7 第6讲 双曲线 新题培优练 (2)
双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。
| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。
《双曲线》练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7．已知双曲线22219y xa-=的两条渐近线与以椭圆221259yx+=的左焦点为圆心、半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A．54B．53C．43D．658．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63 D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。
双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。
双曲线练习题及答案
双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a运用双曲线的定义例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限练习1．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5y 2=1练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。
（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件例3. 已知|θ|<2π,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。
（A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±125π课堂练习1、已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 2、焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1ay b x 2222=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是 。
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
双曲线 培优特训(含解析)
双曲线 培优特训一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与直线y ＝3x 有交点，则其离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)2．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A . 5B .3C ．1D .123．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是 ( ）A ． 5B ．2C ． 3D ． 24．已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B两点，且斜率分别为k 1，k 2．若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．3 C． 3 D ． 65．过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6．焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线C 有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是 （ ） A ．（1，3） B ．（1，3] C ．（3，+∞） D ．[3，+∞）22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 30°P 1PF y 37．设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的离心率为( )（C（D）8．设点P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2(S1－S2)＝S3，则双曲线的离心率为() A．2 B. 3 C．4 D. 2图19．已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，3] B．(1，3] C．[3，3] D．[3，＋∞)10．已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为() A．2 2 B．2 C．4 D．3 212,F F2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>P C126,PF PF a+=311．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）(A)(B) (C) (D)12．设A 、B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A 、B 的一点，直线AP 、BP 的斜率分别为m 、n ，则当4ba ＋1mn 取最小值时，双曲线的离心率为( )A . 6B . 5C .62D .5213．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3C . 6D . 3 二、填空题1．过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP|·|FQ|的值为________．2．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 为双曲线C 上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．3．已知P 是双曲线x 216－y 28＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点M ，N 满足F 1P →＝λPM →(λ>0)，PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|，PN →·F 2N →＝0，若|PF 2→|＝3.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________．1F 2F C 22221x y a b-=(0,0)a b >>A 12F F M N 120MAN ∠=︒3733三、解答题1．已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A ､B 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ､B 的一点，且直线PA ､PB 的斜率PA k ､PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB →→⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.2．对于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，定义22122:1x y C a b +=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若13c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为22145x y -=，弦PQ x ⊥轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，求动点M 的轨迹方程；（3）过双曲线22:1C x y -=的左焦点F ，且斜率为k 的直线l 与双曲线C 交于1N 、2N 两点，求证：对任意的11442,2k --⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=.3．直线10L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍. （1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.4．如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知123e e =，142F F =．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．5．已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，双曲线C 过点． （1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的最大值．6．设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x =与20x +=的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB ⋅的最大值；（3）是否存在正数p ，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由.7．在直角坐标系xOy 中，已知定点1(0,F 、2F ，动点P 满足122PF PF -=，设点P 的曲线为C ，直线:l y kx m =+与C 交于,A B 两点. （1）写出曲线C 的方程，并指出曲线C 的轨迹； （2）当1m =，求实数k 的取值范围；（3）证明：存在直线l ，满足OA OB AB +=，并求实数,k m 的取值范围.双曲线巩固练习一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与直线y ＝3x 有交点，则其离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：双曲线的焦点在x 轴，一条渐近线方程为y ＝－ba x ，只需这条渐近线比直线y ＝－3x 的斜率大，即ba >3，e ＝1＋⎝⎛⎭⎫ba 2>2，选C .答案：C2．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A . 5B .3C ．1D .12解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝23， 又|PF 1|＋|PF 2|＝25，所以|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－3，而|F 1F 2|＝4， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即PF 1⊥PF 2， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1. 答案：C3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是 ( ）A ． 5B ．2C ． 3D ． 2【答案】B ．4．已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B两点，且斜率分别为k 1，k 2．若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．3 C． 3 D ． 6【答案】B ．【解析】选由题意知e ＝ca ＝2，则b 2＝3a2，双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3．5．过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线C 有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是 （ ） A ．（1，3） B ．（1，3] C ．（3，+∞） D ．[3，+∞）【答案】D ．22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 30°P 1PF y 37．设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的离心率为( )（C（D【答案】C8．设点P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2(S1－S2)＝S3，则双曲线的离心率为() A．2 B. 3 C．4 D. 2解析：如图1，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E，F，G，连接IE、IF、IG，12,F F2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>P C126,PF PF a+=图1则IE ⊥F 1F 2，IF ⊥PF 1，IG ⊥PF 2，它们分别是△IF 1F 2，△IPF 1，△IPF 2的高，∴S 1＝12|PF 1|·|IF|＝12|PF 1|r ，S 2＝12|PF 2|·|IG|＝12|PF 2|r ，S 3＝12|F 1F 2|·|IE|＝12|F 1F 2|r ， 其中r 是△IF 1F 2的内切圆的半径．∵2(S 1－S 2)＝S 3，∴|PF 1|r －|PF 2|r ＝12|F 1F 2|r ， 两边约去r 得：|PF 1|－|PF 2|＝12|F 1F 2|，根据双曲线定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， ∴2a ＝c ⇒离心率为e ＝ca ＝2.故选A . 答案：A9．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，3]B ．(1，3]C ．[3，3]D ．[3，＋∞) 解析：|PF 1|2|PF 2|＝（2a ＋|PF 2|）2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥8a. 当且仅当|PF 2|＝2a 时取得最小值，此时|PF 1|＝4a.易知|PF 2|≥c －a ，即2a ≥c －a ，解得e ＝ca ≤3.又因为双曲线离心率e>1.故选A . 答案：A10．已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：∵l 与圆相切， ∴1＝|m|1＋k2， ∴m 2＝1＋k 2. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，1－k 2≠0， ∴Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8>0， x 1·x 2＝m 2＋1k 2－1<0，∴k 2<1，∴－1<k<1，故k 的取值范围为(－1，1)．由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2， ∵0≤k 2<1, ∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2. 答案：A11．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）(A)(B) (C) (D)【答案】A12．设A 、B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A 、B 的一点，直1F 2F C 22221x y a b-=(0,0)a b >>A 12F F M N 120MAN ∠=︒373线AP 、BP 的斜率分别为m 、n ，则当4ba ＋1mn 取最小值时，双曲线的离心率为( )A . 6B . 5C .62 D .52解析：先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率．设P(x 1，y 1)，则 mn ＝y 1x 1＋a ·y 1x 1－a ＝y 21x 21－a2＝b 2a 2，因此4ba ＋ 1mn ＝4b a ＋a b ≥2 4b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝2b 时取等号，此时c ＝a 2＋b 2＝52a ，∴e ＝52 选D . 答案：D13．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3C . 6D . 3解析：设椭圆与双曲线的公共焦点在x 轴上，可得点P 在双曲线的右支上． 令椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c ，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a′，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c∴2a ＝2a′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a′时等号成立．选A . 答案：A 二、填空题1．过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP|·|FQ|的值为________．解析：∵F(22，0)，k ＝tan 105°＝tan (60°＋45°)＝3＋11－3＝－(2＋3)．∴l ：y ＝－(2＋3)(x －22)．代入x 2－y 2＝4得： (6＋43)x 2－42(7＋43)x ＋60＋323＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝42（7＋43）6＋43，x 1·x 2＝60＋3236＋43.又|FP|＝1＋k 2|x 1－22|， |FQ|＝1＋k 2|x 2－22|，∴|FP|·|FQ|＝(1＋k 2)|x 1·x 2－22(x 1＋x 2)＋8|＝(8＋43)⎪⎪⎪⎪⎪⎪60＋3236＋43－16（7＋43）6＋43＋8 ＝4（8＋43）6＋43＝833.答案：8332．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 为双曲线C 上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．解析：设F 1，F 2分别为左右焦点，点P 在双曲线的右支上， 则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2， 又△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴4c 2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2，又△PF 1F 2的面积为9，∴|PF 1||PF 2|＝2×9＝18， ∴4c 2－2×18＝4a 2， ∴b 2＝c 2－a 2＝9，∴b ＝3. 答案：33．已知P 是双曲线x 216－y 28＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点M ，N 满足F 1P →＝λPM →(λ>0)，PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|，PN →·F 2N →＝0，若|PF 2→|＝3.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________．解析：由PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|，知PN 是∠MPF 2的角平分线， 又PN →·F 2N →＝0，故延长F 2N 交PM 于K ， 则PN 是△PF 2K 的角平分线，所以△PF 2K 是等腰三角形，|PK|＝|PF 2|＝3， 因为|PF 2→|＝3，故|PF 1→|＝11，所以|F 1K →|＝14，注意到N 还是F 2K 的中点，所以ON 是△F 1F 2K 的中位线，|ON →|＝12|F 1K →|＝7， 所以以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为49π. 答案：49π 一、解答题1．已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A ､B 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ､B 的一点，且直线PA ､PB 的斜率PA k ､PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB →→⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）由题意得：22491a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：2213a b ⎧=⎨=⎩∴双曲线C 的方程为2213y x -=（2）证明：设A 点坐标为()00,A x y ，则由对称性知B 点坐标为()00,B x y -- 设(,)P x y ，则2200022000-+-⋅=⋅=-+-PA PBy y y y y y k k x x x x x x2200221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2222003-=-y y x x ∴220223PA PBy y k k x x -⋅==- （3）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得：()222234430kx k x k --++=，∴2300k ⎧-≠⎨∆>⎩得23k ≠且2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=⎪-⎩设()11,A x y ､()22,B x y∵()()1212MA MB x m x m y y →→⋅=--+()()()21212(2)=--+--x m x m k x x ()()22212212()4=+-++++k x x k m x x m k()()2222221434(2)433+++=-++--k k k k m m k k k 2223(45)3m k m k -+=+- 假设存在实数m ，使得0MA MB →→⋅=，∴()()22231450mk mm -+--=对任意的23k ≠恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎨--=⎩，解得1m =-. ∴当1m =-时，0MA MB →→⋅=.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)A B -及(1,0)M -知结论也成立 综上：存在1m =-，使得0MA MB →→⋅=.2．对于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，定义22122:1x y C a b +=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若13c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为22145x y -=，弦PQ x ⊥轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，求动点M 的轨迹方程；（3）过双曲线22:1C x y -=的左焦点F ，且斜率为k 的直线l 与双曲线C 交于1N 、2N 两点，求证：对任意的11442,2k --⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=.【详解】（1）由题意可得c =1c =由13c c ==()22229a b a b +=-，可得2245b a =，因此，C的渐近线方程为y x =； （2）设()00,P x y ，()00,Q x y -，设点(),M x y ，又()2,0A -、()2,0B ， 所以，直线PA 的方程为()0022y y x x =+-①，直线QB 的方程为()0022yy x x -=--②，由①得0022y y x x =++，由②得0022y yx x =---， 上述两个等式相乘可得22022044y y x x =---， ()00,P x y 在双曲线22145x y -=上，2200145x y ∴-=，可得2200454y x -=，2020544y x ∴=-， 22544y x ∴=--，化简可得22145x y +=；（3）证明：点F的坐标为()F ，直线l的方程为(y k x =， 设1N 、2N 的坐标分别为()111,N x y 、()222,N x y则由(221y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得(2221x k x +=-，即()()22221210kxx k --+=-，当1k ≠±时，()()4224422841218844440k kkk k k k ∆=+-+=-++=+>，由韦达定理可得21221x x k+=-，2122211k x x k +-=-⋅ ()()(1211221212FN FN x y x y x x y y +==+⋅⋅ (((())21212121212x x k x k x k x x x x ⎡⎤=++⋅=+++⎣⎦()222222221112111k k k k k k ⎛⎫++=+-++= ⎪ ⎪---⎝⎭，由11442,2k --⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知2k ⎡∈⎢⎣⎦，2221211,311k k k +⎡∴=-∈+⎣--， 双曲线22:1C x y -=的伴随曲线是圆221:1C x y +=，圆1C 上任意一点S 到F 的距离1,1SF ∈+，23SF ⎡∴∈-+⎣，1,323⎡⎡+⊆-+⎣⎣， 所以，对任意的11442,2k --⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=.3．直线10L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍. （1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.【详解】（1）因为点P 在直线1:0L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ， 因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍，所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥， 所以点F的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b-=， 由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ， 所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->， 化简得22330m k -+>， 由根与系数的关系得，12221kmx x k +=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为||||QM QN =，所以221111mk km k k+-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞4．如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知123e e =，142F F =．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【详解】(1)∵123e e =,∴3a a ⋅=,∴44489a b a -=,即223a b,∴()1,0F ,()42,0F b ,∴1422F F b =+=∴1b =,a =∴1C 的方程为2213x y +=,2C 的方程为2213x y -=.(2)依题意,直线AB 的方程可设为1x my =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()223220m y my +--=, ∴12223m y y m +=+,12223y y m -=+, ∴()12122623x x m y y m -+=+-=+, ∴AB 中点坐标为223,33m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭, ∴直线PQ 的方程为3m y x =-, 由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ,可得()2239m x -=, ∴230m ->且2293x m =-,2223m y m=-,∴PQ ==设A 到直线PQ 的距离为d ,则B 到直线PQ 的距离也为d ,∴2d =,∵()()1122330mx y mx y ++<,∴21232m y y d +-===,又∵12y y -===∴2d =,∴四边形APBQ的面积11222S PQ d =⋅⋅=⋅=, ∴当0m=时,S 取得最小值,且minS =即四边形APBQ 面积的最小值为5．已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，双曲线C过点(1,2． （1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的最大值．【详解】（1）由双曲线C过点． ∴221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：2212a b ==，1c =．∴双曲线C 的标准方程为：22221x y -=．由1c =，可得12p=，解得2p =． ∴抛物线的标准方程为：24y x =．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M 的方程为：22(1)4xy -+=．可得P ，(0,Q ．23PMQ π∠=． ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，由题意可得：0k ≠．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2222(24)0k x k x k -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则212224k x x k ++=，121=x x ． 212222M x x k x k++==， 212244||2k AB x x k+∴=++=． 设M 的半径为r ，则22||222AB k r k+==． 过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，222||2111cos (,1)||2222(1)2M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++． (0,)3PMN π∴∠∈，则2(0,)3PMQ π∠∈．综上可得：PMQ ∠的最大值为23π．6．设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x =与20x +=的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB ⋅的最大值；（3）是否存在正数p ，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由.【详解】（1）由题可知焦点为，故焦点在y 轴上，设双曲线2C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>> 2C是以直线20x -=与20x +=为渐近线，∴a b = 2227c a b =+=，2a ∴=，b =∴双曲线方程为22143y x -=； （2）抛物线22(0)y px p =>的焦点(2pF ，0)，联立双曲线方程消y 得：246120x px -+=， 可得1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，∴>0∆，p ∴>设()()1122,,,A x y B x y ，则()212121212122224p p p p FA FB x x y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 将1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩代入得2213(922p FA FBp =-++=--+，函数的对称轴为p =433p >，p ∴=FA FB 的最大值为9； （3）由（2）知FAB ∆的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭为2(3pG ，12)3y y +，12y y+===23pG⎛∴⎝⎭，假设G恰好在双曲线2C的渐近线上，代入20x=可得2203p⨯=，∴27p=，0p∴=或p =433p>，p∴=∴存在正数p=FAB∆的重心G恰好在双曲线2C的渐近线上7．在直角坐标系xOy中，已知定点1(0,F、2F，动点P满足122PF PF-=，设点P的曲线为C，直线:l y kx m=+与C交于,A B两点.（1）写出曲线C的方程，并指出曲线C的轨迹；（2）当1m=，求实数k的取值范围；（3）证明：存在直线l ，满足OA OB AB+=，并求实数,k m的取值范围.【详解】（1）动点P满足122PF PF-=，且1(0,F、2F，所以点P的轨迹是以1F、2F为焦点的双曲线的上支，c=，1a=，222312b c a=-=-=，所以曲线C的方程为221(1)2xy y-=≥；（2）由题意，联立22112y kxxy=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x，得222(21)2210k y y k-+--=，()()2222121222(21)212224212011k ky yykkky⎧∆=---->+->⎪⎪⎪=⎨-->-⎪⎪+=⎪⎩，解得0k<<或0k<<.故k 的取值范围是0k<<或0k<<.（3）因为OA OB AB+=，所以OA OB⊥，设1122(,),(,)A x yB x y，则1212x x y y+=.联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得222(21)4220k x kmx m -++-=，2121222224,2121m km x x x x k k -=+=---， 则()()()2121211222y y x x kx m kx m k km x m x =++=+++=()22222222242121k m k mm k k --+--222221k m k =---，()212122242222121k m my y k x x m m k k -=++=-+=--+， 所以2222222202121m k m k k ---+=--，整理得222(1)m k =+. 若存在符合题意的直线，还需要满足以下三个条件：①>0∆；②120y y >；③120y y +>.①()()222221602421k k m m ---∆=>，整理得22120m k -+>，又222(1)m k =+，则22212(1)4021k k k -+=+>+，显然恒成立；②221220221k m y y k ---=>，等价于()()2222120k k m -+<， 因为2220k m +>恒成立，所以2210k -<，即2102k ≤<； ③1222021my y k -=-+>，由②知2210k -<，所以0m >. 所以k 满足2102k ≤<，即22k -<<. 又因为222(1)m k =+，所以223m ≤<，且0m >m ≤<.所以存在直线l ，满足OA OB AB +=，k的取值范围为：22k -<<，m的取值范围为：m ≤<.。
双曲线训练题(二)(含答案)
双曲线训练题（二）一、选择题： 1．设P 是双曲线22219x ya-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF =（ ） A ．1或5B ．6C ．7D ．92．焦点为(06)，，且与双曲线2212xy -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．2211224xy-= B ．2211224yx-=C ．2212412yx-= D ．2212412xy-=3．过双曲线221169xy-=左焦点1F 的弦A B 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）周长为（ ） A ．28B ．22C ．14D ．124．已知m n ，为两个不相等的非零实数，则方程0m x y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（ ）5．已知双曲线方程为2214yx -=，过点(10)P ，的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．已知双曲线22221x y ab-=(00)a b >>，的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73二、填空题：7．直线1y x =+与双曲线22123xy-=相交于A B ，两点，则AB =8．已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是9．双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，一条渐近线的倾斜角为π(0)2αα<<，则其离心率为10．直线y x b =+与双曲线2222x y -=相交于A B ，两点，若以A B 为直径的圆过原点，则b =11．若直线y x m =+与曲线y =m 的取值范围为12．双曲线221169xy-=上有点12P F F ，，是双曲线的焦点，且12π3F P F ∠=，则12F PF △的面积是 三、解答题：13．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程．14．求过点(3-，，离心率为2e =的双曲线的标准方程．15．已知双曲线2222:1(00)x y C a b ab-=>>，，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的正半轴上，且满足O A ，O B ，O F成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．（1）求证：PA OP PA FP =；（2）若直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．双曲线训练题（二）参考答案CBACBB sec α 2± (](]202-- ∞，，13.解：221x y -= ，c ∴=．设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F ，为焦点，2a为长轴的椭圆，22a c >=a ∴>由余弦定理，有2221212cos 2m n F F F PF m n+-∠=2212()22m n m n F F m n+--=2241a m n-=-．222m n m n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴当且仅当m n =时，mn 取得最大值2a ．此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a--，由题意2224113a a--=-，解得23a =，222321b a c ∴=-=-=．P ∴点的轨迹方程为2213xy +=．14．解：（1）若焦点在x 轴上，设方程为22221x y ab-=，则22921ab-=，又2c e a====，得224a b =．由①、②，得21a =，214b =，得方程为2241x y -=．（2）若焦点在y 轴上，同理可得2172b =-不合题意．故所求双曲线标准方程为2241x y -=．15．（1）证明：直线l 为()ay x c b =--， ①在第一、三象限的渐近线by x a =， ②解①、②得垂足2a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，． 因为O A ，O B ，O F成等比数列， 所以可得点20a A c ⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以0ab P A c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，2a ab O P c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2b ab F P c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，． 所以222a b PA O P c = ，222a bPA FP c=- ． 因此PA OP PA FP =；（2）解：由222222()a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩，，得4442222222220a a a c b x cx a b b b b ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 因为直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，所以42222124220a c a b b x x a b b⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=<-， 所以4220a b b->，即44b a >，22b a >，222c a a ->，222c a >，22e >，因此e >。
双曲线练习题(含答案)
双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
双曲线及其性质最有效训练题
双曲线及其性质最有效训练题（限时45分钟）1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（ ） A. [)+∞-,323 B. [)+∞+,323C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,47 3. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （ ） A. 41 B. 53 C. 43 D. 544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为（ ） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±= 5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 21+ C. 31+ D. 32+6. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.7. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________.8. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.9. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(； （2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-； （3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ； （4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .10. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.11. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P .（1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ；（3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
双曲线曲线练习题含答案
双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。
答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。
3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。
答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。
4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。
答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。
假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。
数学(理科) 第七章 第6讲 双曲线
考点 3 双曲线的几何性质
例 3：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表
示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围
是( )
A.(－1,3)
B.(－1， 3)
C.(0,3)
D.(0， 3)
解析：由题意，知双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 m2＋n＋3m2－n＝4，解得 m2＝1. 因为方程1＋x2 n－3－y2 n＝1 表示双曲线，
易错、易混、易漏 ⊙双曲线中的不等关系 例题：(1)已知 F1，F2 分别是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0) 的左、右焦点，若双曲线 C 的右支上存在点 A，满足 2|AF1|－ 3|AF2|＝a，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )
A.(1,4] C.(1,2]
B.(1,4) D.(1,2)
解析：由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，可设该双曲线的 标准方程为x42－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4， 3)，所以 442－( 3)2＝λ，即 λ＝1.故所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
答案：x42－y2＝1
【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a，b 的值，常利 用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方 程为ax±by＝0，可设双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).与双 曲线ax22－by22＝1 共渐近线的双曲线系方程为ax22－by22＝λ(λ≠0).
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
解析：由题意，可知 a＝ 2＝b，∴c＝2.设|PF1|＝2x，|PF2|
＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝2 2.故|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， |F1F2|＝4.利用余弦定理可得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|2·||P2－F2||F1F2|2 ＝4 2×242＋22×222－2 42＝34.
高中双曲线培优试题及答案
高中双曲线培优试题及答案一、选择题1. 双曲线的标准方程是：A. \( x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \)（焦点在x轴上）B. \( y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 \)（焦点在y轴上）C. \( x^2/b^2 - y^2/a^2 = 1 \)（焦点在x轴上）D. \( y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 \)（焦点在y轴上）答案：A和B2. 已知点P(3,2)在双曲线 \( x^2/9 - y^2/16 = 1 \) 上，求点P到双曲线的焦点F的距离。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B二、填空题1. 双曲线 \( x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \) 的渐近线方程是________。
答案：\( y = \pm \frac{b}{a}x \)2. 若双曲线 \( x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \) 经过点(2,-3)，则a的值为________。
答案：\( \sqrt{5} \)三、解答题1. 已知双曲线 \( x^2/16 - y^2/9 = 1 \)，求其焦点坐标。
解：根据双曲线的标准方程，可以求得 \( a = 4 \)，\( b = 3 \)。
由双曲线的性质，焦点到中心的距离 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5 \)。
因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5,0)。
2. 已知点A(-3,4)和B(1,-2)，求以AB为实轴的双曲线方程。
解：首先求出AB的长度，即实轴长度 \( 2a = \sqrt{(-3-1)^2 + (4+2)^2} = 2\sqrt{20} \)。
因此，\( a = \sqrt{20} \)。
由于点A 在双曲线的左支上，所以虚轴长度 \( b = \sqrt{a^2 - (2a)^2/4} = \sqrt{5} \)。
因此，双曲线的方程为 \( (x+3)^2/20 - y^2/5 = 1 \)。
双曲线解答题练习含答案
双曲线解答题练习1.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.2.双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．3.已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知双曲线C 的方程为，离心率（1）求双曲线C 的方程；（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围5．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）22221(0,0)y x a b a b-=>>e =1,[,2]3AP PB λλ=∈AOB ∆6．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）7．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）8．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.（12分）9．设双曲线C 1的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q. （1）求Q 点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围（14分）10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）双曲线练习题答案1.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-411322222b a ba ）（解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠0)1(64)4(01222k k k －⇔1k k ≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩ ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x kk --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ 22210(4)46(1)0k k k ⎧≠⎪⎨∆=-+⨯->⎪⎩－⇔1k k ≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩ .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示），S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.2. （Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率2e =．（Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x2－＝1B.－y2＝1 C ．y2－＝1D.－x2＝1 答案 D解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为－x2＝0，即y ＝±2x.2．[2018·湖北模拟]若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )53C. D. A. B. 答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x2－＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )32A. B. C. D. 答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，yP)．因为P 是C 上一点，所以4－＝1，解得yP ＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.4．[2018·广东模拟]已知双曲线C ：－＝1的离心率e ＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1 答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝＝，所以a＝4.又a2＋b2＝c2，所以b2＝9.故双曲线C 的方程为－＝1.5．P 为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上的一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a>2c ，a<c ，如图，由题意可知 解析 ∴1<e<3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ，∴e ＝3.综合e∈(1,3]．6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±x解析 根据已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a ，所以＝2，＝，双曲线的渐近线方程为y ＝±x.7．[2018·海口调研]已知点F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 ∵|PF2|－|PF1|＝2a ，|PF2|＝2|PF1|，∴|PF2|＝4a ，|PF1|＝2a ，∵△PF1F2为等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，即4a ＝2c ，∴＝2.8．[2016·北京高考]双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝2，根据c2＝2a2可得a ＝2.9．设A ，B 分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使＋＝t ，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝2，又∵一条渐近线为y ＝x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程y ＝x －2代入双曲线方程－＝1得x2－16x ＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.⎩⎨⎧x0＝43，y0＝3，∴∴ ∴t ＝4，点D 的坐标为(4，3)．10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B 是弦Q1Q2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A(2,1)为中点的弦两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.由对称性知x1≠x2.∵P1、P2在双曲线上，∴两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.∴＝4.所求中点弦所在直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B(1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立方程组消y，得2x2－4x＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．[B级知能提升]1．[2017·天津高考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )B.－＝1A.－＝1D．x2－＝1C.－y2＝1答案D解析根据题意画出草图如图所示.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D. 2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )B.－＝1A.－＝1D.－＝1C.－＝1答案B解析由已知易得l的斜率为k＝kFM＝1.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得＝，从而＝1，即4b2＝5a2.又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B. 3．[2018·武汉模拟]过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，当AB⊥x轴，称|AB|为双曲线的通径．若过焦点F的所有焦点弦AB中，其长度的最小值为，则此双曲线的离心率的范围为( )B．(1，]A．(1，)D．[，＋∞)C．(，＋∞)答案B解析当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令x＝c，可得y＝±b＝±，即有最小值为；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a.由题意可得2a≥，即为a2≥b2＝c2－a2，即有c≤a，则离心率e＝∈(1，]．4．[2018·承德模拟]已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．解(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝.又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝＝.所以W的方程为－＝1(x≥)．(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋＋m2＝＝2＋.又因为x1x2>0，所以k2－1>0.所以·>2.综上所述，当AB⊥x轴时，·取得最小值2. 5．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解(1)∵双曲线－＝1过点(2,1)，∴－＝1.不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，∴b＝1，a2＝2，∴所求双曲线的方程为－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.∴x1＋x2＝，①x1x2＝.②∵·＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③将①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.而P∉AB，∴m＝－6k－3，从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3.将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，判别式Δ＝8(34k2＋36k＋10)>0恒成立，∴y＝kx－6k－3即为所求直线．∴P到AB的距离d＝＝.∵2＝＝1＋≤2.∴d≤4，即点P到直线AB距离的最大值为4.。
第06讲双曲线及其性质(十大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
x≥a
对称性
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴：_______；对称中心：_____
坐标轴
原点
顶点
性质
轴
离心率
渐近线
a，b，c的关系
A1(－a，0)，A2(a，0)
____________________
A1(0，－a)，A2(0，a)
____________________
A1A2
实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段B
5
故周长为3 + 6 + 2 10 = 9 + 2 10.
【解析】因为1 ⋅ 2 = 2，
【解题方法总结】
5
所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
设 2 = ， 1 = 2 2 = 2，
5
5
因为1 ⋅ 2 = 2，所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
62
对于点， 2
−
2
2
2
=1
，
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双
曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
题型二：双曲线方程的充要条件
2
【例2】（2023·全国·高三对口高考）若曲线3+
A． −3,2
B． −∞, −3 ∪ 2, +∞
【答案】B
2
【解析】曲线
3+
【答案】C
所以 = 1 2 = 2 = 10，
【解析】直线 = 与双曲线交于，两点，
所以 1
若 = 1 2 ，则四边形1 2 为矩形，
又 1 − 1 = 1 − 2 = 2 = 8，
所以1 ⊥ 1 ， 1 = 2 ，
2020版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第8章 平面解析几何 第6讲双曲线 Word版含答案.docx
第6讲双曲线板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．考点2双曲线的标准方程和几何性质[必会结论]双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a 2.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (3)与双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2m －y 2n ＝λ(λ≠0)．( )(4)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3x D ．y ＝±2x答案 A解析 由题意知y 22－x 22＝1，y ＝±x .3．[2018·广东模拟]已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1答案 B解析 由题意设C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由右焦点为F (3,0)，可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c 2＝a 2＋b 2，知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y25＝1.故选B.4．[2018·福州质检]设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( )A ．5B ．3C ．7D ．3或7 答案 D解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.5．[2017·北京高考]若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.6．[2017·全国卷Ⅲ]双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案 5解析 ∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.板块二 典例探究·考向突破 考向双曲线的定义及标准方程例1 (1)[2017·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1答案 B解析 由题意可得ca ＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)， 则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c，化简即得y ＝4c x ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝ba x 平行，则4c ＝ba ，即4a ＝bc .故⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1.故选B.(2)[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 B解析 由y ＝52x 可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B. 触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义．(2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．【变式训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1答案 A解析 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba ，解得a 2＝20，b 2＝5.(2)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3,23)的双曲线的方程．解 设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ，将点(－3,23)代入双曲线方程，得99－1216＝λ，解得λ＝14，∴所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.考向双曲线的几何性质命题角度1 双曲线的离心率问题 例2 (1)[2017·全国卷Ⅱ]若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)答案 C解析 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a . ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a 2<2，∴1<e < 2. 故选C.(2)[2016·山东高考]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c . 因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ， 又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．命题角度2 双曲线的渐近线问题例3 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝52，∴c a ＝52，即c 2a 2＝54.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12.∵双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， ∴渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)[2018·深圳调研]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52 C.3 D ．2 答案 A解析 依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±a b x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa ＝ 5. 触类旁通与双曲线的几何性质有关的问题(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a 满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式训练2】 (1)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点为M ，且sin ∠MF 1F 2＝15，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D.5 答案 D解析 由题意知，∠F 1MF 2＝π2，不妨设点M 在第一象限，则⎩⎨⎧|MF 1|－|MF 2|＝2a ，|MF 2||MF 1|＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝4a ，|MF 2|＝2a ，又|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，即16a 2＋4a 2＝4c 2，所以e ＝ca ＝ 5.故选D.(2)已知双曲线y 2a 2－x 29＝1的两条渐近线与以椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为圆心、165为半径的圆相切，则渐近线方程为________．答案 4x ±3y ＝0解析 双曲线的渐近线方程为ax ±3y ＝0，椭圆的左焦点为F (－4,0)，因为渐近线ax ＋3y ＝0与以F 为圆心、165为半径的圆相切，所以|－4a ＋0|a 2＋9＝165，解得a ＝±4，故渐近线方程为4x ±3y ＝0. 考向双曲线中焦点三角形例4 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1 B.52 C ．2 D.5 答案 A解析 解法一：设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，由双曲线的定义可知|d 1－d 2|＝4.又∠F 1PF 2＝90°，于是有d 21＋d 22＝|F 1F 2|2＝20，因此，S △F 1PF 2＝12d 1d 2＝14(d 21＋d 22－|d 1－d 2|2)＝1. 解法二：由x 24－y 2＝1，知|F 1F 2|＝2 5.设P 点的纵坐标为y P ，由于∠F 1PF 2＝90°，则P 在以|F 1F 2|为直径的圆上，即在x 2＋y 2＝5上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x 2－4y 2＝4，消去x 得|y P |＝55. 故△F 1PF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y P |＝1.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32B.62 C.3 D.6 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 (22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn .∴mn ＝4. 由△F 1PF 2的面积相等，得12 ×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y |＝12×4×32. ∴|y |＝62.即P 到x 轴的距离为62. 触类旁通【变式训练3】(1)[2018·哈尔滨质检]已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为() A．48 B．24 C．12 D．6答案B解析由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.(2)[2016·全国卷Ⅰ]已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是() A．(－1,3) B．(－1，3) C．(0,3) D．(0，3)答案A解析 解法一：由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距，∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1.∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.解法二：∵原方程表示双曲线，且焦距为4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，－(3m 2－n )－(m 2＋n )＝4，②由①得m 2＝1，n ∈(－1,3)．②无解．故选A.考向直线与双曲线的综合问题例5 直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝ba x 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：xa －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)， 即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中， 得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2| ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×362－4×8×(36＋3k 2)8 ＝9－6k 2＝ 3. 解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. 触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．(2)利用点差法．【变式训练4】 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，取P A →＝512PB →，求a 的值． 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为P A →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，解得a ＝1713.核心规律1.当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便．2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．满分策略1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x 2，y 2前系数的正负．2.关于双曲线中离心率范围问题，不要忘记双曲线离心率固有范围e >1.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5.当直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 15——函数方程数学思想方法的应用 (1)[2015·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解题视点 利用双曲线定义寻求△APF 周长最小时P 点位置．解析 设F 1为双曲线的左焦点，由双曲线方程x 2－y28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎨⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 答案 126(2)已知双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1，其中a >1，求e 的取值范围．解题视点 带参量的双曲线问题，需寻找e 与参量的依存关系，即函数关系，e 的范围由e ＝f (a )来确定．解 e 2＝c 2a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2， ∵a >1，∴1＋0<1＋1a <1＋1， ∴1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2<4，即2<e 2<5， ∴2<e < 5.答题启示 解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.注意应用数学思想方法.跟踪训练[2015·山东高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案 2＋3解析 不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y ＝ba (x －c )，与C 交于P (x 0，y 0)．∵x 0＝2a ，∴y 0＝ba (2a －c )．又P (x 0，y 0)在双曲线C 上，∴(2a )2a 2－b 2a2(2a －c )2b 2＝1， ∴整理得a 2－4ac ＋c 2＝0，设双曲线C 的离心率为e ， 则1－4e ＋e 2＝0.∴e 1＝2－3(舍去)，e 2＝2＋3， 即双曲线C 的离心率为2＋ 3.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1答案 D解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 24－x 2＝0，即y ＝±2x .2．[2018·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53 答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32 答案 D解析 因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.4．[2018·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝54，所以a ＝4.又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.5．P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 B解析 如图，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a >2c ，a <c ，∴1<e <3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据已知可得，|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .7．[2018·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案 2解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴ca ＝2.8．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x 2－y 2＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解 (1)由2·22－12＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4.所求中点弦所在直线方程为 y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)． 可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消y ，得2x 2－4x ＋3＝0.∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．[B 级 知能提升]1．[2017·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y23＝1答案 D 解析根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2.又点A 在双曲线的渐近线y ＝ba x 上，∴ba ＝tan60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y23＝1.故选D.2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 3－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1答案 B解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a 2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.3．[2018·武汉模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线与双曲线相交于A ，B 两点，当AB ⊥x 轴，称|AB |为双曲线的通径．若过焦点F 的所有焦点弦AB 中，其长度的最小值为2b 2a ，则此双曲线的离心率的范围为( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 当经过焦点F 的直线与双曲线的交点在同一支上， 可得双曲线的通径最小，令x ＝c ，可得y ＝±b c 2a 2－1＝±b 2a ，即有最小值为2b 2a ；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时， 即为实轴，最小为2a . 由题意可得2a ≥2b 2a ， 即为a 2≥b 2＝c 2－a 2， 即有c ≤2a ，则离心率e ＝ca ∈(1，2]．4．[2018·承德模拟]已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB →>2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.5．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 作两条相互垂直的直线P A ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1b 2＝1.不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，∴b ＝1，a 2＝2， ∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，①x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②∵P A →·PB →＝0，∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ∉AB ，∴m ＝－6k －3，从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3. 将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中， 判别式Δ＝8(34k 2＋36k ＋10)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|k 2＋1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫d 42＝k 2＋1＋2k k 2＋1＝1＋2k k 2＋1≤2. ∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.。
双曲线培优试题
双曲线一．轨迹1.已知定点(,0)P m ，动点Q 在圆O ：2216x y +=上，PQ 的垂直平分线交直线OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是（）A．2B．3C．4D．52.圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面上与P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点3.已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4.已知圆22:(3)4C x y ++=及点(3,0)A ，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为__________．二．方程与图象1.已知实数x ，y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是（）A．)4⎡⎣B．)4⎡⎣C．22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D．24⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭2.已知曲线||:||14x x C y y +=，点(,)P m n 为曲线C 上任意一点，若点(2,1)A -，(4,2)B -，则PAB △面积的最大值为______．3.方程||||1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________4.若直线:2x l y m =-+与曲线:C y =m 的取值范围是A．1)+B．1,1)-C．1)+D．三．双曲线的方程1.在矩形ABB A ''中，8A A '=，6AB =，把边AB 分成n 等份，在B B '的延长线上，以B B '的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点A '作直线，过B B '延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P ，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程可能是（）A．()2214,0169x y x y +=≥≥B．()2218,06436x y x y +=≥≥C．()2214,0169x y x y -=≥≥D．()2218,06436x y x y -=≥≥2.若实轴长为2的双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足2ii PB P A =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（）A．(,7)+∞B．(0,7C．7()+∞D．(0,73.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222=1x y a b-（>0a ，>0b ）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（）A．22=1412x y -B．22=1124x y -C．22=13x y -D．22=13y x -4.如图，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为()12,0F -，()22,0F ，过1F ，2F 作圆O ：222x y a +=的切线，四条切线围成的四边形12F AF B 的面积为3，则双曲线的方程为（）A．2213x y -=B．2213y x -=C．22122x y -=D．2222135x y -=四．第一定义1.设12,F F 是双曲线224x y -=的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过1F 作12F PF ∠平分线的垂线，垂足为M ，则点M到直线0x y +-的距离的最大值是（）.A．4B．5C．6D．32.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上一点(0)p y ≠，在线段1PF 上取“12PF F △的周长中点”M ，满足2112MP PF MF F F +=+，同理可在线段2PF 上也取“12PF F △的周长中点”N .若PMN 的面积最大值为1，则b =________．3.已知双曲线22:13y C x -=的左焦点为1F ，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________.4.已知12,F F 分别为双曲线22143x y -=的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12sin F PF ∠的值为（）A．12B．2C．3D．13五．焦半径1.若点P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上任意一点，则P 满足性质：点P 到右焦点的距离与它到直线2a x c =的距离之比为离心率e ，若C 的右支上存在点Q ，使得Q 到左焦点的距离等于它到直线2a x c=的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．2.已知双曲线C ：22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)与椭圆216x ＋212y ＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为________．3.已知P 为双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)左支上一点，1F ，2F 为其左右焦点，若221PF PF 的最小值为11a ，则双曲线的离心率为（）D．924.已知1F ，2F 为双曲线Γ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，以2F 为圆心，2a 为半径的圆与Γ在第一象限的交点为A ，直线2AF 与Γ交于另一点B ．若1ABF 的面积为23a ，则Γ的离心率为（）A．2六．第三定义1.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与直线y kx =交于,A B 两点，点P 为C 上一动点，记直线,PA PB 的斜率分别为,PA PB k k ，曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ．若14P PA B k k ⋅=，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（）A．4a =B．曲线C的离心率为2C．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形2.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =A．12B．12-C．2D．-23.已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，O 为坐标原点，,E F 为线段,AB AD 的中点且,OE OF 的斜率之积为3，则双曲线C 的离心率为_________.4.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OMON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________七．双曲线渐近线1.已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是（）A．⎢⎭⎣B．⎛ ⎦⎝C．73⎢⎭⎣D．0,7⎛ ⎦⎝2.如图，设1F ，2F 是双曲线()22210x y a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足1e <<则双曲线的方程为（）A．2215x y -=B．2214x y -=C．2213x y -=D．2212x y -=3.已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若 OMN 为直角三角形，则|MN |=A．32B．3C．D．4八．焦点三角形1.已知1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 到该双曲线的渐近线的距离为2，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为___________2.已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22:1169x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于__________．3.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x 2212y -=1B．22134x y -=C．221169x y -=D．221916x y -=4.双曲线221916x y -=的两焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，直线1PF 、2PF 倾斜角之差为π3，则12PF F △面积为（）A．B．C．32D．42九．焦点直角三角形1.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上．若12PF F △为直角三角形，且125tan 12PF F ∠=，则双曲线的离心率为_______________________．2.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）3.已知F是双曲线22221x ya b-=的左焦点，圆2222:O x y a b+=+与双曲线在第一象限的交点为P，若PF的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）B．24.已知双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F、2F，圆2222+x y a b=+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形21A FB F的周长p与面积S满足p=）C．2十．余弦定理1.双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，2ABF是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足23BQ AF=，则C的离心率为___________.2.已知双曲线2222:1(00)x yC a ba b-=>>，的左、右焦点分别为12F F，，设过2F的直线l与C的右支相交于A B，两点，且112AF F F=，222BF AF=，则双曲线C的离心率是______.3.已知双曲线()222210,0x y a ba b-=>>的左右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交双曲线于P，Q两点，且1PQ PF⊥，1512PQ PF=，则双曲线的离心率为________.4.已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与C的右支交于A，B两点，若1221F AF AF F∠=∠，222F B F A=，则C的离心率为______.十一．共焦点问题1.椭圆与双曲线共焦点1F、2F，它们的交点P对两公共焦点1F、2F的张角为122F PFθ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e，则A．222212cos sin1e eθθ+=B．222212sin cos1e eθθ+=C．2212221cos sin e e θθ+=D．2212221sin cos e e θθ+=2.已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（）B．3C．63.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是D．24.已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π=3F PF ∠，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B．2C．1D．12十二．定比分点1.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若11AF F B λ=，且2λ>，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1(2,0)F -、2(2,0)F ，A B 、是其右支上的两点，2213,||||AF F B AF AB ==，则该双曲线的方程是（）A．2213x y -=B．2212x y -=C．22122x y -=D．2213y x -=3.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅= ，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）D．24.已知F 1、F 2是双曲线E ：22220x y a b-=(a >0，b >0）的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P 、Q ．若119FQ F P =，M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．4D．4十三．内心1.已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上的一点，I 为12PF F △的内心，且1222IF IF PI +=，则C 的离心率为（）A．13B．25C．3D．22.已知F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1=2r 2，则直线l 的斜率为（）A．1C．2D．3.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B .已知O 为坐标原点，若△OAB 的内切圆的半径为12a ，则双曲线C 的离心率为（）1424.已知双曲线C ：221916x y -=，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上的第一象限内的点，点I 为12PF F △的内心，12IF F △的面积的取值范围是__________．十四．联立1.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 经过C 的左焦点F ，与C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点．则C 离心率的取值范围是______．2.双曲线22:12y C x -=，过定点(1,0)A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直PQ 恒过定点（）A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)3.如图所示A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点，点A ，B 关于原点对称，线段AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且BF FC =，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2D．24.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，2OP OF =（O 为坐标原点）．若直线2PF 与C 的左支有交点，则C 的离心率的取值范围为______．。
高考数学强化练习必做题 第6讲 双曲线
第6讲 双曲线一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2.(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53B.355C.63D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝ba x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.答案 B4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5.(2017·成都调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________. 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2107.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a＝________.解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴ba ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28.(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，因此可得点A 的坐标为(a ，b ).设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝⎛⎦⎥⎤1，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13.(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎨⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB →，求△AOB 的面积.解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1， 整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ， ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。
双曲线(高三复习与同步学习培优讲义)
2020学广东实验中学高二数学《双曲线》一、单选题1．（2020·四川成都·其他（理））已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C2．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为y =，直线20x y ++=经过双曲线C 的一个焦点，则a =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】A3．（2020·日喀则市第三高级中学期末（理））与椭圆2251162x y +=共焦点，且过点(-2)的双曲线方程为（ ） A ．22154x y -=B ．22154y x -=C ．22153y x -=D ．22153x y -=【答案】B4．（2020·全国课时练习）己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为.抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A B 1C D 1【答案】B5．（2020·全国课时练习）设12,F F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1||5PF =，2||PF ＝（ ） A ．5 B ．3C ．7D ．3或7【答案】D22角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．32C ．52D ．3【答案】A7．（2020·全国课时练习）已知点F 是双曲线2222=1x y a b-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(21, D ．(1,1【答案】B8．（2020·全国课时练习）已知定点12(2,0),(2,0),F F N -是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．2213y x +=B ．2213y x -=C ．2213x y +=D ．2213x y -=【答案】B9．（2020·全国课时练习）已知A 、B 是双曲线22:143x y Γ-=的左、右顶点，动点P 在Γ上且P 在第一象限．若PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，则以下总为定值的是（ ）． A ．12k k + B ．12k k -C ．12k k ⋅D ．2212k k +【答案】C10．（2020·全国课时练习）双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦距为4，一个顶点是抛物线24y x =的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2 BC ．32D【答案】A11．（2020·全国课时练习）若直线y ＝2x 与双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1B ．C ．(1D ．12．（2020·全国课时练习）焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A13．（2020·重庆期末）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】D14．（2020·全国课时练习）已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B15．（2020·全国课时练习）已知双曲线22:116925x y C -=的左、右焦点分别为12F F ，，点M N ，为异于12F F ，的两点，且M N ，的中点在双曲线C 的左支上，点M 关于1F 和2F 的对称点分别为A B ，，则NA NB -的值为（ ）A ．26B ．26-C ．52D ．52-【答案】D16．（2020·全国课时练习）已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率为（ ）A B CD ．2【答案】B17．（2020·天水市第一中学期末）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D18．（2020·全国单元测试）双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B19．（2020·全国课时练习）已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8【答案】D20．（2020·全国课时练习）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ） A．B ．6C．D ．3【答案】A21．（2020·全国课时练习）设F 1，F 2是双曲线24x －y 2＝1的左右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2面积为1时，1PF ·2PF 的值为（ ）A ．0B ．1C ．12D ．2【答案】A22．（2020·全国课时练习）已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ） A．4+B．4(1+C．D【答案】B23．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率等于2，则其渐近线与圆22(4)3x y ++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定24．（2020·全国课时练习）过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（ ） A ．92B ．89C ．49D ．29【答案】B25．（2020·全国课时练习）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2 BCD 【答案】A26．（2020·全国课时练习）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于a ）A BC ．2D 【答案】A27．（2020·全国课时练习）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A28．（2020·全国课时练习）已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】B29．（2020·全国课时练习）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =± D ．y =【答案】A30．（2020·全国课时练习）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A BC ．2D【答案】B31．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A32．（2020·全国课时练习）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．32【答案】D33．（2020·全国课时练习）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>【答案】A34．（2020·安徽宣城·期末（理））已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ）A B ．4C D 【答案】D35．（2020·安徽宣城·期末（理））已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线的右支相交于点B ，若A 是1BF 上的一个靠近点1F 的三等分点，且210BF =，则该双曲线方程为（ ）A ．22146x y -=B ．2211610x y -=C ．2211636x y -=D ．2213664x y -=【答案】C36．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是C的左顶点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若22PA PF =，则C 的离心率为（ ）A B 12C ．1+D ．1【答案】A37．（2020·全国高二课时练习）设1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．94D ．3【答案】B38．（2020·江西上饶·高二期末（文））双曲线1C ：22221x y a b-=与2C ：22221x y b a -=（0a b >>）的离心率之积为4，则1C 的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．(2y x =±C ．2y x =±D ．(2y x =±39．（2020·全国高二课时练习）12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D ．3【答案】B40．（2020·全国高二课时练习）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【答案】D41．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线222=14x y b-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．223=144x y -B ．224=143x y -C ．22=144x y -D ．22=1412x y -【答案】D42．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B两点，且3AF BF =，则双曲线离心率的最小值为（ ）A BC ．2D ．【答案】C43．（2020·全国高二课时练习）已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上一点，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，若()()220OP OF OP OF +⋅-=（为坐标原点），且123?PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 1B 1C 1D 244．（2020·全国高二课时练习）设点F 1，F 2分别是双曲线C:2221(0)2x y a a -=>的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．xC ．D ．x 【答案】D45．（2020·全国高二课时练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2(,0)F c 作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A .已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且1123||2PF PQ F F +>恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．71,6⎛⎫⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．7,62⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A46．（2020·全国高二专题练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3,4，则双曲线的方程为A ．22x y 1169-=B ．22134x y -=C ．22143x y -=D ．221916x y -=【答案】D47．（2020·全国高二课时练习）已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，M 为12P F F ∆的内心，若128PMF PMF S S ∆∆=+，则12MF F ∆的面积为（ ）A ．B ．10C ．8D ．6【答案】B48．（2020·全国高二课时练习）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–)C ．(0,3)D ．49．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=【答案】C第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题50．（2020·日喀则市第三高级中学期末（理））求双曲线22425100x y -=的焦点坐标和离心率.【答案】焦点坐标为()，)，离心率e =。
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[基础题组练]1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52.故选B.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫1，32解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2a ，而右顶点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2a >a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝1.答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝16．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.答案：537．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.8．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A＋x B＝122k 1－3k2<0，x A x B＝－361－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1[综合题组练]1．(2019·唐山市摸底考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和双曲线E ：x 2－y 2＝1有相同的焦点F 1，F 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选B.由题意可知，c a ×2＝1⇒c ＝22a ，因为c ＝2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 不妨设P 与F 2在y 轴右侧，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4|PF 1|－|PF 2|＝2， 得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，所以△F 1PF 2为直角三角形，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y ＝±13x . 设两渐近线夹角为2α， 则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.3．(综合型)已知双曲线x 23－y 24＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得A ⎝⎛⎭⎫m ，2m 23－1，B ⎝⎛⎭⎫m ，－2m 23－1，所以OA →＝⎝⎛⎭⎫m ，2m 23－1，OB →＝⎝⎛⎭⎫m ，－2m 23－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →的夹角为锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2－4m 23＋4>0，解得－23<m <2 3.由过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m > 3.故实数m 的取值范围是(－23，－3)∪(3，23)．答案：(－23，－3)∪(3，23)4．(2019·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形，因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形．所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.答案：45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 6．(综合型)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，因为一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.所以由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又因为c 2＝a 2＋b 2， 所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. 所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。