初中数学解直角三角形单元综合复习测试题试卷

解直角三角形测试题姓名__________,班级_______专项训练一：锐角三角函数的计算锐角三角函数求值大致分为两类：一是求一般锐角三角函数值，二是求特殊锐角三角函数值，在解题过程中要根据已知条件，采取灵活的方法．求一般锐角三角函数值 类型1：根据边的比值求函数值1．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝3，AC ＝6，则cos B ＝_____，tan A ＝____．2．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8.现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是________．(第2题) (第3题) (第4题) (第5题)类型2：巧用网格或平面直角坐标系求锐角三角函数值3．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是( )A .23B .32C .21313 D .313134．如图，在平面直角坐标系中，点P(3，m)是第一象限内的点，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为43，则sin α的值为( ) A .45 B .54 C .35 D .535．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A .12 B .13 C .14 D .24求特殊三角函数值类型1：利用特殊锐角三角函数值进行简单的计算 7．求下列各式的值．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°.类型2：逆用特殊锐角三角函数值求角的度数8．在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A －1|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝________．9．求满足下列条件的锐角α.(1)sin α＝22； (2)9cos (α－16°)＝3 3.类型3：巧用特殊锐角三角函数值求一般三角函数值 10．求sin 15°，tan 75°和sin 22.5°，tan 67.5°的值．专项训练二：三角函数与几何的综合三角函数并不仅仅体现在直角三角形中，对于非直角三角形或其他图形中求三角函数值，往往转化到直角三角形中去求，同时三角函数通常和几何图形中的三角形、四边形、相似形等综合考查，如求线段的长度、角的度数、某些角的三角函数值、几何图形的面积等．三角函数与三角形的综合1．如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，点E 是AC 边的中点，BC ＝14，AD ＝12，sin B ＝45，求：(1)线段DC 的长； (2)tan ∠EDC 的值．三角函数与四边形的综合2．如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，求tan ∠DBE 的值．3．如图，在四边形ABCD 中，∠C＝60°，∠B ＝∠D＝90°，AD ＝2AB ，CD ＝3，求BC 的长．三角函数与相似形的综合4．如图，矩形ABCD 的边AB 上有一点P ，且AD ＝53，BP ＝45，以点P 为直角顶点的直角三角形的两条直角边分别交线段DC ，BC 于点E ，F ，连结EF ，求tan ∠PEF 的值．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE⊥AP，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE ； (2)当a ＝3时，连结DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由； (3)当tan ∠PAE＝12时，求a 的值．6．如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin∠OBD=（ ） A ． B ． C ． D ．7.如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM=AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC=2，△AMH 的面积是，则的值是 ．专项训练三：三角函数与一次函数、反比例函数的综合三角函数与一次函数、反比例函数的综合，一般是先根据三角函数关系式求出相关线段的长，然后由函数图象与几何图形的相交情况建立方程(组)，求得函数解析式．从而求出点的坐标、线段长度、图形的面积等；反之，也有的根据函数解析式求出需要的线段的长，进而求得必要的三角函数值，以便于解决函数或几何中的其他问题．三角函数与一次函数的综合1．如图，已知A 点坐标为(5，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，连结AB ，α＝75°，求b 的值．2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°，A(－3，0)，C(1，0)，tan ∠BAC ＝34. (1)写出过点A ，B 的直线对应的函数解析式； (2)在x 轴上找一点D ，连结DB ，使得△ADB 与△ABC 相似(不包括全等)，并求点D 的坐标．三角函数与反比例函数的综合3．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y ＝2x 的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数y ＝kx 的图象上，且OA⊥OB，cos ∠BAO＝33，求k 的值．4．如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A(23，1)，射线AB 与反比例函数的图象交于另一点B(1，a)，射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC＝75°，AD⊥y 轴，垂足为D.(1)求k 的值；(2)求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式．专项训练四：思想方法荟萃本章主要学习了锐角三角函数、解直角三角形及其应用，体现的主要思想方法有：方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等．方程思想1．马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，如图，我国两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B 在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.74)(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．分类讨论思想2．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离CD是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)转化思想3．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．数形结合思想4．如图所示，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O，B，C，A，P在同一平面内，求山坡的坡度．(参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)答案专项训练一1.55；122.724点拨：设AE＝x，则BE＝x，CE＝8－x，由题意得62＋(8－x)2＝x2，解得x＝254，∴AE＝254，CE＝74∴tan∠CBE＝CEBC＝746＝724.3．B 4.A 5.B6．解：(1)∴sin89°≈0.999 8.(2) cos45.32°≈0.703 1.(3) tan60°25′41″≈1.762 3.(4)sin67°28′35″≈0.923 7.7.解：(1)原式＝2×12－2×22＝1－1＝0.(2)原式＝33－32·12＝312.8．75°点拨：由题意得：tan A－1＝0，cos B－12＝0，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(45°＋60°)＝75°.9.解：(1)sin2α＝22，2α＝45°，α＝22.5°.(2)6cos(α－16°)＝33，cos(α－16°)＝32，α－16°＝30°， α＝46°.10．解：如图，在Rt △A BC 中，∠B AC ＝30°，∠C＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴CD＝(2＋3)a.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a.∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24；cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24；tan 15°＝tan D ＝BCBD＝a （2＋3）a＝2－ 3.(第10题)专项训练二1．解：(1)在Rt △ABD 中，∵AD＝12，sin B ＝AD AB ＝45，∴AB＝15.∴BD＝AB 2－AD 2＝152－122＝9. ∴DC＝BC －BD ＝14－9＝5.(2)过点E 作EF⊥CD 于点F.∵AD⊥BC，∴EF∥AD，又点E 为AC 边的中点，∴EF 是△ADC 的中位线．∴EF ＝12AD ＝6，DF ＝12DC ＝52.∴tan ∠EDC＝EF DF ＝652＝1252．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB.∵cos A ＝35，BE ＝4，DE⊥AB，∴设AD ＝AB ＝5x ，AE ＝3x ，则5x －3x ＝4，x ＝2，即AD ＝10，AE ＝6，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：DE ＝102－62＝8，在Rt △BDE 中，tan ∠DBE＝DE BE ＝84＝23．解：延长DA ，CB 交于点E ，∵在Rt △CDE 中，∠C＝60°，CD ＝3，∴DE＝33，EC ＝6.∵AD＝2AB ，∴设AB ＝k ，则AD ＝2k ，∵∠C＝60°，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠E＝30°.∵在Rt △ABE 中，sin E ＝AB AE ＝12，tan E ＝AB EB ＝33，∴AE＝2AB ＝2k ，EB ＝3AB ＝3k ，∴DE＝4k ＝33，解得k ＝334，∴EB＝94，∴BC＝6－94＝1544．解：过点E 作EM⊥AB 于点M ，∵∠PEM＋∠EPM＝90°，∠FPB＋∠EPM＝90°， ∴∠PEM＝∠FPB.又∵∠EMP＝∠PBF＝90°，∴△EPM∽△PFB. ∴PF EP ＝BP ME ＝BP AD ＝1225，∴tan ∠PEF＝PF EP ＝1225. 5．解：(1)设CE ＝y ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°. ∵BP＝a ，CE ＝y ，∴PC＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∠APB＋∠CPE＝90°， ∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP，∴△ABP∽△PCE，∴BP CE ＝AB PC ，∴y＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD＝BC ＝5，AD∥BF，∴△AED∽△FEC，∴AD CF ＝DECE，∴CF＝3，∴PF＝PC ＋CF ＝5.∴AD＝PF ，∴四边形APFD 是平行四边形．在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF ， ∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan ∠PAE＝12可得AP PE ＝2，易得△ABP∽△PCE，∴BP CE ＝AB PC ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a＝3或7.专项训练三1．解：∵直线y ＝x ＋b(b ＞0)是由直线y ＝x 向上平移b 个单位得到的，∴∠BCO＝45°.又∵α＝75°，∴∠BAO＝α－∠BCO＝75°－45°＝30°.在Rt △ABO 中，tan ∠BAO＝BOAO ，∴BO＝tan ∠BAO·AO＝tan30°×5＝533.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，533.将B ⎝⎛⎭⎪⎫0，533的坐标代入y ＝x ＋b 得：b ＝533 2．解：(1)y ＝34x ＋94；(2)过点B 作BD ⊥AB，交x 轴于D ，则Rt △ABC∽Rt △ADB，点D 即为所求．由tan ∠DBC＝tan ∠BAC＝34，BC ＝3，得CD ＝BC·tan ∠DBC＝94，故OD ＝OC ＋CD ＝134，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，0. 3．解：过A 作AE⊥x 轴于点E ，过B 作BF⊥x 轴于点F ，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF＋∠EOA ＝90°.∵∠BOF＋∠FBO＝90°，∴∠EOA＝∠FBO.∵∠BFO＝∠OEA＝90°，∴△BFO∽△OEA.在Rt △AOB 中，cos ∠BAO＝AO AB ＝33.设AB ＝3，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝ 2. ∴OB∶OA＝2∶1，∴S △BFO ∶S △OEA ＝2∶1.∵A 在反比例函数y ＝2x 的图象上，∴S △OEA ＝1，∴ S △BFO ＝2，则k ＝－4. 4．解：(1)k ＝23×1＝23；(2)由反比例函数y ＝23x(x ＞0)得，点B 的坐标为(1，23)，于是有∠BAD＝45°，∴∠DAC＝30°，tan ∠DAC＝33，AD ＝23，则由tan ∠DAC＝CD AD ＝33可得CD ＝2，C 点的纵坐标是－1，且直线过点A(23，1)，则直线AC 的解析式为y ＝33x －1.专项训练四1．解：(1)过点P 作PE⊥AB 于点E ，由题意得，∠PAE＝36.5°，∠PBA＝45°， 设PE 为x 海里，则BE ＝PE ＝x 海里， ∵AB＝140海里，∴AE＝(140－x)海里，在Rt △PAE 中，PE AE ＝tan ∠PAE，即：x140－x ≈0.74，解得：x≈60，∴可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离约为60海里． (2)在Rt △PBE 中，PE≈60海里，∠PBE＝45°， 则BP ＝2PE≈602≈85(海里)， B 船需要的时间约为：8530≈2.83(小时)，在Rt △PAE 中，PEAP＝sin ∠PAE，∴AP＝PE÷sin ∠PAE≈60÷0.6＝100(海里)， ∴A 船需要的时间约为：100÷40＝2.5(小时)， ∵2.83＞2.5，∴A 船先到达P 处．点拨：本题运用了方程思想，设出一条关键线段的长，将与之有联系的线段的长用含未知数的代数式表示出来，然后利用三角函数值建立方程来解决．2．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米．sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B＝30°.∵PB＝PC ，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt △CDP 中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°， (第2题)∴DP＝CD tan ∠CPD ＝30tan 60°＝103(千米)． 在Rt △ADC 中，∵∠A＝ 45°，∴AD＝DC ＝30千米．∴AP＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．(2)如图②，同法可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米．∴AP＝AD －DP ＝(30－103)千米．答：交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．3．解：方法一：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交CD 于点E ，过点E 作EF∥AB 交AD 于点F ，则BE⊥AB，EF⊥AD，∴四边形ABEF 是矩形，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝360°－90°－90°－120°＝60°在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE＝503×tan 30°＝503×33＝50. 在Rt △DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB＋12BC·EC＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝ 4 700 3.(第3题)方法二：如图②所示，延长DA ，CB ，交于点E ，则∠ABE＝60°，∠E＝30°.在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90，BE ＝AB cos 60°＝60 3. ∴CE＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3.在Rt △DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110. ∴S 四边形ABCD ＝S △EDC －S △EAB ＝12×110×1103－12×90×303＝4 700 3. 点拨：本题运用了转化思想，方法一是适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；方法二是通过补形，把不规则四边形化为直角三角形．两种方法的实质都是将四边形问题转化为直角三角形问题来求解．4．解：过点P 作PD⊥OC 于D ，PE⊥OA 于E ，则四边形ODPE 为矩形．在Rt △PBD 中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD·tan ∠BPD＝PD·tan 26.6°；在Rt △CPD 中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝37°，∴CD＝PD·tan ∠CPD＝PD·tan 37°；∵CD－BD ＝BC ，∴PD·tan 37°－PD·tan 26.6°＝80，∴0.75PD－0.50PD≈80，解得PD≈320米，∴BD＝PD·tan 26.6°≈320×0.50＝160(米)，∵OB＝220米，∴PE＝OD ＝OB －BD≈60米，∵OE＝PD≈320米，∴AE＝OE －OA≈320－200＝120(米)，∴tan α＝PE AE ≈60120＝0.5. 点拨：本题运用了数形结合思想，通过解直角三角形求出某些线段的长，从而求出无法直接测量的宽度或高度、坡度等．。