【智博教育原创专题】浅析函数中双变量的任意与存在问题

【智博教育原创专题】浅析函数中双变量的

任意与存在问题

浅析函数中双变量的任意与存在问题

邓冬华冷世平

恒成立、能成立问题是高中数学的一类重要问题,也是高中数学的难点.这类问题的解决通常思维容量较大,往往需要等价转化.解决一个变量的任意与存在问题是比较简单的,但对于两个变量的任意与存在问题,学生普遍觉得比较困难.

请看下面的问题：引例：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x0时,f(x)x24x.求f(x)的解析式,并解不等式f(x)x；设g(x)2x1m,若对任意x1[1，4],总存在x2[2，5],使f(x1)g(x2),求实数m的取值范围.

对于问题,标答如下：当x1[1，4]时,f(x1)[3，4].

∵g(x)2x1m是R上的增函数,∴当x2[2，5]时,g(x2)[2m，16m], ∵对任意x1[1，4],总存在x2[2，5]使f(x1)g(x2),∴[3，4][2m，16m],

2m3则,解得12m5,故实数m的取值范围是[12，5].

16m4本例出现的“x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)”的结构,就是所说的双变量的任意与存在问题.本例的解答过程中的[3，4][2m，16m],很多学生想不通,或想得不够自然.对于两

个变量的任意与存在问题有没有学生更容易接受的解决策略呢？这正是要探讨的

内容.

一、任意与存在问题的四种类型

记区间D1,D2分别是函数yf(x),yg(x)定义域的子区间.双变量的任意与存在问题包含以下四种基本类型：类型1. x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmin(x)gmax(x).其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任一函数值均大于函数yg(x)的任一函数值,只需fmin(x)gmax(x)即可.同理有：x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmin(x).

例1 已知f(x)8x216xk(kR),g(x)2x35x24x.若对x1、x23,3,都有f(x1)g(x2)成立,求k的取值范围.

分析与解：本题的关键是对条件“对x1、x23,3,都有f(x1)g(x2)成立”进行处理.上面的分析知,其等价于f(x)maxg(x)min,故先判定单调性求其相应的最值.

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f(x)8x216xk=8(x1)2k8,g'(x)6x210x42(x1)(3x2)知, f(x)在[3,1]单调递减,在[1,3]单调递增,且

f(3)24k,f(3)120k,fmax(x)120k.

22g(x)在[3,1]单调递增,在[1,]上单调递减,在[，3]上单调递增,且

33228g(3)21,g ,g(x)min21.

327120k21k141,即k[141,)

类型2.x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmin(x)gmin(x).其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的任一函数值大于函数yg(x)的某些函数值,但并不要求大于yg(x)的所有函数值,故只需fmin(x)gmin(x)即可.

同理有：x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmax(x).

125例 2 设函数fxlnxx,若对于1．函数gxx22bx1233x,]x1[1,2x2[0,1],使fx1gx2成立,求实数b的取值范围．

分析与解：已知“对于x1[1,2],x2[0,1],使f(x1)g(x2)成立”g(x)在0,1上的最小值小于等于f(x)在1,2上的最小值,先分别求函数f(x),g(x)的最小值,最后解不等式g(x)minf(x)min得实数b的取值范围．

2易知函数f(x)在(1,2)上单调递增,故f(x)在[1,2]上fmin(x)f(1)；

355又g(x)x22bx(xb)2b2,x[0,1]

121252①当b0时,g(x)在[0,1]上为增函数,gmin(x)g(0),舍去

1235215②当0b1时,gmin(x)g(b)b2,b2及0b1得,b1

212312

72③当b1时,g(x)在[0,1]上为减函数,g(x)ming12b及b1得b1.

1231 综上,b的取值范围是[,).

2类型3.x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmax(x). 其等价转化的基本思想

是：函数yf(x)的某些在函数值大于函数yg(x)的任一函数值,只需要yf(x)有函数值大于即可,不是所有函数值,故只需fmax(x)gmax(x)即可.

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同理有：x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmin(x)gmin(x). 例3 已知函数g(x)2x2exln，h(x)x2mx4,若x1(0,1],对x2[1,2],x2总有g(x1)h(x2)成立,求实数m的取值范围.

分析与解：本题的关键在于：x1(0,1],对x2[1,2],总有g(x1)h(x2)成立g(x)在(0,1]上的最大值大于等于h(x)在[1,2]上的最大值.

2ex2x2x2g(x)2xln,得g(x)0,故在(0,1]上g(x)0,即函数g(x)2x2x在(0,1]上单调递增,g(x)maxg(1)ln21.

而h(x)在[1,2]上的最大值为h(1),h(2)中的最大者,记为max{h(1),h(2)}.

g(1)ln21h(1)g(1)ln215m则有,解得m6ln2. ，g(1)ln21h(2)g(1)ln2182m故实数m的取值范围为[6ln2,).

类型4.x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)fmax(x)gmin(x).其等价转化的基本思想是：函数yf(x)的某些函数值大于函数yg(x)的某些函数值,都只需要有这样的函数值,不需要所有的函