7 第6讲 双曲线 新题培优练 (2)

[基础题组练]

1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的

焦距为45，则b ＝( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：选B.由题意得，b

a ＝2⇒

b ＝2a ，C 2的焦距2

c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故

选B.

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支

上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

＝1 B.x 23－y 2

2＝1 C ．x 2－

y 2

4

＝1 D.x 22－y 2

3

＝1 解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2

，2c ＝25，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2

＝1.

3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2

5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为

坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )

A.32

B.52

C.72

D.92

解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝5

2

.故选B.

4．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两

点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞

D.⎝⎛⎭

⎫1，3

2

解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2

a ，而右顶点与

左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2

a >a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－

e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.

5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．

解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1.由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨

⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为

x 24－y 2

5

＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1

＝3，所以b 2

1＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 2

5＝1.综上

所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 2

5

＝1.

答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 2

5

＝1

6．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为

________．

解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝4

3，

所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2

，所以c 2－a 2a 2＝169，

即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.

答案：5

3

7．已知椭圆D ：x 250＋y 2

25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，

它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．

解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以

|5a |

b 2＋a 2

＝3，得a ＝3，b ＝4，

所以双曲线G 的方程为x 29－y 2

16

＝1.

8．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)．

由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得

b 2＝4，所以双曲线

C 的方程为x 212－y 2

4

＝

1.

(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 2

4＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －

36＝0.由题意知

⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，

Δ＝（－122k ）2

＋4×（1－3k 2

）×36>0，x A

＋x B

＝122k 1－3k

2

<0，x A x B

＝－361－3k 2

>0，

解得

3

3

3

3

⎭

⎫

33，1

[综合题组练]

1．(2019·唐山市摸底考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)和双曲线E ：x 2－y 2＝1有相同

的焦点F 1，F 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

解析：选B.由题意可知，c a ×2＝1⇒c ＝2

2a ，

因为c ＝2，

所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 不妨设P 与F 2在y 轴右侧，

则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4

|PF 1|－|PF 2

|＝2， 得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，