信号分析与处理——傅里叶变换性质

其频谱函数为：
乘以正弦信号x(t) (常称载
F[x(t) cos0t]
1[X 2
(
0 )
X
(
0 )]
原频谱 X (一分) 为二，各向左、右移动
的形式保持不变。
，在移动过程中0 幅度谱
举例说明其体现在频谱图上的效果
G() Sa( )
2
X () Sa(( 0 ) ) Sa(( 0) )
2
2
2
2
为什么要对信号进行调制？？
7、微分特性
若:
x(t) X
则:
d n x(t) j n X
dt n
证明：由傅立叶反变换定义
x(t) 1 X ()e jt d
2
两边对t求导，有：
dx(t) 1 X ( ) j e jtd
dt 2
所以有： 以此类推，有：
F[dx(t)] j X ()
2
6、频移特性
若:
x(t) X
则:
x(t)e j0t X 0
(2-94)
证明：由傅立叶变换定义
F[x(t)e j0t ]
x(t)e j0te
j
t dt
X
(
0 )
同理有
F[x(t)e j0t ] X ( 0 )
(2-94)的含义为：
频谱搬移
在时域将信号乘以因子
段平移 0
F[dx(t)] j X ()
dt
所以有:
X ( ) 1 Sa( )[2 j sin( )] Sa2( )
j
4
42
4
2/
0
4
4
8、积分特性
若: x(t) X 则:
如果 X ，则有0 : 0
t x( )d X () X (0) ()
j
t x( )d X ()
j
证明: p53 自己阅读
例：求x(t)的傅立叶变换
2
x(t)
1
t
2
2
x(t)
[u(t
2
)
u(t
2
)]
[u(t
)
u(t
)]
已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为：
X1() E Sa( / 2)
利用线性性质可得：
X () [Sa( / 2) 2Sa()]
2、 奇偶性
无论x(t)是实函数还是复函数，都有下面结论：
若:
x(t)F X ()
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
时域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频域中该两信号频谱 的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算，简化了运算过程
例：求两个矩形脉冲卷积后的频谱
x1(t )
2/
x2 (t )
2/
/ 4 / 4
/ 4 / 4
矩形脉冲的表达式为
x1 (t )
x2 (t )
0
2
/
t /4 t /4
a a
在时域上将信号 压x缩(t到)
应地减小a到 倍。
1 / a 倍，则在频域上其频谱扩展 倍，同时幅度相 1/ a
也就是说，信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频带的展宽；反之，信 号波形在时域的扩展，意味着频域中信号频带的压缩
时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
x(t/2) 1
0
t
例：求斜平信号的频谱
0 ( 0)
x2(t)
t
t0
(0 t0)
1 ( t0 )
1
t0
x2 (t )可以看成矩形脉冲 的积x1分(t )
1
x1(t)
t0
积分
t0
1
x2 (t)
t0
由标准矩形脉冲信号的频谱和时移性质，可得 的频谱为 x1(t)
X1()
1 t0
t0
Sa(t0
2
)e
j t0 2
t0
则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位频谱产生 (或
t0
)的变化。
t0
例2-11 求图2-46(a)表示的信号的频谱。
(a)
(b)
(c)
解: (a) 可看成是(b)和(c)所示的信号的组合
x(t)
1 2
x1(t
5) 2
x2
(t
5) 2
x1(t), x2 (t) 的频谱函数分别为：
X1()
Sa(
则:
x*(t) F X *()
（2-85）
（2-85）的含义为： 时域共轭对应频域共轭并且反摺
证明：由傅立叶变换定义式
X () x(t)e jt dt
取共轭
X
* ()
x(t
)e
jt
dt
*
x* (t)e jt dt
以－ω代替ω
X () x*(t)e jtdt F[x*(t)]
(2-100)
帕斯瓦尔公式表明，对
在X整(个频) 2率范围内积分，可以得到信号的总能量。
因此， X (反)映2 了信号的能量相对于频率的分布，称为能量密度谱，简称能谱，
即：
E() X() 2
10、卷积定理 （1） 时域卷积定理
若: x1(t ) X1( ) x2 (t ) X2( )
则: x1 (t) x2 (t) X1 () X 2 ()
压缩
x(2t)
1
/4 0 /4 t
2X (2)
2
0
1 2
X ( )
2
扩展
2
0
4
4
图2-50表示了单位矩形脉冲信号尺度变换(
)前后的时a域波形3 及其频谱。
2-50
5、时移特性
若:
x(t)F X
则: x(t t0 ) Fe jt0 X
式（2-92）的含义为：
(2-92)
信号在时域中沿时间轴右移（或左移）
Re() x(t) costdt
奇
Im() x(t)sin tdt 偶
可知：
Re() 0
X() Im()
即：当 x为(t实) 奇函数， 其频谱函数为虚函数
加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：
当 x(为t)实奇函数， 其频谱函数为虚奇函数
例：
x(t)
eat eat
(t 0) (t 0)
2
若取 E 1,/ 2 ，则 2
F[g(t)] Sa()
由对偶性，得：
F[Sa(t)]
2
g()
0
1 1
otherwise
g(t)
1/2
0
1
1
t
1 Sa(t)
0
t
1 X() Sa()
0
2 g()
1 0 1
4、尺度变换特性
若 x(t)F X
证明略，（p48） 含义：
则 x(at) 1 X
arctan
I R
（2-88）
1）当 x为(t实) 函数的情况下
由：
Re() x(t) costdt
可知：
Re() Re()
Im() x(t)sin tdt Im() Im()
即：当 x为(t实) 函数， 其频谱函数的实部为偶函数 其频谱函数的虚部为奇函数
由： 可知：
三、傅立叶变换的基本性质
傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式：时域描述和频域描述。
为了进一步了解信号的这两种描述形式之间的相互关系，如: •信号的时域特性在频域中如何对应， •在频域中的一些运算在时域中会引起什么效应，等等，
必须讨论傅立叶变换的一些重要性质。
另外，很多性质对简化傅立叶变换或反变换的求取也很有用
2 )
2
Sa 2 (
2
)
图2-55说明了该例中 ，各种时域曲线、频 谱曲线的对应关系：
（2）频域卷积定理
若:
x1(t ) X1( )
x2 (t ) X2( )
则:
x1 (t) x2 (t)
1
2
X1 ()
X 2 ()
上式表明: 两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积
利用频域卷积定理也可以很容易导出：
F[ x(t ) e j0t ]
1
2
X () 2 ( 0 )
X ( 0 )
以及:
F[ x(t) cos0t]
F[ x(t )
e
j0t
e 2
j0t
]
1 2
X
(
0 )
X (
0 )
和前面提到的频移特性一致
它们所对应的频谱为
X1( ) X2( )
2 Sa( )
2
2
Sa( )
2
2
两个矩形脉冲卷积后的结果为：
r (t )
x1(t )*
x2 (t )
x1( )x2(t
)d
1
2
t
0
t /2 t /2
r(t)
1
/ 2
/2
由时域卷积定理有：
R() X1() X2()
2
Sa( 2
X R2 I 2
arctan
I R
X X
即：当 x为(t实) 函数， 其频谱函数的幅度为偶函数 其频谱函数的相位为奇函数
2）当 x为(t实) 偶函数的情况下
由：
Re() x(t) costdt
偶
Im() x(t)sin tdt 奇
可知：
Im() 0
Байду номын сангаас
X ()
由傅里叶变换的定义，有
X ()
x(t) e jtdt
x(t) costdt j
x(t)sin tdt
显然：频谱函数的实部和虚部分别为 ：
Re() x(t) costdt
Im() x(t)sin tdt
频谱函数的幅度和相位分别为
（2-87）
X R2 I 2
e ，对应j于0t 在频域将原信号的频谱右移 ，即往高频 0
在时域将信号乘以因子
段平移 0
e ，对应j于0t在频域将原信号的频谱左移 ，即往低频 0
这种频谱搬移，就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质
幅度调制技术简称调幅技术，即：将被调制信号
波信号)c，o得s到0调t 制信号：
x(t) cos 0t
2
2 x() X (t)e jtdt
含义：对 X进(行t)傅里叶变换，所得频谱函数为
2 x()
例 ：
(t)
1
t
X ()
1
1 x(t)
t
2 ()
例2-10 求取样函数
Sa(的t)傅立s叶in变t 换 t
解：由式(2-62)可知，宽度为τ，幅度为E 的矩形脉冲信号 的傅立叶变换为
F[g(t)] E Sa( )
dt
d n x(t) j n X
dt n
例：求三角脉冲的频谱
x(t)
1
2
0
方法一：代入定义计算
方法二：利用微分性质计算
2
t
x(t)
1 微分
2
0
2
t
2
2
0
2
dx(t) dt
2t
F[
dx(t ) ] dt
Sa(
4
)
e
j
4
j
e 4
Sa( )[2 j sin( )]
4
4
根据微分性质:
对于x(t)是实函数的特殊情况，则有下面结论：
由于： x*(t) x(t)
再根据（2-85）
x*(t) F X *()
可以得： 等价为：
X () X*() X*() X()
（2-86）
（2-86）的含义为： 实函数的傅立叶变换具有共轭对称性
下面讨论，
x(t) 当
的情况下，
为：1）实函数 ；2）实偶函数； 3）实奇函数 的奇偶、虚实特性
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
实奇函数
X
()
2 j 2
2
虚奇函数
x(t)
0
t
X ()
j
3、对偶性
若 x(t) X 则
X t 2x()
证明：由傅立叶反变换式
x(t) 1 X ()e jt d
2
自变量t变成-t
x(t) 1 X ()e jt d
2
将t和ω互换
x() 1 X (t)e jt dt
2
x() 1 X (t)e jt dt
X() Re()
即：当 x为(t实) 偶函数， 其频谱函数为实函数
加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：
当 x(为t)实偶函数， 其频谱函数为实偶函数
例：
x(t) e t ( t )
实偶函数
X
()
2 2
2
() 0
实偶函数
x(t) X ()
0
t
0
3）当 x为(t实) 奇函数的情况下
由：
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式