作业及答案

2、解：设
Xi
=
⎧1 ⎨⎩0
数
∑ 第i人兑换
第i人没兑换
500
i = 1，2 ，... 5,00 ，其中 X = Xi 为来兑换人
i =1
X
1
0
0.4
0.6
n
∑ E( Xi ) = 0.4; D( Xi ) = 0.24; ∴ X = Xi & N (500× 0.4,500× 0.24)
i =1
设准备 N 元就能以 99.9% 的把握满足客户的兑换
5
3、 解：（1）设 Y 为 5 家商店两周的总销售量，则 Y = ∑ X i 服从正态分布，
i =1
由于 X1, X 2 , X 3 , X 4，X 5 相互独立且都服从正态分布，所以
5
E(Y ) = ∑ E( X i ) = 200 + 240 + 180 + 260 + 320 = 1200 ,
X i ~ U (0,12 ) ， E( X i ) = 6 ， D( X i ) = 12 ， i = 1, 2 ,L,10000 .
10000
设供电站每天要向居民供电的量为 N, 居民每天用电量为 Y = ∑ Xi ，
i =1
则由题意有
P(Y ≤ N ) ≥ 0.99
由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
第四讲 大数定律和中心极限定理 作业及参考答案
一、填空题
1.设随机变量 X 的方差为 2，根据切比雪夫不等式，则有
P{| X − E( X ) |≥ 2} ≤
。
2.设 X1，X2，…,Xn,…是一列独立同分布的随机变量序列，均服从参数为 λ 的泊 松分布，且满足切比雪夫大数定律的条件，则有
lim
n→∞
P{
1 n
n
∑x
i =1
i
−
λ
< ε} =
__________。
3.设随机变量 X～B (100，0.5)，应用中心极限定理可算得 P{40<X<60}≈______。 (附： Φ (2)=0.9772)
4.若随机变量 X 服从二项分布 B(10000, 0.8) ，由中心极限定理，有
P( X − 8000 < 40) ≈
。
二、计算题 1、某供电站供应本地区一万户居民用电，已知每户每天用电量（单位：度）
均匀分布于区间[ 0，12]上。现要求以 99%的概率保证本地区居民的正常用电， 问供电站每天至少要向居民供应多少度电？ (用中心极限定理近似计算，已知 Φ(2.33) = 0.99 .)
2、银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放 了 500 张，每张须付本息 1000 元，设持券人（1 人 1 券）到期日到银行领取本息的 概率为 0.4 ，问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9% 的把握满足客户的兑换。 Φ(3.01) = 0.999
500
P(0 ≤ 1000∑ Xi ≤ N ) = 0.999
i =1
N − 500× 0.4
∴ Φ(1000
) = 0.999 ∴
500× 0.24
N − 500× 0.4
1000
= 3.01， N > 232972.898
500× 0.24
所以银行只须准备 233000 元就能以 99.9% 的把握满足客户的兑换。
i =1
D(Y
)
=
D⎜⎛
5
∑
X
i
⎞ ⎟
=
5
∑
D(
X
i
)
=
225
+
240
+
225
+
265
+
270
Байду номын сангаас
=
1225
;
⎝ i=1 ⎠ i=1
5
(2) 由（1）知 Y = ∑ X i ~ N (1200,352 ) ,设 y 表示仓库存储量，依题意，
i =1
P{Y
≤
y}
=
Φ⎜⎛
y
− 1200
⎞ ⎟
>
0.99
⎝ 35 ⎠
大于 0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？（ Φ (2.33)=0.99）
参考答案
一、填空题 1、1/2 2、1
3、0.95
4、 0.6826.
二、计算题
1 、 解 设 X i 为 第 i 户 居 民 每 天 的 用 电 量 , X1, X2,L, X10000 独 立 同 分 布 ，
3、有 5 家商店联营，设它们每两周售出的某产品的数量（以 kg 计）分别为
X 1, X 2 , X 3 , X 4，X 5 , 已知 X 1 ~ N (200,225) ， X 2 ~ N (240,240) ， X 3 ~ N (180,225) ，
X 4 ~ N (260,265) ， X 5 ~ N (320,270) ，且 X 1, X 2 , X 3 , X 4，X 5 相互独立。 （1）求 5 家商店两周的总销售量的期望与方差； （2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率
P(Y
≤
N)
=
P
⎛ ⎜ ⎝
Y
− 10000 × 100 12
6
≤
N
−10000× 100 12
6
⎞ ⎟ ⎠
≈
Φ
⎛ ⎜ ⎝
N
− 10000 × 100 12
6⎞ ⎟ ⎠
即
Φ
⎛ ⎜⎝
N
− 10000 × 100 12
6
⎞ ⎟⎠
≥
0.99
N −10000× 6 = 2.33 .故 N=60403.6（度） 100 12
∴ y − 1200 > 2.33,即y > 1281.55 35
故商店的仓库应至少存储 1282kg 该产品。