实验三信号抽样及信号重建.doc

实验三 信号抽样及信号重建

一、实验目的

1、进一步理解信号的抽样及抽样定理；

2、进一步掌握抽样信号的频谱分析；

3、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理；

二、实验原理及方法

1、信号的抽样及抽样定理

抽样（Sampling ），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离散时间序列（Discrete-time sequence ），

图3-1给出了信号理想抽样的原理图：

上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（Bandlimited Signal ），其频率范围为

m m ωω~-，抽样脉冲为理想单位冲激串（Unit Impulse Train ），其数学表达式为：

∑∞

∞--=)()(s nT t t p δ 3.1

由图可见，模拟信号x(t)经抽样后，得到已抽样信号（Sampled Signal ）x s (t)，且：

)()()(t p t x t x s = 3.2

将p(t)的数学表达式代入上式得到：

∑∞

∞

--=)()()(s s s nT t nT x t x δ 3.3

显然，已抽样信号x s (t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被x(nT s ) 加权了。 从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为：

图3-1 (a) 抽样原理图，(b) 带限信号的频谱

(a)

(b)

∑∞

∞

--=)()}({s s n t p F ωωδω 3.4

根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换之间的卷积。所以，已抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：

∑∞

-∞

=-=

n s

s

s n j X T j X ))((1

)(ω

ωω 3.5

表达式4.5告诉我们，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(j ω)，则已抽样信号x s (t) 的傅里叶变换X s (j ω)等于无穷多个加权的移位的X(j ω)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连续时间信号的频谱以抽样频率ωs 为周期进行周期复制的结果。如图3-2所示：

3.6

在MA TLAB 中，对信号抽样的仿真，

例题 设连续时间信号为一个正弦信号 x(t) = cos(0.5πt)，抽样周期为T s = 1/4秒，编程序绘制信号x(t)和已抽样信号x[n]的波形图。

范例程序3-1,Sampling 如下：

% Sampling clear, close all, t = 0:0.01:10;

Ts = 1/4; % Sampling period

n = 0:Ts:10; % Make the time variable to be discrete x = cos(0.5*pi*t);

xn = cos(0.5*pi*n); % Sampling subplot(221)

plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t') subplot(222)

stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n') 执行该程序后，得到的波形图如图3-3所示。

)

(ωj P ω

s

ωs ω-s

ωM

M 图3-2 信号抽样及其频谱图

图3-3 连续时间信号及其抽样后的离散时间序列

在这个范例程序中，先将连续时间t进行离散化，使之成为以Ts = 1/4秒的离散时间n，然后，将n代入到信号x(t) 的数学表达式中计算，就完成了抽样过程，且得到了抽样后的离散时间序列x[n]。

2、信号抽样过程中的频谱混叠

为了能够观察到已抽样信号的频谱是否会存在混叠现象，或者混叠程度有多么严重，有必要计算并绘制出已抽样信号的傅里叶变换。

根据式3.5可计算出已抽样信号的频谱。其中，主要利用了一个for循环程序完成周期延拓运算。Program3-2

% Program

clear, close all,

tmax = 4; dt = 0.01;

t = 0:dt:tmax;

Ts = 1/10;

ws = 2*pi/Ts;

w0 = 20*pi; dw = 0.1;

w = -w0:dw:w0;

n = 0:1:tmax/Ts;

x = exp(-4*t).*u(t);

xn = exp(-4*n*Ts);

subplot(221)

plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'),

xlabel('Time t'), axis([0,tmax,0,1]), grid on

subplot(223)

stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'),

xlabel('Time index n'), axis([0,tmax/Ts,0,1]), grid on

Xa = x*exp(-j*t'*w)*dt;

X = 0;

for k = -8:8;

X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt;

end

subplot(222)