统计学常用公式

公式一

1.众数【MODE ]

(1) 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算

未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。 (2) 组距分组数据众数的计算

对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组， 再根据下面

的公式计算计算众数的近似值。

下限公式：

M 0

二L+ 1

— i

△l

+心2

式中：M o 表示众数；L 表示众数的下线；."■：!表示众数组次数与上一组次数之差；■"■： 2表示 众数组次数与下一组次数之差；i 表示众数组的组距。

上限公式：

M o 二i

式中：U 表示众数组的上限。

2.中位数【MEDIAN ]

(1)未分组数据中中位数的计算

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。 设一组数

据按从小到大排序后为X 1

，X 2

,…，X N

，中位数M e

，为则有：

M e =X ( N+1) 当N 为奇数

1

I

I

M e 二-X N +X N

当N 为偶数

2

2

+1

(2)分组数据中位数的计算

分组数据中位数的计算时，要先根据公式 N / 2确定中位数的位置，并确定中位数所在的 组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

式中：M e

表示中位数；L 表示中位数所在组的下限；S m-1

表示中位数所在组以下各组的累 计次数；f m

表示中位数所在组的次数；d 表示中位数所在组的组距

M e = L+ i=1

2

-S

m-1

3.均值的计算【AVERAGE ]

(1)未经分组均值的计算

未经分组数据均值的计算公式为:

(2)分组数据均值计算

k

y x

一x i f i+x 2 +2 +X k f k _ 仁i

x= --- k~

fi + f2+ill+f k 實

i=4

4.几何平均数【GEOMEAN ]

几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为:

式中：G表示几何平均数；|丨表示连乘符号

5.调和平均数【HARMEAN ]

调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数, 与加权

调和平均数两种计算形式。

它有简单调和平均数

简单调和平均数：H= n

H= 1 1 1

+ +•••+ —

X i x2 x n

n

口

id x i

加权调和平均数：H

= m i+m2+…+m n

=凹+匹+...+m

X i x2x n

n

二m i

i T

J m

id x i

x=

x1+x x

f i

1

分组数据均值的计算公式为:

6 .极差【Range]

极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即

R 二m a 冬-mxi n

式中：R表示极差；max区)和min区)分别表示一组数据的最大值与最小值。

7 .平均差【Mean Deviation】

平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

式中：AD表示平均差

8 .方差【Variance]和标准差【Standard Deviation]

方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为：J x-X 2 i电

分组数据方差的计算公式为：' Xj _~x

i

=1

(1)根据未分组资料的计算公式：

n

送X -X

i A D =^-

n

(2)根据分组资料的计算公式：AD= Z x i-x f i

n

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为:

未分组数据:

分组数据:

式中：二表示标准差。

9.离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准 差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为： V .-一 =—

x

式中：V ；「表示离散系数。

10 .偏态【SKEW ]

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。 利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分 布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系 数了。

11.峰值【KURT ]

EXCEL 中峰值系数的计算公式为:

2

3(n -1) n-1 n-3

EXCEL 中偏态系数的计算公式为:

n £円

(n j n -2二.s 一

WF £ 日]

n

T Y n -2 I n -3 ) g i s j

(1)样本均值的标准差

样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差，它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为:

重复抽样方式:

；「2

N

-n

\ n N-1

通常情况下，当N很大时，(N-1 )几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

在公式中，二是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。

(2)大样本均值的极限误差

(3)大样本下总体均值的区间估计

总体均值的置信度为(1 )的置信区间:

X 一乙云X」—X z 2二x

_ CT _ CT

即X -Z-.2 x z，2

(4)总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计

总体均值的置信度为(1 -：)的置信区间：

X —t： 2二X < —X t/ X

-J- X t：.2

公式二

不重复抽样方式：