光学经典理论傅里叶变换

光学经典理论｜傅里叶光学基础

2018-02-24 17:00

今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。光学人们可以看看！

在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。

两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。

包含内容

60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。

推导演示

一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。从信息论角

度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。

这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。光学系统的脉冲响应又称点扩展函数（见光学传递函数）。一旦系统的点扩展函数已知，系统对任意物体f(x，y)所成的像g(ξ,η)可以从物体上每个点源产生的点扩展函数的线性叠加求得

。

在空间位移不变情况下，叠加积分又可简化为卷积。

。

空间频率

在信息论中,还常用频率响应概念,即输入各种不同频率的信号,观察系统相应的输出,从频率响应曲线可以了解系统对各种频率的传递情况。在光学系统中同样可以引入频率响应的概念，所不同的是瞬时频率响应由空间频率响应所代替。与瞬时频率是时间函数acosωt周期的倒数一样，可以定义空间函数的周期d的倒数v=1/d(单位：线／毫米)为空间频率。以最简单的物体──光栅──为例，可用函数1+Acos(2πvx)表示，其中v＝1/d，d是光栅常数。

根据傅里叶分析,任意复杂物体f(x，y)可写成傅里叶变换关系式

，

式中F(vx,vy)是物体的空间频谱,。其物理意义是把复杂f(x,y)分解成许多简单基元函数的线性组合, 而空间频谱F(vx，vy)只不过是一个权重因子，把它加到

各自基元函数上。基元函数可更形象地看成是一些不同取向〔θ=tg-1(vy/vx)〕、不同空间周期L=

的光栅（图1），而每一个这种光栅在物函数中所占比重用权重因子──空间频谱F(vx，vy)所定。

这样，一个光学系统对f(x，y)的响应可分解为对各个基元函数的响应，再把每个响应叠加起来，便得到总的响应。同样，可以写出逆变换

。

对已知物体f(x，y)可以算出它的空间频谱分布。

透镜的傅里叶变换性质从标量衍射理论知道，考虑旁轴近似条件，在菲涅耳衍射（近场）区内，孔径平面(x，y)与观察平面(ξ，η)上光场之间的关系为

称为菲涅耳变换。式中f(x，y) 是衍射孔径平面上光场振幅，g(ξ，η)是观察平面上的光场振幅，с是常数位相因子，u＝2πξ/λz，υ＝2πη/λz是空间角频率，z是平面之间距离。由上式可见互为傅里叶变换关系，其中是二次相位因子。当观察平面远离孔径平面时，即，上式变为夫琅和费衍射(远场)。此时衍射图像g(ξ，η)为孔径平面中光场分布f(x，y)的傅里叶变换,或称为f(x，y)的空间频谱。有趣的是一个薄凸透镜的透过率函数

(其中 f为透镜的焦距)正好与菲涅耳衍射中二次相位因子抵消,结果在透镜的后焦平面上光场分布g(ξ，η)就变为 f(x，y)的傅里叶变换或空间频谱。这时空间角频率u＝2πξ/λf，υ＝2πη/λf，当入射光波波长λ和透镜焦距f不变时，空间频率vx＝ξ/λf，vy＝η/λf分别与后焦面上空间坐标ξ，η成比例。由此可见，凸透镜的作用就是把远处的夫琅和费衍射图样拉近到后焦面上。可以证明当孔径平面放在透镜的前焦面上时，常数相位因子消失，这时f(x,y)和g(ξ，η)之间有精确傅里叶变换关系(图2)。

利用透镜前后焦面上光场分布互为傅里叶变换的关系，可以分析各种图像的空间频谱，并对图像进行识别和分类，利用透镜的傅里叶变换性质经空间滤波，可以使一个光学系统具有数学模拟运算能力，被称为“光计算机”。

空间滤波

光学信息处理、相干光处理、信号处理、图像处理以及图像（或模式）识别等名称都与相干光系统中空间频率滤波有关。

利用凸透镜后焦面上显示物的夫琅和费衍射图样的有趣事实，以及在透镜的前后焦面上光场振幅互为傅里叶变换的关系，可用纯光学方法十分方便地实现在数学上繁琐的二维傅里叶积分运算。并把信息论中滤波概念引进到光学中，即不仅仅分析物的空间频谱，还可通过滤波达到综合的目的，与时间函数的频谱可按某种方式来改变一样，通过改变物函数的空间频谱的方法以改变物的信息含量。这种傅里叶综合在近代光学中已取得重要进展的例子有泽尔尼克相衬显微镜、光学匹配滤波器、合成孔径雷达数据的光学处理、各种图像增强技术、模糊图像恢复等。