【精选】高考数学二轮复习专题六解析几何第3讲专题突破讲义圆锥曲线的综合问题文
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第3讲 圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.
2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大.
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.
例1 (2017届天津市红桥区二模)已知椭圆C :x2a2+y2b2=1 (a >b >0)的离心率为6
3,且过点
⎝
⎛
⎭⎪⎫1,63.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设与圆O :x 2+y 2
=34相切的直线l 交椭圆C 于A, B 两点,求△OAB 面积的最大值及取得最
大值时直线l 的方程.
解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
1a2+2
3b2
=1,c a =6
3,a2=b2+c2,
解得a 2=3,b 2=1,∴椭圆C 的方程为x23
+y 2
=1.
(2)①当k 不存在时, x =±32,∴y =±32
, ∴S △OAB =12×3×32=3
4
.
②当k 存在时,设直线方程为y =kx +m ,
A ()x1,y1,
B ()x2,y2,
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x23
+y2=1,y =kx +m ,
得()1+3k2x 2
+6kmx +3m 2
-3=0,
∴x 1+x 2=-6km 1+3k2,x 1x 2=3m2-31+3k2
.
d =r ⇒4m 2=3()1+k2.
||AB =
1+k2 ·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫-6km 1+3k22-4×3m2-31+3k2
=1+k2·错误! =3·1+10k2+9k41+6k2+9k4
=3·
1+4k2
1+6k2+9k4 =3·
1+
4
1
k2
+9k2+6≤2,
当且仅当1k2=9k 2
,即k =±33时等号成立,此时m =±1.
∴S △OAB =12||AB ×r ≤12×2×32=3
2,
∴△OAB 面积的最大值为3
2
, 此时直线方程为y =±
3
3
x ±1. 思维升华 解决范围问题的常用方法
(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,利用数形结合法求解. (2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解. (3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.
跟踪演练1 (2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :
x2
a2+y2b2=1(a >b >0)的离心率为2
2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为2 2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小
值.
解 (1)由椭圆的离心率为
22
,得a 2=2(a 2-b 2
), 又当y =1时,x 2=a 2-a2b2,得a 2
-a2b2=2,
所以a 2
=4,b 2
=2.
因此椭圆C 的方程为x24+y2
2=1.
(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 联立方程,得⎩⎪⎨⎪
⎧
y =kx +m ,x24+y2
2
=1,
得(2k 2
+1)x 2
+4kmx +2m 2
-4=0. 由Δ>0,得m 2
<4k 2
+2,(*) 且x 1+x 2=-4km
2k2+1,
因此y 1+y 2=2m
2k2+1,
所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2km 2k2+1,m 2k2+1. 又N (0,-m ),
所以|ND |2=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2km 2k2+12+⎝ ⎛⎭⎪
⎫m 2k2+1+m 2
, 整理得|ND |2
=错误!. 因为|NF |=|m |,
所以|ND|2|NF|2=错误!=1+错误!.
令t =8k 2
+3,t ≥3, 故2k 2
+1=t +14
.
所以|ND|2|NF|2=1+错误!=1+错误!.
令y =t +1t ,所以y ′=1-1
t2.
当t ≥3时,y ′>0,
从而y =t +1
t
在[3,+∞)上单调递增,
因此t +1t ≥10
3
,
当且仅当t =3时等号成立,此时k =0, 所以|ND|2|NF|2≤1+3=4.
由(*)得-2 |NF||ND|≥1 2 . 设∠EDF =2θ,则sin θ=|NF||ND|≥1 2 , 所以θ的最小值为π 6 , 从而∠EDF 的最小值为π 3, 此时直线l 的斜率是0. 综上所述,当k =0,m ∈(-2,0)∪(0,2)时,∠EDF 取得最小值π 3. 热点二 定点、定值问题 1.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y -y 0=k (x -x 0),则直线必过定点(x 0, y 0);若得到了直线方程的斜截式:y =kx +m ,则直线必过定点(0,m ). 2.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值. 例2 (2017·长沙市长郡中学模拟)已知抛物线E :y 2 =4x 的准线为l ,焦点为F ,O 为坐标原点. (1)求过点O ,F ,且与l 相切的圆的方程; (2)过F 的直线交抛物线E 于A ,B 两点,A 关于x 轴的对称点为A ′,求证:直线A ′B 过定点. (1)解 抛物线E :y 2 =4x 的准线l 的方程为x =-1, 焦点坐标为F (1,0),设所求圆的圆心C 为(a ,b ),半径为r, ∵圆C 过O ,F ,∴a =12, ∵圆C 与直线l :x =-1相切, ∴r =12-()-1=32. 由r =||CO = ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫122+b2=32,得b =± 2.