高数9-2(第二型曲线积分)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 原式 OA 2xydx x2dy AB 2 xydx x2dy
第二型曲线积分
一、引例：变力做功问题 二、第二型曲线积分的概念与性质 三、第二型曲线积分的计算法 四、两类曲线积分的关系
1/28
一、引例 变力做功问题
F (i ,i )
y
Mi1 •
Mi
•
yi
•
M n1
•B M n
L xi
• M2 • M1
L:A B
A • M 0
O
x
F( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j
(2) L : x x( y) y起点为c, 终点为d
则 L P( x, y)dx Q( x, y)dy
d
c {P[ x( y), y]x( y) Q[ x( y), y]}dy
12/28
x (t)
(3) 推广
:
y
(t ),
t起点 , 终点
z (t)
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
解 (1) 化为对 x 的积分.
L : y x2 , x从0变到1,
原式
1
(2x
x2
x2
2 x )dx
0
4 1 x3dx 1. 0
y x2
B(1,1)
A(1,0)
14/28
(2) 化为对 y 的积分. L : x y2 , y从 0 变到 1 ,
原式 1 (2 y2 y 2 y y4 )dy 0 5 1 y4dx 1. 0
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
P[
(t
),
(t
)] (t
)dt
Q[
(t
),
(t
)]
(t
)dt
11/28
特殊情形 (1) L : y y( x) x起点为a, 终点为b
则 L P( x, y)dx Q( x, y)dy b a{P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx
L
L1
L2
(2) 设 L是有向曲线弧 , L是与L方向相反的
有向曲线弧, 则
yL
P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
L
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
O
x
对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.
9/28
三、第二型曲线积分的计算
思想是 化为定积分计算.
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 因此下限应是起点的坐标, 上限是终点的 坐标.
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i
,i ,
i
)xi
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)yi
n
R( x,
y, z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i , i )zi
8/28
6. 性质
y L L2
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L1 O
x
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
xi
Q(i ,i ) yi ]
精确值
3/28
二、第二型曲线积分的概念和性质
1. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑
曲线弧,函数P( x, y),Q( x, y)在L上有界. 用L上的点: M1( x1, y1 ), M2( x2, y2 ), M n1( xn1 , yn1 ) 把L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2,, n; M0 A, Mn B).设xi xi xi1 , yi yi yi1 , 点(i ,i )为Mi1Mi 上任意取定的点.
lim
0
i 1
Q(i
,i
)yi
称 Q( x, y)在有向曲线弧 L上对坐标y的曲线积分.
5/28
2. 存在条件 当P( x, y),Q( x, y)在光滑曲线弧L上连续,
第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
P( x, y)dx Q( x, y)dy F ds “点积”形
F (i ,i )
Mi
B
••
Mn
即 Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi
Mi1 •
y • Mn1 i
L • M2 xi
n
求和 W Wi i 1
• M1
A• M 0
O
x
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ]
近似值
i 1
n
取极限
W
lim
0i1
[
P(i
,i
)
{P[ (t), (t), (t)](t) Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
13/28
例1 计算L 2xydx x2dy,其中L为 (1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0),(1,1).
常力沿直线所作的功 W F AB
分割
A
M0 , M1( x1,
y1
),
,
M
n1
(
xn1
,yn1
),
Mn
B
Mi1Mi (xi )i (yi ) j
2/28
M i 1 M i
(xi
)i
(yi ) j
取 F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
取近似 Wi F (i ,i ) Mi1Mi y
10/28
定理 设P( x, y), Q( x, y)在曲线弧L上有定义且
连续,
L的参数方程为
x y
(t)
,
(t)
当参数t单调地
由变到时,点M( x, y)从L的起点A沿L运动到
终点B,(t), (t)在以及为端点的闭区间上具
有一阶连续导数, 且2(t) 2(t) 0,则
曲线积分L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在, 且
4/28
如果当各小段长度的最大值 0时 ,
n
P(i ,i )xi的极限总存在, 则称此极限为函数
i 1
P( x, y)在有向曲线弧 L上 对坐标x的曲线积分,
或称 第二型曲线积分.记作 P( x, y)dx,即 L
n
ห้องสมุดไป่ตู้
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P(i
,i
)xi
n
类似地定义 Q( x, y)dy L
L
L
其中
F
P,Q,
ds
dx,
dy.
式
6/28
4. 物理意义
变力F
P( x,
y)i
Q( x,
y) j
沿A⌒B所作的功W
W A⌒B F ds
ds
dx,dy.
A⌒B (Pi Qj ) (dxi dyj )
⌒ Pdx Qdy AB
7/28
5. 推广
空间有向曲线弧Γ, Pdx Qdy Rdz
第二型曲线积分
一、引例：变力做功问题 二、第二型曲线积分的概念与性质 三、第二型曲线积分的计算法 四、两类曲线积分的关系
1/28
一、引例 变力做功问题
F (i ,i )
y
Mi1 •
Mi
•
yi
•
M n1
•B M n
L xi
• M2 • M1
L:A B
A • M 0
O
x
F( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j
(2) L : x x( y) y起点为c, 终点为d
则 L P( x, y)dx Q( x, y)dy
d
c {P[ x( y), y]x( y) Q[ x( y), y]}dy
12/28
x (t)
(3) 推广
:
y
(t ),
t起点 , 终点
z (t)
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
解 (1) 化为对 x 的积分.
L : y x2 , x从0变到1,
原式
1
(2x
x2
x2
2 x )dx
0
4 1 x3dx 1. 0
y x2
B(1,1)
A(1,0)
14/28
(2) 化为对 y 的积分. L : x y2 , y从 0 变到 1 ,
原式 1 (2 y2 y 2 y y4 )dy 0 5 1 y4dx 1. 0
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
P[
(t
),
(t
)] (t
)dt
Q[
(t
),
(t
)]
(t
)dt
11/28
特殊情形 (1) L : y y( x) x起点为a, 终点为b
则 L P( x, y)dx Q( x, y)dy b a{P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx
L
L1
L2
(2) 设 L是有向曲线弧 , L是与L方向相反的
有向曲线弧, 则
yL
P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
L
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
O
x
对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.
9/28
三、第二型曲线积分的计算
思想是 化为定积分计算.
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 因此下限应是起点的坐标, 上限是终点的 坐标.
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i
,i ,
i
)xi
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)yi
n
R( x,
y, z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i , i )zi
8/28
6. 性质
y L L2
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L1 O
x
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
xi
Q(i ,i ) yi ]
精确值
3/28
二、第二型曲线积分的概念和性质
1. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑
曲线弧,函数P( x, y),Q( x, y)在L上有界. 用L上的点: M1( x1, y1 ), M2( x2, y2 ), M n1( xn1 , yn1 ) 把L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2,, n; M0 A, Mn B).设xi xi xi1 , yi yi yi1 , 点(i ,i )为Mi1Mi 上任意取定的点.
lim
0
i 1
Q(i
,i
)yi
称 Q( x, y)在有向曲线弧 L上对坐标y的曲线积分.
5/28
2. 存在条件 当P( x, y),Q( x, y)在光滑曲线弧L上连续,
第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
P( x, y)dx Q( x, y)dy F ds “点积”形
F (i ,i )
Mi
B
••
Mn
即 Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi
Mi1 •
y • Mn1 i
L • M2 xi
n
求和 W Wi i 1
• M1
A• M 0
O
x
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ]
近似值
i 1
n
取极限
W
lim
0i1
[
P(i
,i
)
{P[ (t), (t), (t)](t) Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
13/28
例1 计算L 2xydx x2dy,其中L为 (1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0),(1,1).
常力沿直线所作的功 W F AB
分割
A
M0 , M1( x1,
y1
),
,
M
n1
(
xn1
,yn1
),
Mn
B
Mi1Mi (xi )i (yi ) j
2/28
M i 1 M i
(xi
)i
(yi ) j
取 F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
取近似 Wi F (i ,i ) Mi1Mi y
10/28
定理 设P( x, y), Q( x, y)在曲线弧L上有定义且
连续,
L的参数方程为
x y
(t)
,
(t)
当参数t单调地
由变到时,点M( x, y)从L的起点A沿L运动到
终点B,(t), (t)在以及为端点的闭区间上具
有一阶连续导数, 且2(t) 2(t) 0,则
曲线积分L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在, 且
4/28
如果当各小段长度的最大值 0时 ,
n
P(i ,i )xi的极限总存在, 则称此极限为函数
i 1
P( x, y)在有向曲线弧 L上 对坐标x的曲线积分,
或称 第二型曲线积分.记作 P( x, y)dx,即 L
n
ห้องสมุดไป่ตู้
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P(i
,i
)xi
n
类似地定义 Q( x, y)dy L
L
L
其中
F
P,Q,
ds
dx,
dy.
式
6/28
4. 物理意义
变力F
P( x,
y)i
Q( x,
y) j
沿A⌒B所作的功W
W A⌒B F ds
ds
dx,dy.
A⌒B (Pi Qj ) (dxi dyj )
⌒ Pdx Qdy AB
7/28
5. 推广
空间有向曲线弧Γ, Pdx Qdy Rdz