配凑法(高中版)

配凑法(高中版)

（第课时）

D

重点：1．；

2．；3．。

难点：1．；2．；

3．；。 把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式，用得最多的是配成完全平方式。它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它。

常用的基本配凑形式如下：

a 2

＋b 2

＝(a ＋b)2

－2ab ＝(a －b)2

＋2ab ； a 2

＋ab ＋b 2

＝(a ＋b)2

－ab ＝(a －b)2

＋3ab ＝(a ＋b 2

)2＋（32b ）2

；

a 2

＋b 2

＋c 2

＋ab ＋bc ＋ca ＝

12

[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2

] a 2

＋b 2

＋c 2

＝(a ＋b ＋c)2

－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2

－2(ab －bc －ca)＝… 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2

； x 2

＋

12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x

)2

＋2 ；…… 等等。 常用的基本配凑策略如下：

把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便利用已知条件。 把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等式右边）形式，以从中推出结论。

把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式左边）形式。

1．配凑法在化简求值中的应用

例.（高一）设 22

121=+-x

x ，求

3

2

12

32

3+-++--

x x x x 的值。

解：设 y x =21

，则由已知可得 21

=+y

y ，

---------------------------------------------------------精品 文档---------------------------------------------------------------------

而 543

2)1(2

33)1(31213

223223312

32

3

=+-++--+=++++

=+-++--y y y

y y y y

y y y x x x x 。

点评：本题是把把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式左边）变形，凑出变形后的题设（或等式右边）形式。

2．配凑法在恒等式和不等式证明中的应用

3．配凑法在方程中的应用

例.（高二）设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q )2+(q p

)2

≤7成立，求实数k 的取值范围。

解：方程 x 2＋kx ＋2=0 的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 ,

(p

q

)2

+(q p

)

2

＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 22222

2

2+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝

()k 2248

4

--≤7， 解之得 k ≤－10 或 k ≥10 。

又因为 p 、q 为方程x 2

＋kx ＋2=0的两实根， ∴ △＝k 2－8≥0 即 k ≥22 或 k ≤－22 ，

综上所述，k 的取值范围是：－10≤k ≤－22 或 22≤k ≤10。 点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p ＋q 与pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

4．配凑法在二次函数中的应用

例.（高一）函数y ＝log 12

(－2x 2

＋5x ＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 54]

B. [54,+∞)

C. (－12,54]

D. [5

4,3)

解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D 。

5．配凑法在数列中的应用

例.（高三）求和 n

x

x x x n

24212141211++++++++ 。 分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技巧，受此启发，如果把原题再配上一项

x

-11

，就可以进行累加了。 解：原式x x

x x x x n

n --+++++++-++=111214********* x x

x x x n

n --+++++++-=11121412122422

x

x n n --

-=

=++11121

2

1 点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式。

6．配凑法在复数中的应用

例.（高三）设非零复数a 、b 满足 a 2＋ab ＋b 2=0 ，求(

a

a b +)1998＋(b a b

+)1998 。 分析: 把已知式两边同时除以b 2

变形为 (a b )2＋(a b )＋1＝0 ，则 a b

＝ω （ω为1的立

方虚根），再把已知式配方为(a ＋b)2＝ab ，把二者代入所求式即可得解。

解法一: 把 a 2＋ab ＋b 2=0 变形为 (a b )2＋(a

b

)＋1＝0 ， 设ω＝

a b ，则ω2＋ω＋1＝0 ，可知ω为1的立方虚根，所以 1ω＝b

a

，ω3＝ω3＝1 ， 又由 a 2＋ab ＋b 2=0 变形得：(a ＋b)2＝ab ，

所以 (a a b +)1998＋(b a b

+)1998＝(a ab 2)999＋(b ab 2)999＝(a b )999＋(b a )999＝ω999

＋

ω

999

＝2 。

点评：本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。如果未联想到

2

31i

±-=

ω ，可以用下面的解法： 解法二：把a 2＋ab ＋b 2＝0变形为 (

a b )2＋(a b )＋1＝0 ，解出 b a

＝-±132i 后，化成

三角形式，代入所求表达式的变形式(a b )999＋(b a

)999

，再完成后面的运算。

解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由a 2

＋ab ＋b 2

＝0解出 a ＝

-±132

i

b ，代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

7．配凑法在三角中的应用

例.（高一）求证：8

sin

8sin 8

cos

4

cos 2cos x x x x x = 。

解：左边8

sin

82cos

4cos 4sin 48sin 82cos 4cos 8cos 8sin 8x x x x x x x x x ==