三角函数求值域专题

三角函数求值域专题

求三角函数值域及最值的常用方法：

(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),

利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，

(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx

12

(2)y 4sin x 3cosx

(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.

(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)

(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;

二倍角公式的应用：

女口. ( 1) y sin x cos2x

3

(2)函数的最大值等于3.

4

(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •

(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •

(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •

(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；

a sin x b

型如f(x) 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：

ccos x d

①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；

②利用万能公式求解；

③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

例1 ：求函数y sinx的值域。

cosx 2

结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。

3

3

例2.求函数的最小值.

解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此

时，所以的最小值为.

(4) 换元法•

识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数y

cosx sinx

_变形为 2

y cosx sin x

2y ，二 sin( x )

2y 1 y 2

|sin(x )| 理 1

V 1 y

2

(2y)

y2

，解得：彳

，故值域是

3]

解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式

sin x -

1 2t cosx 口;，代入

1 t 2

sinx

得到

cosx 2

2t

2

厂沪则有3yt

2t

0知：当t

0,则y

满足条件；当

0，由

2

4 12y 0 ,

乜，故所求函数的值域是

3

解法4：利用重要不等式求解：由万能公式

sinx -

1

2t T ， cosx

.代入

t 2

sinx

得到

cosx 2

0,

2t

1 3t 2

0时，则y 0,满足条件；当t 0时,

2 1" t 3t

——,如果t >

3t)

2 ([)(3t)

2 ~1 (：3t)

2 2、

于，此时即有

如果t

2、( ；)( 3t)

彳，此时有0 y 于。综上:

此函数的值域是

代数换元法代换：

t 2

1 y sin xcosx sinx cosx 令：sinx cosx t,则y

t 再用配

方、 例题：求函数的最大值

.

(5) 降幕法

例2.已知函数，.

(I )求的最大值和最小值;

解：(I)

又，，即,

(n),,

且，，即的取值范围是.

(5)典型应用题

解：设，则，则, 当时，有最大值为. 型如 ・ 2

y a sin x bsinx cosx c(a 0)型。此类型可利用倍角公式、降幕公式进行降次、 整理为y Asin 2x B cos2x 型再利用辅助角公式求出最值。

时x 的值。

求函数 f(x) 5 . 3cos 2 x . 3sin 2x 4sin xcosx( —

4

£)的最值，并求取得最值

解：由降幕公式和倍角公式，得

-1 cos2x f(x)

5 3

-1 cos2x

、3 ---------- 2si n2x

2 .

3 cos3x 2sin 2x 3.3

4cos(2x 7 — x 4

24

2 3

2x

3 4

J cos(2x 2

f (x)的最小值为 3.3

2 2，此时x

, f (x)无最大值。

24

(II )若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.

扇形的半径为1中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值.

解：连接，设，则,，

，所以当时，在圆弧中心位置，•

类型6:条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）

例1.已知，求的最大值与最小值.

解：（1）由已知得：，，贝U.

，当时，有最小值；当时，有最小值.

例2:已知3sin22sin22si n，求y・2 sin2

sin 的取值范围。

解•/ 3sin22sin2 2 si n

・2

,••• sin3sin 2sin2

•/ 0 sin1

2

3 . 2

sin sin0o

2解得0sin2

3 . 23

sin sin1

2

・2・2 1 . 21 2 1

y sin sin sin sin—(sin1)-

222

2

-0 sin o

3

sin a =0 时，y min

；sin-时，y max

4

0 sin2・2 sin

4

o

399

例3 : 求函数y.X . 1 X 的最大值和最小

值，

并指出当

x分别为何值时取到最大值和最小

值。

解：T定义域为0< x< 1,可设x cos2 X且0 —

2

1 x2

1 cos sin2,0

2

• •• y cos2■- sin2sin cos 2 si n()

4