工程力学-弯曲应力

6 弯曲应力

1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。横截面上正应力公式为

j z

M y I σ=

横截面上最大正应力公式为 max z

M W σ=

2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为

*2

z QS I b

τ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。

3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。

4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为

[]max σσ≤

[]max ττ≤

根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。

5、梁的极限弯矩

6.1图6-6所示简支梁用其56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板

部分在与翼板交界处的切应力。

图

6.1

[解] 作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为

max 7575000Q kN N ==

利用型钢表查得，56a 号工字钢*247.7310z z S I m -=?,最大切应力在中性轴上。

由此得

以下求该横截面上腹板与翼板交界处C 的切应力。此时*

z S 是翼板面积对中性轴的面积

矩，由横截面尺寸可计算得

*34356021

16621(

)9395009.401022

z S mm m -=??-==? 由型钢表查得4

65866z I cm =,腹板与翼板交界处的切应力为

*

max max max max

23

*

max

75000

12600000126.47.731012.510z a z z z Q S Q MP I I d

d S τ--==

===????a MP 6.12解题范例

4

83

750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---??==???

6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、

L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。

[解] B 截面的弯矩为

m kN FL M B .6.126.15.02

1

=??==

a 点的正应力

Z a B a I y

M =σ12

3213bh

h FL =MPa 65.1=

B 点在中性轴上,其正应力0=b σ.

c 点的正应力为

Z c B c I y

M =σ12

2213bh

h FL =MPa 47.2= （压）

6.3图 6.3(a)示为一工字形钢梁，受力如图 6.3(a)示，钢的容许弯曲应力为

[]152a MP σ=，容许切应力为[]95a MP τ=。试选择工字钢的型号。

F

h 图 6.2

图 6.3

[解] 首先将梁简化为简支梁,作出剪力和弯矩图如(b)(c)，先按正应力强度条件选择截面,因梁的最大弯矩为

max 375000M N m =?

根据][max

max σσ≤=

z

W M ,可计算梁截面的截面模量z W ，应为

63

max

6

max

37500024601015210

z M W m σ-=

=

=?? 由型钢表查得最接近这一要求的是56b 号工字钢，其截面模量为

63244710z W m -=?

由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容许应力不是很大(一般5%在之内),选用小一号的截面是充许的，这里56b 号工字钢截面模量比所需要的相差不到1%，相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%，因此可以采用。

进行切应力强度校核: 梁的最大剪力为

max 112500Q N m =?

kN

（b ）

（c ）

5

.375

.375

.1125

.112

利用型钢表查得，56b 号工字钢的*

247.1710z z I S m -=?,最大切应力为

显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到，梁的强度多由正应力控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。

6.4 T 字形截面铸铁梁受力如图 6.4所示，已知材料的拉、压容许应力分别为

[]30l a MP σ=，[]90a a MP σ=。已经给出了截面的部分尺寸，试按合理截面的要求确定尺

寸δ，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。

图 6.4

[解] 为了达到合理截面要求，必须使同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之比

max max l a σσ等于相应的拉、压容许应力之比[][]l a σσ，这样当荷载增大时，截面上的最

大拉应力和最大压应力将同时达到容许应力，受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。

根据给定条件可知[][]:30:901:3l a σσ==，所以同一截面上应有

max max :1:3l a σσ=

由图6.4(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置0y 为

*

6max max max max

23*

max

1550000025.41025.447.171012.510z a a z z z Q S Q P MP I I d

d S τ---==

===????a 6

104.25?

0210y mm =

由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立0y 与截面几何尺寸关系式为

02806060

(28060)(

)60220(280)22(28060)60220

y δδ--+?-=

-+? 将0210y mm =代入上式可解得24mm δ=。 下面确定梁的容许荷载：

首先计算截面惯性矩,由于T 形截面可划分为两个矩形，由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图6.4(c),利用平行移轴定理可解出

最大弯矩max M 出现在跨中，即

max 2

0.544

PL P M P ?=

== 最大拉应力为

根据强度条件

[]max l σσ≤

故有

6352.93010P ≤?

可解得

3851085P N kN ≤?=

3

6

0.57010352.999.1810P P --??==?332

26

2422022060(24220100)(2206040)99.18101212z I mm ??=+??++??=?

故按拉应力强度条件可确定梁的容许荷载为85kN ，由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时达到相应容许应力的条件确定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。

由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。

6.1 长度为250mm ，截面尺寸为h ×b=O.8mm ×25mm 的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为?60的圆弧,已知弹性模量E=2.1×105

MPa 。试求钢尺横截面上的最大正应

力。

[解]

a MP l h

E y E 352310250214.3108.0101.23

23

311max

=???????=?

==--πρσ 6.2 厚度为h=1.5mm 的钢带,卷成直径为D=3m 的圆环,求此时钢带横截面上的最大正应力。已知钢的弹性模量E=2.1×l05

MPa 。

[解] 因为

222

1

22z

z D l R M D EI M E I D

ππρ

==?

=

==

所以 2105z My Ey MPa I D

σ=

== 6.3直径为d 的钢丝，其名义流动极限为2.0σ。现在其两端施加外力偶使弯成直径为D 的圆弧。试求当钢丝横截面上的最大正应力等于2.0σ时D 与d 的关系式。并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。

[解]

习题解析

222

122z z D

l R M D EI M E I D

ππρ==?

=== 所以 0.20.2

2,z My E

D E

I D d σσσ=

===

由上可见,细钢丝强度越大,E 越大,D 越大,抗弯刚度大.

6.4 截面形状及所有尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁,如果所受外力也相同．则内力图是否相同?它们的横截面上的正应力变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同?

[解] 因 ,z z

M My

W I σσ=

=

,且钢梁与木梁截面尺寸一样及所受外力相同，所以其内力及横截面的正应力变化规律相同。

又因E εσ=?,钢梁与木梁的弹性模量不同，所以对应点处的正应力与纵向线应变不相同。

6.5 一根25a 号槽钢，在纵向对称平面内受矩为Me=5kN ·m 的一对外力偶作用,如图6.6(a)所示。试求截面上A 、B 、C 、D 四点处的正应力。若力偶仍作用于铅垂平面内,但将槽钢绕其轴线转?90，如图6.6(b)所示，则此四点处的正应力又如何

?

图6.5

[解] 因为两种情况下各横截面上的弯矩m 都等于外力偶矩Me ,但(a)和(b)的惯性矩Iz

不同,按应力公式 z

I σ=

,故有 对于图（a ）: A D z

My I σσ==

Z A

e I y M =(压力)

B z

My I σ=Z B

e I y M =(拉力)

C z

My I σ=

Z c e I y M max =(拉力最大)

对于图（b ）: A D z

My I σσ==Z A e I y M max =(A 点是压力最大,D 点为拉力最大)

0.B C σσ==

6.6矩形截面的悬臂梁，受集中力和集中力偶作用．如图6.7所示。试求I —I 截面和固定端Ⅱ一Ⅱ截面上A 、B 、c 、D 四点处的正应力。

图 6.6

[解] I-I 截面,弯矩为 20I M kN m =?, 3

12

z bh I =441005.4m -?= II-II 截面,弯矩为

对于I-I 截面: 7.41A D z

My

mPa I σσ==

=(A 点压力最大,D 点为拉力最大) 0, 4.94C B z

My

mPa I σσ==

=(拉力) 对于II-II 截面:

1532025II M kN m =?-=?m kN ?-25

9.26A D z

mPa I σσ==

=(A 点拉力最大,D 点为压力最大) (压力)

6.7一外径为250mm ，壁厚为lOmm ，长度L=12m 的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满着水，如图6.8所示。铸铁的容重3/76m kN =铸铁γ，水的容重3/10m kN =水γ。

试求管内最大拉、压正应力的数值。

图6.7

[解] 铸铁水管上的荷载集度q

m kN ql M ?==4.138

1

2max

a Z MP D

D M I y M 3858)1(64

2

/44

max max max max ?=-?==

απσ 6.8对于横截面边长为b ×2b 的矩形截面梁，试求当外力偶矩分别作用在平行于截面长边及短边之纵向对称平面内时,梁所能承担的容许弯矩之比，以及梁的抗弯刚度之比。 [解] 因

[]z

M

W σ=

[],z M W σ= 梁所能承的容许弯矩之比：

11

22

2z z M W M W == ''222

()()() 1.042

22D D D q kN m

γπγπ??=?-+?=?????水铸铁m kN /745.00, 1.85C B z

My

mPa I σσ==

=a MP 17.6-

抗弯刚度之比

1

2

4EI = 6.9 图6.8示一由1 6号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载P,在截面c-c 处梁的下边缘上,用标距s=20mm 的应变计量得纵向伸长△S=0.0O8mm 。已知梁的跨长L=1.5m,a=1m ，弹性模量E=2.1×105

MPa 试求p 力的大小。

[解] 因 z

C

W M s s E E =??

==εσmax 2

P R R B A =

= C 截面的弯矩 ）（a L P

M C -=2

查表得1 6号工的3

6

10141m W z -?=,代入后得 kN a

l E W P z 38.472=-=

ε

6.10 简支梁的荷载情况及尺寸如图6.9所示，试写出梁下边缘总伸长的表达式。

图 6.9

q

图 6.8

2

ql R R B A =

= z

W x M dx x d E ）

（）（=??

=max σ dx WE x M x d x l

x

）（）（?

?=?=??0

dx qx x ql EW l

）（2

212

0?-= z EW ql 123

=2

32Ebh

ql = 6.11 简支梁由22b 号工字钢制成，受力如图6．10所示，P=150kN,材料的容许应力[σ]=170M P a ，试校核梁的正应力强度。

[解] 支座反力

kN R kN R B A 50100==，

最大弯矩在集中力作用处,其值为 m kN M ?=50max

a Z MP W M 15410

32510506

3max max

=??==-σa MP 170 满足要求 6.12 由两根36号槽钢组成的梁，如图6.11所示。已知：P=44kN ，q=1kN ／m,如钢的容许应力[σ]=170MPa ，试校核此粱的正应力强度。

p

p

p

p

p 图 6.10

B A R kN R ==113

查表得36号槽钢3

6

10703m W z -?=

跨中弯矩最大，其值为 m kN M ?=5.202

max a Z MP W M 1.28810

703105.2026

3

max max

=??==-σa MP 170 不满足要求 6.13 一简支木梁受力如图 6.12所示，荷载P=5kN,距离a=0.7m ，材料的容许应力[σ]=10MPa ．横截面为h/b=3的矩形,试按正应力强度条件确定此梁横截面尺寸。

[解] 支座反力 B A R kN R ==5 跨中弯矩最大，其值为 max M Pa =m kN ?=5.3

][max max

σσ≤=Z W M ,[]233max 6

35100.7,621010

z z M bh W b W σ??≤∴==≥? 0.061,30.183b m h b m ∴≥∴==

取 mm h mm b 20070==，。

6.14一矩形截面简支梁系由圆柱形木料锯成图6.13,已知P=5kN ，a=1.5m ，[σ]=10MPa 。试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比h/b ，以及锯成此梁所需木料的最小直径d 。

图 6.12

[解]

1、支座反力 kN P R R B A 5===

2、 确定W Z 最大时的h/b

由

0=db dW Z

得 0)2(6122=-b h ， 2=b

h

3、确定圆木直径d

kNm Pa M 5.7max ==

][max

max σσ≤=

Z

W M

]

[max

σM W Z ≥

Pa

m N 631010105.7???≥

341075mm ?=

6.15 当荷载P 直接作用在跨长为L=6m 的简支梁AB 之中点时，梁内最大正应力超过容许值30％。为了消除此过载现象．配置了如图6.14所示的辅助梁CD ，试求此辅助梁的最小

mm

b 131=222b h d +=23b =mm

d mm 227105152

2=?=341075mm ?=])2[(61

2b b ?=

6

2

bh W Z =

62bh W Z =6)

(22b d b -

=

Pa kN.m

图 6.13

跨长a 。

图6.14

[解] 不设辅梁时,最大弯矩在跨中,其值为 4

max PL M =

最大正应力 []max 14 1.3z

z

pl M W W σσ=

== 设辅梁时, 跨中最大弯矩为 4

max ）

（a L P M -=

(减小)

最大正应力 []max 1()

4z

z

p l a M W W σσ-=

=≤z W PL 3.141=

解得 m a 38.1≥ .

6.16 已知40a 号工字钢制成的长为L=6m 的悬臂梁，在自由端受一集中荷载P 作用。材料的容许应力[σ]=170MPa,考虑自重对强度的影响，试按正应力强度条件计算此梁的容许荷载P 。

[解] 查表得40a 号工字钢的每米长的质量为67.598kg, 36101090m W z -?= 均布荷载 m

q 68kN/.0=

支座处弯矩最大为 Pl ql M +=2

2

max

由 []max

z

M W σσ=

=≤ 解得 kN P 86.28≤

6.17 一根简支木梁,在全梁长度上受集度为q=5kN ／m 的均布荷载作用。已知跨长L=

7.5m.截面尺寸为宽度b=300mm ，高度h=180mm ，木材的容许切应力为1MPa 。试校核此梁的切应力强度。

[解]

1、支座反力 kN R R B A 75.18==

2、 最大剪力在支座内侧,其值为Q=18.75kN

6.18由工字钢制成的简支梁受力如图6.15所示。已知材料的容许应力[σ]=170MPa ，[τ]=1OOMPa 。试选择工字钢号.

图 6.15 [解]

1、支座反力 kN R kN R B A 88.76,13.113==

2、 最大剪力和最大弯矩

max max 113.125,76.875Q kN M kN m ∴==?

[]max

z

M W σ≤

][*max max

ττ≤?=b S I Q z

z ， b S I Q z z ?≤*max ][σ，2

6

3*3.11101001013.113cm b S I z z =??≥? 选工28a ，3508cm W z =，剪应力强度也能满足。

6.19 如图6.16所示木梁,受一可移动的荷载P=40kN 作用。已知[σ]=10MPa ，[τ]=3MPa,木梁的横截面为矩形,其高宽比h/b=3/2,试选择此梁截面尺寸。

[]

4max

4.5210z M W m σ-∴≥

=?max 312Q

Mpa A τ=

=][52.0τ a MP

图6.16

[解] kN P

Q 202

max ==, max 10M kN m =? 由正应力条件

[]max

z

M W σ≤

][max max

σM W ≥, 6

32210101010236161??≥=）（b b bh

cm h cm b 20142

3

14=?=

=， 由剪应力条件

][23max max ττ≤=

hb

Q , cm h cm b 12823

8=?=≥，

取 cm h cm b 20142

3

14=?=

=，.