工程力学(李卓球)第8章梁的弯曲应力与强度计算

A
M d A M z e y
A
y 将式 E 代入式(c)，得
E ＝常量，
Ey A d A 0 d
A A

E
A
z 轴（中性轴）通 S y dA 0 z 0
过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
y E
y
σ t max
σ cmax
My t max IZ
My cmax IZ
yc max
M
σcmax
z
yt max
σ t max
例：长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已 知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上 a、b、c各点的正应力。
A
l 2
B
l 2
Mm a xym a x m a x Iz
引用记号
Iz Wz y max
则
M max max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
bh 3 / 12 bh 2 Iz Wz h/2 y max 6
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应 力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y 成正比。 在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
F d A N
A
M d A y z
A
M d A z y
A
F A 0 N d
A
( c) (d) ( e)
M d A 0 y z
称为纯弯曲。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。 平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
横截面的 对称轴 横截面
中性层
中性轴
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系：
设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb y d
bb d x OO OO d

(a)
y d d y d
(b)
M d A 0 y z
A
( d) ( e)
将式(b)代入式(d)，得
E d A yzd A 0 z
A
M d A M z y
A
A
y z d A I 0 (自然满足) yz A
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
E 2 M y d A A y d
A
A
M
E

Iz
M EI z
1
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。 EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
y E
(b)
1 M EI z
M y Iz
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
的距离，横截面上的最大正应力为
M ymax σmax Iz
IZ WZ y max
C
ymax
Z
WZ
称为抗弯截面模量 W
max z
M
ymax
y
横截面上正应力的画法：
min
M
min
M
max
max
对于中性轴不是对称轴的横截面？
求得相应的最大正应力

My
yc max
y
M
I
z
Z
yt max
工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众
多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也
不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。
对于直径为 D 的圆形截面
D 4 / 64 D 3 Iz Wz D/2 y max 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
4 D ( 14)/ 64 D3 Iz (14 ) Wz 32 D/ 2 y max
ymax 当中性轴为对称轴时，表示最大应力点到中性轴
F
C
h 6
h 2Βιβλιοθήκη abhc b
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。
以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的
公式就可适用。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
离 y 成正比。
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
物理关系：
y d d y d
(a)
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得
y E