1 A1 C1
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1
C1
B1
1）直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 2）与棱BB1垂直的棱有： 相交： A1B1、 AB、 B1C1、 BC、
A1
D A B
C
异面： A1D1、AD、D1C1、 DC、
珍惜时间 ,尽力而为, 1、空间中两直线的位置关系
今天所讲的知识你学会了吗?
2、空间直线的平行关系及相关定理 如果你学会了 ,请完成下列作业! 3、异面直线的定义及两条异面直线所 成的角
祝愿所有的同学学习愉快!
如果你还没学会,请通过下列作业 把它学会!
填空： 平行 、 ________ 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________ 、 异面 三种。 ________ 平行 直线，也有可能是 2、没有公共点的两条直线可能是________ 异面 直线。 ________ 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________ 。 无数 条直线与已知直线垂直。 4 、过已知直线上一点可以作______ 无数 条直线与已知直线垂直。 5 、过已知直线外一点可以作______
P49 练习 P51-53 习题2.1A组 4(4)(5)
B 2，3
平面与平面之间的位置关系
• 思考?
D′
围成长方体的 六个面, 两两之间的位 置关系 有几种?
C′
A′ D
B′ C
A
B
【目标导学】
学习目标: 1.平面与平面的三种位置关系
【主体自学】 ：看书P55 限时5分钟
思考下面问题： 1.两个平面有哪几种位置关系？ 2.如何画出两个平面位置关系的图象？
A
C
不一定，如上图的立方体中 AB BB, BC BB, 直线AB与BC相交，
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1。
2）A1 B1与AC；
A1
B1
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D A B
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
(1)
m l
β α
m
l
直线m和l是异面直线吗? (2)a , b ,则 a 与 b 是异面直线 (3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
b
a
b
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m l P
α
相交于一条交线
β
l
a
b
l a
γ
α
三条交线
三条交线
不妨再思考一题？
1、一个平面把空间分为几部分？ 2 2、二个平面把空间分为几部分? 3或4 3、三个平面把空间分为几部分? 4或6或7或8
了解一下： n个平面最多可将空间分为 3 (n + 5n + 6)/6个部分
小结：
本节课我们学了： 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
（0， 90]
异面直线所成的角
探究 （1）在长方体 ABCD ABC D中，有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线？ 如： AD与BB, AD与BB 等．
D
C
B
（2）如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直，那么， 另一条直线是否也与这条直线 A B 垂直？ 垂直 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
练习3
B
F
C
n直线相交最多有几个交点？
本节小结
基本知识 （1）空间直线的三种位置关系．
（2）平行线的传递性． （3）等角定理． （4）异面直线所成的角．
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
作业
P48 练习1，2 P51 -52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6， B组1
2.1空间点，直线，平面之间的位置关系
空间中两直线的位置关系
学习目标：1、空间中两条直线的三种位置关系。 2、理解异面直线所成的角的概念，并 熟练求异面直线所成的角
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上 的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 （ ）
A1 相交垂直 垂直 异面垂直 A
D1 B1
C1
D B
C
练习1
在如图所示的长方体中，AB= 3 ，且 AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.
D1
C1
A1
D
A
B1 B
C
O
30
练习2
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，
BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， EF 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E D
判断对错：
1、分别在两个平面内的两条直线一定是Байду номын сангаас面直线。( ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定 与另一条直线垂直。 ( )
思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
B1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
A
D B
C
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证 EFGH是一个平行四边形。 A 证明： 解题思想： 连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 H 把所要解的立体几何问题转化为平面几何 1 E ∴EH ∥BD且EH = BD 的问题 2
两个平面之间的位置关系有且只 有以下两种
//
• l
l
探究1
，直线a、b，且//，a，b， 已知平面 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
a b
答：平行或异面
探究2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线 有多少条？画出图形表示你的结论.
b β γ
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角。 b a′ ？ O P a b′
a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
D
G
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
探究
在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四 边形EFGH 是什么图形？ 答：四边形EFGH是菱形 A
1 1 因为EF AC， EH BD 2 2 且AC BD 所以EF EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B
H
E D
G
C
F
2、等角定理
A1 B1 D
D1
C1
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
C
A
B
观察正方体ABCD A1B1C1D1 ADC与A1D1C1，ADC与A1B1C1
的两边怎样的位置关系，大小如何？
两直线的夹角： 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
空间中直线与平面之间的位置关系
2019年3月21日星期四
【目标导学】
学习目标: 1.直线与平面的三种位置关系
【主体自学】 ：看书P53至54 限时5分钟
思考下面问题： 1.直线与平面有哪三种位置关系？ 2.如何表示直线与平面的三种位置关系？
直线与平面的位置关系有且只有三种:
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
∨
X
X
X
。（
）
反 思 与 延 伸
• 问题1、平行于同一平面的两条直线 一定是两条平行直线吗？ • 问题2、两条平行线中的一条平行一 个平面，则另一条也一定平行于这个 平面吗？ • 问题3、无公共点的两条直线一定是 D′ 平行直线吗？
A′
D A B′ C B
C′
小结：
空间中直线与平面之间的位置关系有几种？
作业:
P52 习题2.1 A组4(4)(5) 7，8 B组 2，3
2、平行
m
3、异面直线
m
l l
P
只有一个公共点
没有公共点
没有公共点 不同在任一平面
在同一平面
探究:
G
C
A
A D B H G(C) F E D F(B)
H
E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?
二、空间直线的平行关系
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 如果a//b，b//c，那么a//c
a
如图：
a
a
（2）直线在平面外：
a
①直线a和面α 相交 ：
.
A
a A 如图：
②直线a和面α 平行 ：
a //
a
如图：
尝
则 l//
试
练
习
例1、判断下列命题的正确
（1）若直线 l 上有无数个点不在平面内， （2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任 意一条直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行。（ ） （4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。（ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点 必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可 以确定一个平面。 （）
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有
几种位置关系? 空间的两直线呢? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线
一、空间中两直线的位置关系
m
P l l 图1 图2
m
l
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。
1、异面直线 不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
空间中的平行线具有传递性 问题 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？ D
C F D F
A
B E A 三条平行线共面
C
B
E 三条平行线不共面
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D1 A1 C1
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1
C1
B1
1）直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 2）与棱BB1垂直的棱有： 相交： A1B1、 AB、 B1C1、 BC、
A1
D A B
C
异面： A1D1、AD、D1C1、 DC、
珍惜时间 ,尽力而为, 1、空间中两直线的位置关系
今天所讲的知识你学会了吗?
2、空间直线的平行关系及相关定理 如果你学会了 ,请完成下列作业! 3、异面直线的定义及两条异面直线所 成的角
祝愿所有的同学学习愉快!
如果你还没学会,请通过下列作业 把它学会!
填空： 平行 、 ________ 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________ 、 异面 三种。 ________ 平行 直线，也有可能是 2、没有公共点的两条直线可能是________ 异面 直线。 ________ 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________ 。 无数 条直线与已知直线垂直。 4 、过已知直线上一点可以作______ 无数 条直线与已知直线垂直。 5 、过已知直线外一点可以作______
P49 练习 P51-53 习题2.1A组 4(4)(5)
B 2，3
平面与平面之间的位置关系
• 思考?
D′
围成长方体的 六个面, 两两之间的位 置关系 有几种?
C′
A′ D
B′ C
A
B
【目标导学】
学习目标: 1.平面与平面的三种位置关系
【主体自学】 ：看书P55 限时5分钟
思考下面问题： 1.两个平面有哪几种位置关系？ 2.如何画出两个平面位置关系的图象？
A
C
不一定，如上图的立方体中 AB BB, BC BB, 直线AB与BC相交，
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1。
2）A1 B1与AC；
A1
B1
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D A B
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
(1)
m l
β α
m
l
直线m和l是异面直线吗? (2)a , b ,则 a 与 b 是异面直线 (3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
b
a
b
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m l P
α
相交于一条交线
β
l
a
b
l a
γ
α
三条交线
三条交线
不妨再思考一题？
1、一个平面把空间分为几部分？ 2 2、二个平面把空间分为几部分? 3或4 3、三个平面把空间分为几部分? 4或6或7或8
了解一下： n个平面最多可将空间分为 3 (n + 5n + 6)/6个部分
小结：
本节课我们学了： 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
（0， 90]
异面直线所成的角
探究 （1）在长方体 ABCD ABC D中，有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线？ 如： AD与BB, AD与BB 等．
D
C
B
（2）如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直，那么， 另一条直线是否也与这条直线 A B 垂直？ 垂直 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？