3 矩阵的相似标准形
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵:设V是n维线性空间,T是线性变换, e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基,过渡矩阵 P,则T在这两组基下的矩阵A与B相似,
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J,称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子:特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项(最高次项)系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解:特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似,对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解:
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ,计算:
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子,因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵的相似标准形
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感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P, 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ), 并求出其全部根,即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi,构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di,并将矩阵A与Di进行初 等行变换,得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换,得到一个最简形 式的矩阵C,则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化,得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ,得到一个新的正交矩阵P。
通常,这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法,如幂法、反幂法等,求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵,并将其应用于原矩阵,得到相
似标准形。
实例演示:Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大,求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法,需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形,需要构造一个合适的相似变换矩阵。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an,则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式,则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵: 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵: 元素是的多项式的矩阵 如:方阵的A特征矩阵 E – A Note:多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2,( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形,其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2,( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值: f()= 0的根,即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量:( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱:全部特征值的集合,记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1-1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式:以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值,或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ,若存在可逆矩阵P Cnn ,使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换, 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
矩阵的相似变换(第一章)
10,A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11,如果n阶方阵A有那个不同的特征向量,则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1,Jordan块:Ji=
2,Jordan阵:J=
3,A的Jordan标准形,设 ,则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ,有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定,称J为A的Jordan标准形。
(3)A为正规阵,λ是A的特征值,x是对应特征向量,则 为AH的特征值,对应特征向量为xH。
(4)A为正规阵,不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵:
设A 是Hermite矩阵,若任意0≠x n都有xHAx>0(或xHAx≥0),则称A是Hermite正定(半正定)矩阵。
(3)行列式因子法:设A(λ)的秩为r,m×n阶,1≤k≤n,则A(λ)的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk(λ)称为A的k阶行列式因子。Dk(λ)=d1(λ)d2(λ)…dk(λ)。
第一步:求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk(λ)。
第二步:求dk(λ)(k=1,2,…,n)并并求出A的不变因子。
7,设A 是Hermite矩阵,则,下列条件等价:
(1)A是Hermite正定矩阵(2)A的特征值全为正实数(3)存在P ,使得A=PHP
(1)A是Hermite半正定矩阵(2)A的特征值全为非负实数(3)存在P ,使得A=PHP。
第一步:将A写成A(λ),即λI-A
第二步:用初等变换法将矩阵化为如下形式:(smith标准型)
其中di(λ)/di+1(λ)可整除
矩阵相似的性质:矩阵相似例题
1 矩阵的相似1 定义2性质3定理(证明)4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用(相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】)矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵,如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B?X?1AX,就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质(1)反身性A∽A;这是因为A?E?1AE.(2)对称性如果A∽B,那么B∽A;如果A∽B,那么有X,使B?X?1AX,令Y?X?1,就有A?XBX?1?Y?1BY,所以B∽A。
(3)传递性如果A∽B,B∽C,那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX,C?Y?1BY。
令Z?XY,就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ,因此,A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n,A∽B,则(1)r(A)?r(B);Q是n?n可逆矩阵,引理A是一个s?n矩阵,如果P是一个s?s可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)证明设A,B相似,即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B?C?1AC,由引理2可知,秩?1(B)=秩(B?CAC)=秩(AC)=秩(A)(2)设A相似于B,f(x)是任意多项式,则f(A)相似于f(B),即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是,f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B,则A相似与B,(k为任意正整数),即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX,?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E(3)相似矩阵有相同的行列式,即A?B,trA?trB;证明设A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B?C?1AC,两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A,从而相似矩阵有相同的行列式。
矩阵论-矩阵的相似变换
★ 1、求下列矩阵的Jordan 标准形:⑴ -101120-403A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;⑵;⑵31-1-202-1-13A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解:⑴解:⑴ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值101det(I A)1243λλλλ+−−=−−− 第一行乘以3λ−并加上第三行并加上第三行+10-1=-1-20(3)(1)40λλλλ−++ 这里变换行列式列使其变为上三角行列式这里变换行列式列使其变为上三角行列式 2210121(1)(2)0(1)λλλλλ−+=−−−=−−− 所以A 的特征值为12==1λλ ,3=2λ ,对应的2重特征值12==1λλ解方程组(I-A)x =0,由2131122201201201110110011/2402000000r r r r I A +−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−−⎯⎯⎯→−−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦121×, 2101/2011/2000r r −−⎡⎤⎢⎥⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10021002x y z x y z ⎧+−=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 设x 为1,依次可以解出112x y z =⎧⎪=−⎨⎪=⎩ 得基础解系:T T1(1,1,2)p =−只有一个线性无关特征向量,故A 的Jordan 标准形为:标准形为:1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑵ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值2311211det(I A)2202113213211211020202400(44)/λλλλλλλλλλλλλλλλ−−−−−=−=−−−−−−−−−=−−+−⑴ 7543192864A A A A A I −−++−⑵ 1A − ⑶ 100A解:解:2322110102210()det(I A)43110011124343210011(1)(2)45200(1)/(1)λλλψλλλλλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−=−=−=+−=+−−−−−−−=+−=−−=−+−−+⑴ 令7543()192864g λλλλλλ=−−++−,需要计算g(A),用()/g()ψλλ 得到:得到:4322()(41032)()3228g λλλλλψλλλ=+++−−+−由Hamilton-Cayley 定理知(A)O ψ= ,于是:,于是:221160(A)3A 22A 8I 6443019324g −⎡⎤⎢⎥=−+−=−⎢⎥−⎣⎦⑵ 由32(A)A 4A 5A 2I O ψ=−+−= 得21(A 4A 5I)2A I ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦故得到:故得到:123101(A 4A 5I)41023/21/21/2A −−⎡⎤⎢⎥=−+=−⎢⎥−⎣⎦⑶ 设100210()()b 2b b q λλψλλλ=+++ 注意到(2)(1)'(1)0ψψψ=== ,分别将2λ=和1λ= 代入上式,再对上式求导数后将1λ=代入得到:代入得到:1002102102124211002b b b b b b b b ⎧=++⎪=++⎨⎪=+⎩ 解得到解得到 100010111002220023022101b b b ⎧=−⎪=−+⎨⎪=−⎩故得到:故得到:100221010010010019910004002010201221012A b A b A b I −⎡⎤⎢⎥=++=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦31122113λλλ−−−+−-21-1-2-21-1-2+1λλλ211221122λλ−−−−−−1122162616p i p ⎥⎥==−⎥⎥22212012p ⎤−⎥==33213313i p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111623263111623ii ⎤−⎥⎥−⎥⎥⎥⎥⎦则称A 是Hermite 正定矩阵(半正定矩阵)。
矩阵标准形
• 2.1 特征阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵:对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n,行列式、子式、伴随矩 阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同,而以下概念有所不同。 1)多项式矩阵A(λ)的秩:A(λ)中有一个r阶子式(r≤min{m,n})为非零多项 式(不恒为0),而一切r+1阶子式为0,则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2)非奇异方阵(满秩的):A为n阶方阵,detA(λ)不恒为0,即 rankA(λ)=n,显然,对于n阶方阵特征矩阵λE-A的秩为n,显然特征矩阵时 满秩的。 3)可逆矩阵:A(λ)为n阶方阵,若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E, A(λ)为可逆的(单模态的)。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1)必要条件:A(λ)∈K[λ]n×n可逆,则A(λ)必非奇异(满秩); 2)充要条件:A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
设n阶方阵a是hermite矩阵则有iiiiii都是实数即的主对角元素axax相应有正交即不同特征值的特征向量对应于axax对任意矩阵hermite矩阵与正规矩阵的关系的特征值为实数为正规矩阵且矩阵的充分必要条件为征值为实数前面已证矩阵为正规矩阵且特
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义:对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n,λ∈C,则A的特征矩阵 为λE-A,即 a11 a11 a1n
• ④矩阵可对角化的另一充要条件:λE-A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用:可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE-A的初等因子 组。
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要:相似矩阵是高等代数中重要的知识点,在本文中,我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法,然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化,然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵,但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似,因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用;最后,我们给出了矩阵相似在实际生活中(尤其是考研中)的应用.关键字:相似矩阵,对角矩阵,若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上,着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵,如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B=1X A X,就说A相似于B,记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有三个性质: ⑴反身性: A A ~⑵对称性:如果B A ~,那么A B ~⑶传递性:如果B A ~,C B ~,那么C A ~在此基础上,定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ,a a a 是数域P 上的矩阵,证明A ,B 相似.a a a a a a 证明:设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基,,下的矩阵为A ,(,,)=(,,)a a 即:32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基,下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵,a a 由定理1A B 可得:同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似,可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=(-1,0,-2),2α=(0,1,2)3α=(1,2,5)变成σ(1α)=(2,0,-1),σ(2α)=(0,0,1),σ(3α)=(0,1,2)求σ在基1β,2β,3β下的矩阵,其中1β=(-1,1,0),2β=(1,0,1),3β=(0,1,2). 解题步骤:(1)先求出σ在基1α,2α,3α下的矩阵A ;(2)求出由基1α,2α,3α到1β,2β,3β的过渡矩阵P ; (3)求出σ在基1β,2β,3β下的矩阵B =1P AP -.解:我们从平常的解题中知道,我们通常取标准基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)为中介,若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ , N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ(1α,2α,3α)=(1ε,2ε,3ε)M (1α,2α,3α)=(1α,2α,3α)N (1β,2β,3β)=(1ε,2ε,3ε)T ,故σ在基1α,2α,3α下的矩阵1A N M -=,并且由基1α,2α,3α到基1β,2β,3β的过渡矩阵1P N T -=,从而σ在基1β,2β,3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ,B为数域P 上两个n ⨯n 矩阵,它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与B相似.想保留证明过程,可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
矩阵相似的性质:矩阵相似例题
1 矩阵的相似1 定义2性质3定理(证明)4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用(相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】)矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵,如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B?X?1AX,就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质(1)反身性A∽A;这是因为A?E?1AE.(2)对称性如果A∽B,那么B∽A;如果A∽B,那么有X,使B?X?1AX,令Y?X?1,就有A?XBX?1?Y?1BY,所以B∽A。
(3)传递性如果A∽B,B∽C,那么A∽C。
已知有X,Y使B?X?1AX,C?Y?1BY。
令Z?XY,就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ,因此,A∽C。
3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n,A∽B,则(1)r(A)?r(B);Q是n?n可逆矩阵,引理A是一个s?n矩阵,如果P是一个s?s可逆矩阵,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)证明设A,B相似,即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B?C?1AC,由引理2可知,秩?1(B)=秩(B?CAC)=秩(AC)=秩(A)(2)设A相似于B,f(x)是任意多项式,则f(A)相似于f(B),即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是,f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B,则A相似与B,(k为任意正整数),即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX,?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。
?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E(3)相似矩阵有相同的行列式,即A?B,trA?trB;证明设A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵C,使得B?C?1AC,两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A,从而相似矩阵有相同的行列式。
高等代数-相似标准型
多项式矩阵与矩阵多项式_2
矩阵的运算: 相等: 加法: 数乘: 乘法运算: 行列式: 伴随矩阵:
例子
注1:
为s次矩阵多项式, 其行列式也可能为0
或常数.
例3:
注2: 例4:
分别为s, t次矩阵多项式, 但 也可能为0.
矩阵的初等变换与初等矩阵_1
定义: 对 矩阵 行初等变换
(1) 互换变换: 将
矩阵的法式_1
引理设 这里
则 且
注
即 的最大公因式.
矩阵的法式_2
定理设 是m×n 阶 矩阵, 则这里
是
首项系数为1的多项式, 且
矩阵的法式_3
注1 上面矩阵称为
的法式.
注2 r 称为
的秩.
注3
推不出 可逆.
注4
可逆
的法式为I
相抵于I.
矩阵的法式_4
推论1:任一n 阶可逆 矩阵可表为有限个初
问A是几阶矩阵? 求A的不变因子组.
初等因子_4
定理:设A , B∈Kn×n , 则A相似于B 有相同的初等因子组 .
复习
初等因子_5
引理: 若
则
引理: 若
,则
引理:若
,且
则 与 相抵.
初等因子_6
定理:设C上方阵A经过 列对角矩阵
初等变换化为下
其中 是首项系数为1的非零多项式. 将 在C[x]上分解为互不相同的一次因式方幂的 乘积 , 则所有这些一次因式的方幂(相同的按 出现次数计算)就是A的全部初等因子 .
最小多项式mA(λ)=最后一个不变因子
Jordan标准型_1
引理: r 阶矩阵
的初等因子组为(λ- λ0)r .
Jordan标准型_2
矩阵的相似标准形
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
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主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31 a41
a32 a42
a33 a43
a34 a44
a35 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
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例4
设A
3 3
4 5
.求A1000.
C() 2 2 3
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例5
1 2 2 已知A 1 0 3,求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
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最小多项式
定义:矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
性质1:若m(x),(x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式, 则m(x) | (x).
教材第三章 矩阵的相似标准形
第三章 矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形有着广泛的应用.在线性代数中,已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵.但并不是所有方阵都可对角化,本章将从任意方阵的特征矩阵入手,介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形,并进一步讨论方阵可对角化的条件,最后给出一类特殊矩阵的对角化方法.§3.1 λ矩阵及其Smith 标准形一、λ矩阵的基本概念定义1 设()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 是数域F 上的多项式,以()ij a λ为元素的m n ⨯矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为多项式矩阵或λ矩阵,多项式()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 中的最高次数称为()A λ的次数,数域F 上m n ⨯λ矩阵的全体记为[]m n F λ⨯.为了与λ矩阵相区别,我们把以数域F 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.显然,数字矩阵是λ矩阵的特例.数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-就是1次λ矩阵.如果m n ⨯的λ矩阵()A λ的次数为k ,则()A λ可表示为1110()k k k k A A A A A λλλλ--=++++ ,其中(0,1,,)i A i k = 是m n ⨯数字矩阵,并且0k A ≠.例如22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭2010101100000111000111000100λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果另一个m n ⨯的λ矩阵()B λ可表示为1110()λλλλ--=++++ l l l l B B B B B ,则当且仅当k l =,(0,1,,)j j A B j k == 时()A λ与()B λ相等,记为()()A B λλ=. 由于λ的多项式可作加法、减法、乘法三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律;而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法.因此,我们可以同样定义λ矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法,并且λ矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律.矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个n 阶λ矩阵的行列式,一般说来λ矩阵的行列式是λ的多项式,λ矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质,例如,对两个n 阶λ矩阵()A λ与()B λ,有()()()()A B A B λλλλ=.有了λ矩阵行列式的概念,可以同样定义λ矩阵的子式、代数余子式.定义2 设()[]m n A P λλ⨯∈,如果()A λ中有一个(1min{,})≤≤r r m n 阶子式不为零,而所有1r +阶子式(如果有的话)全为零,则称()A λ的秩为r ,记为(())rank A r λ=.规定零矩阵的秩为0.例1 设A 是n 阶数字矩阵,则λ-E A 是λ的n 次多项式,因此A 的特征矩阵λ-E A 的秩为n ,即λ-E A 总是满秩的.定义3 设()[]λλ⨯∈n n A P ,如果存在一个n 阶λ矩阵()B λ,使得()()()()λλλλ==A B B A E , (1)则称λ矩阵()A λ是可逆的,并称()B λ为()A λ的逆矩阵,记作1()λ-A .容易证明如果n 阶λ矩阵()A λ可逆,则它的逆矩阵是唯一的.定理1 设()[]n n A P λλ⨯∈,则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ是一个非零常数.证 必要性 设()A λ可逆,则存在n 阶λ矩阵()B λ满足(1),从而()()1A B λλ=. 因为()A λ与()B λ都是λ的多项式,则由上式可知()A λ与()B λ都是零次多项式,故()A λ是非零常数.充分性 设()A d λ=是非零常数,*()A λ是()A λ的伴随矩阵,则*1()A dλ是一个n 阶λ矩阵,并且**11()()()()A A A A E d dλλλλ==, 因此()A λ可逆,并且1*1()()λλ-=A A d . 二、λ矩阵的初等变换与等价与数字矩阵类似,对于λ矩阵,也可进行初等变换.定义4 下列三种变换称为λ矩阵的初等变换(1) 互换λ矩阵的两行(列);(2) 用非零常数k 乘以λ矩阵的某一行(列);(3) 将λ矩阵的某一行(列)的()ϕλ倍加到另一行(列),(其中()ϕλ是λ的多项式).对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种λ矩阵的初等矩阵(,),(()),(,())P i j P i k P i j ϕ,即11011(,)11011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭iP i j j ,11(())11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P i k k i ,11()(,())11i P i j j ϕλϕ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.与数字矩阵的情形完全一样,对一个m n ⨯的λ矩阵()A λ作一次初等行变换相当于在()A λ左边乘上相应的m 阶初等矩阵;对()A λ作一次初等列变换相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等矩阵.容易证明初等矩阵都是可逆的,并且1111(,)(,),(())(()),(,())(,())P i j P i j P i k P i k P i j P i j ϕϕ----===-.为方便起见,我们用下列记号表示初等变换:[,]i j 表示第,i j 行(列)互换位置;[()]i k 表示用非零常数k 乘第i 行(列);[()]i j ϕ+表示将第j 行(列)的()ϕλ倍加到第i 行(列).定义5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈,如果()A λ可以经过有限次初等变换化为()B λ,则称λ矩阵()A λ与()B λ等价,记为()()A B λλ≅由初等变换的可逆性可知,等价是λ矩阵之间的一种等价关系.利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得定理2 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈,则()A λ与()B λ等价的充分必要条件为存在一系列m 阶初等矩阵1(),,()l P P λλ 与n 阶初等矩阵1(),,()t Q Q λλ ,使得11()()()()()()l t A P P B Q Q λλλλλλ= .与数字矩阵不同,具有相同秩的两个λ矩阵未必等价,例如22(),()02A B λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为2(),()4A B λλλλ==,所以()A λ与()B λ的秩均为2.因为初等变换是可逆的,则由定理 2知,两个等价的λ方阵的行列式只能相差一个非零常数,故()A λ与()B λ不等价,因此,秩相等不是λ矩阵等价的充分条件.§3.2 λ矩阵在等价下的标准形现在我们讨论λ矩阵在初等变换下的标准形.为此,先证明一个引理. 引理1 设λ矩阵()[()]ij A a λλ=的左上角元素11()0a λ≠,并且()A λ中至少有一个元素不能被11()a λ整除,则存在一个与()A λ等价的λ矩阵()[()]ij B b λλ=,使得11()0b λ≠,且1111(())(())b a λλ∂<∂. 证 根据()A λ中不能被11()a λ整除的元素所在的位置,分三种情形来讨论.1)若在()A λ的第一列中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除,则由多项式的带余除法,存在多项式()q λ和()r λ,使得111()()()()i a q a r λλλλ=+,其中()0r λ≠,且11(())(())r a λλ∂<∂.对()A λ作两次初等行变换,首先将()A λ第1行的()q λ-倍加到第i 行,这时第i 行第1列位置的元素是()r λ;然后将第1行与第i 行互换,即得所要求的λ矩阵()B λ.2)在()A λ的第一行中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除,这种情形的证明与1)类似,但是对()A λ进行的是初等列变换.3)()A λ的第一行与第一列中的元素都能被11()a λ整除,但()A λ中有另一个元素()ij a λ(1,1)i j >>不能被11()a λ整除,因为111()|()j a a λλ,所以存在一个多项式()ϕλ,使得111()()()j a a λϕλλ=.对()A λ作两次初等列变换.首先将()A λ第1列的()ϕλ-倍加到第j 列,这时第1行第j 列位置的元素是0,第i 行第j 列位置的元素变为1()()()ij i a a λϕλλ-;然后把第j 列的1倍加到第1列,此时第1行第1列位置的元素仍是11()a λ,而第i 行第1列位置的元素变为1()[1()]()ij i a a λϕλλ+-,它不能被11()a λ整除,这就化为已经证明的情形1).定理3 设()[()][]m n ij A a P λλλ⨯=∈,且(())rank A r λ=,则()A λ必等价于如下对角形矩阵12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, (1) 其中()(1,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式,且1()|()i i d d λλ+(1,2,i =, 1)r -.证 若0r =,则()A λ为零矩阵,结论显然成立,现设0r >,且()A λ=[()]ij a λ的左上角元素11()0a λ≠.否则可通过行、列交换做到这一点,由引理1知,()A λ进行一系列初等变换可得一个与()A λ等价的λ矩阵()[()]ij B b λλ=,并且11()b λ是首项系数为1的多项式,11()b λ整除()B λ的全部元素,即有11()()(),ij ij b q b λλλ= 1,,;1,,i m j n == .则可对()B λ作一系列初等变换,使得第1行、第1列除对角元11()b λ外全为零,即11()000()()0d B A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中1111()(),()d b A λλλ=是(1)(1)m n -⨯-矩阵.因为1()A λ的元素是()B λ中元素的组合,而11()b λ(即1()d λ)整除()B λ的所有元素,所以1()d λ整除1()A λ的所有元素.如果1()0A λ≠,则对1()A λ重复上述过程,进而把矩阵化成122()000()000()00d d A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中12(),()d d λλ都是首项系数为1的多项式,并且122()|(),()d d d λλλ整除2()A λ的全部元素.继续上述过程,最后把()A λ化成所要求的形式.定理3中的对角形矩形(1)称为λ矩阵()A λ在等价下的标准形即Smith 标准形.定义 6 λ矩阵()[]m n A P λλ⨯∈的Smith 标准形的主对角线上的非零元12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子.例1 用初等变换把λ矩阵22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭化为标准形.解222[31(1)][13(1)]222[3(1)][32(1)][21()][31()]2211()00100100100000.0000A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-++-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭①变换记号写在“→”的上边表示行变换,写在下边表示列变换.例2 用初等变换将λ矩阵100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭化为Smith 标准形.解2[21()][1,2]1001000100()10()001001000000a a a a a A a a a a λλλλλλλλλλ+-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭22[1(1)][2,3][21()]100010000()1001()0001001000000a a a a a a a λλλλλλλ-+-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 22[32()]33[32(())][2(1)]1000100001()0010000()100()1000000a a a a a a a λλλλλλλ+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ [43()]33[3,4]41000100001000100001()001()000000()a a a a a λλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3[43(())][3(1)]4111()a a λλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭. 一般地1111()m m m a a a a λλλλ⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ .§3.3 λ矩阵的行列式因子本节讨论λ矩阵Smith 标准形的惟一性,并给出两个λ矩阵等价的条件.因此,需要引进λ矩阵的行列式因子.定义7 设()[]m n A P λλ⨯∈,且(())r a n k A r λ=.对于正整数(1)k k r ≤≤,()A λ的全部首项系数为1的k 阶子式的最大公因式称为()A λ的k 阶行列式因子,记为()k D λ.例1 求22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的各阶行列式因子.解 由于1λ-与λ的首项系数为1的最大公因式为1,故(1,)1λλ-=,所以1()1D λ=.又 2211(1)()λλλλλϕλλλ-+=--+=,232221(1)()1λλλλϕλλλ-+=--=+,而12((),())ϕλϕλλ=,其余的二阶子式(还有7个)都包含因子λ,所以2()D λλ=.最后,由于32det(())A λλλ=--,所以323()D λλλ=+.行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的.定理4 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证 只需要证明,λ矩阵经过一次初等变换后,其秩与行列式因子是不变的.设λ矩阵()A λ经过一次初等变换后变成()B λ,()f λ和()g λ分别是()A λ和()B λ的k 阶行列式因子,针对3种初等变换来证明()()f g λλ=.1)交换()A λ的某两行得到()B λ.这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式,或者是()A λ的某个k 阶子式的1-倍.因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因子,从而()|()f g λλ.2)用非零数α乘()A λ的某一行得到()B λ.这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式,或者等于()A λ的某个k 阶子式的α倍,因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因子,从而()|()f g λλ.3)将()A λ第j 行的()ϕλ倍加到第i 行得到()B λ.这时,()B λ中那些包含第i 行与第j 行的k 阶子式和那些不包含第i 行的k 阶子式都等于()A λ中对应的k 阶子式;()B λ中那些包含第i 行但不包含第j 行的k 阶子式等于()A λ中对应的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的()ϕλ±倍之和,也就是()A λ的两个k 阶子式组合,因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因式,从而()|()f g λλ.由初等变换的可逆性,()B λ也可以经过一次初等行变换变成()A λ,由上面的讨论,同样有()|()g f λλ,所以()()f g λλ=.对于初等列变换,可以完全一样地讨论,总之,如果()A λ经过一次初等变换变成()B λ,则()()f g λλ=.当()A λ的全部k 阶子式为零时,()0f λ=,则()0g λ=,()B λ的全部k 阶子式也为零;反之亦然,因此()A λ与()B λ既有相同的行列式因子,又有相同的秩.由定理4知,任意λ矩阵的秩和行列式因子与其Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的.设λ矩阵()A λ的Smith 标准形为12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, (1) 其中()(1,2,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式,并且1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=- .容易求得()A λ的各阶行列式因子1121212()(),()()(),()()()().r r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (2) 于是有12231()|(),()|(),,()|()r r D D D D D D λλλλλλ- ,211211()()()(),(),,()()()r r r D D d D d d D D λλλλλλλλ-=== . (3) 从而得如下结论.定理5 λ矩阵()A λ的Smith 标准形是惟一的.证 因为()A λ的各阶行列式因子是惟一的,则由(3)知()A λ的不变因子也是惟一的,因此()A λ的Smith 标准形是惟一的.应用λ矩阵的Smith 标准形,可以证明如下定理.定理6 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈,如果()A λ与()B λ和同一个Smith 标准形等价,那么()A λ与()B λ等价.一般说来,通过行列式因子来求不变因子比较复杂,但对一些特殊的λ矩阵,先求行列式因子再求不变因子反而简单.例2 求100()100m ma a A a λλλλ⨯--⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的行列式因子和不变因子.解 由于()A λ的一个1m -阶子式111(1)1m a a λλ----=---,故1()1m D λ-=,由(3)式的第一式,即行列式因子的“依次”整除性,有122()()()1m D D D λλλ-==== .而()()m m D a λλ=-,因此()A λ的不变因子为121()()()1,()()m m m d d d d a λλλλλ-=====- .由此可知()A λ的标准形为1()1()m m m A a λλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪-⎝⎭ . 定理7 设()[]n n A P λλ⨯∈,则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积.证 必要性 设()A λ为一个n 阶可逆矩阵,则由定理1知()0A d λ=≠,从而()A λ的行列式因子为12()()()1n D D D λλλ==== .于是()A λ的不变因子为12()()()1n d d d λλλ==== .因此()A λ与单位矩阵等价,即存在一系列初等矩阵1(),,(),l P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得1111()()()()()()()()()l t l t A P P EQ Q P P Q Q λλλλλλλλλ== .充分性 设()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积,即存在一系列初等矩阵1(),,(),l P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得11()()()()()l t A P P Q Q λλλλλ= ,则 111111()()()()()l t P P A Q Q E λλλλλ----= , 则()A λ的行列式是一个非零常数,因此由定理1知()A λ可逆.利用定理2和定理7容易证明下面定理.定理8 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈,则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是存在两个可逆λ矩阵()[]m m P P λλ⨯∈与()[]n n Q P λλ⨯∈,使得()()()()B P A Q λλλλ=.§3.4 矩阵的初等因子下面再引进λ矩阵的初等因子,设λ矩阵()A λ的不变因子为1(),d λ 2(),,()r d d λλ ,在复数域内将它们分解成一次因式方幂的乘积:11112221221211221212()()()(),()()()(),()()()(),s s rs r r k k k s k k k s k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎧=---⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩ (1) 其中1,,s λλ 是互异的复数,ij k 是非负整数,因为1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=- ,所以ij k 满足如下关系1121112222120,0,0.r r s s rs k k k k k k k k k ≤≤≤≤⎧⎪≤≤≤≤⎪⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩ 定义8 在(1)式中,所有指数大于零的因子()ij kj λλ-,(0,1,2,,,1,2,,)ij k i r j s >==称为λ矩阵()A λ的初等因子.例如,若λ矩阵()A λ的不变因子为 122232334()1,()(1),()(1)(1),()(1)(1)(2),d d d d λλλλλλλλλλλλλ=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩则()A λ的初等因子为22323,,,1,(1),(1),(1),(1),2λλλλλλλλλ---++-.由定义8知,若给定λ矩阵()A λ的不变因子,则可惟一确定其初等因子;反过来,如果知道一个λ矩阵的秩和初等因子,则也可惟一确定它的不变因子.事实上,λ矩阵()A λ的秩r 确定了不变因子的个数,同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方幂最高的必在()r d λ的分解中,方幂次高的必在1()r d λ-的分解中,如此顺推下去,可知属于同一个一次因式方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是惟一确定的.例如,若已知56⨯λ矩阵()A λ的秩为4,其初等因子为22333,,,1,(1),(1),(),()i i λλλλλλλλ---+-,则可求得()A λ的不变因子23334()(1)()()d i i λλλλλ=-+-,23()(1)d λλλ=-,2()(1)d λλλ=-,1()1d λ=.从而()A λ的Smith 标准形为223231000000(1)000000(1)000000(1)(1)00000000λλλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 由定理6以及不变因子与初等因子之间的关系容易导出如下定理. 定理9 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈,则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子.分块对角矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 不能从()B λ与()C λ的不变因子求得()A λ的不变因子,但是能从()B λ与()C λ的初等因子求得()A λ的初等因子.定理10 设λ矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (2) 为分块对角矩阵,则()B λ与()C λ的初等因子的全体是()A λ的全部初等因子.证 将()B λ与()C λ分别化为Smith 标准形1()()()00B r b b B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1()()()00C r c c C λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中1(()),(()),(),,()B BC r r r a n k B r r a n k C b b λλλλ== 与1(),,()C r c c λλ 分别为()B λ与()C λ的不变因子,则(())B C rank A r r r λ==+.把()i b λ和()j c λ分解为不同的一次因式的方幂的乘积,不妨设1212()()()(),1,2,,i i is b b b i s B b i r λλλλλλλ=---= ,1212()()()(),1,2,,j j js c c cj s C c j r λλλλλλλ=---= . 则()B λ与()C λ的初等因子分别为1212(),(),,(),1,2,,i i is b b b s B i r λλλλλλ---=和1212(),(),,(),1,2,,j j js c c cs C i r λλλλλλ---=中非常数的多项式.我们先证明()B λ与()C λ的初等因子是()A λ的全部初等因子.不失一般性,仅考虑()B λ与()C λ中只含1λλ-的方幂的那些初等因子,将1λλ-的指数 1121111211,,,,,,,B C r r b b b c c c按由小到大的顺序排列,记为120r j j j ≤≤≤≤ ,由(2)可知,对()B λ与()C λ进行初等变换实际上是对()A λ进行初等变换,于是11()()()()()00B C r r b b c A c λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211121()()()()()()00r j j j r λλϕλλλϕλλλϕλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ , 其中多项式1(),,()r ϕλϕλ 都不含因式1λλ-.设()A λ的行列式因子和不变因子分别为12(),(),,()r D D D λλλ 和12(),(),,()r d d d λλλ ,则在这些行列式因子中因子1λλ-的幂指数分别为111211,,,,r ri i i i j j j j j -==+∑∑ ,而由§3.3行列式因子与不变因子的关系式(3)知,12(),(),,()r d d d λλλ 中因子1λλ-的幂指数分别为121,,,,r r j j j j - .因此()A λ中与1λλ-相应的初等因子是1()i j λλ-,0i j >,1,2,,i r = ,也就是()B λ、()C λ中与1λλ-相应的全部初等因子.对23,,,r λλλλλλ--- 进行类似的讨论,可得相同结论.于是()B λ和()C λ的全部初等因子都是()A λ的初等因子.下面证明,除()B λ、()C λ的初等因子外,()A λ再没有其他的初等因子. 因为()r D λ为()A λ的所有初等因子的乘积,而11()()()()()B C r r r D b b c c λλλλλ= .如果()k a λ-是()A λ的初等因子,则它必包含在某个()(1,,)i B b i r λ= 或()j c λ(1,,C j r = )中,即()A λ的初等因子包含在()B λ与()C λ的初等因子中,因此,除()B λ、()C λ的全部初等因子外,()A λ再没有别的初等因子.定理10可推广为定理11 若λ矩阵()A λ等价于块对角阵12()()()()t A A A A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭, 则12(),(),,()t A A A λλλ 的各个初等因子的全体就是()A λ的全部初等因子.对t 应用数学归纳法,请读者自行证明. 例1 求λ矩阵22000000()00(1)10022A λλλλλλλ⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪++ ⎪ ⎪--⎝⎭ 的初等因子,不变因子和标准形.解 记22123(1)1(),(),()22A A A λλλλλλλλλ⎛⎫++=+== ⎪--⎝⎭,则 123()00()0()000()A A A A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于3()A λ,其初等因子为,1,1λλλ-+,利用定理11可得()A λ的初等因子为,,,1,1,1λλλλλλ-++.因为()A λ的秩为4,故()A λ的不变因子为4321()(1)(1),()(1),(),()1d d d d λλλλλλλλλλ=-+=+==.因此()A λ的Smith 标准形为100000000(1)0000(1)(1)λλλλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+ ⎪+-⎝⎭.§3.5 矩阵相似的条件设A 是n 阶数字矩阵,其特征矩阵E A λ-是λ矩阵,它是研究数字矩阵的重要工具.应用特征矩阵也可以给出两个n 阶数字矩阵A 与B 之间相似性的判断准则.为此,我们先证明两个引理.引理2 设,A B 是两个n 阶数字矩阵.如果存在n 阶数字矩阵,P Q 使得()E A P E B Q λλ-=-. (1)则矩阵A 与B 相似.证 比较(1)两边λ的同次幂的系数矩阵,得,PQ E A PBQ ==.由此11,Q P A PBP --==,故A 与B 相似.引理3 设A 是n 阶非零数字矩阵,()U λ与()V λ是n 阶λ矩阵,则必存在n 阶λ矩阵()Q λ、()R λ以及n 阶数字矩阵0U 、0V ,使得0()()()U E A Q U λλλ=-+, (2) 0()()()V R E A V λλλ=-+. (3)(2)式与(3)式的证明类似,这里仅证(2)式.把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++ ,其中01,,,m D D D 都是n 阶数字矩阵.并且00D ≠(1) 若0m =,则取()0Q λ=及00U D =,它们显然满足要求. (2) 若0m >,令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++ ,其中011,,,m Q Q Q - 是待定的n 阶数字矩阵.由1010()()()m m E A Q Q Q AQ λλλλ--=+-+1121()()m k k k m m m Q AQ Q AQ AQ λλ-----+-++-- .只需取0011022111201,,,,,m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ ----==+=+=+=+ , 则(2)式成立.定理12 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价.证 充分性 设E A λ-和E B λ-等价,由定理8知存在可逆的λ矩阵(),()U V λλ使()()()E A UE B V λλλλ-=-. (4) 由引理3,存在λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U E A Q U λλλ=-+, (5) 0()()()V R E A V λλλ=-+, (6) 把(4)式改写为1()()()()U E A E B V λλλλ--=-, (7) 1()()()()E A V U E B λλλλ--=-. (8) 将()V λ的表达式(6)代入(7)式,得10[()()()]()()U E B R E A E B V λλλλλ----=-.因为上式右边的λ的次数1≤,所以1()()()U E B R λλλ---是数字矩阵,记为T ,即1()()()T U E B R λλλ-=-- , (9) 0()()T E A EB Vλλ-=- . (10) 由(9)式,并利用(5)式和(8)式,得()()()()E U T U E B R λλλλ=+-1()()()()U T E A V R λλλλ-=+- 1[()()]()()()E A Q U T E A V R λλλλλ-=-++- 10()[()()()]U T E A Q T V R λλλλ-=+-+.上式右边第二项必为零;否则右边λ的次数至少是1,等式不可能成立.因此0E U T =,从而0,U T 可逆,并且10T U -=.由(10)式得00()E A U E B V λλ-=-.由引理2知,A 和B 相似.定义9 设A 是n 阶数字矩阵,其特征矩阵E A λ-的行列式因子、不变因子和初等因子分别称为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.由定理6和定理12立即得定理13 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子,或者说它们有相同的不变因子.由定理9和定理12得定理14 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.§3.6 矩阵的Jordan 标准形定义10 形式为1010t tJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (1)的矩阵称为Jordan(若尔当)块,其中λ为复数.由若干个Jordan 块组成的块对角矩阵称为Jordan 形矩阵,其一般形式如12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 其中 101,1,2,,1i ii ii i k k J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭并且12,,,s λλλ 中有一些可以相等.例如,矩阵11000010000004000000100000100000i i i ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭是一个Jordan 形矩阵.容易验证,i n 阶Jordan 块i J 具有如下性质:1)i J 具有一个i n 重特征值i λ,对应于特征值i λ仅有一个线性无关的特征向量. 2)i J 的方幂有明显的表示式(1)11()()()()2!(1)!()(),1,2,1()2!()()i n p i p i p i p i i p i p i pi p i p i p i f f f f n f f J p f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪ ⎪ ⎪' ⎪⎪=='' ⎪⎪⎪⎪' ⎪⎪⎝⎭其中()p p f λλ=. 3)i J 的不变因子为11()()1,()()i i i n n n i d d d λλλλλ-====- .从而i J 的初等因子为()i n i λλ-.设12(,,,)s J diag J J J =是Jordan 形矩阵,其中i J 为形如(1)的Jordan 块.J 的特征矩阵为11(,,)sn n s E J diag E J E J λλλ-=--由定理11知Jordan 形矩阵J 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- .可见,Jordan 形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan 块的初等因子组成,而Jordan 块被它的初等因子惟一决定,因此,Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块排列的次序外被它的初等因子惟一决定.定理15 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵相似,这个Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序是被矩阵A 惟一决定的.证 设A 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- (2)其中12,,,s λλλ 可能有相同的,1,,s n n 也可能有相同的.每一个初等因子()i n i λλ-对应于一个Jordan 块 11,1i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1,2,i s = (3) 这些Jordan 块构成一个Jordan 形矩阵12(,,,)s J diag J J J = (4)其初等因子也是(2).因为J 与A 有相同的初等因子,由定理14知J 与A 相似.Jordan 形矩阵(3)称为矩阵A 的Jordan 标准形.若有另一个Jordan 形矩阵'J 与A 相似,则'J 与A 有相同的初等因子.因此,J '与J 除去其中Jordan 块排列的次序外是相同的,这就证明了惟一性.利用矩阵在相似变换下的Jordan 标准形,可得线性变换的结构. 定理16 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换,则在V 中存在一组基,使得A 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵.证 在V 中任取一组基12,,,n εεε ,设线性变换A 在这组基下的矩阵是A .由定理15知,存在可逆矩阵P ,使得1P AP J -=为Jordan 形矩阵.令1212(,,,)(,,,)n n P ηηηεεε= .则线性变换A 在基12,,,n ηηη 下的矩阵是1P AP J -=为Jordan 形矩阵.如果1i n =,则i i J λ=是一阶Jordan 块,当矩阵A 的Jordan 标准形中的Jordan 块都是一阶块时,A 的Jordan 标准形就是对角矩阵.因为一阶Jordan 块的初等因子是一次的,所以对角矩阵的初等因子都是一次的.由此得定理17 设n n A C ⨯∈,则A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的.例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形.解 因为21261001301011400(1)E A λλλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,则A 的初等因子为1λ-,2(1)λ-.故A 的Jordan 标准形为100011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.由定理15知,对任意的n 阶矩阵A ,存在n 阶可逆矩阵P ,使得1P AP J -=为Jordan 标准形.下面介绍求变换矩阵P 的方法.先看一个例子.例2 求化矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为Jordan 标准形的变换矩阵.解 由例1知,存在3阶可逆矩阵P 使得1100011001P AP J -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.记123(,,)P p p p =,则得123123100(,,)(,,)011001Ap Ap Ap p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.比较上式两边得1122323,,.Ap p Ap p Ap p p =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 由此可见,12,p p 是A 的对应于特征值1的两个线性无关的特征向量. 从方程组()0E A x -=,可求得两个线性无关的特征向量131,001ξη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.可取1p ξ=.但不能简单地取2p η=,因为2p 的选取应保证非齐次线性方程组32()E A p p -=-有解.由于,ξη的线性组合仍是()0E A x -=的解,因此我们选取212p k k ξη=+,其中待定常数12,k k 只要保证1p 和2p 线性无关,且使得32()E A p p -=-有解即可.因为2121212(3,,)T p k k k k k k ξη=+=-+,所以选取12,k k 使得方程组11221322263113113x k k x k x k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解,容易看出,当12k k =时方程组有解,且其解为12313x x x k =-+-,其中1k 是任意非零常数.取11k =,可得23221,011p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是122110011P -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭使得1100011001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即P 为所求的变换矩阵.一般地,设n n A C ⨯∈,则存在n 阶可逆矩阵P ,使得121s J J PA P J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, (5) 其中i J 为形如(3)式的Jordan 块,记12(,,,)s P P P P = (6)其中in n i P C⨯∈.由(5)式和(6)式得 121122(,,,)(,,,)s s s AP AP AP PJ P J P J = .比较上式两边得,1,2,,i i i AP PJ i s == (7) 记()()()12(,,,)i i i i i n P p p p = ,由(7)式可得()()11()()()221()()()1,,ii i i i i i i i i i i i n i n n Ap p Ap p p Ap p p λλλ-⎧=⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ 由上式可见,()1i p 是矩阵A 对应于特征值i λ的特征向量,且由()1i p 可依次求得()()2,,i i i n p p .由例2可知,特征向量()1i p 的选取应保证()2i p 可以求出,类似地()2i p 的选取(因为()2i p 的选取一般不惟一,只要适当选取一个即可)也应保证()3i p 可以求出,依次类推,并且使()()()12,,ii i i np p p 线性无关.§3.7 Hamilton-Cayley 定理与最小多项式设A 为任意n 阶矩阵,其特征多项式为12121()det()n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ .矩阵A 与其特征多项式之间的关系有代数学上著名的哈密顿-凯莱定理.定理18(Hamilton -Cayley 定理) 设A 是n 阶矩阵,()f λ是A 的特征多项式,则()0f A =.证 考虑特征矩阵E A λ-的伴随矩阵*()E A λ-,其元素至多是λ的1n -次多项式,则*()E A λ-可表示为*12121()n n n n E A C C C C λλλλ----=++++ ,其中,12,,,n C C C 都是n 阶数字矩阵.因为*()()()E A E A f E λλλ--=,即12121()()n n n n E A C C C C λλλλ----++++ 111n n n n E a E a E a E λλλ--=++++ ,比较两边λ的同次幂的系列矩阵,得1C E =, 211C AC a E -=, 322C AC a E -=,…11n n n C AC a E ---=, n n AC a E -=.用1,,,,n n A A A E - 分别左乘上面各式的两端,再累加,得12121321()()()n n n n n n A C A C AC A C AC A C AC AC ---+-+-++--111()n n n n A a A a A a E f A --=++++= .因为上式左边为零矩阵,所以()0f A =.定义11 设A 为n 阶矩阵,如果非零多项式()ϕλ使()0A ϕ=,则称()ϕλ为A 的一个化零多项式.对任意n 阶矩阵A ,()f λ是A 的特征多项式,由定理18知()f λ为A 的化零多项式.设()f λ为A 的化零多项式,()g λ是任意多项式,则()()g f λλ也是A 的化零多项式.因此,任意n 阶矩阵A 的化零多项式总存在,并且A 的化零多项式有无穷多个.定义12 n 阶矩阵A 的所有化零多项式中,次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式.由定理18知,任意n 阶矩阵A 的最小多项式存在且次数不超过n . 定理19 设A 是n 阶矩阵,则1)A 的最小多项式()m λ能整除A 的任一化零多项式()ϕλ,特别地,()m λ能整除A 的特征多项式()f λ;2)A 的最小多项式()m λ的零点是A 的特征值;反之,A 的特征值是()m λ的零点;3)A 的最小多项式是惟一的.证 1)设()m λ是A 的最小多项式,()ϕλ是A 的任一化零多项式,由多项式的带余除法,有()()()()q m r ϕλλλλ=+其中(),()q r λλ是多项式,()0r λ=或者()0r λ≠但(())(())r m λλ∂<∂.因此()0r λ=,否则与()m λ是A 的最小多项式矛盾,于是()|()m λϕλ.2)设()f λ是A 的特征多项式,由1)知()()()f q m λλλ=,其中()q λ是一个多项式,因此()0m λ=的根必为()0f λ=的根,即A 的特征值.反过来,设0λ是A 的任一特征值,相应的特征向量为0ξ≠,即0A ξλξ=则0()()m A m ξλξ=.因为()0,0m A ξ=≠,所以0()0m λ=,即0λ是()0m λ=的根.3)设A 有两个最小多项式12(),()m m λλ,则它们的次数相同,如果12()()m m λλ≠,则12()()()0m m m λλλ=-≠,且1(())(())m m λλ∂<∂. 设()m λ的首项系数为a ,则3()()m m aλλ=是首项系数1的多项式且31(())(())m m λλ∂<∂.由于31211()()(()())0m A m A m A m A a a==-=, 于是,3()m λ是A 的化零多项式,这与1()m λ是A 的最小多项式的假设矛盾.因此A 的最小多项式是惟一的.定理20 相似的矩阵具有相同的最小多项式. 证 设n 阶矩阵A 与B 相似,则存在可逆矩阵P ,使得1B P AP -=.对任意多项式()g λ恒有1()()g B P g A P -=.可见,A 与B 有相同的化零多项式,从而它们具有相同的最小多项式.例1 求Jordan 块1010i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式.解 因为i J 的特征多项式()()i n i f λλλ=-,则由定理19知i J 的最小多项式()m λ具有如下形式()()k i m λλλ=-,其中正整数i k n ≤.但当i k n <时0100()()0100kki i i m J J E λ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,而i k n =时()0i m J =,因此()()i n i m λλλ=-.定理21 分块对角矩阵12(,,,)s A diag A A A = 的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式.证 设i A 的最小多项式为()(1,2,,)i m i s λ= .由于对任意多项式()ϕλ1()((),,())s A diag A A ϕϕϕ= .如果()ϕλ为A 的化零多项式,则()ϕλ必为(1,,)i A i s = 的化零多项式,从而()|()(1,2,,)i m i s λϕλ= ,因此()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的公倍式.反过来,如果()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的任一公倍式,则()0(1,,)i A i s ϕ== , 从而()0A ϕ=.因此,A 的最小多项式为1(),,()s m m λλ 的公倍式中次数最低者,即它们的最小公倍式.定理22 设n n A C ⨯∈,则A 的最小多项式为A 的第n 个不变因子()n d λ. 证 由定理15知A 相似于Jordan 标准形1(,,)s J diag J J = ,其中i J 为形如§3.6中(3)式的Jordan 块.由定理13和定理20知A 与J 有相同的不变因子和最小多项式.又由定理21知J 的最小多项式为1,,s J J 的最小多项式的最小公倍式,而i J 的最小多项式为()(1,2,,)i n i i s λλ-= ,且1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ---的最小公倍式是J 的第n 个不变因子()n d λ,因此,A 的最小多项式就是A 的第n 个不变因子()n d λ.由定理17和定理22可得如下定理.定理23 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的最小多项式()m λ没有重零点.例2如果n 阶矩阵A 满足2A A =,则称A 为幂等矩阵.证明幂等矩阵A 一定相似于对角矩阵.证 令2()ϕλλλ=-,则()ϕλ是A 的化零多项式,由定理19知A 的最小多项式()m λ整除,()ϕλ所以()()m λϕλ=.因为()0ϕλ=没有重根,据定理23知A 相似于对角矩阵.例3 设A 是n 阶幂等矩阵,证明 1)A H 与A E -也是幂等矩阵; 2)A 的特征根只能是0和1;3)有可逆矩阵P ,使1(1,...,1,0,...,0)P AP diag -=; 4)秩A =迹A .证 1)依定义直接验证即知.2)设λ为A 的任一特征根,α是A 相应于λ的特征向量.则有 λαα=A .又有()αλαλλαααλα22=====A A A A .于是 ()02=-αλλ. 因0≠α,故0=λ或1=λ.3)设A 的若当标准形为J ,则必有可逆矩阵P ,使121111000s J J P AP J J -*⎛⎫ ⎪* ⎪⎪⎛⎫⎪⎪*⎪⎪=== ⎪ ⎪*⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪* ⎪ ⎪⎝⎭. (1) 上式中每个i J 都是特征根1或0相应的若当小块,且与特征根1相应的小块垒排在前头.由2A =A ,可推出J J =2,进而知i i J J =2,1,2,...,i s = .由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----k k k k k k k kk k k k kkC C C C C λλλλλλλλλλλ1122112211111.对于2k =,λ为0或1时,欲使上式成立只有若当块的阶数为1.于是(1)式中所有*全为零.便有1(1,...,1,0,...,0)P AP J diag -==.4)若设秩A r =,则J 的主对角元中应有r 个1,其余为0.由相似矩阵迹数相等,可知迹A =迹J =r =秩A .习 题 三1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形.1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ352223 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子.1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ,其中11,-n b b 都是不为0的常数.3、求下列矩阵的若当标准形.1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803; 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010; 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235; 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331; 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ; 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ; 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ; 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413;9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000210032104321. 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形,并求变换矩阵P .5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1,是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111J ,如果不一定,请说出此时A 的若当形有几种可能?都是什么样子?6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ;2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002;3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112;4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213;5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式. 7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数),试说明A 的最小多项式取何种形式? 8、设方阵A 满足E A =2,能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式?如果已知1和-1都是A 的特征根,情况又怎样呢?9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ,A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ.请给出A 的一个若当形,并简要说明原因.。
矩阵的相抵与相似_09_07_09
I3 0 B → 0 0 Q
其中
P 0
0 0 0 1 − 4 5 9 2 − 9 1 − 3 0
17 9 − 14 9 P= 2 3 1 − 4
14 − 9 11 9 1 3 1 4
定义 对数 阶矩阵 ,若 n λ0 ∈ K ,存在非零列向量 α ∈ K ,使得 存在非零 非零列向量 设
A 为数域 K 上的一个 n
Aα = λ0α
则称 λ0 为矩阵 A 的一个特征值, α 为矩阵 的一个特征值 特征值, 的一个特征向量。 属于特征值 λ0 的一个特征向量。 特征向量
A的
例
(1)
2 m
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x + L + am x
上的一元多项式, 阶矩阵, 是数域 K 上的一元多项式,A 为一个 n 阶矩阵, 定义
f ( A) = a0 I + a1 A + a2 A + L + am A
2
m
多项式。进一步, 为矩阵 A 的多项式。进一步,我们有
A ~ B ⇒ f ( A)
例 2 :设
1 1 A= 2 2
求A 。 解:由满秩分解公式可得
+
1 A = BC = [1 1] 2
于是其伪逆矩阵为
A = C (CC ) ( B B ) B
H H
+
H −1
−1
H
1 1 −1 1 −1 = ([1 1] ) ([1 2] ) [1 2] 1 1 2 1 1 1 1 1 = [1 2] = 10 1 10 2 2 1 10 = 1 10 1 5 1 5
矩阵相似的充分条件
矩阵相似的充分条件矩阵相似是线性代数中一个重要的概念,它描述了两个矩阵在某种意义下具有相同的性质。
在实际应用中,矩阵相似性质的研究具有重要的意义,例如在矩阵的对角化、矩阵的特征值和特征向量的求解等方面都有广泛的应用。
矩阵相似的定义是:设A和B是n阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称A和B相似。
其中,P-1表示P的逆矩阵。
矩阵相似的充分条件有很多,下面我们将介绍其中的几个。
1. 特征值相同设A和B是n阶矩阵,如果A和B有相同的特征值,则A和B相似。
这个结论可以通过矩阵的特征值和特征向量的定义来证明。
设λ是A的一个特征值,v是A对应于λ的一个特征向量,则有Av=λv。
由于B和A有相同的特征值,所以存在一个向量u,使得Bu=λu。
令P=[v,u],则有P-1AP=B,因此A和B相似。
2. 秩相同设A和B是n阶矩阵,如果A和B的秩相同,则A和B相似。
这个结论可以通过矩阵的秩和零空间的定义来证明。
设r是A的秩,N(A)是A的零空间,N(B)是B的零空间,则有n=r+dim(N(A))=r+dim(N(B))。
由于A和B的秩相同,所以dim(N(A))=dim(N(B)),因此n=r+dim(N(A))=r+dim(N(B))=n。
这意味着N(A)和N(B)的维数相同,因此存在一个可逆矩阵P,使得P-1AP=B,因此A和B相似。
3. 矩阵的Jordan标准形相同设A和B是n阶矩阵,如果A和B的Jordan标准形相同,则A 和B相似。
这个结论可以通过矩阵的Jordan标准形的定义来证明。
设J(A)和J(B)分别是A和B的Jordan标准形,则存在可逆矩阵P1和P2,使得A=P1J(A)P1-1,B=P2J(B)P2-1。
由于J(A)和J(B)相同,所以存在一个可逆矩阵Q,使得J(A)=QJ(B)Q-1。
令P=P1Q,则有P-1AP=B,因此A和B相似。
4. 矩阵的行列式和迹相同设A和B是n阶矩阵,如果A和B的行列式和迹相同,则A和B 相似。
矩阵的标准形
矩阵的标准形线性代数中涉及矩阵的标准形有三种,分别是等价标准形、相似标准形和合同标准形.虽然各种矩阵的标准形不同,但它们有一个不变量——秩不变.0.00r E A ⎡⎤−−−−−→⎢⎥⎣⎦一系列初等变换(1) 等价标准形与是同型矩阵,若经过一系列初等A B A 变换化为,则称与等价. 若,B B A ()R A r =则又由于对作一次初等行(列)变换相当A 于左(右)乘一个初等矩阵,而初等矩阵的A 乘积是可逆阵,从而对阶矩阵而言,m n ⨯A存在阶可逆方阵和阶可逆方阵,使m P n Q 000r E PAQ ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中标准形的非负整数由原矩阵唯一确定.r 易见,矩阵的等价标准形唯一.(2) 矩阵的相似标准形设均为阶方阵,若存在可逆矩阵,,A B n P 1B P AP-=则称矩阵与相似.A B 为什么要讨论这一类标准形,是起源于实对称阵如何化为对角阵,进而通过对角阵研究原矩阵.使得是的特征值.A 1P AP -=Λ对角阵,其中{}12,,,n diag λλλΛ= 12,,,n λλλ 12.n AP P P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 设是实对称阵,能否找到可逆阵(甚至A P 正交阵)使得7将按列分块,记,则有P []12,,,n P p p p = [][]121212,,,,,,n n n A p p p p p p λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 即(1,2,,).i i i Ap p i n λ== 易见可逆矩阵的第列是实对称阵的特征P i A 值所对应的特征向量,这一表达式也正是方阵i λ的特征值与特征向量的定义起源.事实上,如何求矩阵的相似标准形,首先求矩阵的全部特征值,进而求所有特征值所对应的特征向量.教材中有结论:实对称阵必存在相似标准形.问题n一般阶方阵是否也存在相似标准形?几何重数代数重数只有两者相等时,原矩阵才可对角化.当然,这涉及到某个重特征值是否会对应k k 个线性无关的特征向量,即几何重数与代数重数之间恒有关系式:(3) 合同标准形使,则称与合同.TB C AC A B 对于同阶方阵与,若存在可逆阵,使A B C 虽然合同的定义是针对一般阶方阵定义的,n 但在实际应用中是用来研究二次型的主轴问题.因此,重点是以实对称矩阵为研究对象,而矩阵的相似标准形中有结论:.T P AP =Λ逆且)使得1T P P -=实对称阵必存在正交阵(正交阵一定可A P 是的全部特征值.12,,,n λλλ 即与合同。
【研究生课件应用数学基础】第三章 矩阵的相似标准形.ppt
1 0 0
i i 0
13.求二次型
f x1x1 ix1x2 ix2x1 ix2x3 ix3x2 x3x3
成为标准的酉矩阵,并判断f是否是正定二次型。
6
4I3.
1 0 2
1 0 0
6.设A
1
0
1
,
证明:当n
3时, An
An2
A2
I 3 , 并 求A100。
0 1 0
7.若A∈Cn×n满足A2+A=2In,则A与对角形矩阵相 似。
3
8.设A
1 2
51,
证明:B=2A4-12A3+19A2-29A+37I2
为可逆矩阵,并把B –1表示为A的多项式。
1 1 6
0 2 1
0 10
1
2.证明:A∈Cn×n与AT相似。
3.证明:下列矩阵
a 0 0 a 0 0 a 1 0 A 0 a 0,B 0 a 1,C 0 a 1
0 0 a 0 0 a 0 0 a
中的任何两个都不相似.
4.求下列矩阵的Jordan标准形:
3 1 0 0
第三章 矩阵的相似标准形
1.已知矩阵A,求I-A的等价标准形、不变因 子、行列式因子和初等因子:
2 1 0
0 1 1
(1)A 0 2 1;(2)A 1 0 1;
0 0 2
1 1 0
0 1 0 0 3 1 0 0
(3)
0 0 5
0 0 4
1 0 3
0 1 2
;
(4)
4 7 7
0 3 0
0 1 3
0
0
1
11.证明:
0
0
矩阵的相似标准形
A(0 x) 0 ( Ax) 20 x.
即
(0 20 ) x 0.
而x0, 0(1 0 ) 0. 得 0 0或0 1.
注意:0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
二 有关特征值的几个定理
定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值. 证明: 设A∽B, 则存在可逆矩阵P, 使得
令=0, 得 A (1)n 12 n ,
而
A (1)n A
A 12 n .
从定理可以看出, 若A的特征值有一个为零, 则|A|=0. 反之亦成立.
推论 矩阵A可逆A的特征值全不为零.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n,则A1的特征值为
1 1 ,1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 ,1 2 ,1 n 有意义.
定义 tr(A)=a11+a22+…+ann称为A的迹.
计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:
1. 解特征方程| EA|=0, 求出n个特征值(r重
根算r个);
2. 对每一i, 求(iEA)x=0的非零解xi是属于i
的特征向量.
例1 求三阶方阵 1 1 0
A 4 3 0 1 0 2
解: 特征方程
得一般解为
x1 x3
x
2
2 x3
x3 x3
取基础解系
1 2
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解: 特征方程
1 2 2
实三元阵的块对角相似实标准形
4 3
9
,
一
(
)
1
=
3 实三元 阵的块 对 角相似 实标 准形 定理
一 3
1 O 依 矩 阵 的 相 似 标 准 形 理 论 , q 。时 由 义 的 实 三 元 阵 A 有 相 似 标 准 形 为 当 ≠ 1 , z 定
~
一
[ ]一矩 p 口,个 户 它 对 i是角
中 图 分 类 号 : 5. 1 01 12 文 献 标 识 码 : A
由矩 阵 的 相 似标 准形 理 论 可 知 : 个 ”阶 复 数矩 阵都 与一 个 J ra 每 odn矩 阵 相 似 , 所 谓 J ra 即 od n相 似 标 准 形 ; 于 实 对 称 矩 对 阵 的 情 形 . 更 好 的 实 对 角 相 似 标 准 形 矩 阵结 论 . 文 对 于 文 献 [ ] 有 本 1 中所 给 出一 种 特 殊 类 型 的 矩 阵 一 实 元 阵 , n 3的情 在
摘 要 : 基于提 出的实 ” 元阵定义 , 一3的情形 , 对 根据实三元阵特征值计算公式 , 并利用原先已建立的三元
数 概 念 及 其 运算 性 质 , 导出 了 实 三元 阵 的 一 种 特殊 形 式 的相 似 标 准 形 —— 块 对 角 相 似 实 标 准 形 . 推
关键词 : , 实 元阵 ; 三元阵 ; 变换 ; 特征 块对角相似实标 准形
实 一 元 阵 由一 个 实 数 确 定 为 A 一 a ] 实 二 元 阵 、 三元 阵 、 四 元 阵 分 别 由 2个 、 个 、 个 有 序 实 数 确 定 为 ; 实 实 3 4
f 1 “ ~ “3 一 日2
A ( aA I 一 I ! 。 、 一 ! a ) — ?“ nA ; 。 ;
第四章 矩阵的相似标准形
第四章 矩阵的相似标准形复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形(B A B AP P ~1⇔=-)。
第一节 特征值 特征向量如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ,使=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ,则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。
定义1.1 设),hom(V V f ∈,V 为数域F 上的线性空间,若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ,使得 λξξ=)(f则称λ是线性变换f 的特征值,ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。
例如:1 是恒等变换I 的特征值;0是零变换O 的特征值,一切非零向量都是他们的特征向量。
设V 为n 维线性空间,n ααα,,,21 为V 的一组基,f 在该组基下的矩阵为A ,ξ的坐标向量为X ,则)(ξf 的坐标向量为AX ,于是存在0≠ξ,使得⇔=λξξ)(f 存在0≠X ,使得⇔=X AX λ存在0≠X ,使得⇔=-0)(X I A λ0=-A I λ。
因此,f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根;特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组0)(=-X A I λ的非零解。
定义1.2 设n n C A ⨯∈,n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式;称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值,记矩阵A 的特征值集为)(A λ;称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量(属于特征值λ)。
定理1.1 若B A ~,则A 与B 有相同的特征多项式。
证 由B A ~知,B AP P =-1,于是A I AP P I B I -=-=--λλλ1。
定理1.2 设n n ij a A ⨯=)(,则∑=--+=-nk k n k k nb A I 1)1(λλλ。
其中A b k =的所有k 阶主子式之和,特别)(1A tr b =,A b n =。
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化零多项式 设f (x)是多项式。若f ( A) O, 则A的特征值均是f (x) 0的根.
25
最小多项式
定义:矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式. 性质1:若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式, 则m(x) | (x). 性质2:任意矩阵的最小多项式是唯一的 性质3:如果矩阵A, B相似,则A, B有相同的最小多项式。
定理3:设A F nn ,C() I A .则C( A) O. 定理4:设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式,则C( f ) O.
Schur引理:对A C nn , 存在酉矩阵U使得U H AU是上三角矩阵。
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3,求A100。
1 1 2
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
7
定理1
若A, B C nn是相似的,则 I A I B .
注:1.定理的逆命题不成立;
2.可定义线性变换的特征多项式。
特别是,若f Hom(V ,V )在基1,2, ,s下的矩阵是A,
则f 在新的基
(1' ,
' 2
,
,
' s
)
(1
,
Schur引理:对A C nn , 存在酉矩阵U使得U H AU是上三角矩阵。
18
例4
设A
3 3
4 5
.求A1000
.
C() 2 2 3
19
例5
1 2 2 已知A 1 0 3,求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
20
最小多项式
定义:矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式. 性质1:若m( x), ( x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式, 则m(x) | (x). 性质2:任意矩阵的最小多项式是唯一的 性质3:如果矩阵A, B相似,则A, B有相同的最小多项式。
定义:(线性变换的最小多项式)
21
定理5
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式,
则m(x) | C(x),并且,对0 C, m(0 ) 0 C(0 ) 0。
22
例6
求下列矩阵的最小多项式:
1
a
a
a
23
第二节 Hamilton-Cayley定理
a24
a25
a31 a41
a32 a42
a33 a43
a34 a44
a35 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
13
特征多项式的计算
定理2:设A
aij
,则
nn
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
A
i 1
i
.
i 1
推论:若A, B相似,则tr( A) tr(B), A B .
15
例3 a1
b1
设
a2
,
b2
,
A
H .求A的特征值。
an
bn
2.r( AB) r( A),r(B);
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
特别地,b1 aii , bn (1)n A.
2
,,
s
)
P
下的矩阵是 B P1AP.
8
例1
f Hom(C3, C3 )定义为:X (x, y, z)T ,
求f的特征值、特征向量。
x y f (X) x y
2z
9
例2
f Hom(C 22 , C 22 )定义为:X C 22 ,
f
(
X
)
1 1
11 X
求f的特征值、特征向量。
i 1
16
化零多项式
设f (x)是多项式。若f ( A) O, 则A的特征值均是f (x) 0的根.
例:已知A2 A.证明: A的特征值只能是0或1。
17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3:设A F nn ,C() I A .则C( A) O. 定理4:设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式,则C( f ) O.
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵,则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
特征向量。
4
线性变换的特征值、特征向量
设 f 是线性空间V 上的线性变换,假设
0 F , V 。若 f () 0
则称 0 是 f 的特征值,
10
特征多项式的计算
定义:假设矩阵 A aij nn ,第1 i1 i2 ik n
行,则 A 的第 i1, i2 , , ik 行,第 i1, i2 , , ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶
主子式。
11
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
其中,bj (1) j (A的j阶主子式)
n
特别地,b1 aii , bn (1)n A. i 1
14
矩阵的迹
n
定义:设A (aij )nn , 称 aii为A的迹,记为tr( A). i 1
命题:若A (aij )nn的特征值为1, 2 ,, n ,则
n
tr( A) i ,
第三章
矩阵的相似标准形
1
矩阵与线性变换
本章的目的: 对给定的矩阵,找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换,找线性空间的一
组基,使得线性变换的矩阵最简单。
2
第一节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵, 0 是数,若存在 n 维
列向量 ,使得 , 且 A 0
则称 0 是 A 的特征值,
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
12
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
是相应于特征值 0 的特征向量。
5
线性变换的可对角化问题
设V 是 n 维线性空间, f 是线性空间V 上的 线性变换,则存在V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
6
线性变换的特征值、特征向量的计算
设 f 在 V 的 基 1,2 , ,n 下 的 矩阵 是 A , 若 0 F , V 在基1,2 , ,n 下的坐标是 x0 ,则 f () 在基1,2 , ,n 下的坐标是 Ax0 。故 f () 0 Ax0 0 x0 , 即: 是 f 的属于特征值 0 的特征向量