新课标八年级数学竞赛讲座：第二十讲 飞跃-从全等到相似
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
九年级数学竞赛辅导系列 讲座八 相似形练习试题
轧东卡州北占业市传业学校数学竞赛辅导系列讲座八——相似形1、在正三角形ABC 的边BC 、AC 上分别有点E 、F ，且满足BE=CF=a ， EC=FA=b 〔a>b 〕，当BF 平分AE 时，那么ab的值为〔 〕 A 、5-12B 、5-22C 、5+12D 、5+222、设AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，假设AB=6，BC=5，EF=3，那么线段BE 的长为〔 〕A 、185B 、4C 、215D 、2453、O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，那么OD ：OE ：OF=〔 〕A 、a ：b ：cB 、1a ：1b ：1cC 、Cos A ：CosB ： CosCD 、SinA ：SinB ：SinC4、如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截， AB 被截成三等分，那么图中阴影局部面积为〔 〕A 、4B 、2 3C 、3 3D 、4 35、在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°， 记AM=m ，MN=x ，BN=n ，那么以x 、m 、n 为边长的三角形形状是〔 〕A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、随x 、m 、n 的变化而变化 6、△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD=DC=FC=1，那么AC=〔 〕A 、 2B 、 3C 、32D 、337、Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，CD 是斜边AB 上的高，在BC 和CA 上分别取点E 和F ，使△EFD 和△ABC 相似，这样的△FED 有〔 〕个A 、1B 、2C 、3D 、多于38、设锐角△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 相交于H ，假设BC=a ，AC=b ，AB=c ，那么AH ·AC+BH ·BE+CH ·CF 的值是〔 〕FABCEA 、1()2ab bc ca ++ B 、2221()2a b c ++ C 、2()3ab bc ca ++ D 、2222()3a b c ++ 9、设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE ∥BC 交AC 于点E ，作DF ∥AC 交BC 于点F ，△ADE ，△DBF 的面积为m 和n ，那么四边形DECF 的面积为__________． 10、如图，ABCD 的对角线相交于O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连结OE ，交BC 于F ，假设AB=a ，AD=c ，BE=b ，那么BF=___________．11、△ABC 为锐角三角形，其最大边AC 上有一点P 〔P 与A 、C 不重合〕，过P 作直线l ，使l 截△ABC 所得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线可以作______条．12、正方形ABCD 边长为1，M 、N 为BD 所在直线上两点，且AM= 5 ，∠MAN=135°，那么四边形AMCN 的面积为________．13、如图，△ABC 的面积为1，D 为BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且S．14、△ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别为BC 上的两点，且∠ABC=12 ∠，那么AC=______． 15、如图，边长为c 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，那么a cb-=___________． 16AC= 3 ，∠A=∠BCD=4517、设I 1、I 218、如图，在△ABC ，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，BF=3AB ，BD 与FC 相交于G ，〔1〕求证：EG ∥AC ；〔2〕求BFGBEGS S ∆∆的比值．19、线段AB ，只用圆规把线段AB 二等分．20、分别以锐角△ABC 的三边为边向外作正△ABC 、正△BCE 、正△CAF ，三个正三角形的中心分别为O 1、O 2、EDBCA CBCO 3，求证：△O 1O 2O 3是正三角形．21、如图，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2、……、P n-1分别是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ， 〔1〕求证：EF ∥BD ；〔2〕假设平行四边形ABCD 的面积为S ，且S △AEF =38S ，求n 的值．22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的△ABC ？证明你的结论． 23、如图，在直角梯形ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为AB 中点，且EF+EO=8，求AD+BC 的值．24、点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，过D 作AC 的平行线DE 交AC 于点F ，又BC=5，①设△ABC 的面积为S ，假设四边形AEDF的面积为25 S ，求BD 的长；②假设AC= 2 AB ，且DF 经过△ABC 的重心G ，求EF 两点间的距离．25、如图，O 是四边形ABCD 对角线交点，∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，BO DO =76 ，求BC ． 26．如图是由四个大小不等的、顶角为120o成．三角形ABC 面积为100，三角形ACD 为35．组成图形的四个等腰三角形27．如图在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，AB=2，E 是CD 上一点，且∠EBC=∠ABD ．〔1〕假设BC=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；〔2〕连结AE ，是否存在x ，使⊿ABE 与⊿DBC 相似．假设存在，求出x 的值；假设不存在，请说明理由．28．29．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 中，O 为BC 、FG 的中点，且点F 在正方形ABCD 内，连AE 、BF ，那么AE ：BF 的值为 ．EBDC D30．如下列图，在⊿ABC 的两侧向形外作正⊿ABP 和⊿ACQ ，点E 、F 是这两个正三角形的中心，再以EF 为一边向上作正三角形DEF ．求证：〔1〕BC=3AD ； 〔2〕AD ⊥BC ．31．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．假设⊿CDF 为等腰三角形，那么AEAD= ． 32．在⊿ABC 中，∠A=024，∠B=030，在边AB 上有一点D ，使BD=AC ，连结CD ．求∠BDC 的度数．33．〔2021年中考〕如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，AB =2，D 是AB 边上的一个动点〔不与点A 、B 重合〕，过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD x =，CE y =，那么以下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是( ) 34.等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =42,AD =2，B ∠=45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动〔不与点C 重合〕，一直角边始终经过点A 〔如图〕，斜边与CD 交于点F ．设BE=x ，CF=y ，（1） 求y 关于x 的函数解析式，并求出当点E 移动到什么位置时y 的值最大，最大值是多少？ （2） 连结AF ，当⊿AEF 为直角三角形时，求x 的值; （3） 求点E 移动过程中，⊿ADF 外接圆半径的最小值.QPFEDCBADCBA。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)
专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 。
2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第13章全等三角形
第十三章全等三角形13.1 命题与证明（1（2题教学反思例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a >b ，那么a 2>b 2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab <0，那么a >0，b <0. 教师引导，学生分析：可以先把原命题的条件和结论写出来，然后调换条件和结论即可得逆命题，最后判断真假性.教师提示：写逆命题并不是简简单单地把条件和结论互换即可，还要使命题的语句具有逻辑性. 解：（1）命题是真命题.逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．是真命题.（2）是假命题.逆命题为：如果a 2>b 2，那么a >b ，是假命题.（3）是真命题.逆命题为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数，是真命题.（4）是假命题.逆命题为：如果a >0，b <0，那么ab <0.是真命题. 练习：请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除. （4）已知两数a ,b .如果a +b >0，那么a -b <0. 学生独立完成，教师点评：（1）原命题是真命题，逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等.逆命题也为真命题.（2）原命题是真命题，逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 逆命题为假命题.（3）原命题是假命题，逆命题为：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除.逆命题为真命题.（4）原命题是假命题，逆命题为：如果a -b <0，那么a +b >0.逆命题为假命题. 2.证明教师提问：刚才你们是怎么判断一个命题是假命题的？ 学生：举反例推翻这个命题.教师：那怎么判断一个命题是真命题呢？也用举例吗？仅仅举几个例子足以说明它是真命题吗？命题有真命题，也有假命题，要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则需要进行推理论证，即证明.定义：要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明. 例2 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.已知：如图 ，直线a ，b ，c ，a ∥c ， b ∥c . 求证： a ∥b .证明：如图，作直线d ，分别与直线 a ，b ，c 相交∵ a ∥c (已知)，∴ ∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). ∵ b ∥c (已知)， 教学反思A BDCE∴ ∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等). ∴ ∠1＝∠3(等量代换). ∴ a ∥b (同位角相等，两直线平行). 即平行于同一条直线的两条直线平行.教师：通过这个题，如何做证明题？（学生讨论） 证明的步骤：第一步：根据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言； 第二步：根据条件、结论、 图形写出已知、求证； 第三步：根据基本事实、已有定理等进行证明.定义：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理.．练习：已知：如图，点O 在直线AB 上，OD ,OE 分别是BOC AOC ∠∠,的平分线. 求证：OD ⊥OE .学生独立完成，教师点评：证明：∵ 点O 在直线AB 上，∴ ∠AOC +∠BOC ＝180°(平角的定义）. ∵ OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线，∴ ∠DOC ＝21∠AOC ,∠EOC ＝ 21∠BOC （角平分线的定义）， ∴ ∠DOC +∠EOC ＝21（∠AOC +∠BOC ）＝21×180°＝90°.∴ OD ⊥OE .课堂练习1.命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ”的逆命题是______________________．2.写出下列命题的逆命题：(1)如果两直线都和第三条直线垂直，那么这两直线平行； (2)若a ＋b >0，则a >0，b >0； (3)等腰三角形的两个底角相等．3.已知：如图，直线a ,b 被直线c 所截，∠1与∠2互补. 求证：a ∥b.参考答案1.如果3a ＝3b ，那么a ＝b.2.解： (1)如果两直线平行，那么这两直线都和第三条直线垂直.(2)若a >0，b >0，则a +b >0.(3)有两个角相等的三角形是等腰三角形．3.证明：∵ ∠1和∠3是对顶角，教学反思O∴ ∠1＝∠3.又∵ ∠1与∠2互补，∴ ∠1+∠2＝180°.∴ ∠2+∠3＝180°，∴ ∠1＝∠3（等角的补角相等）. ∴ a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）.课堂小结（学生总结，教师点评） 1.互逆命题 2.证明证明的一般步骤：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证. 第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.布置作业完成教材第34页习题第1，2，3题.板书设计 13.1 命题与证明教学反思一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.命题与证明互逆命题命题与证明要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.第十三章全等三角形13.2 全等图形教学目标1.理解全等图形，了解全等图形的对应点、对应边和对应角.2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.3.知道全等三角形的性质.教学重难点重点：了解全等图形的对应点、对应边和对应角；知道全等三角形的性质.难点：理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.教学过程导入新课观察思考：（学生观察，教师引导）问题：如图，观察给出的五组图形.（1）每组图形中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？（2）先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.（4）探究新知1.全等图形同桌两人合作完成，学生回答，教师评价.实验发现：(1)(2)(3)组中的两个图形能够完全重合，(4)(5)组中的两个图形不能完全重合．定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.考考你对全等图形的理解：观察下面三组图形，它们是不是全等图形？（1）（2）（3）教师归纳：全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同.有关的概念：对应点当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫对应点.如图，△ABC与△A′B′C′是两个全等三角形，点A和点A′,点B和点B′,点C和点C′分别是对应点.教学反思对应边当两个全等的图形重合时，互相重合的边叫对应边.如AB和A′B′,CB和C′B′,AC和A′C′.对应角当两个全等的图形重合时，互相重合的角叫对应角.如∠A和∠A′，∠B和∠B′, ∠C和∠C′.2.全等三角形全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.如△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作三角形ABC全等于三角形A′B′C′.（教师提示：书写时应把对应顶点写在对应的位置上）3.全等三角形的性质根据以下几个问题归纳全等三角形有哪些性质？（教师引导，学生讨论）1.两个能够完全重合的线段有什么关系？2.两个能够完全重合的角有什么关系？3.两个全等三角形的对应边之间有什么关系？对应角之间有什么关系？师生共同归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的性质的几何语言：（学生完成填空）如图，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝____，AC＝____，BC＝_____（全等三角形对应边_____），∠A＝_____，∠B＝_____，∠C＝_____（全等三角形对应角_____）.练习：如图1，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个全等三角形的对应角.教师引导，学生分析：找对对应点是解决此题的关键（△BOD与△COE中，B-C,D-E,O-O;△ADO与△AEO中A-A,D-E,O-O）解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.图1图2例已知：如图2，△ABC≌△DEF，∠A＝78°，∠B＝35°，BC＝18.(1)写出△ABC和△DEF的对应边和对应角.(2)求∠F的度数和边EF的长.（学生独立完成，教师评价）解：(1)边AB和边DE，边BC和边EF，边AC和边DF分别是对应边；教学反思AB CE DF∠A 和∠D ， ∠B 和∠DEF ， ∠ACB 和∠F 分别是对应角. (2)在△ABC 中，∵ ∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ACB ＝180°-∠A -∠B ＝180°-78°-35°＝67°. ∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠F ＝∠ACB ＝ 67°，EF ＝BC ＝18. 拓展：(1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包括对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等；(2)全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的常用依据．课堂练习1.如图1，△ABC ≌△BAD ，如果AB ＝6 cm , BD ＝4 cm ，AD ＝5 cm ，那么BC 的长是( )A .7 cmB .5 cmC .4 cmD .无法确定2.如图2，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为( )A .40°B .35°C .30°D .25°3.如图3，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，下列选项不正确的是( ) A.AB ＝AC B.∠BAE ＝∠CAD C.BE ＝DC D.AD ＝CD4.如图4，△ABC ≌ △ADE ,若∠D ＝∠B ， ∠C ＝ ∠AED ，则∠DAE ＝__________.5.如图5，△ABC ≌△DEF ，且B ，C ，F ，E 在同一直线上，判断AC 与DF 的位置关系，并证明.参考答案1.B2. B3.D4.∠BAC5.解：AC ∥DF . 理由如下：∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠ACB ＝∠DFE ， ∴ 180°-∠ACB ＝180°-∠DFE ， 即∠ACF ＝∠DFC ，∴ AC ∥DF .教学反思A DB C A BC DE F图1 图2 图3 图4 AB C DE 图5课堂小结13.2全等图形布置作业完成教材第37页习题A组、B组.板书设计1.全等图形及相关的概念；2.全等三角形的表示方法及性质.教学反思全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形全等图形全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定第1课时 边边边教学目标1.进行三角形全等条件的探索，积累数学活动经验；2.掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点 重点：掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；难点：会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学过程 导入新课1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.如图，已知△ABC ≌△DEF①AB ＝DE，② BC ＝EF ，③CA ＝FD ；④∠A ＝∠D ， ⑤∠B ＝∠E ，⑥∠C ＝∠F .探究新知 一、探究互动一 思考1：满足上述六个条件可以保证△ABC ≌△DEF 吗？思考2：可以用较少的条件判定△ABC ≌△DEF 吗？在以上六个条件中，能否选择其中部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？教师引导，学生探究（小组合作）探究1 只给一个条件，可以分哪几种情况？能够判断两个三角形全等吗？两个三角形不全等；两个三角形不全等； 结论：一个条件不能够判断两个三角形全等.探究2 只给两个条件.①两条边对应相等：若AB ＝DE ，AC ＝DF ,但两个三角形不全等；教学反思②一条边和一个角对应相等：若AB ＝DE ，∠A ＝ ∠D ，但两个三角形不全等；③两个角对应相等：若∠A ＝ ∠D ,∠C ＝ ∠AFE ，但两个三角形不全等.结论：两个条件也不能够判断两个三角形全等.探究3 给出三个条件.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①三角对应相等；②三边对应相等；三个条件③两边一角对应相等；④两角一边对应相等.问题 有三个角对应相等的两个三角形全等吗？结论：不一定全等.小亮认为，剩下的三种情况才有可能判断两个三角形全等，你赞同他的说法吗？二、探究互动二——基本事实一问题1：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边长分别是3 cm ，4 cm ，6 cm 的三角形. 把你做出的三角形和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗?问题2：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成边长分别是3 cm ，4 cm ，5 cm 的三角形. 再和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗? 小组互动，教师指导. 归纳：基本事实一：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（可简记为“_______”或“_____”）.几何语言：如图，在△ABC 和△ DEF 中，,,,AB CA BC ⎧⎪⎨⎪⎩＝ ＝ ＝ ∴ △ABC ≌△ DEF （ ）.例1 如图1，已知点A ，D ，B ，F 在一条直线上，AC ＝FE ，BC ＝DE ，AD ＝FB .求证：△ABC ≌△FDE . 教师指导，学生分析：在两个三角形中分别找到对应的三条边，然后证明它们分别相等. 证明：∵ AD ＝FB ，∴ AD +DB ＝FB +DB ，即AB ＝FD .教学反思在△ABC 和△FDE 中，∵ ,,AC FE AB FD BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴ △ABC ≌△FDE (SSS ).图1 图2例2 如图2，已知：AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE . 求证：∠BAC ＝∠DAE .证明：在△ABD 和△ACE 中，∵ AB AC AD AE BD CE ＝，＝，＝，⎧⎪⎨⎪⎩∴ △ABD ≌△ACE (SSS)，∴ ∠BAD ＝∠CAE . ∴ ∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ， 即∠BAC ＝∠DAE .练习：1.如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是_______.2.已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝CE ． 求证:(1)∠A ＝∠D ;(2)AB ∥DE . 学生独立完成，教师评价 1.③ 2.证明：（1） ∵ BF ＝CE ，∴ BF +FC ＝FC +CE ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中， ∵,,AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ △ABC ≌△DEF (SSS)， ∴ ∠A ＝∠D .（2）由（1）△ABC ≌△DEF ，可得∠B ＝∠E ，∴ AB ∥DE .三、三角形的稳定性问题1 问题2：观察右面两组木架，如果分别扭动它们，会得到怎样的结果？教学反思教师归纳：教学反思三角形的特性：三角形木架的形状_________，也就是说三角形是具有_____的图形.四边形的特性：四边形木架的形状_______，也就是说四边形是_________的图形.理解“稳定性”只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.想一想：在我们日常生活中，还有哪些地方运用到了三角形的稳定性？你能举出例子来吗？课堂练习1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不对2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法中正确的是( )A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对3.在生活中我们常常会看见如图2所示的情况加固电线杆，这是利用了三角形的________.4.如图3，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图4，D，F是线段BC上的两点，AB＝CE，AF＝DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件________ (填一个条件即可）.6.如图5，AD＝BC，AC＝BD.求证：∠C＝∠D .图1 图2 图3图4图5参考答案1.C2.C3.稳定性4.C5.BD＝CF(答案不唯一)如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”)内容解题思路应用边边边注意事项三角形的稳定性结合图形找隐含条件和现有条件，找出三边对应相等1.证明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中6.证明：连接AB（图略）,在△ABD和△BAC中，,,, AD BC BD AC AB BA ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△BAC(SSS)，∴∠D＝∠C.课堂小结1.基本事实一；2.基本事实一的应用；3.三角形的稳定性.布置作业完成教材第40页习题.板书设计13.3全等三角形的判定第1课时边边边教学反思第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第2课时边角边教学目标教学反思1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”；2.会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学重难点重点：会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；难点：了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学过程旧知回顾回顾基本事实一的内容.导入新课问题情境小明不小心将一块大脸猫的玻璃摔成了三块(如图所示)，为了配一块和原来完全一样的玻璃，他带哪一块玻璃就可以了? 你能替他解决这个难题吗? 带着问题我们还是一块儿来学习一下这节课的内容吧!探究新知观察思考：问题1：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且使长为1. 5cm的这条边所对的角是30°.小明的画图过程如图所示.小明根据所给的条件，画出了两个形状不同的三角形，这说明两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形不一定全等．那么两边和它们的夹角对应相等，这两个三角形又将是怎样的呢?问题2：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.(1)将△ABC叠放在△A′B′C′上，使顶点B与顶点B′重合，边BC落在边B′C′上，点A与点A′在边B′C′的同侧．点C与点C′是否重合，边BC与边B′C′是否重合? 边BA 是否落在边B ′A ′上，点A 与点A ′是否重合? (2)由“两点确定一条直线”，能不能得到边AC 与边A ′C ′重合，△ABC 和△A ′B ′C ′全等？教师引导，学生自主探索. 归纳：基本事实二如果两个三角形的________和它们的______对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“________”或“_____”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中， ____________AB A AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝，∠＝，＝， ∴ △ABC ≌△ DEF （______）．例 已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB . 求证：△ADC ≌△CBA . 教师引导，学生分析： 由两条直线平行可得内错角相等，还有隐含条件AC是公共边，可由SAS 证得结论.证明：∵AD ∥BC (已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).在△ADC 和△CBA 中，∵(),12(),(),AD CB AC CA ⎧⎪⎨⎪⎩＝已知∠＝∠已推出＝公共边 ∴△ADC ≌△CBA (SAS ).三角形全等在实际生活中也有很广泛的应用.下图是一种测量工具的示意图．其中AB ＝CD ，并且AB ,CD 的中点O 被固定在一起， AB ,CD 可以绕点O 张合.在图中，只要量出AC 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．这是为什么？请把你的想法和同学进行交流．原理：SAS. 练习：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立： 如图，在△AOB 和△DOC 中， AO ＝DO (已知)，______＝________( )，BO ＝CO (已知)，∴ △AOB ≌△DOC （ ）.学生独立完成，教师评价.答案：∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 SAS 课堂练习 1.如图，△ABC 中，已知AD 垂直于BC ，D 为BC 的中点，则下列结论不正确的是( ) A . △ABD ≌△ACD B . ∠B ＝∠CC . AD 是∠BAC 的平分线 D . △ABC 是等边三角形2.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形( )A .一定全等B .一定不全等C .不一定全等D .面积相等 3.如图1，AB ，CD ，EF 交于点O ，且它们都被点O 平分，则图中共有______对全等教学反思内容 应用 边角边 如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.（简写成 “边角边”或“SAS ”)1.“SSA ”不能作为判断三角形全等的依据;2. 根据已知条件，找到图形中的隐含条件，如公共边，公共角，对顶角，邻补角，外角，平角等，证明三角形全等.三角形.图1 图2 4.如图2，△ABC 和△EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC ＝DE ，AB ∥EF ，AB ＝EF .求证：△ABC ≌△EFD .5.某大学计划为新生配备如图3所示的折叠凳，图4是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30 cm ，则由以上信息可推得CB 的长度是多少？ 参考答案 1.D 2.C 3.34.证明：∵ AB ∥EF ，∴ ∠A ＝∠E .在△ABC 和△EFD 中，,,,AC ED A E AB EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠＝∴ △ABC ≌△EFD （SAS ）.5.解：∵ O 是AB ，CD 的中点，∴ OA ＝OB ,OD ＝OC .∴ CB ＝AD .在△AOD 和△BOC 中，OA OB AOD BOC OD OC ⎧⎪⎨⎪⎩＝,∠＝∠，＝， ∴ △AOD ≌△BOC (SAS ). ∵ AD ＝30 cm ,∴ CB ＝AD ＝30 cm.课堂小结1.基本事实二；2.SAS 的应用. 布置作业完成教材第43页习题.板书设计 13.3 全等三角形的判定第2课时 边角边 教学反思第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定 第3课时 角边角、角角边教学目标1.分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等；2.掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点 重点：掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；难点：分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等.教学过程 导入新课探究新知1.角边角、角角边 问题1：如图，在△ABC和△A ′B ′C ′中，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′.∠C ＝∠C ′.把△ABC 和△A ′B ′C ′叠放在一起，它们能够完全重合吗? 问题2：提出你的猜想，并试着说明理由.学生讨论会发现：将△ABC 叠放在△A ′B ′C ′上，使边BC 落在边B ′C ′上，顶点A 与顶点A ′在边B ′C ′的同侧．由BC ＝B ′C ′可得边BC 与边B ′C ′完全重合．因为∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′ ，∠B 的另一边BA 落在边B ′A ′上， ∠C 的另一边落在边C ′A ′上，所以∠B 与∠B ′完全重合， ∠C 与∠C ′完全重合．由于“两条直线相交只有一个交点”，所以点A 与点A ′重合.所以， △ABC 和△A ′B ′C ′全等. 归纳：基本事实三如果两个三角形的 两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角边角”或“ASA ”）几何语言： 如图，在△ABC 和△ DEF 中，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，教学反思∴ △ABC ≌△ DEF （ASA ）．问题3：已知：如问题1中的图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′，BC ＝B ′C ′. 求证： △ABC ≌△A ′B ′C ′.教师引导，学生观察：可将∠A ＝∠A ′这个条件转化为∠C ＝∠C ′. 证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠ A ′ ＋∠ B ′ ＋∠ C ′ ＝180°(三角形内角和定理)， 又∵ ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′(已知)， ∴ ∠C ＝∠C ′(等量代换).在△ABC 和△A ′B ′C ′中，,,,B B BC B C C C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩′′′′ ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ). 想一想：从中我们可以得到什么规律？ 归纳：全等三角形的判定定理 如果两个三角形的 两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角角边”或“AAS ”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF ， ∴ △ABC ≌△ DEF （AAS ）． 例 已知：如图，AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，BC ∥EF . 求证：△ABC ≌△DEF .教师引导，学生分析.通过BC ∥EF ，可得∠ABC ＝∠E ，再根据等量代换可得AB ＝DE .证明：∵ AD ＝BE (已知)，∴ AB ＝DE (等式的性质). ∵ BC ∥EF (已知)， ∴∠ABC ＝∠E (两直线平行，同位角相等).在△ABC 和△DEF 中，,A FDE AB DE ABC E ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠∴ △ABC ≌△DEF (ASA ). 练习：1.如图1，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A.甲B.乙C.甲、乙D.甲、乙都不是图1 图22.如图2，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点O ,AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD ，根据“AAS ”需添加的一个条件是___________. 学生独立完成，教师评价.答案：1.B 2.∠B ＝∠C （答案不唯一）课堂练习1.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠C ′＝69°，∠A ′教学反思＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形________________.2.如图1，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝________.图1 图23.如图2，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝2cm，CF＝4cm，则AB的长为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm4.如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC≌△ABD.5.已知：如图4，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2, 求证：AB＝AD.图3 图4参考答案1.全等2.33.C4.证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，12,,, AB ABABC ABD ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠＝∠＝∠∴△ABC≌△ABD（ASA）. 5.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90 °.在△ABC和△ADC中，12B DAC AC⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝（公共边）,∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB＝AD.课堂小结1.角边角、角角边的内容；2.利用角边角、角角边解决问题.布置作业完成教材第47页习题.教学反思板书设计13.3全等三角形的判定第3课时角边角、角角边教学反思角边角角角边内容应用如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“ASA”)如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“AAS”)注意“AAS”“ASA”中两角与边的区别第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定第4课时 具有特殊位置关系的三角形全等教学目标1.会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；2.会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等.教学重难点重点：会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；难点：会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等. 教学过程 导入新课1.图形的变换---平移、旋转；2.三角形全等的几个基本事实. 探究新知 问题：如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换(平移或旋转)后，能够与另一个三角形重合.学生讨论会发现： （1）、（2）图通过平移重合；（3）、（4）、（5）、（6）通过旋转重合. 归纳：实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换) 得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题.例1 已知：如图，在△ABC 中， D 是BC 的中点，DE ∥AB，交AC 于点 E ，DF ∥AC ，交AB 于点F .求证：△BDF≌△DCE .教师引导，学生分析：将△BDF 沿BC 方向向右平移可使△BDF △DCE 重合. 证明：∵ D 是BC 的中点(已知)，∴ BD ＝DC (线段中点定义∵ DE ∥AB ，DF ∥AC ，(已知)∴ ∠B ＝∠EDC ，∠BDF ＝∠C ，(两直线平行，同位角相等)在△BDF 和△DCE 中，B EDC BD DC BDF C ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BDF ≌△DCE (ASA ).例2 已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F . 求证：DE ＝FE .教师引导，学生分析：将△ADE 绕点E 旋转，可与△CFE 重合.证明：∵CF ∥AB (已知)，∴∠A ＝∠ECF (两直线平行，内错角相等). 在△EAD 和△ECF 中， 教学反思,A ECF AE CE AED CEF ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠ ∴△EAD ≌△ECF (ASA ).∴DE ＝FE (全等三角形的对应边相等). 练习： 1.如图1，由∠1＝∠2，BC ＝DC ，AC ＝EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是( ) A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS图1 图2 2.已知：如图2，AB ∥CD ,AD ∥BC . 求证：AB ＝CD ,AD ＝BC .学生独立完成，教师评价.答案：1.A2.证明：连接AC （图略），∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC ＝∠DCA. 在△BAC 和△DCA 中,BAC DCA AC CA BCA DAC ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BAC ≌△DCA ， ∴ AB ＝CD ,AD ＝BC . 课堂练习 1. 如图1，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为________．2.如图2，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是( )A.60°B.90°C.120°D.150° 图1 图2 图3 图4 3.如图3，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC .将仪器上的点A与∠PR Q 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C画一条射线AE ，AE 就是∠PR Q 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠Q A E ＝∠P AE .则说明这两个三角形全等的依据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4.如图4,AE ＝AC ,AB ＝AD ,∠EAB ＝∠CAD ,试说明:∠B ＝∠D.参考答案 1.120° 2.B 3.D 4.证明：∵ ∠ EAB ＝∠ CAD ，∴ ∠ EAB +∠ BAD ＝∠ CAD +∠ BAD ， 即∠ EAD ＝∠ CAB .教学反思。
1.2怎样判定三角形全等(第1课时SAS)(同步课件)-八年级数学上册教材配套教学课件同步(青岛版)
∴ = − = 11.2 − 8 = 3.2，
1
1
2
2
∴ △ = ⋅ = × 8 × 3.2 = 12.8，
2.下列结论不正确的是（ ）
A. 两边一角分别相等的两个三角形全等.
B. 两直角边分别相等的直角三角形全等.
C. 一腰及顶角分别相等的两个三角形全等.
∠BAC=∠DAC，
AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC（SAS）
B
A
C
D
解决该题的关键是
要注意挖掘“公共
边”这个隐含条件.
例2 为了测量池塘边上不能直接到达的两点A，B之间的距离，小明的设
计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D
点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE
个三角形不一定全等,即“SSA”不能作为判定两个三角形全等
的条件.
两边夹角对应相等
两边一角
对应相等
（边角边）
√
两边一对角对应相等
（边边角）
×
例1 已知如图，AB=AD,∠BAC=∠DAC,△ABC
与△ADC全等吗？试说明理由.
解：△ABC与△ADC全等. 理由如下：
在△ABC与△ADC中，
AB=AD,
2024-2025学年八年级数学上册教材
配套同步课件+同步练习（青岛版）
第1章
全等三角形
1.2怎样判定三角形全等（第1课时）
SAS
01
教学目标
1.知道三角形全等“边角边”的内容；
2.会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或
角相等创造条件；
相似三角形的判定定理完整版课件-2024鲜版
与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28
数学竞赛申报表
（2011学年第二学期）
填表日期：2012年6月6日
课程开发
申报人姓名
张建国，张义
科组
数学
课程名称
数学竞赛
课程类型
第二课堂
课时安排
√学期制
□学年制
学习对象
年级
初一，初二
每学期课时72课时
人数
36人
周活动时间
周二下午，周四晚上
场地要求
无
课程实施教师
张建国，张义
课程材料
4
张建国，张义
第11周
勾股数，勾股定理的应用
4
张建国，张义
第12周
平行四边形，完美的正方形
4
张建国，张义
第13周
特殊的四边形------菱形与梯形
4
张建国，张义
第14周
中点想到了什么与平行截割
4
张建国，张义
第15周பைடு நூலகம்
另一个飞跃-------从全等到相似
4
张建国，张义
第16周
相似三角形的性质和直角三角形的再发现
统一买
课程目标：
数学竞赛，对于提高学生思维，有着多方面的重要意义和常规课堂教学难以取代的作用：拓宽解题思路，增强逻辑推理能力、解题能力和运用数学知识解决实际问题的能力；激发学生的求知欲望，提高学习兴趣，促进思维能力的发展，培养良好的思维品质、创新才能。
内容提纲：
数学竞赛的内容大部分是刚学知识的延伸拓展，小部分为超前题目，这一小部分主要是针对学生的创造能力和创新能力而设计的，甚至有些题目是找不到答案的，但是主要观察同学们的思路，这些问题不一定得到完整的解决，灵活的头脑，不同的思路，巧妙的思考也是一种能力的提升。
2024版相似三角形ppt初中数学PPT课件
相似三角形ppt初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何图形中应用•相似三角形在解决实际问题中应用•相似三角形证明方法探讨•典型例题解析与练习•课堂小结与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质01020304定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应角关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相等角两个相似三角形的对应角相等。
补角两个相似三角形的非对应角互为补角。
两个相似三角形的对应边之间的比值相等。
对应边成比例两个相似三角形的对应高、中线、角平分线之间的比值也相等，且等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
面积比等于相似比的平方两个相似三角形的周长之比等于相似比。
周长比等于相似比性质总结02相似三角形在几何图形中应用平行线间距离问题利用相似三角形性质求解平行线间距离通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解平行线间的距离。
平行线间距离与相似三角形关系平行线间距离与相似三角形的对应高成比例，因此可以通过相似三角形性质求解平行线间距离。
角度平分线问题利用相似三角形性质求解角度平分线问题通过构造相似三角形，利用对应角相等的性质，可以求解角度平分线问题。
角度平分线与相似三角形关系角度平分线将相邻两边按照相同比例分割，因此可以通过相似三角形性质求解角度平分线问题。
直角三角形中特殊应用利用相似三角形性质求解直角三角形中特殊应用在直角三角形中，通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解一些特殊问题，如勾股定理、射影定理等。
直角三角形中特殊应用与相似三角形关系在直角三角形中，一些特殊应用可以通过构造相似三角形进行求解，这些应用与相似三角形的性质密切相关。
九年级数学：第二十七章“相似”简介
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构第二十七章“相似”简介教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
>课程教材研究所李海东在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。
研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。
结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。
本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。
在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。
全等模型知识点总结
全等模型知识点总结在几何学中，全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，被称为全等图形。
这意味着它们的所有对应边长度相等，对应角度相等，因此它们是相似的。
全等模型是几何学中的重要概念，它在解决问题和证明定理时起着重要的作用。
本文将对全等模型的相关知识点进行总结，包括全等模型的定义、性质、判定条件、应用以及相关定理等内容。
一、全等模型的定义全等模型是指两个图形在形状和大小上完全相同，其定义如下：定义1：如果两个图形A和B，它们之间存在一个一一对应关系，使得A中的每一个点都与B中的一个点对应，并且对应的边和对应的角度相等，则称图形A和图形B是全等的。
符号表示为A≌B。
根据这个定义，全等图形必顋满足以下条件：1. 对应的边相等：即A和B中的每一条边都有对应的边，且这些对应的边的长度相等。
2. 对应的角度相等：A和B中的每一个角度都有对应的角度，且这些对应的角度相等。
3. 所有对应的点都在同一直线上：即A和B中的每一个点都有对应的点，并且这些对应的点在同一条直线上。
二、全等模型的性质全等模型具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 对应边和对应角相等：全等图形的对应边和对应角都相等，即它们所对应的边长度相等，对应的角度也相等。
2. 全等模型是相似的：由全等模型的定义可知，全等图形必须是相似的。
因此，全等模型也满足相似三角形的性质，如正弦定理、余弦定理等。
3. 全等模型的对应边相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应边是两两相等的。
4. 全等模型的对应角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角是两两相等的。
5. 全等模型的角平分线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应角的角平分线也相等。
6. 全等模型的对应中线相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线也相等。
7. 全等模型的对应高相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应高也相等。
8. 全等模型的对应中线、高线所成角相等性质：如果两个全等模型A和B，那么它们的对应中线、高线所成角相等。
相似和全等的认识和判定
相似和全等的认识和判定相似和全等是数学中常用的概念，用于描述物体或数值之间的关系。
在数学问题中，正确的认识和判定相似和全等的能力是非常重要的。
本文将介绍相似和全等的概念，并从几何和代数两个角度来探讨如何准确地认识和判定它们。
一、相似的认识和判定相似是指两个事物在形状上相似，但大小可能不同。
在几何中，两个图形相似的条件是对应角相等，并且对应边的比例相等。
例如，在平面几何中，如果两个三角形的三个内角分别相等，且对应边的长度之比相等，那么这两个三角形就是相似的。
在代数中，如果两个代数式的形式相同，但系数可能不同，那么这两个代数式相似。
例如，2x和6x都是2倍于x的代数式，所以它们相似。
判定两个图形或代数式相似的方法是通过比较对应角和对应边的比例是否相等。
如果满足相似的条件，我们可以说这两个事物是相似的。
二、全等的认识和判定全等是指两个事物在形状和大小上完全相同。
在几何中，两个图形全等的条件是对应角相等，并且对应边的长度相等。
例如，在平面几何中，如果两个三角形的三个内角分别相等，且对应边的长度也相等，那么这两个三角形就是全等的。
在代数中，如果两个代数式的形式相同，并且所有的系数也相同，那么这两个代数式全等。
例如，2x和2x就是全等的，因为它们的形式相同且系数相同。
判定两个图形或代数式全等的方法是通过比较对应角和对应边的长度是否相等。
只有满足全等的条件，我们才能说这两个事物是全等的。
三、相似和全等的区别相似和全等的区别主要体现在大小上。
相似是指形状相同但大小可能不同，而全等则表示形状和大小都相同。
以三角形为例，如果两个三角形的形状相同但一个三角形较另一个三角形的边长更大，这两个三角形就是相似的；如果两个三角形的形状和边长完全相同，这两个三角形就是全等的。
四、总结相似和全等是数学中常用的概念，用于描述物体或数值之间的关系。
在几何和代数两个领域，相似和全等都有明确的定义和判定条件。
相似和全等之间的区别在于大小，相似表示形状相同但大小可能不同，而全等表示形状和大小都相同。
初中数学知识归纳相似与全等的概念与判定
初中数学知识归纳相似与全等的概念与判定初中数学知识归纳：相似与全等的概念与判定数学是一门重要而广泛应用的学科，其中包含了许多基础概念和原则。
在初中数学中，相似与全等是两个重要的概念。
本文将对相似和全等的概念进行归纳，并介绍相应的判定方法。
一、相似的概念与判定相似是指两个或多个图形在形状上相似，但大小可以不同。
具体而言，如果两个图形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么它们就是相似的。
在判断两个图形是否相似时，我们可以使用以下方法：1. 角对应法：对比两个图形对应的角度是否相等。
2. 边比例法：对比两个图形对应边的比例是否相等。
例如，有两个三角形ABC和DEF，我们可以用角对应法来判断它们是否相似。
如果∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EFD，∠ACB=∠DFE成立，那么三角形ABC与DEF就是相似的。
值得注意的是，两个相似图形的相似比例常常是一个固定值。
例如，在平面几何中，相似的三角形的对应边比例总是相等的。
二、全等的概念与判定全等是指两个图形在形状和大小上完全相等。
如果两个图形的对应边长度相等，并且对应角度相等，那么它们就是全等的。
和相似一样，在判断两个图形是否全等时，我们也可以采用多种方法：1. SSS判定法：两个三角形的三条边分别相等。
2. SAS判定法：两个三角形的一个角度和两条边分别相等。
3. ASA判定法：两个三角形的两个角度和一条边分别相等。
4. RHS判定法：两个直角三角形的一个直角和斜边分别相等。
例如，有两个三角形ABC和DEF，我们可以用SSS判定法来判断它们是否全等。
如果AB=DE，BC=EF，CA=FD成立，那么三角形ABC与DEF就是全等的。
需要注意的是，全等图形的对应边和对应角是一一对应的，完全相等。
三、相似与全等的应用相似和全等的概念在几何学中有着广泛的应用。
我们可以借助这些概念解决很多几何问题。
1. 相似的应用：通过相似的性质，我们可以进行测量。
例如，通过测量不同的物体和他们的相似图形的边长比例，我们可以计算出物体的实际长度。
初中八年级数学培优竞赛第22讲 相似三角形的性质
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断 的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出 的值；反之，请说明理由．
10、如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，=4，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。
（3）在（2）的基础上继续旋转,当60°＜α＜90°,且使AP：PC=1：2时,如图3, 的值是否变化?证明你的结论．
19、如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H是线段AD上一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB为E、F。过点E作EP⊥BC分别交CF、BC于点M、P，过点F作FQ⊥BC分别交BE、BC于点N、Q，求证：
A、 B、 C、 D、
7、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形 ；在等腰直角三角形 中，作内接正方形 ；在等腰直角三角形 中，作内接正方形 ；…；依次作下去，则第n个正方形 的边长是（ ）
A、 B、 C、 D、
有这种培优竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607
A、 B、 C、 D、
18、如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F．
（1）当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则 的值为______ ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角,如图2,求 的值；
(芜湖市中考题)
2、如图，要将等腰RT△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC= ，S△PB1C=2，则BB1=____________.
初中数学知识归纳相似与全等的判定
初中数学知识归纳相似与全等的判定初中数学知识归纳：相似与全等的判定在初中数学中，相似与全等是两个重要的概念。
相似和全等是描述两个图形之间关系的术语，它们有着不同的定义和判定方式。
本文将对相似和全等的概念和判定方法进行归纳总结。
一、相似的定义及判定方法相似是指两个图形的形状完全相同或者相似程度非常高，但是尺寸不同。
两个相似图形具有相等的形状和相似的比例。
在相似的判定中，我们常用的方法有以下几种。
1. AAA判定法：当两个三角形对应的角度分别相等时，这两个三角形是相似的。
例如：△ABC与△DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2. AA判定法：当两个三角形对应的一个角相等，并且其他两个角所对边的比值也相等时，这两个三角形是相似的。
例如：△ABC与△DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，AB/DE = AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3. 直角三角形相似判定法：当两个直角三角形的两条直角边分别成比例时，这两个直角三角形是相似的。
例如：△ABC与△DEF，若∠A=∠D=90°，BC/EF = AC/DF，则△ABC∽△DEF。
二、全等的定义及判定方法全等是指两个图形的形状和尺寸完全相同。
在全等的判定中，我们常用的方法有以下几种。
1. SSS判定法：当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形是全等的。
例如：△ABC与△DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF。
2. SAS判定法：当两个三角形的一个边和所对的一个角分别相等，并且另外两条边的对应边长也相等时，这两个三角形是全等的。
例如：△ABC与△DEF，若AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF。
3. 直角三角形全等判定法：当两个直角三角形的两个直角边长度分别相等时，这两个直角三角形是全等的。
例如：△ABC与△DEF，若∠A=∠D=90°，AB=DE，BC=EF，则△ABC≌△DEF。
第27章相似-相似三角形中的新定义专题(教案)
最后，针对教学过程中的难点和学生的反馈，我认识到需要在课后加强个别辅导，关注学生的个体差异。对于理解能力较弱的学生，我可以提供一些额外的学习资源，帮助他们巩固知识点。
第27章相似-相似三角形中的新定义专题（教案）
一、教学内容
第27章相似-相似三角形中的新定义专题（教案）
1.教材章节：本节课内容依据人教版八年级下册第27章“相似”中的第三节“相似三角形的新定义”进行设计。
2.教学内容：
（1）相似三角形的判定：了解相似三角形的定义，掌握AA、SAS、SSS相似三角形的判定方法；
（3）解决实际问题的能力：将相似三角形的知识应用于解决生活中的问题，如测量物体的高度、计算地图上的距离等。此部分难点在于：
-建立正确的几何模பைடு நூலகம்；
-将已知条件转化为几何关系；
-灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似-相似三角形中的新定义专题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量无法直接到达的高处或远距离的情况？”（如测量大楼的高度、河流的宽度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
5.培养学生的团队协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生与他人合作解决问题的能力，增强团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的判定：AA、SAS、SSS相似三角形的判定方法是本节课的核心内容。在教学过程中，需强调以下细节：
八下相似三角形判定讲义讲解
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间：（本课题两课时）姓名年级八性别教学课题相似三角形判定教学目标探究并掌握相似三角形的判定方法；运用相似三角形的判定定理及性质定理解决相关问题；培养学生逻辑思维能力；培养良好的学习习惯。
重点难点重点：相似三角形的判定方法难点：相似三角形判定和性质的应用。
课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________课堂教学过程一、探究相似三角形的证明方法：1、在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？2、相似三角形其他判定方法探究：（1）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.（2）两角对应相等的三角形相似。
思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？(3）相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似. (4）相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.二、三角形相似的判定的应用例3、已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.例4、已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.（总结：相似三角形的相关性质）三、经典例题：例5：（广东）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD•于点E．（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．例6、如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC．例7、在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；的值．（2）求FNNE例8、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.强化训练，提高技能：一、填空题1、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似．其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上)．2、在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，且AD ＝2，若要在AB上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE ＝ ． 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、在长 8cm ，宽 4cm 的矩形上剪去一个矩形(阴影部分)使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为＿＿＿＿cm 2．5、如图，在直角坐标系中有两点A (4，0)、B (0，2)，如果点C 在x 轴上(C与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)． 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知A (2，－2)，B (0，－2)，在坐标平面中确定点P ，使△AOP 与△AOB 相似，则符合条件的点P 共有 个 7、如图，ΔABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，则S 四边形DFGE ∶S四边形FBCG＝_________．8、如图，在ABC ∆中，AC AB >，过AC 上一点D 作直线DE ，交AB 于E ，使ADE ∆和ABC ∆相似，这样的直线可作______条．9、如图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm ×3.5 cm ，放映屏幕的规格为2 m ×2 m ，若放映机的光源S 距胶片2 0 cm ，那么光源S 距屏幕3题图4题图5题图7题图8题图9题图米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．10、小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h 为 米．11、(06湖州)为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度约为________米(精确到0.1米)．12、已知△ABC 周长为1，连结△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为13、如图在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，M 为 BD 上任一点，ME ⊥AB 于E ，MF ⊥CD 于F ，那么=+ADMEBC MF 14、如图，梯形ABCD 中，5.3,2,//==AB DC AB DC ，且AB PQ MN ////，PA MP DM ==，则=MN _______，=PQ ________．15、雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面m 2远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影． 如果旗杆底端到积水处的距离为m 40，该生的11题12题A E BCF D M13题14题眼部高度是m 5.1，那么旗杆的高度是_______m ．16、(2006潍坊市)晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为 二、选择题1．(威海市，2001)如图，在正方形网络上有6个斜三角形：①ABC ∆，②BCD ∆，③BDE ∆，④BFG ∆，⑤FGH ∆，⑥EFK ∆． 其中，②～⑥中，与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥2、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )① ② ③ ④A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④3、等腰三角形ABC 和DEF 相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为( )A 、3：4B 、4：3C 、1：2D 、2：14．已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长差40cm ，则这两个三角形的周长分别是 ( )A ．75cm ， 115cmB ．60cm ， 100cmC ．85cm ， 125cmD ．45cm ， 85cm5、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( ) A 原图形的外部B 原图形的内部C 原图形的边上D 任意位置6．如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，要使⊿ABC ∽⊿CAD ， 只要CD 等于 ( )A ．cb 2B ．ab 2C ．cabD ．ca 27、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF ＝90°，则一定有( )A ΔADE ∽ΔAEFB ΔECF ∽ΔAEFC ΔADE ∽ΔECFD ΔAEF ∽ΔABF8、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形( )A 1对B 2对C 3对D 4对9、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是(A ) S 1 > S 2 (B ) S 1 ＝ S 2 (C ) S 1<S 2 (D ) S 1、S 2 的大小关系不确定10、如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A 、 1条 B 、 2条 C 、 3条 D 、 4条6题7题8题9题10题11题E HA11、如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射到桌面后在地面上形成(圆形)的示意图． 已知桌面直径为 1.2米，桌面离地面1米． 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为( －)A ．、0.36π米2 B 、0.81π米2 C 、2π米2 D 、3.24π米212、如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝ 2∶3，EF ＝ 4，则CD 的长( )A ．163B ．8C ．10D ．1613．如图，E ，G ，F ，H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF ⊥GH ，若AB ＝2，BC ＝3，则 EF ︰GH ＝ ( )A ．2︰3B ．3︰2C ．4︰9D ．无法确定 14．如图，H 为ABCD 中AD 边上一点，且DH AH 21=，AC 和BH 交于点K ， 则=KC AK :( )A ．2:1B ．1:1C ．3:1D ．3:215．一个钢筋三角架三 长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种三、解答题1、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形ABC 相似(相似比不为1)． 2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，7,3,2,===⊥AD AB CD AB DA ，在AD 上能否找到一点P ，使三角形P AB 和三角形PCD 相似？若能，共有几个符合条件的点P ？并求相应PD 的长．若不能，说明理由．3．如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ．(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由．(2)若AB ＝6，AD ＝12，BE ＝8，求DF 的长．4、(06苏州)如图，梯形ABCD 中．AB ∥CD ．且AB ＝2CD ， E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ． (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM ．5、已知:如图，CE 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高，BG ⊥AP ． 求证:CE 2＝ED ·EP ．6．如图，在ABC ∆中，已知︒=∠90A ，BC AD ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D ，E 作直线交AB 的延长线于F ． 求证：AFDFAC AB =．D CPA BMEDCBA7、如图，有一路灯杆AB (底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．8、如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC ＝20米，斜坡坡面上的影长CD ＝8米，太阳光线AD 与水平地面成30°角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度(精确到1米)．9．在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠(阴影)部分的面积．10．(北京市宣武区)如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边．若点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将MCN ∆翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为点P ．(1)当点P 是边AB 的中点时，求证：CN CMPB PA =． (2)当点P 不是边AB 的中点时，CNCMPB PA =是否仍然成立？请证明你的结论．11、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120A BCD EP Q MNABCDDFB CE GCDF BAE图1FCDEAB毫米，高AD ＝80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ 12、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120mm ， 高AD ＝80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， (1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ (2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？13、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为5.1米，面积为5.1平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面． 甲、乙两位同学的加工方法分别如图(左)，图(右)所示． 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． (加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)14、已知：如图1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立(不要求考生证明)．若将图1中的垂线改为斜交，如图2，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则：ABC QM D NPECDBCABAABDE DC EEPower by YOZOSOFT。
2024版相似三角形PPT课件PPT课件学习教案
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，那么这两个三角形相似。
AAA相似
如果两个三角形的三组对应角 分别相等，则这两个三角形相
似。
SAS相似
如果两个三角形两组对应边成 比例且夹角相等，则这两个三
角形相似。
SSS相似
如果两个三角形的三组对应边 成比例，则这两个三角形相似。
THANKS
感谢观看
REPORTING
02
例题2：在△ABC中，D、E分别是AB、 AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm， DB=4cm，那么DE的长是多少？
ห้องสมุดไป่ตู้03
分析：在这个问题中，我们可以通过利 用相似三角形的性质来求解DE的长度。 由于DE∥BC，根据平行线性质我们可 以得出△ADE∽△ABC。根据相似三角形 的性质对应边成比例，我们可以得出 DE/BC=AD/AB。已知AD=2cm和 DB=4cm，因此AB=AD+DB=6cm。 将已知数值代入比例式中求解即可得出 DE的长度。
典型例题分析
例题一
已知等腰直角三角形的直角边长为a，求其斜 边长。
01
解题步骤
首先，根据勾股定理列出方程；其次， 将a的值代入方程中求解；最后，对 求解结果进行开方运算得到斜边长。
03
解题思路
等边三角形的面积可以通过海伦公式或者底 乘高的一半来求解。在这里，我们可以选择
底乘高的一半的方法来求解。
05
已知三角形ABC中，D、 E分别是AB、AC上的点， 且DE平行于BC，AD=2， DB=4，求DE/BC的值。
根据相似三角形的判定定 理，我们知道三角形ADE 与三角形ABC相似，然后 利用相似三角形的性质求 解即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十讲 飞跃-从全等到相似
全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等．
通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一．
熟悉以下形如“A 型”、“X 型”“子母型”等相似三角形．
例题求解
【例1】如图，△ABC 中，∠ABC=60’°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，则PB= ．
(全国初中数学竞赛题)
思路点拨 PA 、PB 、PC 分别是△ABP 、△BCP 的边，从判定这两个三角形的关系入手． 注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上．
类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．”
在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比．
【例2】 a 、b 、c 分别是△ABC 的三边的长，且c
b a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是( )
A ．∠B>2∠A
B ．∠B=2∠A
C ．∠B<2∠A
D ．不确定
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系．
【例3】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2=PE ×PF
(吉林省中考题)
思路点拨 由于BP 、PE 、PF 在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题．
【例4】 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC(AB>AE) ．
(1)△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；
(2)设k BC
AB ，是否存在这样的k 值，使△AEF 与△BFC 相似?若存在，证明你的结论并求出k 的值：若不存在，说明理由．
(重庆市中考题)
思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则Rt △AEF 与Rt △BFC 中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k 的值．
【例5】 如图，△ABC 和△A l B l C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ．求证：AA 1⊥CC 1．
(重庆市竞赛题)
思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线，并延长AA l 交CC l 于E ，寻找相似三角形，证明∠A=90°．
注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型．基本证法有：
(1)从相似三角形入手；
(2)利用平行截割定理．
有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化．
将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论．
学力训练
1．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，在网格上，画出一个与△ABC 相似且面积最大的△A 1B l C 1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A 1B l C 1的面积是 ． (泰州市中考题)
2．如图，在△ABC 中，AB=15cm ，AC=12cm ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点C ，那么CE= cm ． (重庆市中考题)
3．如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=BE ，MN=1，线段MN 的两端点在CB 、CD 上滑动，当CM= 时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．
(桂林市中考题)
4．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，有下列结论：①∠BAE=30°；②CE 2=AB ×CF ；③CF=3
1CD ；④△ABE ∽△AEF ．其中正确结论的序号是 ． (黄冈市中考题)
5．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则结论正确的是( )
A ．△AEDt ∽△ACD
B ．△AEB ∽△ACD
C ．△BAE ∽△ACE
D ．△AEC ∽△DAC
(江苏省竞赛题)
6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，对角线AC ⊥BD 于P ，若
43=BC AD ， 则AC BD 的值是（ ） A ．23 B ．3
2 C ．3
3 D ．43 (2000年绍兴市中考题) 7．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是( )
A ．AE ⊥AF
B ．EF ：AF=1:2
C ．AF 2=FH ×FE
D ．EC
HB FC BF = (黑龙江省中考题)
8．如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD ＝3
2，则△ABC 的边长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ． 6 (黑龙江省中考题)
9．已知：正方形的边长为1
(1)如图①，可以算出一个正方形的对角线长为2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出n 个正方形并排拼成的矩形的对角线长．
(2)根据图②，求证：△BCK ∽△BED ．
(3)由图③，在下列所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：
①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．
10．如图，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4㎝的速度向点B 运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x ．
(1)当x 为何值时，PQ ∥BC?
（2）当31=∆∆ABC BCQ
S S 时，求ABC
BPQ S S ∆∆的值； (3)△APQ 能否与△CQB 相似?若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．
(金华市中考题)
11．如图，设P 是等边△ABC 的一边BC 上的任意一点，连结AP ，它的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点，求证：BP ×PC=BM ×CN ． (安徽省竞赛题)
12．已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、 F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是 ． ( “弘晟杯”上海市竞赛题)
13．如图，ABCD 是正方形，E 、F 是AB 、BC 的中点，连结CC 交DB 、DF 于G 、H ，则EG ：GH ：= ． (重庆市竞赛题)
14．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB<CD ，一直线交BA 延长线于E ，交DC 延长线于J ，交AD 于F ，BD 于G ，AC 于H ，BC 于I ，已知EF=FG=GH=HI=IJ ，AB
． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
15．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为41，那么两底的比为( ) A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 (江苏省竞赛题) 16．如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB=4，PD=3，则AD ×
DC 等于( )
A ．6
B ．7
C ． 12
D ．16
(TI 杯全国初中数学竞赛试题)
17．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，下面4种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是( )
A ．AD ×BC=A
B ×BD B ．AB 2=AD ×A
C C ．∠ABD=∠ACB
D ．AB ×BC=AC ×BD
(全国初中数学联赛题)
18．如图，正方形ABCD 中，M 为AD 中点，以M 为顶点作∠BMN=∠MBC ，MN 交CD 于N ，求证：DN=2NC ．
19．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，K 、M 分别是AD 、BC 上的点，已知∠DAM=∠CBK ，求证：∠DMA=∠CKB ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
20．如图，△ABC 中，∠ACB=2∠ABC ，求证：AB 2=AC 2+AC ×BC ．
21．如图，AB 是等腰直角三角形的斜边，若点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN 翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为点P ．
(1)当点P 是边AB 的中点时，求证：
CN CM PB PA =； (2)当点P 不是边AB 的中点时，
CN
CM PB PA =是否仍然成立?请证明你的结论． (2001年北京市宣武区中考题)
22．如图，若
WU EF VW CD UV AB ==，求证：ZX FA YZ DE XY BC ==．(武汉市选拔赛试题)。