人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

函数常考知识点汇总
1.2.1函数的概念
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
（6）指数为零底不可以等于零
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法
（1）定义域一致；（2）表达式相同 (两点必须同时具备)
注意：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

1.2.2函数的表示法
4、函数图象知识（Ⅰ）对称变换①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。

如
③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。

如
6、函数的解析式 A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；
C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
1.3.1函数单调性与最大（小）值
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

区间D称为y=f(x)的单调增区间；
【注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有
f(x1)<f(x2) （或f(x1)＞f(x2)）。

3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形
（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（指出函数f(x)在给
定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增
异减
4、判断函数的单调性常用的结论
⑤函数
、
都是增（减）函数，则
仍是增（减）函数；
⑥若
且
与
都是增（减）函数，则
也是增（减）函数；
若
且
与
都是增（减）函数，则
也是减（增）函数；
5、函数的最大（小）值定义
（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值．
6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
1.3.2 函数的奇偶性
1、偶函数定义一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有
f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
【注意】②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是即定义域关于原点对称．
3、有奇偶性的函数图象特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0 (在原点处有意义时)
4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；同理则是奇函数．
5、函数奇偶性的性质①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数是怎样的？
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算
1、根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
=0.
【注意】 (1)
(2)当 n是奇数时，
，当 n是偶数时，
2、分数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：
（2）正数的正分数指数幂的意义：
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、实数指数幂的运算性质（1）
（2）
（3）
2、指数函数的图象和性质
0<a<1 a>1
图象
性质定义域R ,值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1
(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
（3）当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
2.2.1对数与对数运算
1、对数的概念一般地，如果
，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：
（ a—底数 N—真数）
【注意】（1）注意底数的限制，a>0且a≠1；（2）真数N>0；
2、两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数,
；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 ,
．e≈2.71
3、对数式与指数式的互化
（1）负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：
4、如果a > 0，a 1，M > 0，N > 0 有【有时可逆向运用公式】
（1）
（2）
（3）
（一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍）
5、换底公式：
利用换底公式推导下面的结论①
③
2.2.2 对数函数及其性质
1、对数函数的概念函数
(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____
2、对数函数的图像与性质对数函数
(a>0，且a≠1)
0 0＜ a ＜ 1 a a ＞ 1
图像自己画画看
性质定义域：_____ 值域：______
过点( , ) 即当x ＝1时,y＝
在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数当x>1时，y____
当x=1时，y____
当0<x<1时，y____
当x>1时，y___
当x=1时，y___
当0<x<1时，y____
【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）.
3、如图，底数 a对函数
的影响. 规律：底大枝头低, 头低尾巴翘
4考点
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较对数的大小、。

Ⅴ、y=ax (a>0且a ≠1) 与y=logax (a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

6 比较大小的方法: (1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值
（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（5）比商判断
2.3幂函数
1、幂函数定义
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2、幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
第三章函数的应用 3.1方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）
2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有
f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根.
4、函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程
f(x)=0 的实数根；
（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布
两个根都在（m,n )内
两个有且仅有一个在
（m,n)内
x1∈(m,n) x2∈(p,q)
f(m)f(n)<0
两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K。