高考数学第一轮复习---指数与对数函数

1）函数的定义域为 (0, ) ，
2）函数的值域为 R，
3）当 0 a 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数， 4）对数函数 y log a x 与指数函数 y ax (a 0, 且 a 1) 互为反函数 .
②
1）对数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、四象限，
2）对数函数都以 y 轴为渐近线 （当 0 a 1时，图象向上无限接近 y 轴；当 a 1 时，图象向下无限接近 y 轴）.
, 定义域为 (
, 1) (1,
)，
x1
求导得 f ( x)
x2
2 log a
1
e，
①当 a 1 时， f ( x) 0, f (x) 在 ( , 1)与(1, ) 上都是减函数；
②当 0 a 1 时， f ( x) 0, f (x)在 ( , 1)与 (1, ) 上都是增函数；
（另解）设 g( x) g( x2 ) g (x1)
n a ( a 0) .
②性质： 1） (n a ) n a ； 2）当 n 为奇数时， n a n a ；
3）当 n 为偶数时， n a | a | a( a 0) a(a 0)
2．幂的有关概念：
①规定： 1） a n a a
a(n N*， 2） a 0 1( a 0) ，
p
3） a
n个
1 p (p a
4）对于相同的 a(a
0,且 a
1) ，函数 y log a x与y 0 a1
log 1 x 的图象关于 x 轴对称 .
a
a1
① x 1时 y 0 ，
① x 1时 y 0 ，
③函数值的变化特征：
② x 1时y 0 ，
② x 1时 y 0 ，
③ 0 x 1时 y 0 .
③ x 0时 0 y 1 .
（二）学习要点：
y
0,
f 1(x)
ax 1
ax
(x 1
0, a
0且 a
1)
（4） 1 x a 2, a 3, f (x)在 (1, a 2) 上为减函数，
a1
命题等价于 f (a 2) 1，即 log a
1
a3
解得 a 2 3 .
a2 4a 1 0，
[评析 ]例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方 法是很重要的能力训练，要认真总结经验 .
1． n N a, ab N , log a N b （其中 N 0, a 0,a 1 ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许
多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算 而对数式一般应化为同应化为同底 .
.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式； 进行数式运算的难点是运用各种变换技巧， 如配方、 因式分解、 有理化（分子或分母） 、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累 经验 .
1 4 2 1 17
2
[
25
]
(
2) 2
93
5 2 10 2
9
9
（ 2）计算
lg 5 lg 8000 (lg 2 3 ) 2
.
1
1
lg 600 lg 0.036 lg 0.1
2
2
[ 解析 ] 分子 = lg 5(3 3lg 2) 3(lg 2)2 3 lg 5 3 lg 2(lg 5 lg 2) 3 ；
[ 解析 ] 18b 5, log 18 5 b,
log 30 36 log 18 18 log 18 2 log 18 5 log 18 6
1 (log 18 18 log 18 9) b (log 18 18 log 18 3)
2(2 a)
.
2 2b a
[ 评析 ]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习
1
1
(a 3 )2 a 3 (2b 3 ) ( 2b 3 )2
1
1
a 3 2b3
a
21
(a a3 ) 2
1
11
(a 2 a 3) 5
11
1
a 3 (a 3 2b 3 )
5
a
a6
1
1
1
1
2
a3 a a3
a2 .
a 3 2b 3 a 6
（ 4）已知： log 18 9 a,18b 5,求 log 30 36 值.
（5）若函数的值域为 ( , 1] ，求实数 a 的值；
（6）若函数在 ( ,1] 内为增函数，求实数 a 的取值范围 .
[解答 ] 记 u g (x) x 2 2ax 3 ( x a) 2 3 a2 ，
（1） u 0对 x R 恒成立， u min 3 a 2 0
3 a 3，
a 的取值范围是 ( 3, 3) ；
m
Q，4） a n
n a m (a 0, m 、 n N* 且 n 1)
②性质： 1） a r a s a r s (a 0,r 、 s Q），
2） ( a r ) s a r s (a 0, r 、 s Q），
3） ( a b) r a r b r (a 0,b 0, r Q） （注）上述性质对 r、 s R 均适用 .
②基本性质：
1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ， 2） log a 1 0 ， 3） log a a 1 ， 4）对数恒等式： a log a N N ③运算性质：如果 a 0, a 0, M 0, N 0, 则
1） log a (MN ) log a M log a N ；
M 2） log a
1）函数的定义域为 R ， 2）函数的值域为 (0, ) ， 3）当 0 a 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数 .
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限，
2）指数函数都以 x 轴为渐近线 （当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1 时，图象向右无限接近 x 轴），
.
3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于
1
或小于 1 分类 .
4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）
形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力
（2）这是一个较难理解的问题。从“
log a x 的值域为 R”，这点思考， “ log 1 u 的值域
2
为 R ”等价于“ u g( x) 能取遍 (0, ) 的一切值”，或理解为“ u g (x) 的值域包含
了区间 ( 0, ) ”
u g(x) 的值域为 [ 3 a2 , ) (0, ),
数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧
.
【例 2】解答下述问题：
（ 1）已知 log a x log c x 2 log b x且 x 1 ，
求证： c 2 ( ac) log a b
[解析 ] log a x log a x 2 log a x , x 1, log a x 0 ， log a c log a b
.
【例 1】已知 f ( x)
1 log a
mx 是奇函数
（其中 a
0, a
1) ，
x1
（1）求 m 的值；
（2）讨论 f (x) 的单调性；
（3）求 f (x) 的反函数 f 1( x) ；
（4）当 f (x) 定义域区间为 (1, a 2) 时， f ( x) 的值域为 (1, ) ，求 a 的值 .
x1 ，任取 x1
x1 x 2 1 x1 1 x 2 1 x1 1
x 2 1或 x2 x1 1 ， 2( x2 x1 ) 0 ，
( x1 1)( x2 1)
g ( x2 ) g ( x1 ) ，结论同上；
（3） y
x1 log a
x1
ay
x1 x1
(a y 1)x a y 1
ay 1
x
ay
，
1
a y 1 0,
【例 1】解答下述问题： （ 1）计算：
2
3 [(3 )
3
(5
4 )
0.5
8
9
2
(0.008) 3
1
(0.02) 2
1
(0.32) 2 ]
0.0625 0.25
2
[ 解析 ] 原式 =[( 8 ) 3 27
1
( 49) 2 9
2
1000 (
)
3
8
1
50
42
N
log a M log a N ；
3） log a M n n log a M (n R ） .
④换底公式： log a N log m N (a 0, a 0, m 0, m 1, N 0), log m a
1） log a b log b a 1， 2） log am b n
（二）学习要点：
n log a b. m
3．对数的概念：
①定义：如果 a( a 0, 且 a 1) 的 b 次幂等于 N，就是 ab N ，那么数 b 称以 a 为底 N 的对数，记作 log a N b, 其中 a 称对数的底， N 称真数 . 1）以 10 为底的对数称常用对数， log 10 N 记作 lg N ， 2）以无理数 e(e 2.71828 ) 为底的对数称自然对数， log e N 记作 ln N