数理方程第四章 格林函数法 ppt课件
合集下载
南邮 数理方程4 格林函数 - 上课用44页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
南邮 数理方程4 格林函数 上课用
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
数理方程课件-第 4 章 4.3-4.4 格林函数的应用;试探法,泊松方程求解-精选文档
38yyxx的特解求方程xy是自变量由于的一个二次多项式不妨取其特解为为了计算方便xyxy显然泊松方程的一个特解为则上述问题化为上述问题的解为由极值原理问题的解为40在空间的某一封闭曲面上给定一个连续要求函数的外部区域内满足拉普拉斯方程无穷远点除外上连续并且满足条件函数及条件33狄氏外问题原来的狄氏问题称为狄氏内问题41在空间的光滑封闭曲面上给定一个连续要求函数的外部区域内满足拉普拉斯方程无穷远点除外上连续其中函数及条件33诺依曼外问题上任一点的法向导数存在并且满足条件
0
0
0
(26)
8
f ( x , y ) z dxdy 1 0 . u(M0 ) 3 / 2 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) z
0
0
0
(26)
例1 设在均匀的半空间的边界上保持定常温度 2 2 ，在圆 K:x 而在其外等于 y 1之内等于1， 0. 求在半空间内温度的稳定分布。 解 这个问题归结为如下定解问题
13
G u ( M ) f ( x , y ) dS . 0 n C
1 1 1 G ( M ,M ) ln ln , 0 2 r MM MM 0 1 r
(20’) (24’)
G 为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算 n | y 0 .
2
1 G ( M ,M v , 0) 4 r MM 0
(17) (20)
G u ( M ) f ( M ) dS 0 n
4.3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题 求解上半空间z 0内的狄利克雷问题
u u u 0 ( z 0 ), xx yy zz
0
0
0
(26)
8
f ( x , y ) z dxdy 1 0 . u(M0 ) 3 / 2 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) z
0
0
0
(26)
例1 设在均匀的半空间的边界上保持定常温度 2 2 ，在圆 K:x 而在其外等于 y 1之内等于1， 0. 求在半空间内温度的稳定分布。 解 这个问题归结为如下定解问题
13
G u ( M ) f ( x , y ) dS . 0 n C
1 1 1 G ( M ,M ) ln ln , 0 2 r MM MM 0 1 r
(20’) (24’)
G 为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算 n | y 0 .
2
1 G ( M ,M v , 0) 4 r MM 0
(17) (20)
G u ( M ) f ( M ) dS 0 n
4.3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题 求解上半空间z 0内的狄利克雷问题
u u u 0 ( z 0 ), xx yy zz
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
格林函数法(课堂PPT)
林函数
25.06.2020
.
12
计算电磁学基础
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
VPgQPgQdV Ñ SPQgdS
• 若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理
VQgPPgQdV Ñ SPQQPgdS
25.06.2020
.
27
计算电磁学基础
• 格林定理说明区域中的场与边界上的场之间的关系。因 此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边 界上场的求解问题。
• 此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满 足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即 可利用格林定理求解另一种场的分布特性。
(x)Q (xx) Q (xx )0 , (x≠x’点)
Q (xx)dVQ ,(积分区域V包含x=x’点)
V
25.06.2020
.
6
计算电磁学基础
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
(x)VG (x,x)(x)dV 0S [G (x ,x ) n (x ) n G (x ,x )d S ]
这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。
25.06.2020
.
30
计算电磁学基础
在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件
第四章格林函数法1
注1：当M 0取在区域之外或边界上，可用同样的方法导出公式
4 u ( M 0 ), 1 1 u [u ( ) ]dS 2 u ( M 0 ), n r r n 0,
M 0在内； M 0在上； M 0在外。
注2：若u不是调和函数,即2u F，只要u C 2 () C1 ()， 我们可以得到类似公式
u u ds ds n n r R D
sin Rd 4 R 0 0 4
2
由牛曼内问题有解的必要条件知该问题无解。
3）平均值公式
定理3：设函数u(M )在区域内调和，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中 任一点，a是以M 0为中心，以a为半径且完全落在内部 的球面，则下面平均值公式成立 1 u(M 0 ) udS 2 4 a a
P Q R ( ) dV Pdydz Qdzdx Rdxdy (1) x y z 其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式：
P Q R ( ) dv x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
取u为调和函数，并假定且在上有一阶连续偏导数，v 1/ r则有
1 1 u r (u )dS 0 n r n
1 1 1 r r 注意到：在球面 上， 2 n r
1 1 r 因此可得 u dS 2 n 其中u
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1). 调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其 在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在 内任一点的值。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
格林函数法
第四章 格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
v
f
)有1,解则的有必要 条un件dS为函0.数
f
满足
n
fdS 0
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
11
4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u 1 , u 2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 vu1u2必是原问题满足零边界条件的解.
2020/12/17
18.12.2020
u v dS n
gradugradvdV
ppt课件
第一格林公式10
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数,
在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式
中取 u 为上述调0.
v v v
故在 内必有
gradv0 , 即
0 x y z
可得 vC ，其中 C为常数. 2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
13
4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C0
从而 v0 .
结论
狄利克雷问题在 C1C2
内的解是唯一确定的, 牛曼问题的解在相差一个常数下也
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
8
4.2 格 林 公 式
设 uux,y,z,vvx,y,z满足
u ,v C 1 C 2
令 Px,y,zuv Qx, y,zuv Rx,y,zuv
x
y
z
则 P ,Q ,R C C 1
将 P,Q, R 代入高斯公式，等式右端
域，Px,y,z， Qx,y,z，Rx,y,z在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x Q y R z d V P c o s n ,x Q c o s n ,y R c o s n ,z d S 其中n为 的外法向量。
高斯公式可简记为
a d V a n d S
4.2 格 林 公 式
令 0, 则 lim 0uuM 0
边界条件:
1） 第一边值问题
u0 ( )
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
u0 ( )
2020/12/17 18.12.2020
u f n
纽曼(Neumann)问题
ppt课件
6
4.2 格 林 公 式
2020/12/17
ppt课件
7
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面为边界的有界区
u x vco n ,x s y vco n ,y s v zco n ,zs dS
u
v n
dS
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
9
u,v 交换4.2 格 林 的公 式位置, 有
P xv2Q yudVR zdV
v u dS
gradvgradudV
两式相减, 得 n
是唯一确定的.
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
14
4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
15
4.2 格 林 公 式
内挖去
M
的球形邻
0
域 K , 是其球面. 在区域 K内及其边界
上， v 1 是任意可导的。
r
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应
用公式得
r
K
u2
1r 1r2udV
2020/12/17
u
1 r
n
1 r
对于狄利克雷问题，v 满足
2v 0, v v | 0
对于牛曼问题, v 满足
2020/12/17 18.12.2020
2v 0, v
v
n | 0
ppt课件
12
4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 uvu1u2 , 由 v 是调和
函数，可得
在两种0 边 界 条v件 n v 下d ，S 都有 g ra vd v nvg drSad v 0, dV 所以
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
2020/12/17
ppt课件
1
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
2020/12/17
ppt课件
2
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是 否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨， 没有学问无颜见爹娘 ……”
u n
dS
18.12.2020
ppt课件
17
4.2 格 林 公 式
在球面 上
1n /r 1r/rr1212
因此
u 1 r /rd S1 2 u d S1 2u4 24 u
同理可得
因此
1 r u ndS1 u ndS4 u n
2020/12/17
18.12.2020
u n 1 r 1 r u n pp t课d 件 S4u4 u n 0 18
设 M 0x0,y0,z0是 内一固定点, 下面求调和
函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
1
1
v
r xx02yy02zz02
可以证明函数 1
r
除点 M 0 外处处满足拉普拉斯
方程, 它称为三维拉普拉斯方程的基本解.
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
16
4.2 格 林 公 式
为了利用格林公式，我们在
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 uux,y,z满足拉普拉斯方程
2u2u2u 0, x2 y2 z2 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
2u 0
不存在初始条件.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
2020/12/17
18.12.2020
ppt课件
5
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
uxxvux2v2 d
V
uy yvuy2v2 dV
u z
v z
uz2v2 d
V
u x( ux v 2 vu y y vv 2u u z) dv zV dV (uux2nvv2 vy2v2un )z2vd2SdV
gradugradvdV u2vdV 第二格林公式
所以
u2vdV