三角函数求值域专题

三角函数求值域专题
求三角函数值域及最值的常用方法：
(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),
利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，
(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx
12
(2)y 4sin x 3cosx
(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.
(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)
(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;
二倍角公式的应用：
女口. ( 1) y sin x cos2x
3
(2)函数的最大值等于3.
4
(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •
(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •
(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •
(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；
a sin x b
型如f(x) 型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：
ccos x d
①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；
②利用万能公式求解；
③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

例1 ：求函数y sinx的值域。

cosx 2
结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。

3
3
例2.求函数的最小值.
解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此
时，所以的最小值为.
(4) 换元法•
识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数y
cosx sinx
_变形为 2
y cosx sin x
2y ，二 sin( x )
2y 1 y 2
|sin(x )| 理 1
V 1 y
2
(2y)
y2
，解得：彳
，故值域是
3]
解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式
sin x -
1 2t cosx 口;，代入
1 t 2
sinx
得到
cosx 2
2t
2
厂沪则有3yt
2t
0知：当t
0,则y
满足条件；当
0，由
2
4 12y 0 ,
乜，故所求函数的值域是
3
解法4：利用重要不等式求解：由万能公式
sinx -
1
2t T ， cosx
.代入
t 2
sinx
得到
cosx 2
0,
2t
1 3t 2
0时，则y 0,满足条件；当t 0时,
2 1" t 3t
——,如果t >
3t)
2 ([)(3t)
2 ~1 (：3t)
2 2、
于，此时即有
如果t
2、( ；)( 3t)
彳，此时有0 y 于。

综上:
此函数的值域是
代数换元法代换：
t 2
1 y sin xcosx sinx cosx 令：sinx cosx t,则y
t 再用配
方、 例题：求函数的最大值
.
(5) 降幕法
例2.已知函数，.
(I )求的最大值和最小值;
解：(I)
又，，即,
(n),,
且，，即的取值范围是.
(5)典型应用题
解：设，则，则, 当时，有最大值为. 型如 ・ 2
y a sin x bsinx cosx c(a 0)型。

此类型可利用倍角公式、降幕公式进行降次、 整理为y Asin 2x B cos2x 型再利用辅助角公式求出最值。

时x 的值。

求函数 f(x) 5 . 3cos 2 x . 3sin 2x 4sin xcosx( —
4
£)的最值，并求取得最值
解：由降幕公式和倍角公式，得
-1 cos2x f(x)
5 3
-1 cos2x
、3 ---------- 2si n2x
2 .
3 cos3x 2sin 2x 3.3
4cos(2x 7 — x 4
24
2 3
2x
3 4
J cos(2x 2
f (x)的最小值为 3.3
2 2，此时x
, f (x)无最大值。

24
(II )若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.
扇形的半径为1中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值.
解：连接，设，则,，
，所以当时，在圆弧中心位置，•
类型6:条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）
例1.已知，求的最大值与最小值.
解：（1）由已知得：，，贝U.
，当时，有最小值；当时，有最小值.
例2:已知3sin22sin22si n，求y・2 sin2
sin 的取值范围。

解•/ 3sin22sin2 2 si n
・2
,••• sin3sin 2sin2
•/ 0 sin1
2
3 . 2
sin sin0o
2解得0sin2
3 . 23
sin sin1
2
・2・2 1 . 21 2 1
y sin sin sin sin—(sin1)-
222
2
-0 sin o
3
sin a =0 时，y min
；sin-时，y max
4
0 sin2・2 sin
4
o
399
例3 : 求函数y.X . 1 X 的最大值和最小
值，
并指出当
x分别为何值时取到最大值和最小
值。

解：T定义域为0< x< 1,可设x cos2 X且0 —
2
1 x2
1 cos sin2,0
2
• •• y cos2■- sin2sin cos 2 si n()
4
••• 0—,•
24
3 .返
4 4 ' 2
si n(-)1即1 y -2
•••当 —
—或 —
—，即B =0或
(此时
x=1 或 x=0), y=1 ；
4
4
4 4
2
当
-,
即
时
，
(此时x 1
),y 、2 ,
2
4
2
当x=0或x=1时， y 有最小值1;当 x 1
时, y 有最大值 、2。

2
【反馈演练】
1•函数的最小值等于 -1
2. ______________________________________________ 已知函数，，直线和它们分别交于 M N,则 _________________
3. 当时，函数的最1小值是
_4_ . 4.函数的最大值为— 5•函数的值域为 ______ 6•已知函数，则的值域是 ，最小值为3-
(3
1,1) 7•已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 &(1)已知，函数的最大值是 ____________ (2)已知，函数的最小值是
3 . 9•在△ OAB 中O 为坐标原点，，则当△ OAB 勺面积达最大值时， ______________ 10.已知函数.2
(I)求函数的最小正周期；
(H)求函数在区间上的最小值和最大值. 解：(I). 因此，函数的最小正周期为. (n)因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又,
故函数在区间上的最大值为，最小值为. 解法二：作函数f(x) .2sin 2x n 在长度 4
为一个周期的区间 n 9n 上的图象如下：
8 4
1 •
5
由图象得函数f(x)在区间 匸,3』上的最大值为
2，最小值为f 8 4
4
11 .若函数的最大值为，试确定常数 a 的值.
解：
因为的最大值为的最大值为 1,则所以 12.已知函数. (1)若.求使为正值的的集合;
(2)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围 解: (1)
又 •••
(2)当时，• 则，•
•••方程有实根，得•
【高考赏析】
(1)设函数 f (x)
, 3 cos 2 x sin xcos x
侧的第一个最高点的横坐标为
一。

6
(I )求 的值。

(II )如果f (x)在区间
上的最小值为 -.3 ，求的值。

3n
(其中
0, R )，且f(x)的图象在y 轴右
解：(I
) f(x) f cos2
sin 2
!si n2
2
虫
~2~
xf
依题意得2
解之得
6
1
2
.
(II)由(I )知,f(x)=si n(x+ 又当x 56时, 2
7 o,—
6
sin(x 1,
3)
5
3 , 6
因此，由题设知1 -i
2 2
从而f (x)在上取得最小值
2.已知函数f(x)= 3sin(2x —自+2$" 2
(I )求函数f(x)的最小正周期；⑵
2
「3 1
2 €
R)
求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
7t 解:(I) f(x)= 3sin(2 x-^)+1 —cos2(x—石)=2[
3 n 1 n -ysin2( x —石)—cos2( x—袒]+1
=2si n[2(
n n x—应—-]+1 = 2si n(2
(n)当f(x)取最大值时，sin(2 亠n , n
有 2 x —-3 =2 k n+2
5 n 5 n 即x=k n + 12 ( k € Z) 二所求x 的集合为{x € R| x= k n + (k€ Z)}.
12 ，
12 ，。