3 矩阵的相似标准形

2
,,
s
)
P
下的矩阵是 B P1AP.
8
例1
f Hom(C3, C3 )定义为：X (x, y, z)T ,
求f的特征值、特征向量。
x y f (X) x y
2z
9
例2
f Hom(C 22 , C 22 )定义为：X C 22 ,
f
(
X
)
1 1
11 X
求f的特征值、特征向量。
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
7
定理1
若A, B C nn是相似的，则 I A I B .
注：1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的特征多项式。
特别是,若f Hom(V ,V )在基1,2, ,s下的矩阵是A,
则f 在新的基
(1' ,
' 2
,
,
' s
)
(1
,
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
特征向量。
4
线性变换的特征值、特征向量
设 f 是线性空间V 上的线性变换，假设
0 F ， V 。若 f () 0
则称 0 是 f 的特征值，
i 1
16
化零多项式
设f (x)是多项式。若f ( A) O, 则A的特征值均是f (x) 0的根.
例：已知A2 A.证明： A的特征值只能是0或1。
17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A F nn ,C() I A .则C( A) O. 定理4：设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式，则C( f ) O.
其中，bj (1) j （A的j阶主子式）
n
特别地，b1 aii , bn (1)n A. i 1
14
矩阵的迹
n
定义：设A (aij )nn , 称 aii为A的迹，记为tr( A). i 1
命题：若A (aij )nn的特征值为1, 2 ,, n ,则
n
tr( A) i ,
定义：（线性变换的最小多项式）
百度文库21
定理5
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式，
则m(x) | C(x)，并且，对0 C, m(0 ) 0 C(0 ) 0。
22
例6
求下列矩阵的最小多项式：
a
a 1 a 1
a , a 0, a 1
a
a
a
23
第二节 Hamilton-Cayley定理
a24
a25
a31 a41
a32 a42
a33 a43
a34 a44
a35 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
13
特征多项式的计算
定理2：设A
aij
,则
nn
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
Schur引理：对A C nn , 存在酉矩阵U使得U H AU是上三角矩阵。
18
例4
设A
3 3
4 5
.求A1000
.
C() 2 2 3
19
例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
20
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式. 性质1：若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m(x) | (x). 性质2：任意矩阵的最小多项式是唯一的 性质3：如果矩阵A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
定理3：设A F nn ,C() I A .则C( A) O. 定理4：设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur引理：对A C nn , 存在酉矩阵U使得U H AU是上三角矩阵。
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
12
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
C() ( 1)( 1)2
化零多项式 设f (x)是多项式。若f ( A) O, 则A的特征值均是f (x) 0的根.
25
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式. 性质1：若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m(x) | (x). 性质2：任意矩阵的最小多项式是唯一的 性质3：如果矩阵A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
n
A
i 1
i
.
i 1
推论：若A, B相似，则tr( A) tr(B), A B .
15
例3 a1
b1
设
a2
,
b2
,
A
H .求A的特征值。
an
bn
2.r( AB) r( A),r(B);
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
特别地，b1 aii , bn (1)n A.
第三章
矩阵的相似标准形
1
矩阵与线性变换
本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一
组基，使得线性变换的矩阵最简单。
2
第一节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵， 0 是数，若存在 n 维
列向量 ，使得 ， 且 A 0
则称 0 是 A 的特征值，
是相应于特征值 0 的特征向量。
5
线性变换的可对角化问题
设V 是 n 维线性空间， f 是线性空间V 上的 线性变换，则存在V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
6
线性变换的特征值、特征向量的计算
设 f 在 V 的 基 1,2 , ,n 下 的 矩阵 是 A ， 若 0 F ， V 在基1,2 , ,n 下的坐标是 x0 ，则 f () 在基1,2 , ,n 下的坐标是 Ax0 。故 f () 0 Ax0 0 x0 ， 即： 是 f 的属于特征值 0 的特征向量
10
特征多项式的计算
定义：假设矩阵 A aij nn ，第1 i1 i2 ik n
行，则 A 的第 i1, i2 , , ik 行，第 i1, i2 , , ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶
主子式。
11
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15