数学解题方法谈10：二次根式的运算技巧
高中数学二次根式解题技巧
高中数学二次根式解题技巧高中数学中，二次根式是一个重要的知识点，也是学生们常常遇到的难点之一。
在解题过程中，正确的方法和技巧是至关重要的。
本文将介绍一些高中数学二次根式解题的技巧，帮助学生们更好地应对这一难点。
一、化简二次根式在解题过程中，有时候我们需要对二次根式进行化简。
化简二次根式的关键是寻找平方因式。
例如，对于√12，我们可以将其化简为√4×√3=2√3。
这样，原本复杂的二次根式就变得简单易解。
二、利用二次根式的性质二次根式有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来解题。
例如，对于√a×√b，我们可以将其合并为√ab。
对于√a÷√b，我们可以将其合并为√(a/b)。
这些性质的应用可以大大简化解题过程。
三、应用二次根式的运算规则在解题过程中，我们需要掌握二次根式的运算规则。
例如，对于√a+√b的平方，我们可以利用二次根式的乘法公式进行展开，得到√a×√a+2√a×√b+√b×√b=a+2√ab+b。
这样，我们就可以解决一些看似复杂的问题。
四、利用二次根式的特殊形式有些二次根式具有特殊的形式，我们可以利用这些形式来解题。
例如，√2、√3、√5等都是无理数，它们的平方根无法化为有理数。
在解题过程中，我们可以利用这一特点来判断某些二次根式的性质。
五、举一反三通过掌握二次根式的解题技巧，我们可以举一反三，应用到更复杂的问题中。
例如，对于如下问题：已知√a+√b=3，求√a-√b的值。
我们可以利用二次根式的运算规则，将其平方，得到(√a+√b)²=9。
展开后可得a+2√ab+b=9。
再利用已知条件√a+√b=3，可以得到a+b+2√ab=9。
由此，我们可以得到√ab=3，进而求得ab=9。
接着，我们可以利用已知条件√a+√b=3，将其平方，得到a+b+2√ab=9。
代入ab=9，可以得到a+b+6=9，进而求得a+b=3。
最后，我们可以利用已知条件√a-√b的平方等于a-b，得到a-b=3-2√ab=3-6=-3。
数学二次根式解题技巧
数学二次根式解题技巧
1. 嘿，你知道吗，二次根式里化简可是个关键技巧啊！就像整理房间一样重要。
比如根号 48，咱们就可以把 48 分解成 16 乘以 3，那不就可以变成 4 倍根号 3 啦，多简单呀！
2. 还有啊，合并同类二次根式可好玩啦！就好像把同类的玩具放在一起。
像
3 倍根号 2 加 5 倍根号 2 不就等于 8 倍根号 2 嘛，是不是很有意思呢？
3. 哇塞，二次根式乘法也有技巧哦！这就跟搭积木一样，要找对方法。
比如说根号 3 乘以根号 2，那就是根号 6 呀，神奇吧！
4. 嘿，把二次根式进行分母有理化也不难呀！就好比给调皮的孩子立规矩。
像1 除以根号2，分子分母同时乘以根号2，不就变成根号2 除以2 了嘛！
5. 二次根式的除法技巧也得掌握哟！就像分蛋糕一样，得公平。
比如根号 8 除以根号 2，不就是 2 嘛，这多容易呀！
6. 哎呀呀，在二次根式里，利用完全平方公式也超有用呢！这仿佛是给算式穿上了合适的衣服。
像(根号 3 + 1)^2，展开后就知道怎么算了吧！
7. 哇哦，特殊值法在二次根式里也能派上大用场呢！这不就跟走捷径似的。
比如已知一些条件，代入特殊值马上就能得出答案啦！
8. 二次根式的整体代换技巧，你可别小瞧呀！就像是换了个思路看问题。
要是碰到复杂式子，用整体代换换一下，说不定一下子就简单了呢！
9. 总之，这些数学二次根式解题技巧真的超实用的！掌握了它们，二次根式就不再是难题啦！。
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
二次根式解题的高效技巧与方法
二次根式解题的高效技巧与方法在数学学习过程中，我们常常会遇到解决二次根式的问题。
因此，了解二次根式解题的高效技巧和方法对于提高数学解题能力至关重要。
本文将重点介绍一些二次根式解题的实用技巧和方法，帮助你更高效地解决这类问题。
一、化简根式当我们遇到复杂的二次根式时，通常可以通过化简根式来简化问题，使其更易于处理。
以下是一些常用的化简根式的方法：1. 提取公因数：当根式内的各个项存在公因数时，可以通过提取公因数来化简根式。
例如，√8可以化简为2√2，因为8可以分解为2的平方乘以2。
2. 有理化分母：当根式的分母为根式时，可以通过有理化分母的方法来化简根式。
例如，将分母为√3的根式有理化分母，可以乘以√3/√3得到分母为3的根式。
3. 分解因式：对于一些含有多个项的根式，可以尝试将其分解为更简单的因式相乘形式。
通过分解因式，可以简化根式并更方便地进行计算。
二、使用二次根式的性质二次根式具有一些特殊的性质，灵活运用这些性质能够简化解题过程。
以下是一些常用的二次根式性质：1. 平方定理：(a+b)²=a²+2ab+b²。
当解题中遇到根式的平方形式时，可以利用平方定理将其展开，从而简化计算。
2. 合并同类项：类似于代数中合并同类项的做法，二次根式也能够进行合并同类项的操作。
比如，√2+√3和2√2-3√3就是合并同类项的例子。
3. 乘法公式：二次根式的乘法公式为√a * √b = √(ab)。
在解题过程中，可以利用乘法公式将不同的二次根式相乘，从而简化问题。
三、配方法解二次根式方程解二次根式方程是二次根式解题的常见形式之一。
使用配方法是解二次根式方程的常用技巧。
以下是配方法的基本步骤：1. 将二次根式方程变形为(a + b)的平方的形式，其中a和b为一次根式。
2. 利用平方定理展开得到二次根式方程的标准形式，即a² + b² +2ab = 原方程的右侧。
3. 通过比较系数，推导出a和b的值。
二次根式代数式含整数希部分含与小数部分的解题技巧
二次根式代数式含整数希部分含与小数部分的解题技巧摘要：1.二次根式代数式的基本概念2.含整数部分的解题技巧3.含小数部分的解题技巧4.综合运用解题技巧实例分析正文：二次根式代数式是数学中一种常见的表达形式，它包含整数部分、根号下部分和小数部分。
在解决这类问题时，掌握一定的解题技巧十分重要。
本文将为大家介绍含整数部分和小数部分的解题技巧，并通过实例进行分析。
一、二次根式代数式的基本概念二次根式代数式是指具有以下形式的表达式：a.√(b) ，其中b为非负实数；b.a√(b) ，其中a、b为非负实数；c.(a√b) ，其中a、b为非负实数。
二、含整数部分的解题技巧1.整数部分的处理方法：当整数部分为非负数时，可以直接保留；当整数部分为负数时，可以将其转化为正数。
2.利用整数部分的性质：在计算过程中，可以利用整数部分的性质简化运算，例如将整数部分与平方根部分合并处理。
三、含小数部分的解题技巧1.二次根式的小数部分处理方法：将小数部分转化为分数或无限循环小数，进一步化简。
2.利用小数部分的性质：在计算过程中，可以利用小数部分的性质简化运算，例如将小数部分与平方根部分合并处理。
四、综合运用解题技巧实例分析【例】求解下列二次根式代数式：√(16x + 9) / 3解：1.整数部分的处理：16x + 9的整数部分为16x，可以将其与平方根部分合并，得到√(16x + 9)；2.小数部分的处理：原式中没有小数部分，无需额外处理；3.化简二次根式：将√(16x + 9) / 3化简为4x / 3；4.综合运用解题技巧：最终答案为4x / 3。
通过以上实例分析，我们可以看到，掌握二次根式代数式的解题技巧对于解决这类问题是十分重要的。
在实际解题过程中，我们需要灵活运用整数部分和小数部分的处理方法，化简表达式，从而求得最终答案。
二次根式运算法则
二次根式运算法则
二次根式运算法则是一种常见的数学运算方法，主要用于计算二次根式的值。
它基于二次根式的定义，即一个数的平方根就是这个数的二次根式。
二次根式运算法则的步骤如下：
1.将被开方数分解成两个数的乘积，即a=b×c，其中b和c 是整数且互质。
2.将a带入平方根式中，得到一个形如√(a)的表达式。
3.对√(a)进行开方，得到a的值。
简单来说，二次根式运算法则就是通过分解被开方数，来求得它的值。
需要注意的是，二次根式只适用于被开方数非负的情况。
如果被开方数是负数，那么它的平方根也是负数。
此外，由于二次根式中涉及到根号，因此只有当被开方数非负时，才有意义。
如果被开方数是负数，那么它的平方根也是负数，这时候就不能再对它进行开方了。
总之，二次根式运算法则是一种非常有用的数学运算方法，它在各个领域都有广泛的应用，特别是在数学、物理、化学等领域。
掌握它可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。
二次根式化简与计算的方法和技巧
二次根式化简与计算的方法和技巧根式（或称为根号）是数学中一个重要的概念，在许多数学问题中都会涉及到根式的计算与化简。
在本文中，我将介绍一些二次根式化简与计算的方法和技巧。
一、根式的化简方法1.合并同类项：对于具有相同根号的根式，可以将它们合并为一个根式，并进行运算。
例如，√3+√2+√3=2√3+√22.有理化分母：当根式的分母为根号时，可以通过有理化分母将其转化为有理数。
有理化分母的方法有两种：一是乘以分子分母的共轭复数；二是进行分式的乘法和除法。
例如，√2/(√2+1)可以有理化分母得到(√2/(√2+1))*((√2-1)/(√2-1))=(√2-1)。
3.化简复数根式：对于具有复数根号的根式，可以使用以下性质进行化简：(1)√(-a)=i√a（其中i为虚数单位）(2) √(ab) = √a * √b（其中a和b为非负实数）4.有理数展开：对于一些特殊的根式，可以将其展开为有理数的形式。
例如，√5可以展开为√5=√(4+1)=√(2^2+1)=2√(1/4+1/2)=2√(3/4)=2√3/2=√3二、根式的计算技巧1.四则运算：根式可以进行加法、减法、乘法和除法等四则运算。
在进行四则运算时，需要进行化简和合并同类项的操作。
2.分解因式：对于一些具有完全平方数的根式，可以通过分解因式的方法进行计算。
例如，√12=√(4*3)=2√33.二次根式的乘除法：当进行二次根式的乘法或除法时，可以根据根式的性质进行相应的计算。
例如，√3*√5=√(3*5)=√15；√3/√2=(√3/√2)*(√2/√2)=√(3*2)/√2=√6/√2=√34.化简复杂根式：对于一些形式较为复杂的根式，可以使用分解因式、合并同类项、有理化分母等方法进行化简。
例如，√(6+√8)=√[(√2)^2+√8]=√[2+2√2]=√2*√(1+√2)。
5.平方差公式：当进行根式的乘法和除法时，可以利用平方差公式进行计算。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是指具有2次方根号的数学表达式，它在数学中有着广泛的应用。
在数学运算中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除以及化简等操作。
本文将介绍二次根式的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的加减运算对于具有相同根指数的二次根式，我们可以通过合并系数进行加减运算。
例如：√2 + √3 = √2 + √3 （无法合并）√2 + √2 = √2 + √2 = 2√2当根指数或根数不同的时候，我们无法进行直接相加或相减。
例如：√2 + √3 （无法直接相加）这种情况下，我们可以使用有理化的方法将根式的根指数或根数相同，然后再进行加减操作。
有理化的方法有以下两种常见形式：1. 乘法有理化：a√n + b√n = (a + b)√n （其中 a 和 b 为任意实数）2. 共轭有理化：a√n + b√m = (a√n + b√m)×(√n - √m) / (√n - √m) = (a√n√n - b√m√n +b√m√n - b√m√m) / (√n - √m)二、二次根式的乘除运算1. 乘法运算：a√n × b√m = ab√n√m （其中 a 和 b 为任意实数）2. 除法运算：(a√n) ÷ (b√m) = (a√n) / (b√m) = (a / b) × (√n / √m) = (a / b) × (√n√m / √m√m) = (a / b) × (√nm / m)三、二次根式的化简当根式中的根数是平方数的倍数时，我们可以将其化简为整数形式。
例如：√4 = 2√9 = 3当根式中存在约数时，我们可以将其提出并化简。
例如：√18 = √9 × √2 = 3√2对于复杂的二次根式，我们可以应用上述的运算规则进行多次化简，直至得到最简形式。
总结：通过本文的介绍，我们了解了二次根式的运算方法，包括加减乘除和化简。
二次根式的基本运算
二次根式的基本运算二次根式是高中数学中的重要内容，它在数学中发挥着重要的作用。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的基本运算。
对于二次根式的加减乘除，我们将逐一探讨其运算规则和示例。
一、二次根式的加法运算要进行二次根式的加法运算，首先要保证根号下的数相同。
如果根号下的数相同，我们可以直接将系数相加。
例如：√2 + √2 = 2√2√3 + 2√3 = 3√3对于不同的根号下的数相加，我们无法简化，只能保留原样，表达为：√2 + √3二、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法类似，也要保证根号下的数相同。
如果根号下的数相同，我们可以直接将系数相减。
例如：√5 - √2 = √5 - √22√3 - √3 = √3对于不同的根号下的数相减，我们同样无法简化，保留原样即可，表达为：√5 - √3三、二次根式的乘法运算要进行二次根式的乘法运算，我们可以运用分配律的规则，将系数和根号下的数分别相乘。
例如：√2 * √3 = √62√5 * 3√2 = 6√10对于相同根号下的数相乘，我们可以将系数相乘，根号下的数保持不变。
例如：2√5 * 3√5 = 6 * 5 = 30四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算需要运用到有理化的方法。
具体方法是将分母有理化，即乘以分母的共轭式，并利用乘法法则进行运算。
例如：√6 / √2 = (√6 * √2) / (√2 * √2) = √12 / 2 = √12 / 2√2 = √32√10 / √5 = (2√10) / (√5) = (2√10 * √5) / (√5 * √5) = 2√50 / 5 = 2 *√(25 * 2) / 5 = 2 * √50 / 5 = 2 * 5√2 / 5= 2√2综上所述，二次根式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于加法和减法，我们只需保证根号下的数相同，将系数相加或相减即可。
对于乘法和除法，我们要运用分配律和有理化的方法进行计算。
二次根式的化简与运算规则
二次根式的化简与运算规则在初等代数中，我们经常会遇到各种根式的化简与运算问题。
其中，二次根式（即包含平方根的式子）是一种常见形式。
在本文中，我们将介绍二次根式的化简方法和相应的运算规则。
一、二次根式的化简当我们遇到一个二次根式，想要化简它时，可以遵循以下方法：1. 化简平方根的因数如果二次根式中的平方根有因数，我们可以将其化简为一个不含平方根的数。
例如，√12可以化简为2√3。
2. 合并同类项如果二次根式中的多个平方根具有相同的根指数，并且它们的系数可以合并，我们可以将它们合并为一个平方根。
例如，3√2 + 2√2可以合并为5√2。
3. 分解平方根的积当二次根式中有平方根的积时，我们可以使用分解平方根的积的方法进行化简。
例如，√8可以分解为√4 * √2，即2√2。
4. 使用有理化方法当二次根式中存在分母为平方根的情况时，我们可以使用有理化方法进行化简。
例如，1/√3可以有理化为√3/3。
总之，在化简二次根式时，我们可以运用因式分解、合并同类项和有理化等方法，以将其化简为更简洁的形式。
二、二次根式的运算规则在对二次根式进行运算时，有以下几个基本的运算规则：1. 二次根式的加减运算当我们对二次根式进行加减运算时，需要保证相同根指数的平方根项相同。
例如，√5 + 2√3 - √5可以化简为2√3。
2. 二次根式的乘法运算当我们对二次根式进行乘法运算时，可以将它们的系数和根指数相乘，并将相同根指数的平方根项合并。
例如，2√3 * 3√2可以化简为6√6。
3. 二次根式的除法运算当我们对二次根式进行除法运算时，可以将分子和分母的系数和根指数相除，并将相同根指数的平方根项合并。
例如，(4√6)/(2√3)可以化简为2√2。
需要注意的是，在进行二次根式的运算时，可能会遇到需要化简的情况。
因此，在运用运算规则时，我们需要结合化简方法进行综合运算。
总结：二次根式的化简与运算是初等代数中的重要内容。
通过本文的介绍，我们了解了二次根式的化简方法，包括化简平方根的因数、合并同类项、分解平方根的积和有理化方法等。
二次根式的运算技巧
二次根式的运算技巧二次根式是指具有根号的形式，其中被开方数是一个含有字母或非完全平方数的算式。
在解题时，我们常常需要进行一系列的运算来简化和化简这些二次根式，使得它们更易于计算和操作。
以下是一些常用的二次根式的运算技巧：1. 合并同类项：这个技巧可以应用在二次根式加减法中。
当二次根式中的被开方数相同，我们可以将它们合并在一起，然后在根号外面的系数上进行加减运算。
例如：√3 + √3 = 2√3√2 - √2 = 02. 分解因式：这个技巧可以应用于二次根式乘法中。
我们可以将二次根式的因式分解为两个二次根式的乘积，然后再进行运算。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √63. 有理化分母：这个技巧可以应用于二次根式的除法中。
有理化分母是指将二次根式分母中的根号消去，通过将分子和分母同时乘以分母的共轭来实现。
例如：√3 / √2 = (√3 / √2) * (√2 / √2) = √(3 * 2) / 2 = √6 / 2 = √6 / 2 * √2 / √2 = √12 / 2√2 = √12 / 2 * √2 / 2 = √6 / 2 * √2 / 2 = (√6 * √2) / 4 = √12 / 4 = √34. 提取公因式：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，在二次根式中找出可以提取出来的公因式来简化和化简计算。
例如：√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√25. 合并同底数：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，当多个二次根式具有相同的底数时，我们可以将它们合并在一起，然后在根号外面的系数上进行运算。
例如：√2 * √3 + √2 * √5 = √(2 * 3) + √(2 * 5) = √6 + √106. 平方差公式：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，对于两个二次根式a和b，我们可以利用平方差公式来计算它们的乘积或除法。
例如：(√a + √b) * (√a - √b) = a - b7. 平方和公式：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，对于两个二次根式a和b，在某些情况下，我们可以利用平方和公式来计算它们的乘积或除法。
初中数学解题技巧之二次根式与复数的运算
初中数学解题技巧之二次根式与复数的运算二次根式和复数在初中数学中是一个非常重要的概念，掌握了二次根式和复数的运算技巧可以帮助我们解决各种数学题目。
本文将介绍二次根式和复数的运算规则以及解题技巧，帮助读者更好地应用于解题过程中。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，首先要保证二次根式的根号内的表达式相同，然后根据加减法的规则进行运算。
例如：√2 + √3 = √2 + √3 (根号内的表达式相同)= √(2 + 3) (根号内的表达式相同，合并为一个根号)= √52√2 - √8 = 2√2 - 2√2 (根号内的表达式相同)= 02. 二次根式的乘法运算对于两个二次根式的乘法运算，可以直接将根号内的数相乘，并化简合并同类项。
例如：√3 × √5 = √(3 × 5) = √15(2√2) × (3√5) = 2 × 3 × √(2 × 5) = 6√103. 二次根式的除法运算对于两个二次根式的除法运算，可以将根号内的数相除，并化简合并同类项。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3(4√8) ÷ (2√2) = 4 ÷ 2 × √(8 ÷ 2) = 2√4 = 44. 二次根式的化简当二次根式中存在完全平方数时，可以将其化简为一个整数。
例如：√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3√75 = √(25 × 3) = √25 × √3 = 5√3综上所述，掌握二次根式的运算规则和化简技巧，可以帮助我们更好地解决相关题目。
二、复数的运算1. 复数的表示复数由实部和虚部组成，一般形式为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，i^2 = -1。
例如：2 + 3i-4 - 5i2. 复数的加减运算对于两个复数的加减运算，可以将实部和虚部分别相加减。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中的一个重要概念，是指具有根号的算式。
二次根式的运算是我们在解决数学问题中经常会遇到的一个基本操作。
本文将为您详细介绍二次根式的运算方法和相关的数学知识。
一、二次根式简介二次根式由一个或多个根号组成，其中根号下的数称为被开方数，例如√2、2√3等。
在二次根式的运算中，我们常常需要将二次根式进行加减乘除、化简、分解等操作。
接下来，我们将分别介绍这些运算方法。
二、加减运算1. 同类项相加减：对于同类项的二次根式，可以直接进行相加或相减。
例如√2 + √3 = √5，2√3 - √3 = √3。
2. 非同类项相加减：对于非同类项的二次根式，我们需要先将它们化为同类项，然后再进行运算。
例如√2 + 2√3，我们可以将√2写为2√2/√2，然后进行化简得到2√6/√2 + 2√3 = 2√6 + 2√6 = 4√6。
三、乘法运算二次根式的乘法运算遵循以下规律：1. 根号相乘：对于根号相乘的情况，可以直接将根号下的数相乘。
例如√2 * √3 = √6。
2. 同类项相乘：对于同类项相乘的情况，直接相乘即可。
例如2√2* 3√3 = 6√6。
3. 非同类项相乘：对于非同类项相乘的情况，我们可以将它们进行合并，然后进行化简。
例如(2√2)(3√5)，我们可以将2√2看作一个整体x，化简得到3x√5 = 6√10。
四、除法运算二次根式的除法运算遵循以下规律：1. 根号相除：对于根号相除的情况，可以直接将根号下的数相除。
例如√6 / √2 = √3。
2. 同类项相除：对于同类项相除的情况，直接相除即可。
例如2√6 / √2 = 2√3。
3. 非同类项相除：对于非同类项相除的情况，我们可以将它们进行合并，然后进行化简。
例如(6√10) / (2√2)，我们可以将6√10看作一个整体x，化简得到3x√2 = 3√20。
五、化简与分解1. 化简：对于二次根式的化简，我们要尽量将根号下的数化简为最简形式。
高二数学解二次根式方程与不等式的方法与技巧
高二数学解二次根式方程与不等式的方法与技巧解二次根式方程与不等式是高二数学中的重要内容，掌握解题方法和技巧对于深入理解数学知识和应对考试具有至关重要的意义。
本文将介绍解二次根式方程与不等式的几种常用方法和技巧。
一、分离平方项对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的二次根式方程，一种常见的解法是利用“分离平方项”的方法，将方程转化为平方完全平方的形式。
举例说明：解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$。
首先将方程进行变形，得到$(x+2)^2 - 9 = 0$，然后移项得到$(x+2)^2 = 9$。
进一步开方可得$x+2 = ±3$，解得$x = 1$和$x = -5$。
因此，方程的解为$x = 1$和$x = -5$。
二、配方法配方法是解二次根式方程的另一种常用技巧，适用于形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程。
具体步骤如下：1. 将方程的一元二次项与常数项的系数分别除以首项系数$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。
2. 根据二次项与一次项的中间项是$a×c$的结果，设法将一元二次方程配成一个完全平方。
3. 根据配方的思想，将一元二次方程配成$(x + m)^2 = k$的形式。
4. 利用解方程的方法，解出方程中的未知数$x$。
举例说明：解方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$。
首先将方程分别除以首项系数2，得到$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$。
通过配方法，我们可以得到$(x - \frac{5}{4})^2 - \frac{9}{16} = 0$。
进一步化简，得到$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$。
解得$x -\frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$，即$x = \frac{2}{4}$和$x = 2$。
因此，方程的解为$x = \frac{2}{4}$和$x = 2$。
初中数学二次根式的学习技巧
初中数学二次根式的学习技巧
初中数学二次根式的学习技巧主要包括以下几个方面：
1.理解二次根式的概念：首先，要理解什么是二次根式，以
及它的基本形式。
二次根式是指根指数为2的根式，也就是平方根。
例如，√4就是一个二次根式，它的值是2。
2.掌握二次根式的性质：二次根式具有一些基本的性质，如
非负性、算术平方根的定义等。
这些性质是解二次根式方程和不等式的基础，需要熟练掌握。
3.化简二次根式：化简二次根式是学习二次根式的重要步
骤。
化简二次根式的方法包括提取公因式、利用平方差公式等。
通过化简，可以将复杂的二次根式转化为简单的形式，方便进行计算。
4.掌握二次根式的运算：二次根式的运算包括加法、减法、
乘法和除法。
在进行二次根式的运算时，需要注意运算的顺序和法则，以及根式的化简。
5.注意二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使根式有
意义的未知数的取值范围。
在进行二次根式的计算时，需要注意定义域的限制，避免出现无意义的根式。
6.大量练习：通过大量的练习，可以加深对二次根式概念、
性质和运算方法的理解，提高解题速度和准确性。
7.注意细节：在学习二次根式时，要注意细节问题，如符号
的处理、根式的化简等。
这些细节问题看似简单，但却是容易出现错误的地方。
以上就是初中数学二次根式的学习技巧。
希望对你有所帮助！。
二次根式的巧运算
二次根式的运算是初中数学的重点，在计算与化简二次根式的过程中，只要能够认真挖掘问题的结构特征，寻求恰当而巧妙的解题途径，便可达到化繁为简的目的。
以下是几种常见的二次根式运算的方法，供大家参考。
1．巧用定义。
例：化简分析：由二次根式定义知解答：由已知得方法规律：运用二次根式定义求出式中字母的隐含条件。
2．巧用平方法。
例：求的值。
分析：观察式子，发现结果大于0，若设，注意到互动为有理化因式，两边平方即可。
解答：设两边平方得：3．巧用乘法公式。
例：化简分析：观察到式中根号内的被开方数可化为完全平方的形式，故逆用公式变形，再用化简。
解答：4．巧用配方法。
例：化简分析：显然，结合分母的特点适当添、拆项后利用完全平方公式和平方差公式解决。
解答：5．巧用拆项法。
例：化简：分析：观察式子，不难发现分子中可拆为。
解答：6．巧用因式分解法。
例：计算分析：显然先算完全平方式很麻烦，若运用平方差公式，先分解因式，可达到化繁为简的目的。
7．巧用换元法。
例：计算分析：本题特点为分子与分母的和和积为一常数，故可用换元法。
解答：设且8．巧用幂的性质。
例：化简分析：式子。
解答：9．巧用通分法。
例：计算分析：观察分母特点，发现第二个分母为第一个分母的倍，故可先通分。
解答：10．巧用约分法。
分析：解答：总之，对于二次根式的有关计算，只要同学们学会根据题目的结构特点，灵活应变，即可达到事半功倍之效。
二次根式的运算法则归纳与总结
二次根式的运算法则归纳与总结二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中扮演着重要的角色。
为了能够更好地进行二次根式的运算，我们需要归纳和总结相应的运算法则。
本文将带领读者一起来探索二次根式的运算法则及其应用。
一、加减运算法则对于形如√a ± √b的二次根式，可以应用以下加减运算法则：1. 当根内无理数部分相同时，即a = b，可进行如下加减运算：√a ± √b = √2a（±1）例如：√5 + √5 = 2√52. 当根内无理数部分不同时，即a ≠ b，需将二次根式化简后再进行加减运算：√a ± √b = √(a ± b ± 2√ab)例如：√7 + √3 = √(7 + 3 + 2√(7 × 3)) = √10 + √21二、乘法运算法则对于形如√a × √b的二次根式，可以应用以下乘法运算法则：√a × √b = √(ab)例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6三、除法运算法则对于形如√a ÷ √b的二次根式，可以应用以下除法运算法则：√a ÷ √b = √(a ÷ b)例如：√8 ÷ √2 = √(8÷ 2) = √4 = 2四、合并同类项法则对于形如k√a ± m√b的二次根式，其中k和m为常数，a和b为非负实数，可以应用以下合并同类项法则进行化简：k√a ± m√b = √(ka) ± √(mb)例如：3√2 + 2√3 = √(3 × 2) + √(2 × 3) = √6 + √6 = 2√6五、有理化分母法则当二次根式的分母是二次根式时，我们需要进行有理化分母操作，具体步骤如下：1. 分母乘以其共轭形式，即将分母中二次根式的正负号取反；2. 分子分母同时化简；3. 化简后的二次根式无分母，得到最终结果。
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
高中数学二次根式方程解题技巧
高中数学二次根式方程解题技巧在高中数学中，二次根式方程是一个重要的知识点，也是数学竞赛中经常出现的题型。
解二次根式方程需要掌握一些解题技巧，本文将介绍一些常见的解题方法，并通过具体的例子来说明。
一、基本概念回顾在解题之前，我们需要回顾一下二次根式方程的基本概念。
二次根式方程是指形如√(ax^2+bx+c)=0的方程，其中a、b、c是已知实数，x是未知数。
解二次根式方程的目标是求出方程的解x。
二、分离变量法分离变量法是解二次根式方程的一种常用方法。
通过将方程两边进行平方运算，可以将方程转化为一个一次方程或二次方程来求解。
例1：解方程√(x+4)=2解法：将方程两边进行平方运算，得到x+4=4。
然后将方程两边同时减去4，得到x=0。
所以方程的解为x=0。
通过这个例子可以看出，通过分离变量法可以将二次根式方程转化为一次方程，从而更容易求解。
三、配方法配方法是解二次根式方程的另一种常用方法。
通过对方程进行适当的变形，使得方程中含有一个完全平方的项，从而方便求解。
例2：解方程√(x+1)-√(x-3)=2解法：首先，我们可以将方程两边的根号去掉，得到x+1-(x-3)=4。
然后将方程进行整理，得到4x=8。
最后，将方程两边同时除以4，得到x=2。
所以方程的解为x=2。
通过这个例子可以看出，通过配方法可以将二次根式方程转化为一个一次方程，从而更容易求解。
四、提取公因式法提取公因式法是解二次根式方程的一种常用方法。
通过提取方程中的公因式，可以简化方程的形式，从而更容易求解。
例3：解方程√(2x^2+8x)=4√(2x)解法：首先，我们可以将方程两边进行平方运算，得到2x^2+8x=16x。
然后将方程进行整理，得到2x^2+8x-16x=0。
接下来，我们可以提取公因式，得到2x(x+4-8)=0。
最后，根据零乘法，得到x=0或x=4。
所以方程的解为x=0或x=4。
通过这个例子可以看出，通过提取公因式法可以简化方程的形式，从而更容易求解。
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数学解题方法谈10：二次根式的运算技巧
在二次根式的运算中,首先弄清它的最本的两条性质:
一、分母有理化
例1、例如计算6－23－1
时，这是一道课本题,教学时都做成： 解：6－23－1=(6－2)(3＋1)(3－1)(3＋1)=32－6＋6－2(3)2－1 = 222= 2 但是我们可以这样解：6－23－1=2(3－1)3－1= 2 可省许多力. 因此运用一些相应的方法可以把某些题目的运算化繁为简.
二、巧用乘法公式
例1、计算：（1）(1＋2＋3)(1＋2－3)(1－2＋3)(－1＋2＋3)
（2）(2＋3－6)2－(2－3＋6)2 解：（1）原式=[](1＋2)2－(3)2 []－(1－2)2＋(3)2=22·2 2 =8 （2）原式=[](2＋3－6)＋ (2－3＋6) [](2＋3－6)－ (2－3＋6) =22·2( 3 －6)=46－8 3 三、巧用因式分解
例2、化简下列各式：（1）(2＋3＋5)(32＋23－30)（2）12－23－1
解：（1）原式=(2＋3＋5)·6(2＋3－6) =6[](2＋3)2－(5)2=6·26=12
（2）原式=2(3－1)3－1=2
例4、先化简，再求值 x ＋xy xy ＋y ＋xy －y x －xy
，其中：x=3＋1 ，y=3－1 解：∵x ＞0，y ＞0 ∴原式=x(x ＋y)y(x ＋y)＋y(x －y)x(x －y)=x y ＋y x = x ＋y xy
∵ x=3＋1 y=3－1 ∴ x ＋y=2 3 xy=(3＋1)(3－1)=2 ∴原式=232
= 6 四、巧用根式定义
例5、（1）若x 、y 是实数，且2x －1＋1－2x ＋y=4 则xy 的值是（ ）
（A ）0 （B ）12
（C ）2 （D ）不能确定 （97无锡中考题） （2）若、是实数，且y =
x 2－4＋4－x 2＋2x ＋2 求y x 的值 解：（1）由题设知2x －1≥0，1－2x ≥0得x=12
代入已知式得y=4 ∴xy=2 故选（C ） （2）由x 2－4≥和4－x 2≥0 知x 2=4 ∴x=±2
∵x ＋2≠0 ∴x≠－2 ∴x ＝2 则y ＝12 ∴ y x = ⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14
五、巧用换元法
例6、计算：n ＋2＋n 2－4n ＋2－n 2－4＋n ＋2－n 2－4n ＋2＋n 2－4
(n ＞2)
解：设n ＋2＋n 2－4=x n ＋2－n 2－4=y
则 x ＋y=2n ＋4 xy=4n ＋8 ∴原式=x y ＋y x =(x ＋y)2－2xy xy =(2x ＋4)2－2(4n ＋8)4n ＋8=(2n ＋4)(2n ＋4－4)2(2n ＋4)
=n
=12a 2－1
= 12x －1= 12－1=2＋1 例8、计算：
3－5－3＋ 5 解：设x=3－5－3＋ 5 则＜0
∵x 2=()
3－5－3＋52 =3－5－2(3－5)( 3＋5)＋3＋5=6－4 = 2 ∴ x= 2 即3－5－3＋5=－ 2
六、巧用对称式
例9、已知x=3＋23－2 ，y=3＋23＋2
求x y ＋y x 的值 解：由已知得：x ＋y=3＋23－2 3＋23＋2
=－(3＋2)2－(3－2)2=－14 xy=1 ∴ x y ＋y x =x 2＋y 2xy = (x ＋y)2－2xy xy =(－14)2－2×11
=194 七、巧取倒数
例10、已知：x 2x 2－2=11－3－2 ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x －11＋x ÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫x x 2－1＋x 的值 解：把已知式两边都取倒数得x 2－2x 2=1－3－ 2 即1－2x 2
=1－3－ 2
∴－
2
x2
=－(3＋2)
∴原式=
2x
1－x2
·
x2－1
x3
=－
2
x2
=－(3＋2) =－2－ 2
例11、化简：15－5－3＋3 5＋23－1
解：设原式=，则1
a=
(5＋3)＋(3－1)
(5＋3) (3－1)
=
1
3－1＋
1
5＋3
=
3＋1
2＋
5－3
2=
5＋1
2
∴原式=
2
5＋1
=
5－1
2
八、巧添项和拆项
例12、化简
26
2＋3＋5
解：分母中的三项有以下的关系：(2)2＋(3)2－(5)2=0
∴原式=2(6)＋(2)2＋(3)2－(5)2
2＋3＋5
=
(2＋3)2－52
2＋3＋5
=(2＋3＋5)( 2＋3－5)
2＋3＋5
= 2＋3－5
例13、化简22＋33＋5
( 5＋3)( 2＋3)解：∵33=3＋2 3
∴原式=
22＋33＋5
( 5＋3)( 2＋3)
=
1
3＋2＋
1
5＋3
=3－2＋5－3=5－ 2
九、巧用配方法
例14、计算：a＋2＋4a－2＋a＋2－4a－2 其中a≥2 解：∵a＋2＋4a－2=(a－2)＋4a－2＋4=(a－2＋2)2
a＋2－4a－2=(a－2)－4a－2＋4=(a－2－2)2
∴原式=丨a－2＋2丨+丨a－2－2|
例15、若有理数a、b、c满足2a＋2b－1＋2c－2 =a＋b＋c 求abc的值解：∵、、是有理数，并对等式进行变形得：
a－2a＋b－2b－1＋c－2c－2=0
左边配方：(a－2a＋1)＋(b－1－2b－1＋1)＋c－2－2c－2＋1=0
(a－1)2＋(b－1－1)2＋(c－2－1)2=0
十、整体求值法：
例16、当x=
1
2－3
求x2－4x＋2 的值
解：由已知得x=
1
2－3
=2＋ 3 ∴x－2= 3 则(x－2)2=3
∴x2－4x＋4=3 x2－4x＋2=1 附件：试题摘录
计算：
1
1＋3＋
1
3＋5
＋
1
5＋7
＋…＋
1
2005＋2007
=1
2(3－1＋5－3＋7－5＋…＋2007－2005)
=1
2(2007－1)=
3
2(223－1)
例2、计算：9－45－6－25=(5－2)－(5－2)=－1
例3、设a表示
1
3－5
的小数部分，求a(2a＋1) 的值.
解：∵
1
3－5
=
3＋5
4又1＜
3＋5
4＜2 ∴a =
3＋5
4－1=
5－1
4
∴a(2a＋1)=5－1
4×(2×
5－1
4＋1)=
5－1
4×
5＋1
2=
1
2
例4、已知x=222…y=2＋2＋2＋…则和的关系为（）
（A）x=y （B）x=2+y （C）x=2y （D）2x=y
解：∵x2=22x 且x＞0 ∴x=2 ∵y=2＋y ∴y2=2＋y
∵y＞0 ∴y=2 ∴x=y 故选（A）
例5、化简：3633×3635×3639×3641＋36－3633×3638
解：设a=3637 则原式=(a－4)(a－2)(a＋2)(a＋4)＋36－(a－1)(a＋1)
=(a2－16)(a2－4)＋36－a2＋1=(a2－10)2－a2＋1= a2－10－a2＋1=9例6、已知a、b满足a1－b2＋b1－a2=1 求证：a2＋b2=1
解：∵a1－b2＋b1－a2=1 ∴a1－b2=1－b1－a2
∴(a1－b2)2=(1－b1－a2)2∴a2(1－b2)=1－2b1－a2＋b2(1－a2) ∴1－a2－2b1－a2＋b2=0 ∴则(1－a2－b)2=0
∴1－a2=b ∴1－a2=b2故得证：a2＋b2=1
例7、化简：2＋3＋2－3－3＋22－3－22＋8
解：原式=4＋23
2＋
4－23
2－3＋22－3－22＋2 2
=
2
2(3－1)(2＋1)－(2－1)=6－22＋22= 6 敬请看看我的数学解题方法谈1------10.。