物理化学证明题ppt
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证明题
一、所需关系式
A 1.定义式： H U pV A def U TS
G H TS A pV
CV
(
U T
)V
Cp
( H T
)p
J
( T V
)U
等压膨胀系数
J T
(
T p
)
H
1 V
( V T
)p
等温压缩系数
1 V
( V p
)T
(
x y
)
z
(
y z
)
x
(
z x
)
y
1
（4）复合函数的偏微商关系
(
x y
)
w
(
x y
)
z
(
x z
)
y
(
z y
)w
(
U V
)T
(
U V
)
p
(
U p
)V
( p V
)T
（5）二阶偏微分交换求导顺序数值不变
[ V
( U r
)x ]y
[ r
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2020/1/6
证明题
（二）证明物理量与另外的一些性质无关
例：已知
U ( V )T
0
H ( V )T
0
证明理想气体的内能
和焓与p无关
( U p
)T
( U V
)T
(
V p
)T
0
( H p
)T
( H V
)T
(
V p
)T
0
例：已知
(
U V
)T
0
(
H V
(
G p
)T
p
(
U V
)
S
(
A V
)T
S
(
AA T )V
(
G T
)
p
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2020/1/6
证明题
3、Maxwell关系式
(
T V
)S
(
p S
)V
S (V )T
(
p T
)V
(
T p
)S
(
V S
)
p
(
( H T
)p
p( V T
)p
Cp
p( V T
)
p
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2020/1/6
SUCCESS
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证明题
例 2.证明
H
T
( V
)p
Cp (V
)p
证明：
H ( V ) p
nR
( V
)T
V2
(
N T
)V
nR V2
所以，dp是全微分
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2020/1/6
证明题
Vdp nRdT ( nRT )dV M 'dT N'dV V
(
M V
')T
0
(
N T
'
)V
nR V
所以，Vdp不是全微分
（四）推导可逆过程方程式 参见课本中绝热过程方程式的推导
(
H T
)
p
(
T V
)
p
C
p
(
T V
)p
例 3.证明
( U V
)p
C
p
(
T V
)p
p
证明：
( U V
)p
[
(H V
pV
)
]
p
(
H V
)
p
p
( H T
)
p
(
T V
)
p
p
Cp
( T V
)
p
p
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2020/1/6
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2020/1/6
证明题
2、基本关系式
（1） dU TdS pdV （2） dH TdS Vdp
（3） dA SdT pdV （4） dG SdT Vdp
2、导出关系式
T
(
U S
)V
(
H S
)
p
V
(
H p
)
S
)x
( N x
)y
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2020/1/6
证明题
证明对于理想气体pV=nRT，dp是全微分，Vdp不是全微分。
证明： p f (T ,V )
dp
(
p T
)V
dT
(
p V
)T
dV
dp
nR V
dT
(
nRT V2
)dV
MdT NdV
M
S p
)T
(VT
)p
4.热容关系式： 5.转化关系式：
( S T
)p
Cp T
(
S T
)V
CV T
（1）链式关系
(
x y
)
z
( x Y
)
z
(
Y y
)z
（2）倒数关系
上一内容 下一内容
(
x y
)
z
1
(
y x
)
z
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2020/1/6
证明题
（3）循环关系
证明题
2.若H（U）在分子上，T为下标，先用复合函数偏微
商公式，再用其它关系式
例1.证明
U
T
( V
)T
(Cp
CV )(V
)p
p
证明：
( U V
)T
( U V
)p
(
U p
)V
(
p V
)T
Cp
( T V
)
p
p
பைடு நூலகம்
( U T
)V
( T p
)V
(
p V
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2020/1/6
证明题
（五）证明或推导U、H和P、V、T的偏微商与C p、CV的关系
1.若H（U）在分子上，p、V为下标，用定义式或链式
关系
例1.证明
( U T
)p
Cp
p( V T
)p
证明：
U ( T ) p
(H PV) [ T ]p
)
H
(
H p
)T
(
H T
)
p
1 Cp
{( U p
)T
[
( pV p
)
]T
}
J
(
T V
)U
(
U V
)T
(
U T
)V
1 CV
(
U V
)T
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2020/1/6
证明题
常见的证明题
(
U T
)V
CV
(
U p
( U V
)y ]x
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2020/1/6
证明题
二、证明题的类型 （一）证明物理量的求算公式
例：理想气体绝热可逆过程的功的求算公式为：
W
1
1
(
p
2V2
p1V1 )
nR
1
(T
2T1
)
nRT1
[(
p2
1
)
1]
1 p1
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)T
上一内容
Cp
( T V
)
p
CV
[( T V
)
p
]
p
(C p
CV
)( T V
)
p
p
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2020/1/6
证明题
3.若H（U）在下标，先用循环关系式
例：证明
J T
1 Cp
{( U p
)T
[
( pV p
)
]T
}
J T
(
T p
)T
0
证明理想气体的热容 只是温度的函数
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2020/1/6
证明题
（三）证明某物理量的微变是全微分
z f (x, y)
dz
(
z x
)
y
dx
(
z y
)
x
dy
Mdx Ndy
若dz 是全微分，则
循环积分等于0 dz 0
具有对易关系
( M y
)V
CV
(
T p
)T
( U T
)p
Cp
p( V T
一、所需关系式
A 1.定义式： H U pV A def U TS
G H TS A pV
CV
(
U T
)V
Cp
( H T
)p
J
( T V
)U
等压膨胀系数
J T
(
T p
)
H
1 V
( V T
)p
等温压缩系数
1 V
( V p
)T
(
x y
)
z
(
y z
)
x
(
z x
)
y
1
（4）复合函数的偏微商关系
(
x y
)
w
(
x y
)
z
(
x z
)
y
(
z y
)w
(
U V
)T
(
U V
)
p
(
U p
)V
( p V
)T
（5）二阶偏微分交换求导顺序数值不变
[ V
( U r
)x ]y
[ r
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2020/1/6
证明题
（二）证明物理量与另外的一些性质无关
例：已知
U ( V )T
0
H ( V )T
0
证明理想气体的内能
和焓与p无关
( U p
)T
( U V
)T
(
V p
)T
0
( H p
)T
( H V
)T
(
V p
)T
0
例：已知
(
U V
)T
0
(
H V
(
G p
)T
p
(
U V
)
S
(
A V
)T
S
(
AA T )V
(
G T
)
p
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2020/1/6
证明题
3、Maxwell关系式
(
T V
)S
(
p S
)V
S (V )T
(
p T
)V
(
T p
)S
(
V S
)
p
(
( H T
)p
p( V T
)p
Cp
p( V T
)
p
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证明题
例 2.证明
H
T
( V
)p
Cp (V
)p
证明：
H ( V ) p
nR
( V
)T
V2
(
N T
)V
nR V2
所以，dp是全微分
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2020/1/6
证明题
Vdp nRdT ( nRT )dV M 'dT N'dV V
(
M V
')T
0
(
N T
'
)V
nR V
所以，Vdp不是全微分
（四）推导可逆过程方程式 参见课本中绝热过程方程式的推导
(
H T
)
p
(
T V
)
p
C
p
(
T V
)p
例 3.证明
( U V
)p
C
p
(
T V
)p
p
证明：
( U V
)p
[
(H V
pV
)
]
p
(
H V
)
p
p
( H T
)
p
(
T V
)
p
p
Cp
( T V
)
p
p
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2020/1/6
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2020/1/6
证明题
2、基本关系式
（1） dU TdS pdV （2） dH TdS Vdp
（3） dA SdT pdV （4） dG SdT Vdp
2、导出关系式
T
(
U S
)V
(
H S
)
p
V
(
H p
)
S
)x
( N x
)y
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2020/1/6
证明题
证明对于理想气体pV=nRT，dp是全微分，Vdp不是全微分。
证明： p f (T ,V )
dp
(
p T
)V
dT
(
p V
)T
dV
dp
nR V
dT
(
nRT V2
)dV
MdT NdV
M
S p
)T
(VT
)p
4.热容关系式： 5.转化关系式：
( S T
)p
Cp T
(
S T
)V
CV T
（1）链式关系
(
x y
)
z
( x Y
)
z
(
Y y
)z
（2）倒数关系
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(
x y
)
z
1
(
y x
)
z
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2020/1/6
证明题
（3）循环关系
证明题
2.若H（U）在分子上，T为下标，先用复合函数偏微
商公式，再用其它关系式
例1.证明
U
T
( V
)T
(Cp
CV )(V
)p
p
证明：
( U V
)T
( U V
)p
(
U p
)V
(
p V
)T
Cp
( T V
)
p
p
பைடு நூலகம்
( U T
)V
( T p
)V
(
p V
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2020/1/6
证明题
（五）证明或推导U、H和P、V、T的偏微商与C p、CV的关系
1.若H（U）在分子上，p、V为下标，用定义式或链式
关系
例1.证明
( U T
)p
Cp
p( V T
)p
证明：
U ( T ) p
(H PV) [ T ]p
)
H
(
H p
)T
(
H T
)
p
1 Cp
{( U p
)T
[
( pV p
)
]T
}
J
(
T V
)U
(
U V
)T
(
U T
)V
1 CV
(
U V
)T
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2020/1/6
证明题
常见的证明题
(
U T
)V
CV
(
U p
( U V
)y ]x
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2020/1/6
证明题
二、证明题的类型 （一）证明物理量的求算公式
例：理想气体绝热可逆过程的功的求算公式为：
W
1
1
(
p
2V2
p1V1 )
nR
1
(T
2T1
)
nRT1
[(
p2
1
)
1]
1 p1
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)T
上一内容
Cp
( T V
)
p
CV
[( T V
)
p
]
p
(C p
CV
)( T V
)
p
p
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证明题
3.若H（U）在下标，先用循环关系式
例：证明
J T
1 Cp
{( U p
)T
[
( pV p
)
]T
}
J T
(
T p
)T
0
证明理想气体的热容 只是温度的函数
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2020/1/6
证明题
（三）证明某物理量的微变是全微分
z f (x, y)
dz
(
z x
)
y
dx
(
z y
)
x
dy
Mdx Ndy
若dz 是全微分，则
循环积分等于0 dz 0
具有对易关系
( M y
)V
CV
(
T p
)T
( U T
)p
Cp
p( V T