初三数学一元二次方程单元测试题及答案详解
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程 单元检测(含答案)
九年级上册第21章单元检测一．选择题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2﹣5x＝6B．﹣2＝0C．x2+y2＝4D．6x+1＝02．已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个方程可以是（）A．（x+3）（x﹣2）＝0B．x2+x+6＝0C．（x﹣3）（x+2）＝0D．x2﹣3x+2＝03．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（）A．2，8B．3，4C．4，3D．4，84．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m≤C．m≥3D．m≤35．方程9x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A．9x2，8x，2B．﹣9x2，﹣8x，﹣2C．9x2，﹣8x，﹣2D．9x2，﹣8x，26．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或47．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣2）2＝B．2（x﹣2）2＝C．（x﹣1）2＝D．（2x﹣1）2＝1 9．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④10．若整数a既使得关于x的分式方程﹣2＝有非负数解，又使得关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，则符合条件的所有a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为．12．用配方法解一元二次方程x2+6x+1＝0时，配方后方程可化为：．13．某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是．14．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为．15．关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程（1）（2x﹣3）2＝4；（2）x2﹣6x﹣5＝0．17．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+5（k﹣）＝0．求证：（1）无论k取何值，该方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．参考答案一．选择题1．解：3x2﹣5x＝6符合一元二次方程的定义，故选项A正确；﹣2＝0不是整式方程，故选项B不是一元二次方程；x2+y2＝4是二元二次方程，故选项C不是一元二次方程；6x+1＝0是一元一次方程，故选项D不是一元二次方程．故选：A．2．解：∵3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6，∴以3和﹣2为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣6＝0．故选：C．3．解：设方程的另一个根为t，根据题意得t+2＝6，2t＝c，解得t＝4，c＝8．故选：D．4．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，∴△＝12﹣4m≥0，∴m≤3．故选：D．5．解：方程整理得：9x2﹣8x﹣2＝0，则二次项、一次项、常数项分别为9x2，﹣8x，﹣2．6．解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．7．解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．解：∵2x2﹣4x+1＝0，∴2x2﹣4x＝﹣1，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝1﹣，∴（x﹣1）2＝．9．解：解方程x2﹣x﹣2＝0，去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±，解得：x＝1±，则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．10．解：解﹣2＝得，x＝﹣，∵分式方程﹣2＝有非负数解，∴﹣≥0且x﹣1＝﹣﹣1≠0∴a≤﹣1且a≠﹣4，∵关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，∴△＝1﹣4（a+6）＜0，解得，a＞﹣5，综上，﹣5＜x≤﹣1且a≠﹣4，∵a为整数，∴a＝﹣5或﹣3或﹣2或﹣1，故选：D．11．解：4x（x﹣2）＝x﹣24x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0（x﹣2）（4x﹣1）＝0x﹣2＝0或4x﹣1＝0解得x1＝2，x2＝．故答案为：x1＝2，x2＝．12．解：∵x2+6x+1＝0，∴x2+6x＝﹣1，∴x2+6x+9＝﹣1+9，∴（x+3）2＝8，故答案为：（x+3）2＝8．13．解：设每次降价的百分率为x，依题意，得：200（1﹣x）﹣200（1﹣x）2＝32，整理，得：25x2﹣25x+4＝0，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝0.8＝80%．当x＝20%时，200（1﹣x）2＝128＞110，符合题意；当x＝80%时，200（1﹣x）2＝8＜110，不符合题意，舍去．故答案为：20%．14．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．即方程的另一个根为﹣1．故答案为﹣1．15．解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，解得：m≥﹣且m≠﹣1．故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．三．解答题16．解：（1）开方得：2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，解得：x1＝2.5，x2＝0.5；（2）方程整理得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．17．解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）不存在．∵x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2，而x1+x2和x1x2互为相反数，∴﹣（2k﹣1）+k2＝0，解得k1＝k2＝1，∵k≤，∴不存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数．18．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去），答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640（元），答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到8640元．19．解：（1）证明：，∵4（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为4，①当b＝c时，△＝4（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为，解得，而，∴、、4能够成三角形；△ABC的周长为；②当b＝a＝4或c＝a＝4时，把x＝4代入方程，得，解得，方程化为，解得，x2＝4，∵4、4、能够成三角形，∴△ABC的周长为．综上所述，△ABC的周长为9或．20．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，x＝3或x＝﹣2，∵2≠﹣3+1，∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；②x＝＝，∵＝+1，∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，∴x＝m或x＝﹣1，∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，∴m＝0或﹣2；（3）解方程得x＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，∴﹣＝1，∴b2＝a2+4a，∵t＝12a﹣b2，∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，∵a＞0，∴a＝4时，t的最大值为16．。
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测卷附答案
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试【考试时间：90分钟分数：120分】一、选择题1.一元二次方程的解是（）A. x1=0,x2=1B. x=0C. x=2D. x1=0,x2=22.关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3,则（）A. b＝1,c＝﹣6B. b＝﹣1,c＝﹣6C. b＝5,c＝﹣6D. b＝﹣1,c＝63.将方程化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为,一次项系数、常数项分别是（）A. -8、-10B. -8、10C. 8、-10D. 8、104.用配方法解方程,配方的结果是（）A. B. C. D.5.已知是方程的一个根,则的值是（）A. 1B. 2C. -2D. -16.关于的一元二次方程的两根应为（）A. B. , C. D.7.为执行“两免一补“政策,某市年投入教育经费万元,预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为,那么下面列出的方程正确的是（）A. B. C. D.8.关于的一元二次方程,当时的解为（）A. B. C. D. 无实数解9.已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则x的值是（）A. ﹣1或3B. 1或﹣3C. 1或3D. ﹣1和﹣310.如图,在中,,,,点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动,当的面积等于运动时间为A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定二、填空题11.方程的解为________．12.关于的一元二次方程无实数根,则的最小整数值是________．13.已知,且,则________．14.若一元二次方程的两个实数根分别是2、,则＝．15.关于的一元二次方程总有实数根,则的取值范围是________．16.已知α、β方程x2＋2x-5=0的两根,则α2+αβ+3α+β的值是_______．17.对于任意实数k,关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为．18.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支,则可得方程为_______________．19.在长宽高为10cm、8cm的矩形纸片中央挖掉一个矩形,得到一个四边等宽的矩形方框,如果挖掉部分的面积为24cm2,则方框的边宽是_________．20.如图,在长为米,宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,余下的部分种上小草．要使草坪的面积为平方米,则道路的宽为________米．三、解答题21.解方程：（1）．22. 有一幅长20 cm、宽16 cm的照片,现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框,且相框边所占面积为照片面积的二分之一,求相框边宽．23.已知关于的一元二次方程有两个实数根．试求的取值范围；若此方程的两个实数根、,满足,试求的值．24.(10分) 如图,小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,（1）如果要求长方体盒子的底面面积为,求剪去的小正方形边长为多少？（2）长方体盒子的侧面积是否可能为？为什么？25.某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元．每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率；（2）经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得元的利润,每件应降价多少元？26.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2？27. （本题满分10分）在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元．（1）求每张门票原定的票价；（2）根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率．答案与解析一、选择题1.一元二次方程的解是（）A. x1=0,x2=1B. x=0C. x=2D. x1=0,x2=2【答案】D【解析】【分析】先把方程直接开平方得到x-1=±1,再求x的值即可.【详解】∵∴x−1=±1,∴x1=0,x2=2.故选：D.【点睛】考查一元二次方程的解法—直接开方法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.2.关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3,则（）A. b＝1,c＝﹣6B. b＝﹣1,c＝﹣6C. b＝5,c＝﹣6D. b＝﹣1,c＝6【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系得到2+（-3）=-b,2×（-3）=c,然后可分别计算出b、c的值．【详解】解：根据题意得2+（-3）=-b,2×（-3）=c,解得b=1,c=-6．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1•x2=．3.将方程化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为,一次项系数、常数项分别是（）A. -8、-10B. -8、10C. 8、-10D. 8、10【答案】A【解析】【分析】一元二次方程（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】化为一元二次方程的一般形式其中二次项系数为1,一次项系数、常数项分别是故选：A.【点睛】考查一元二次方程的一般形式,一元二次方程（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．4.用配方法解方程,配方的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把常数项5移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方．【详解】把方程的常数项移到等号的右边,得到,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到配方得.故选:D.【点睛】本题考查了配方法,解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.已知是方程的一个根,则的值是（）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程的解的定义,将x=1代入已知方程列出关于b的新方程,通过解新方程来求b的值即可．【详解】根据题意,得即b−1=0,解得,b=1.故选：A.【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.6.关于的一元二次方程的两根应为（）A. B. , C. D.【答案】B【解析】【分析】先把方程化为一般式,再计算判别式的值,然后利用求根公式解方程即可．【详解】x2−3ax+a2=0,△=(−3a)2−4××a2=a2,x=.所以x1=a,x2= a.故答案选B.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是根据公式法解一元二次方程.7.为执行“两免一补“政策,某市年投入教育经费万元,预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为,那么下面列出的方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】这两年投入教育经费的年平均增长率为x,根据某市2008年投入教育经费4900万元,预计2010年投入6400万元可列方程．【详解】这两年投入教育经费的年平均增长率为x,.故选：B.【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.8.关于的一元二次方程,当时的解为（）A. B. C. D. 无实数解【答案】D【解析】【分析】首先把常数k移到方程右边,再两边直接开平方,因为-k＜0,故方程无实数解．【详解】移项得：∵k>0,∴−k<0,∴无实数解,故选：D.【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是掌握把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a（a≥0）的形式,利用数的开方直接求解．9.已知代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则x的值是（）A. ﹣1或3B. 1或﹣3C. 1或3D. ﹣1和﹣3【答案】A【解析】试题分析：由于代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,则（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0,整理得,x2﹣2x﹣3=0,根据方程系数的特点,应用因式分解法解答．∵代数式3﹣x与﹣x2+3x的值互为相反数,∴（3﹣x）+（﹣x2+3x）=0, 即（3﹣x）﹣x（x﹣3）=0, 即（x﹣3）（x+1）=0,解得,x1=3,x2=﹣1．考点：解一元二次方程-因式分解法．10.如图,在中,,,,点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动,当的面积等于运动时间为A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】由题意得：AP=2t,CQ=3t,∴PC=50﹣2t,∴•PC•CQ=300,∴•（50﹣2t）•3t=300,解得：t=20或5,∴t=20s 或5s时,△PCQ的面积为300m2．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,三角形的面积公式等知识,解题的关键是把问题转化为方程,属于基础题,中考常考题型．二、填空题11.方程的解为________．【答案】【解析】【分析】找出方程中a,b,c的值,代入求根公式即可求出解．【详解】这里a=5,b=﹣2,c=﹣11．∵△=4+220=224,∴x==．故答案为：x=．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解答本题的关键．12.关于的一元二次方程无实数根,则的最小整数值是________．【答案】2【解析】【分析】根据方程没有实数根结合根的判别式可得出△=88-48k<0,解不等式即可得出k的取值范围,取期内的最小整数即可得出结论．【详解】2k−1≠0,即时,∵关于x的一元二次方程没有实数根,∴解得：∴k的最小整数值为2；故答案为：2.【点睛】考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.13.已知,且,则________．【答案】或1.【解析】【分析】分解因式后求出分别代入求出即可．【详解】(7x−5y)(x−y)=0,7x−5y=0,x−y=0,∵xy≠0,当时,当x=y时,故答案为：或1.【点睛】考查解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握十字相乘法是解题的关键.14.若一元二次方程的两个实数根分别是2、,则＝．【答案】1．【解析】试题分析：∵一元二次方程的两个实数根分别是2、b,∴2+b=a+1,∴a﹣b=2﹣1=1．故答案为：1．考点：根与系数的关系．15.关于的一元二次方程总有实数根,则的取值范围是________．【答案】且k≠1.【解析】【分析】由方程为一元二次方程可得知k-1≠0；由方程总有实数根可得出根的判别式△≥0,解关于k的一元一次不等式即可得出结论．【详解】∵是一元二次方程,∴k−1≠0,即k≠1；若要方程总有实数根,只要即可,解得：故答案为：且k≠1.【点睛】考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根.当时,方程有两个相等的实数根.当时,方程没有实数根.16.已知α、β方程x2＋2x-5=0的两根,则α2+αβ+3α+β的值是_______．【答案】-2．【解析】试题分析：欲求α2+αβ+3α+β的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可．试题解析：∵α,β是方程x2+2x-5=0的两个实数根,∴α+β=-2,又∵α2+αβ+3α+β=α（α+β）+2α+（α+β）,∴α2+αβ+3α+β=-2α+2α-2=-2．考点：1.根与系数的关系；2.一元二次方程的解．17.对于任意实数k,关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为．【答案】有两个不相等的实数根【解析】试题分析：首先确定a=1,b=﹣2（k+1）,c=﹣k2+2k﹣1,然后求出△=b2﹣4ac的值,进而作出判断．解：∵a=1,b=﹣2（k+1）,c=﹣k2+2k﹣1,∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）=8+8k2＞0∴此方程有两个不相等的实数根,故答案为有两个不相等的实数根．考点：根的判别式．18.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支,则可得方程为_______________．【答案】x2+x+1=91．【解析】试题分析：由题意设每个支干长出x个小分支,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有+x+1个分支,即可列方程得：+x+1=91．故答案为：+x+1=91．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．19.在长宽高为10cm、8cm的矩形纸片中央挖掉一个矩形,得到一个四边等宽的矩形方框,如果挖掉部分的面积为24cm2,则方框的边宽是_________．【答案】2cm．【解析】试题解析：设所留的宽度是x米,那么矩形方框的长和宽就应该是（10-2x）米,（8-2x）米．可得出方程为：（10-2x）（8-2x）=24解得：x1=2,x2=-7（不符合题意舍去）故方框的边宽是是2cm．考点：一元二次方程的应用20.如图,在长为米,宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,余下的部分种上小草．要使草坪的面积为平方米,则道路的宽为________米．【答案】【解析】试题解析：把道路进行平移,可得草坪面积为一个矩形,长为32-x,宽为20-x,∴可列方程为：（32-x）（20-x）=540．考点：由实际问题抽象出一元二次方程三、解答题21.解方程：（1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程．【详解】(1),所以(2)(x−5)(x+2)=0,x−5=0或x+2=0,所以【点睛】考查一元二次方程的解法,熟练掌握直接开方法,配方法,公式法以及因式分解法是解题的关键. 22. 有一幅长20 cm、宽16cm的照片,现要为这幅照片配一个四条边宽度相同的相框,且相框边所占面积为照片面积的二分之一,求相框边宽．【答案】2cm【解析】试题分析：根据题意设相框边的宽度为x cm,可知长变为（20+2x）cm,宽为（16+2x）cm,可根据相框边所占面积为照片面积的二分之一可列方程解答.试题解析：设相框边的宽度为x cm,则可列方程：(20＋2x)(16＋2x)＝×20×16,解得x1＝2,x2＝－20(舍去)．答：相框边的宽度为2 cm.考点：一元二次方程的应用23.已知关于的一元二次方程有两个实数根．试求的取值范围；若此方程的两个实数根、,满足,试求的值．【答案】; ．【解析】【分析】(1)根据方程有两个实数根可以得到△≥0,从而求得k的取值范围；(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．【详解】∵方程有实数根,∴,解得．由根与系数关系知：,又,化简代入得,解得,经检验是方程的根且使原方程有实数根,∴．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的根的判别式△=b2-4ac,根与系数的关系,熟知△的取值与方程根的情况是解题的关键.24.(10分) 如图,小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,（1）如果要求长方体盒子的底面面积为,求剪去的小正方形边长为多少？（2）长方体盒子的侧面积是否可能为？为什么？【答案】（1）剪去的小正方形边长为；（2）长方体盒子的侧面积不可能为．【解析】【分析】（1）等量关系为：（10-2×剪去正方形的边长）2=81,把相关数值代入即可求解．（2）利用长方体盒子的侧面积为60cm2,求出一元二次方程根的情况即可．【详解】(1)设剪去的正方形的边长为xcm.解得∵10−2×x>0,∴x=0.5,答：剪去的小正方形边长为0.5cm；（2）设剪去的正方形的边长为．,整理可得：,,∴此方程没有实数根,∴长方体盒子的侧面积不可能为．【点睛】考查一元二次方程的应用,读懂题目,找出题目中的等量关系是解题的关键.25.某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元．每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率；（2）经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得元的利润,每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则商品应降价2.5元．【解析】试题分析：（1）设每次降价的百分率为x,（1﹣x）2为两次降价的百分率,40降至32.4就是方程的平衡条件,列出方程求解即可；（2）设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可试题解析：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2=32.4x=10%或190%（190%不符合题意,舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率10%；（2）设每天要想获得512元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得（40﹣30﹣y）（+48）=512,解得y1=y2=2∵有利于减少库存,∴y=2．答：每件商品应降价2元．考点：一元二次方程的应用26.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2？【答案】10,8．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得化简,得,解得：当时,（舍去）,当时,,答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．考点：一元二次方程的应用题．【此处有视频,请去附件查看】27. （本题满分10分）在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元．（1）求每张门票原定的票价；（2）根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率．【答案】（1）400（2）10%．【解析】试题分析：（1）设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为（x-80）元,根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元”建立方程,解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程,解方程即可．试题解析：（1）设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为（x-80）元,根据题意得,解得x=400．经检验,x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y,根据题意得400（1-y）2=324,解得：y1=0.1,y2=1.9（不合题意,舍去）．答：平均每次降价10%．考点：1.一元二次方程的应用；2.分式方程的应用．。
人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程含答案(考试真题)
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（）A.2B.3C.3或2D.2、若，代数式的值是( )A. B. C.-3 D.33、下列方程中有实数根的是（）A.x 2+x+2=0B.x 2﹣x+2=0C.x 2﹣x﹣1=0D.x 2﹣x+3=04、已知：x1， x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）A.a=﹣3，b=1B.a=3，b=1C. ， b=﹣1D. ，b=15、下列方程是一元二次方程的是（）A.x-2=0B.x 2-4x-1=0C.x 2-2x-3D.xy+1=06、若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )A.k＞-1B.k＞-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠07、已知一元二次方程，则该方程根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.两个根都是自然数D.无实数根8、方程的解是（）A.2B.－2，1C.－1D.2，19、用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（）A.（x+4）2=9B.（x-4）2=9C.（x-8）2=16D.（x+8）2=5710、已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为﹣2，则这个方程的另一个根为（）A.3B.4C.6D.﹣611、用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是( )A.(x+2) 2=3B.(x-2) 2=3C.（x-2) 2=5D.(x+2）2=512、用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A.（x﹣2）2＝3B.（x+2）2＝3C.（x﹣2）2＝﹣3D.（x+2）2＝﹣313、已知关于x的方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（）A.2B.-2C.±2D.±14、设a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值为( )A.5B.6C.7D.815、一元二次方程3x2-4x-7=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A.3，-4，-7B.3，-4，7C.3，4，7D.3，4，-7二、填空题(共10题，共计30分)16、已知x=1是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个根，则m=________．17、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是________.18、已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝________．19、关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，则k的取值范围是________.20、关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是________.21、若a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2017=0的两根，a2+3a+b的值为________．22、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+5（k﹣）=0的两个实数根，则△ABC的周长为________23、已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________.24、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于________.25、一元二次方程有实数根，则的取值范围为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：27、小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．28、解方程：x2+4x﹣7=6x+5．29、若方程（m﹣1）+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．30、已知关于x的方程x2+（2m-1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A3、C4、D5、B6、B7、A8、D9、A10、C11、A12、A13、B14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、30、。
九年级一元二次方程单元测验题及答案
一元二次方程单元测验题一．填空题(每小题2分,共24分)1。
方程x x 3122=-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2．方程)0(02≠=++a c bx ax 的判别式是 ,求根公式是 .3．把一元二次方程x x x 2)1)(1(=-+化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项的系数是 ，常数项是 ;4。
一元二次方程12)1(2=-+mx x m 的一个根是3，则=m ；5．方程022=-x x 的根是 ，方程05022=-x 的根是 ;6．已知方程032=+-mx x 的两个实根相等，那么=m ； 7．+-x x 222 =2)(-x ， 22)(41)(-=+-x x x8．a 是实数,且0|82|42=--+-a a a ，则a 的值是 .9．方程)34(342-=x x 中，⊿= ,根的情况是 。
10．已知322--x x 与7+x 的值相等，则x 的值是 。
11．关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m 。
12.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长,且12)1)((2222=+++b a b a ,则这个直角三角形的斜边长为 。
二、选择题（每小题3分，共30分）1．方程5)3)(1(=-+x x 的解是( )A 。
3,121-==x x B. 2,421-==x x C. 3,121=-=x x D 。
2,421=-=x x2．关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是 （ )A. 有两个不相等的实根 B 。
有两个相等的实根 C 。
无实数根 D. 不能确定 3．方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程是 （ ）A 。
①和②B 。
②和③ C. ③和④ D 。
①和③4．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 只有一个实数根，则m 等于（ ）A. 6-B. 1C. 6-或1D. 25．关于x 的方程0)(242=---ab x b a x 的判别式是（ ）A 。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》 单元测试(含答案)
试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0 B ．1C ．-1 D ．b a -5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0 B ．（x ﹣12）2=12 C ．（x ﹣1）2=12 D ．（x ﹣1）2=06．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A ．7 B ．5C 7D ．577．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）A ．m 12>B ．m 112<C ．m ＞﹣112D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0、 B ．3x 2﹣5x+1=0、 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0、 D ．3x 2+5x ﹣1=012．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题（共6小题，第17题8分，第18题12分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，共52分）17、解下列方程 (1) x 2-2x-5=0 (用配方法) (2)2x 2+3x=4(公式法)18、已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？19、 已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．20、小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数试卷第3页，总3页 21、已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=. 求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；22、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案1．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C2．.考点：一元二次方程的一般形式试题解析：解析：x （3-2x ）+5=1 -2x 2+3x+4=0 -2×4=-8 故选B ．答案：B3．考点：一元二次方程的解试题解析：解析：将x ＝0代入原方程得a 2－1＝0且a ＋1≠0所以a=1故选A ．答案：A4．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C5．考点：配方法答案第4页，总3页试题解析：解析x 2﹣2x+12=0 x 2﹣2x+1=12（x ﹣1）2=12故选C ．答案：C6．考点：解一元二次方程和勾股定理试题解析：解析：解方程得x 1 =3, x 2=4.当3和4为直角边时，第三边为5，当4为斜边故选D ．答案：D7．考点：一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法试题解析：解析：∆= b ²-4ac >0即1+12m >0 m >﹣112故选C ． 答案：C8．考点：一元二次方程根与系数的关系 试题解析：解析：11x ＋21x =(x ₁+x ₂)/(x ₁x ₂)=﹣3 故选B ． 答案：B9．考点：一元二次方程根的判别式和解一元二次方程试题解析：解析：(a ＋1)²- 4(2a －1)=0解得a ₁=1a ₂=5故选D ．答案：D10．考点：一元二次方程的应用试题解析：解析：设路宽为x,依题可得：（20-x ）(33-x)=510解得x 1 =3, x 2=50（舍去）故选C ．答案：C11．考点：一元二次方程求根公式试题解析：解析：由一元二次方程求根公式与方程给出的根可找出a=3 b=5 c = - 1 故选D ．答案：D12．考点：一元二次方程的解和根与系数的关系试题解析：解析：将m 和n 分别代入方程变形得m 2﹣2018m =-2019n 2﹣2018n =-2019将原式变形后整体代入（-2019-m+2018(-2019-n+2018)=(-1-m)(-1-n)=1+m+n+mn∵m+n=2018 mn=2019∴原式=1+2018+2019=4038故选D ．答案：D13．考点：解一元二次方程(因式分解法)试题解析：解析：4x 2 -3x= 0 x(4x-3)=0 x 1 =0, x 2=34答案：x 1 =0, x 2=3414．考点：一元二次方程的应用试题解析：答案：x （x ﹣1）＝11015．考点：一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式试题解析：解析：2212a a +=（a ₁+a ₂）²-2a ₁a ₂答案：1216．考点：一元二次方程解法和根与系数的关系试题解析：解析：∵ x₁x₂=12 x₁²+x₂²=25∴x ₁+x ₂=7或-7答案：x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．考点：一元二次方程解法答案：(1)11x =21x =；(2)134x -=，234x -= 18．考点：一元一次方程和一元二次方程的概念试题解析：解析：（1）注意分三种情况讨论（2）注意指数和系数答案：（1）-2或±1或0 （2）2 19．考点：一元二次方程根和方程组试题解析：解析：x ²+px+q= x ²+qx+p (p-q)x=p-q x=1代入原方程1+p+q=0 ∴p+q=-1答案：-1；.20．考点：一元二次方程解试题解析：解析：答案：1421．考点：一元二次方程根的判别式和完全平方公式试题解析：解析：答案：∵∆= b ²-4ac =（5m+1）²-4（4m ²+m ）=9m ²+6m+1=(3m+1)²≥0∴不论m 取任何实数，原方程总有两个实数根22．考点：一元二次方程的应用和一元一次不等式试题解析：解析：（1）设增长率为x ，依题可得10（1+x ）²=12.1解得x 1 =0.1, x 2=-2.1(舍去)故增长率为10％；（2）6月总数12.1×（1+10％）=13.31>21×0.6所以不能完成任务。
一元二次方程单元检测题(含参考答案)
九年级数学阶段质量监测题（一）（一元二次方程）测试时间：90分钟第Ⅰ卷 [基础测试卷]一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.下列方程是一元二次方程的是 （ ）A.y x =-12B.562=xC.xx 12=D.2)2)(1(x x x =++ 2.一元二次方程122=-x x 的常数项为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.1± 3.若方程013)2(=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程,则 ( )A.2±=mB.2=mC.2-=mD.2±≠m4.在方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若有0=+-c b a ，则方程必有一根为 （ ）A.1B.1-C.1±D.05.一元二次方程032=+x x 的根为 （ ） A.-3 B.0，3 C.0，－3 D.36.将方程0462=+-x x 配方，其正确的结果是 （ ）A.9)3(2=-xB.5)3(2=-xC.13)3(2=-xD.5)3(2=+x7.已知关于x 的一元二次方程0122=++x mx 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( ) A.1-<m B.1>m C.1<m 且0≠m D.1->m 且0≠m8.若方程0132=--x x 的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为 ( ) A.3 B.－3 C.13D.13-9. 已知一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程0862=+-x x 的一个根,则这个三角形的周长是 ( ) A.11 B.13 C.11或13 D.11和1310.关于x 的方程0)2(222=+++k x k x 的两实数根之和不小于-4,则k 的取值范围是( )A.1->kB.0<kC.01<<-kD.01≤≤-k 二、填空题（每小题2分，共20分） 1.关于x 的方程03)3(12=+---x x m m是一元二次方程，则=m .2.一元二次方程x x 6122=-的一般式是 ，其中一项系数是 . 3.方程032=-x x 的根是 ，方程0)2)(1(=-+x x 的是 . 4. 关于x 的一元二次方程02=+-k x x 的一个根是2，则k = ，另一个根为 . 5.已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是 ． 6.关于x 的一元二次方程032=--m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______________．7.小华在解一元二次方程042=-x x 时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是x ＝ ．8.如果21x x 、是方程0482=-+x x 的两个根，那么21x x += ，2221x x += . 9.直角三角形两条直角边长分别为1+x ，3+x ，斜边长为x 2，那么x = . 10.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 的解是 ．三．按指定的方法解方程（每小题4分，共16分）1.4)1(2=-x （直接开平方法）； 2.0542=-+x x （配方法）；3.0652=+-x x （因式分解法）；4.012222=+-x x （公式法）.四.用适当的方法解方程（每小题4分，共8分）1.x x x =-）3(；2.06)32(2=++-x x .五.解答题（每小题6分，共18分）1.已知2+3是方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.2.若关于x 的方程0342=+-+a x x 有实数根. （1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根.3.设a 、b 、c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程021212=-++a c x b x 有两个相等的实数根，方程a b cx 223=+的根为0=x ．（1）试判断△ABC 的形状；（2）若a 、b 为方程032=-+m mx x 的两个根，求m 的值．六、应用题（每小题6分，共18分）1.某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2016年底增加到363公顷，求平均每年的增长率.2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？3.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P 运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．问几秒时点P和点Q的距离是10 cm?第Ⅱ卷[实践操作卷]一、猜一猜，算一算（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？二、想一想，试一试（10分）今要对一块长60m、宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，已知矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等．若使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．九年级数学阶段质量监测题（一）参考答案第Ⅰ卷一、选择题：二、填空题：1. 3-；2.01622=--x x ，-6；3.0或3，－1或2；4.-2，-1；5.062=-+x x ；6. 41->m ；7.0； 8.8-，72； 9.5；10.-7或3. 三、1.3或-1；2.1或－5；3.2或3；4.2221==x x . 四、1.0，4；2.2，3.五、1.1=c ，另一根为32-；2.（1）1-≥a ，（2）221-==x x ；3.（1）△ABC 是等边三角形，（2）12-=m .六、1.10%；2.每件衬衫应降价20元．3.85s 或245s . 第Ⅱ卷一、m 20==BC AB .二、两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m.。
人教版初三数学上册第21章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
6
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
x 输出
20.5 －13.75
20.6 －8.04
20.7 －2.31
20.8 3.44
20.9 9.21
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0 的一个正数解 x 的大致范围为(C) A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
17．(本题 8 分)小明用下面的方法求出方程 2 x－3＝0 的解，请你仿照他的方法求出下面另 外两个方程的解，并把你的解答过程写在下面的表格中． 方程 换元法得新方程 令 x＝t 则 2t－3＝0 解新方程 3 2 检验 3 t＝ ＞0 2 求原方程的解 3 x＝ ， 2 9 所以 x＝ . 4
(2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x.
21．(本题 8 分)一张长为 30 cm，宽 20 cm 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角 各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如 果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题
(满分：120 分 考试时间：120 分钟)
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．) 1.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( A．ax2＋bx＋c＝0 1 1 B. 2＋ ＝2 x x ) C．x2＋2x＝y2－1 ) D．3(x＋1)2＝2(x＋1)
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．用配方法解方程x 2﹣1=6x ，配方后的方程是（ ）A ．（x ﹣3）2=9B ．（x ﹣3）2=1C ．（x ﹣3）2=10D ．（x+3）2=92．方程 250x x a -+= 的一个根是 2x = ，则a 的值是（ ）A ．6B ．－6C ．8D ．143．如图，某校劳动实践课程试验园地是长为20m ，宽为18m 的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为2306m ，则小道的宽为多少？设小道的宽为m x ，根据题意，可列方程为（ ）A ．()()20218306x x --=B ．()()20182306x x --=C ．2201821820306x x x ⨯-⨯-+=D ．2201822018306x x x ⨯-⨯-+=4．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本率为（ ）A ．10%B ．9%C ．9.5%D ．8.5%5．若关于x 的一元二次方程方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜5B ．k ＜5，且k ≠1C ．k ≤5，且k ≠1D ．k ＞56．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程 220a b x cx a b ++++=（）（） 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断7．已知方程□2420x x -+=，在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．设2a 13a +=，2b 13b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9D ．11 二、填空题9．方程（2x ﹣1）（x+3）=0的根是 ．10．已知 222310,2310a a b b --=--= ，且 a b ≠ ，则 a b += ；11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x 人，则根据题意列方程为 ．12．若关于x 的一元二次方程 22(23)0x k x k +++= 没有实数根，则k 的取值范围是 ．13．已知 m 是关于 x 的方程 2250x x --= 的一个根，则 236m m -= ．14．若 1x ， 2x 是方程 2210x x --= 的两个实数根，则 2212122x x x x ++ 的值为 . 三、解答题15．用公式法解方程：3x 2﹣6x +1＝2．16．用因式分解法解方程：()()21310x x +-+=．17．解下列方程（1）2670x x +-= （配方法）；（2）25410x x --= （公式法）．18．已知关于x 的一元二次方程()22212x k x k =+-+有两个实数根为x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应k 的值，并求出最小值．19．关于x 的方程 ()2204m mx m x +++= 有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5 元．（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？21．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m的羊圈？（2）羊圈的面积能达到6502m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．参考答案：1．C 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．B9．x=12 或x=﹣3 10．3211．12x （x ﹣1）=36 12．34k <- 13．1514．415．解：3x 2﹣6x ﹣1＝0，∵a=3，b=-6，c=-1，△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48>0，∴x ＝ 242b b ac a -±- 648±＝643± ＝323± ，∴x 1＝323+ ，x 2＝323- ． 16．解：分解因式得：(+1)(+13)=0x x -所以x+1=0或x −2=0解得：1x =−1，2x =2．17．（1）解： 2670x x +-=移项，得： 267x x +=配方，得： 26979x x ++=+ 即 ()2316x +=∴11x = 27x =- ；（2）解： 25410x x --=∴5a = 4b =- 1c =-∴()()22Δ44451360b ac =-=--⨯⨯-=> ∴244364610b b ac x -±-±±=== ∴11x = 215x =- ． 18．解：（1）将原方程整理为x 2﹣（2k+1）x+k 2﹣2=0∵原方程有两个实数根∴()()2221412490k k k ∆=---⨯⨯-=+≥⎡⎤⎣⎦ 解得94k ≥； （2）∵x 1，x 2为x 2﹣（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根∴y=x 1+x 2=2k+1，且94k ≥ 因而y 随k 的增大而增大，故当k=94-时，y 有最小值72-． 19．（1）解：由△=（m+2）2-4m ·4m ＞0，得m ＞﹣1 又∵m ≠0∴m 的取值范围为m ＞﹣1且m ≠0.（2）解：不存在符合条件的实数m ．设方程两根为x 1，x 2，则121212214110m x x m x x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得m=﹣2，此时△＜0．∴原方程无解，故不存在.20．（1）解：根据题意得：()80300158028522800-=⨯=（元）答：当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益为22800元（2）解：根据题意得：36030080685--=（辆）答：当每辆车的日租金定为360元时，能租出68辆车（3）解：设每辆车的日租金为()300x +元 根据题意，得()803001552336055x x x ⎛⎫-+--⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 整理，得211028000x x -+=．解得：140x = 270x =∴300340x +=或300370x +=答：当每辆车的月租金为340元或370元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达到23360元．21．（1）解：设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ．根据题意，得()722640x x -=．化简，得2363200x x -+=．解得116x = 220x =．当16x =时722723240x -=-=；当20x =时722724032x -=-=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得()722650x x -=．化简，得2363250x x -+=．∵()2Δ36432540=--⨯=-<∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到6502m。
初三一元二次方程单元测试题(含答案)
《一元二次方程》单元测试题（满分100分）一、选择题 (共9题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共27分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a -3)x 2=8 (a ≠3)B.ax 2+b x +c=0C.(x +3)(x -2)=x +5232057x +-= 2、下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程2x 2-3x +1=0化为(x +a )2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、1/25.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A、 B 、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )A.k>-7/4B.k≥-7/4 且k≠0C.k≥-7/4D.k>7/4 且k≠09.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）A 、方程两根和是1B 、方程两根积是2C 、方程两根和是1-D 、方程两根积比两根和大2二、填空题:(每小题3分,共21分)10.如果2x 2+1与4x 2-2x -5互为相反数,则x 的值为_____11.22____)(_____3-=+-x x x12.已知方程3ax 2-bx -1=0和ax 2+2bx -5=0,有共同的根-1, 则a = ______, b =______.13.一元二次方程x 2-3x -1=0与x 2-x +3=0的所有实数根的和等于____.14.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是______15.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.16.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .三、解答题（共52分）17.解方程（本大题2小题，每小题4分，满分8分）（1）22(3)5x x -+= （2）22330x x ++=18.（本题满分9分）如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．（1） 填写统计表：2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:年 份 2000 2001 2002 2003全社会用电量 （单位：亿kW ·h ）13.33（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．19.（本题满分9分）如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？20.（本题满分10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
初中数学《一元二次方程》单元测试(含答案)
一元二次方程单元测试一、选择题:(3分×8=24分)1. 在4(1)(2)5x x -+=,221x y +=,25100x -=,2280x x +=0,213x x=+中,是一元二次方程的个数为 ( ) A .3 个 B.4 个 C. 5 个 D. 6 个 ⒉ 方程21242x x -=-化为一般式后,,,a b c 的值依次为( ) A.12,－4,－2 B.12,－4, 2 C. 12,4,－2 D.1, －8, －4 3．2260x -=的解是( )A.3x =±B.x =x =无实根4. 20=2=的解( )A.都是零B.都不相等C.有一个相等的根1x =D.有一个相等的根0x = 5. 方程2410mx x -+=的根是( )A.14B. D.以上都不对6. 方程2230x x --=的解是( )A.3±B.3,1±±C.1,3--D.1,3- 7. 方程)0()(2>=-b b a x 的根是 ( )A b a ±B )(b a +±C b a +±D b a ±±8. 方程:①230x -=, ②291210x x --=, ③2121225xx += ,④22(51)3(51)x x -=-,较简便的解法( ) A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法 B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法 D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法二、填空题: (2分×10=20分)1.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为_________________________.2.方程212y y =的二次项系数是________,一次项系数是_________,常数项是_________.3.方程0162=-x 的根是______________， 方程2120y y +-=的根是 ;4.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.5.223____(_____)x x x -+=-; 2226____2(_____)x x x -+=-6.若关于x 的一元二次方程240x x m +-=2,那么m =____________.7. ,则x =____________. 8. 一元二次方程20ax bx c ++=若有两根1和－1,那么a b c ++=________,a b c -+=____9.220b c ++=时,则20ax bx c ++=的解为____________________.10.当_____m =时, 关于x 的方程2(80m m x mx -+=是一元二次方程. 三、按要求解下列方程: ( 5分×4=20分)1. 229()525x -=（直接开平方法） 2. 0362=+-x x (配方法)3. 0672=+-x x (因式分解法) 4. 2230x x +-= (求根公式法)四、用适当的方法解下列各题:( 5分×4=20分)1．(1)(3)12x x -+= 2．224(3)25(2)x x +=-3．2(23)3(23)40x x +-+-= 4．221(1)0x x k x -+--=五、解答下列个题:( 5分×2+6分=16分)（1） 已知方程258(2)4k k k x -+-=是一元二次方程,求k 的值.(2)当,a b 为何值时,关于x 的方程2210ax bx ++=和230ax bx -+=都有一个根2 ?（3）某村计划修一条横断面为等腰梯形的渠道,断面面积为10.52米,上口比底宽3米,比深多2米,求上口应挖多宽? 附加题:一、填空题: ( 3分×4=12分)1、 若代数式(5)(3)x x -+的值为0,则x 的值为____________.2、 已知235x x ++的值为7,则2392x x +-的值为_____________. 3、 若2225120x xy y --=,则xy=________________. 4、 观察下列等式： 73452331210122222222=-=-=-=-、、、，用含自然数n 的等式表示这种规律为_____________________. 二、解答题: ( 4分×2=8分)1、 当k 是什么数时，222(1)5x k x k -+++是完全平方式.2、 解关于x 的方程:2(1)2(3)80m x m x ----=(提示:分1,1m m =≠两种情况讨论)参考答案一．ABCD DAAB二． 1．22350x x --= 2．1,1,02- 3．124;3,4x y y =±==- 4．2或3；6 5． 9393,;,42226． 1- 7．2或128．0；0 9．1210,2x x ==10．三．1．1211,5x x ==- 2．1233x x ==3．121,6x x == 4．1231,2x x ==- 四．1．123,5x x ==- 2．12164,37x x == 3．1212,2x x =-=4．121,1x x k ==+ 五．1．解：2122,35803220k k k k k k k ==⎧-+=⎧⇒⇒=⎨⎨≠-≠⎩⎩2．解：由题意得：4221034230 4.5a b a a b a ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩ 3．解：设上口应挖x 米，则：()()13210.52x x x +-⋅-=⎡⎤⎣⎦ ()1235,2x x ∴==-舍 答：上口应挖5米。
初三数学一元二次方程单元测试题及答案详解完整版
初三数学一元二次方程单元测试题及答案详解Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】一元二次方程单元测试题(考试时间：90分钟满分：120分) 一、填空题：(每小题3分，共60分) 二、 1.把一元二次方程化为一般形式是________________，其中二次项为：______，一次项系数为：______，常数项为：______.三、2.写出一个有一根为的一元二次方程___________________.3.已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程x 2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为。
4.关于x 一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。
5.已知方程x 2+kx+3=0的一个根是-1，则k=______，另一根为______.6.若两数和为-7，积为12，则这两个数是___________.7.直角三角形的两直角边的比是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是______.8.已知关于x 的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是 9.已知x 1x 2是方程x 2-2x-1=0的两根，则x 11+x 21等于。
10.如果xx1-12—8=0，则x 1的值是。
11.二、选择题：(每小题3分，共60分)12. 11、下列方程中，关于x 的一元二次方程是() 13. (A)(B)14. (C)(D)12、已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x 2-8x+7的两根，则此三角形的斜边长为（） A 3B6C9D1213．关于的一元二次方程有实数根，则()(A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤014．用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为()(A)(B)(C)(D)15．使分式的值等于0的x的值是()A2 B-2 C±2 D±416、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（）A、-1B、0C、1D、217、王刚同学在解关于x的方程x2-3x+c=0时，误将-3x看作+3x，结果解得x1=1?x2=-4，则原方程的解为（）A x1=-1x2=-4Bx1=1x2=4Cx1=-1x2=4Dx1=2x2=318．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()Ax(x+1)=1035 Bx(x-1)=1035 C x(x+1)=1035 D x(x-1)=1035 19、某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）A500（1+x2）=720?B500(1+x)2=720C500(1+2x)=720?D720(1+x)2=50020、一个面积为120的矩形苗圃，他的长比宽多2米，苗圃长是（）A10B12C13D14三、解答题：(60分)21．解下列方程：(20分)(1)(2)(3)(4）x2+4x=222、（8分）已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.23．(8分)如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.24．25． 26．24、(8分)竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式h=v 0t-gt 2，其中重力加速度g 以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度v 0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？25、 (8分)阅读下面的例题： 26、 解方程27、 解：当x ≥0时，原方程化为x 2-x-2=0，解得：x 1=2，x 2=-1(不合题意，舍去)；28、 当x ＜0时，原方程化为x 2+x-2=0，解得：x 1=1，(不合题意，舍去)x 2=-2；29、 ∴原方程的根是x 1=2，x 2=-2. 30、 请参照例题解方程.31、 32、 33、 34、26、（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存．．．．．．，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？。
新人教版第21章一元二次方程单元试卷含答案解析
2020年人教版九年级数学上册单元测试:第21章一元二次方程一、选择题1．关于x的一元二次方程(a2﹣1)x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足()A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数2．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于()A．1 B．2 C．1或﹣1 D．03．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A．﹣3 B．3 C．0 D．0或34．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2020﹣a﹣b的值是()A．2020 B．2020 C．2020 D．20205．关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．46．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为()A．(x+2)2=1 B．(x﹣2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x﹣2)2=97．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x﹣1)=10 B．=10 C．x(x+1)=10 D．=109．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程()A．x(x﹣10)=375 B．x(x+10)=375 C．2x(2x﹣10)=375 D．2x(2x+10)=37510．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20201，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32 B．126 C．135 D．144二、填空题11．一元二次方程x2﹣3=0的根为．12．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是．13．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于．15．若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则=．16．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为%．三、解答题(共52分)17．解下列方程:(1)2x2﹣4x﹣5=0．(2)x2﹣4x+1=0．(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0．18．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．19．已知实数，满足a2+a﹣2=0，求的值．2020实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为:a△b=a2﹣b2，根据这个规则:(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．21．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值．22．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．23．某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少2020．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？2020年人教版九年级数学上册单元测试:第21章一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．关于x的一元二次方程(a2﹣1)x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足()A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解:由题意得:a2﹣1≠0，解得a≠±1．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于()A．1 B．2 C．1或﹣1 D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】根据常数项为0列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解:∵x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，∴m2﹣1=0，解得:m=1或﹣1．故选C【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3【考点】一元二次方程的解．【分析】直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，∴1+m+2=0，∴m=﹣3．故选A．【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．4．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2020﹣a﹣b的值是()A．2020 B．2020 C．2020 D．2020【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．【解答】解:∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，∴a•12+b•1+5=0，∴a+b=﹣5，∴2020﹣a﹣b=2020﹣(a+b)=2020﹣(﹣5)=2020．故选:A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．5．关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的判别式；一元一次不等式组的整数解．【分析】由于关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，分情况讨论:①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值．【解答】解:∵关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，∴①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2﹣a)≥0，解之得a≤，∴整数a的最大值是4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论．6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为()A．(x+2)2=1 B．(x﹣2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x﹣2)2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解:∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9．故选D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．7．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k ﹣1)=5﹣4k＞0，即可得出答案．【解答】解:根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k＞0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选:C．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出△的符号．8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x﹣1)=10 B．=10 C．x(x+1)=10 D．=10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x﹣1)次，x人共需握手x(x﹣1)次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手:次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解:设x人参加这次聚会，则每个人需握手:x﹣1(次)；依题意，可列方程为:=10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．9．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程()A．x(x﹣10)=375 B．x(x+10)=375 C．2x(2x﹣10)=375 D．2x(2x+10)=375【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】如果设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m，根据面积为375，即可列出方程．【解答】解:设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m；则根据矩形的面积公式:x(x﹣10)=375；故选A．【点评】本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程．10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20201，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32 B．126 C．135 D．144【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【解答】解:根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为:x，则最大数为x+16，根据题意得出:x(x+16)=192，解得:x1=8，x2=﹣24，(不合题意舍去)，故最小的三个数为:8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为:15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为:22，23，24，故这9个数的和为:8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选:D．【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．二、填空题11．一元二次方程x2﹣3=0的根为x1=，x2=﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接解方程得出答案，注意用直接开平方法．【解答】解:x2﹣3=0，x2=3，x=，x1=，x2=﹣．故答案为:x1=，x2=﹣．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，题目比较典型，是中考中的热点问题．12．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是3．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t(t﹣2)=3，解方程即可求得t即x2+y2的值．【解答】解:设x2+y2=t(t≥0)．则原方程可化为:t(t﹣2)=3，即(t﹣3)(t+1)=0，∴t﹣3=0或t+1=0，解得t=3，或t=﹣1(不合题意，舍去)；故答案是:3．【点评】本题考查了换元法﹣﹣解一元二次方程．解答该题时需注意条件:x2+y2=t且t≥0．13．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为10．【考点】根与系数的关系．【分析】根据===，根据一元二次方程根与系数的关系可得:两根之积与两根之和的值，代入上式计算即可．【解答】解:∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣6，x1•x2=3．又∵===，将x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得原式==10．故填空答案为10．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于﹣2．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=1，然后变形+得，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整体代入计算即可．【解答】解:∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，∴+==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．15．若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则=．【考点】根与系数的关系．【分析】首先假设x＞0或x＜0分别讨论，再利用所求根代入得出即可．【解答】解:当x＞0，则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为:3x2﹣x﹣4=0，解得:x1=，x2=﹣1(不合题意舍去)，当x＜0，则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为:3x2+x﹣4=0，解得:x1=﹣，x2=1(不合题意舍去)，则=，故答案为:．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及一元二次方程的解法，根据已知利用分类讨论得出是解题关键．16．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为10%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】降低后的价格=降低前的价格×(1﹣降低率)，如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是60(1﹣x)，那么第二次后的价格是60(1﹣x)2，即可列出方程求解．【解答】解:设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程:60(1﹣x)2=48.6，解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)．故平均每次降价的百分率为10%．【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目．三、解答题(共52分)17．解下列方程:(1)2x2﹣4x﹣5=0．(2)x2﹣4x+1=0．(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】(1)先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程；(2)先利用配方法得到(x﹣2)2=3，然后利用直接开平方法解方程；(3)先变形得到(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解:(1)△=(﹣4)2﹣4×2×(﹣5)=56，x==，所以x1=，x2=；(2)x2﹣4x+4=3，(x﹣2)2=3，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣；(3)(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，(y﹣1)(y﹣1﹣2y)=0，y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，所以y1=1，y2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．18．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【考点】配方法的应用；非负数的性质:偶次方．【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式．【解答】解:将原式配方得，(x﹣2)2+(y+3)2+2，∵它的值总不小于2；∴代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方．19．已知实数，满足a2+a﹣2=0，求的值．【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先解关于a的一元二次方程，求出a的值，并把所给的分式化简，然后把a的值代入化简后的式子计算就可以了．【解答】解:原式===，∵a2+a﹣2=0，∴a1=1，a2=﹣2，∵a1=1时，分母=0，∴a1=1(舍去)，当a2=﹣2，原式==2．【点评】这是关于分式化简求值的问题，注意解出a的值必须保证分式有意义，才能代入计算．2020实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为:a△b=a2﹣b2，根据这个规则:(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】(1)根据规则为:a△b=a2﹣b2，代入相应数据可得答案；(2)根据公式可得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解:(1)4△3=42﹣32=16﹣9=7；(2)由题意得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，(x+2)2=25，两边直接开平方得:x+2=±5，x+2=5，x+2=﹣5，解得:x1=3，x2=﹣7．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．21．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值．【考点】根与系数的关系．【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为(x1+x2)2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=(﹣2m+1)，∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=，∴m2﹣2×(﹣2m+1)=，解得:m1=3，m2=﹣11，又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两个实数根，∴△=m2﹣4×2×(﹣2m+1)≥0，∴当m=﹣11时，△=﹣73＜0，舍去；故符合条件的m的值为m=3．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．22．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】(1)边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．(2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解:(1)ab﹣4x2；(2)依题意有:ab﹣4x2=4x2，将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，解得x1=，x2=﹣(舍去)．即正方形的边长为【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．23．某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少2020．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】(1)关键是根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．(2)根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值．【解答】解:(1)设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500﹣2020=6000，整理，得x2﹣15x+50=0，解得:x=5或x=10，∴为了使顾客得到实惠，所以x=5．(2)设涨价x元时总利润为y，由题意，得y=10+x)(500﹣2020y=﹣2020+300x+5 000y=﹣2020﹣7.5)2+6125∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．答:(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元．【点评】考查了二次函数的应用，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．。
第2章《一元二次方程 》北师大版九年级数学上册单元测试卷(含答案)
第二章《一元二次方程》单元测试卷一、单选题（每题3分）1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（）A．1B．2C．3D．42．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A．n=0B．n=0或mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号3．方程的解是（）A．B．C．D．4．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（）A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．人B．人C．人D．人7．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（）A．1B．2C．2.5D．38．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=09．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（）A．B．C．2D．410．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每题3分）11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．12．若一元二次方程的一个根为0，则___________．13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．15．已知方程的两个实数根分别为、，则__．16．已知实数，满足，则的值为________．17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是________．18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）=x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）=（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n=0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）=0，即有x﹣n=0或x2+nx﹣1=0，因此，方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n=0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2=0的解为_____．三、解答题19．解方程（8分）（1）；（2）；（3）（配方法）；（4）.20．用适当的方法解一元二次方程（8分）（1）；（2）；（3）；（4）．21．已知关于的方程.（6分）（1）当为何值时，方程只有一个实数根？（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（6分）（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．23．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．（6分）24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？（6分）25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：（6分）（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？26．已知关于x的一元二次方程．（6分）（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．27．阅读理解:（7分）材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．28．（7分）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：；2．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）答案一、单选题A．B．B．C．D．B．B.B．B.D．二、填空题11．m=﹣1；﹣2，﹣4，3．12．113．且．14．300（1+x）2＝363．15．-5．16．2.17．或．18．x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、解答题19．（1）解：或，；（2）解：或，；（3）解：，；（4）解：①当时，，解得：；②当时，，若，即，；若，即，方程无解．20．（1）原方程可化为，∴，用直接开平方法，得方程的根为，．（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．用直接开平方法，得原方程的根为，．（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0，∴，．（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，，．21．（1）∵方程只有一个实数根，，解得（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得（3）∵方程有两个不相等的实数根，且，且，解得且.22．（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=323．解：设的长为，则的长为．依题意，得，解得，．当时，（不符合题意，舍去）．当时，．∴的长为．24．设销售单价降低x元，则销售单价为元，每天的销售量是件，由题意得：，整理得：，解得或，因为要求销售单价不得低于成本，所以，解得，因此和均符合题意，则或70，答：销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．25．（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．（2）设题图中直线的解析式为．把和代入得解得故直线解析式为．当时，进价为（元），售价为（元），则每台学习机可以获利（元）．（3）当时，每台学习机的利润是，则．解得（舍去）．当时，每台学习机的利润是，则，解得（舍去）．答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．26．解：（1）证明：设方程的两根是，，则，，，，，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，．27．解:（1）设，∴，∴,即，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴,即，令,解得,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴，∴，∴，即，∴，即，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．28．解：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．解：知识运用原式；解决问题（1），∵，∴，即，∴是等腰三角形；（2）①当时，，即，，即，若则，把它代入，得，解得，当时，，则，当时，，则，综上：的值为6或；②当，∵，∴，∵，∴，同理由，得，由，，若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，若，则，，，综上：，，．。
九年级数学上册一元二次方程单元测试卷(含答案解析)
九年级数学上册一元二次方程单元测试卷（含答案解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.3．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ，∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ，∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．4．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．5．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣16．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -） =2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x+-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.7．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =， ∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴22a x -±=a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =，∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >，∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为n ，所以EF =FG =GH =HE =n ，设EB =x ，则BF =n ﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC ，∴BF =AE =n ﹣x ，在Rt △AEB 中，由勾股定理，得，x 2+（n ﹣x ）2=12，整理得2x 2﹣2n x +n ﹣1=0，b 2﹣4ac =8﹣4n ＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．9．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t≤4）.解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC ⊥s 时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为1372-cm 2． 【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出AP AB =AQ AC ，代入得出10210t -=28t ，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案. （3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ 、OD 、和PD 的长度；然后在Rt△PQD 中，根据勾股定理列出方程（8-185t ）2-（6-65t ）2=（2t ）2，求得时间t 的值；最后根据菱形的面积等于△AQP 的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t ，则AP=10﹣2t ．∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC， ∴AP AB =AQ AC ， 即10210t -=28t ， 解得：t=209, ∴当t=209时，PQ∥BC. （2）如答图1所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =． 216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，∴D，即COD∆，解得：OC，h，∴QD=AD﹣AQ=t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即h，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=t，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=52．由（2）可知，S△AQP=5 4∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×258337+cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为1372-cm2．“点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案②【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠考点：一元二次方程的应用。
沈阳市九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ）A ．()215x -=B ．()217x -=C ．()214x -=D ．()215x += 2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝109 3．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）A 51-B 51+C 53+D 21 4．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（ ） A ．()2310x += B ．()238x += C ．()2310x -= D ．()238x -= 5．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2a-2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2 6．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+ 7．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A ．(1)81x x x ++=B ．2181x x ++=C ．1(1)81x x x +++=D ．(1)81x x +=8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长 D ．线段DF 的长9．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2001500x +=B ．()2002001500x ++=C ．()22001500+=xD ．()20012500+=x10．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9 11．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==12．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1-D ．1或0 二、填空题13．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．15．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．16．某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．17．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．18．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 19．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 20．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．三、解答题21．某校园有一块正方形的空地，若从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分为花带），横向花带宽为2m ，纵向花带宽为1m ，栽种鲜花后剩余空地面积为42m 2，求原正方形空地的边长．22．用适当的方法解下列方程：（1）22580x x --=；（2）23(5)2(5)x x -=-．23．解下列方程（1）22(4)216x x +=-；（2）22x x =+．24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．25．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 26．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当x=n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式2x ，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．(1)代数式22x -的不变值是________，A=________．(2)已知代数式231x bx-+，若A=0，求b的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝4+1，∴（x﹣1）2＝5．故选：A．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．B解析：B【分析】将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：A、由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x=99，则x2﹣2x+1=100，即（x﹣1）2＝100，故本选项正确，不符合题意；B、由x2+8x+9＝0得x2+8x=-9，则x2+8x+16=-9+16即（x+4）2＝7此选项错误，符合题意；C、由2x2﹣7x﹣4＝0得2x2﹣7x=4，则x2﹣72x＝2，∴x2﹣72x+4916＝2+4916，即274x⎛⎫-⎪⎝⎭＝8116，故本选项正确，不符合题意；D、由3x2﹣4x﹣2＝0，得3x2﹣4x=2，则x2﹣43x＝23，∴故x2﹣43x+49＝23+49，即（x﹣23）2＝109，故本选项正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程−配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为a 2x ＋bx ＋c ＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．B解析：B【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b ，下图长方形的长为a+b+b ，宽为b ，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b ）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．【详解】解：根据题意得：正方形的边长为a+b ，长方形的长为a+b+b ，宽为b ，则（a+b ）2=b(a+b+b)，即a 2﹣b 2+ab=0， ∴2)10a a b b +-=（，解得：12a b -±=， ∵a b ＞0，∴12a b -+=，∴当a=1时，b ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．4．A解析：A【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．【详解】解：∵x 2+6x-1=0，∴x 2+6x=1，∴x 2+6x+9=10，∴(x+3)²=10，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．B解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．6．C解析：C【分析】把原方程变形为2(2)621x x +⨯=，将2x 看成未知数，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：方程24121x x +=变形为2(2)621x x +⨯=， 2(2)62+91+9x x +⨯=∴2412919x x ++=+故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．7．C解析：C【分析】平均一人传染了x 人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即81人患病，由此列方程求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得，x+1+（x+1）x=81故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 8．B解析：B【分析】根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD =∴a ，解方程2240x ax +-=得22x a a -=±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，200（1+x ）2＝500，故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．10．D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．11．A解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．A解析：A【分析】由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．【详解】解：∵-1是方程x 2+mx=0的根，∴1-m=0，∴m=1，故答案为：A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．14．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．-1或【分析】先根据题意列出关于x 的方程整理为一般式再利用因式分解法求解即可【详解】解：根据题意得：3x2-6=x-2整理得：3x2-x-4=0∴（x+1）（3x-4）=0∴x+1=0或3x-4=0解析：-1或43【分析】先根据题意列出关于x 的方程，整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：3x 2-6=x-2，整理，得：3x 2-x-4=0，∴（x+1）（3x-4）=0，∴x+1=0或3x-4=0， 解得1241,,3=-=x x ∴当x=-1或43时，二次式3x 2-6的值与x-2的值相等， 故答案为：-1或43 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．3【分析】设共有个班级参加比赛根据共有45场比赛列出方程求出方程的解即可得到结果【详解】解：设共有个班级参加比赛根据题意得：整理得：即解得：或（舍去）则共有3个班级球队参加比赛故答案为：3【点睛】此 解析：3．【分析】设共有x 个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有x 个班级参加比赛， 根据题意得：(1)62x x -=， 整理得：260x x --=，即(3)(2)0x x -+=， 解得：3x =或2x =-（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”． 17．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，∴α+β=-2（m-1），α•β=m2-m，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m2-m）=12，即m2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m的一元二次方程．18．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a，b是方程210x x--=的两根，∴a+b=1，ab=-1，∴11a b+=a b ab +=1 1-=-1，故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.19．m＜且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0解不等式组确定m的取值范围【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相解析：m＜920且m≠0．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0，解不等式组，确定m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，解得m ＜920且m≠0， 故当m ＜920且m≠0时，关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根． 故答案是：m ＜920且m≠0． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案【详解】解：∵是方程的两根∴故答案为：4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键解析：4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-32，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵a ，b 是方程22430x x +-=的两根， ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．三、解答题21．原正方形空地的边长为8m ．【分析】观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，列方程解决问题．【详解】解：设正方形空地的边长为xm ，由题意得()()2142x x --=， 化简得23400x x --=，解得1285x x ==-，，因为0x ＞，故8x =，答：原正方形空地的边长为8m ．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积类问题，观察图形得到阴影面积=正方形的面积-空白图形的面积，由此列方程解决问题的思路是解题的关键．22．（1）12x x ==2）12175,3x x == 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）2,5,8a b c ==-=-，2(5)42(8)890∴∆=--⨯⨯-=>，524b x a -±±∴==，1255,44x x ∴== （2）23(5)2(5)0x x ---=， 移项得，23(5)2(5)0x x ---=，因式分解得，(5)(317)0x x --=，50x ∴-=或3170x -=，12175,3x x ∴== 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．（1）124,3x x ==-；（2）121,2x x =-=【分析】（1）化成一般式以后利用因式分解法解即可；（2）化成一般式以后利用因式分解法解即可；【详解】解：（1）28-x+4=x2x -x-12=0(x+3)(x-4)=0∴124,3x x ==-（2） 220x x --=(2)(1)0x x -+=121,2x x ∴=-=【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =【分析】（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．【详解】解：（1）①()22210x m x m m --+-=，∵()()2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，()22210x m x m m --+-=，解得：11x m =-，2x m =，方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．②由①得，()1,M m m -，令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，当x=0时，y=1，∴()0,1A ，∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩， ∴()1,2B ，∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上∴12m ≤≤；（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．26．（1）-1，2；3；（2）1123b =-+2123b =--【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求出x 的值，再作差后可求出A 的值；（2）由A=0可得出方程23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，进而可得出△=0，解答即可得出结论．【详解】解：（1）根据题意得，220x x --=，解得，11x =-，22x =∴A=2-（1）=2+1=3，故答案为：-1，2；3；（2）根据题意得，23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，∴△=[- (b+1)]2-4×3×1=0∴11b =-+21b =--【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．。
2024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷(含答案)
第二十一章一元二次方程章末复习测试题（二）一．选择题1．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是（）A．x＝2B．x1＝x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝0，x2＝2 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程m2x2﹣（2m﹣1）x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m ＜B．m≤C．m≥D．m ≤且m≠04．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±1B．m＝1C．m≠﹣1D．m≠16．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（）A．10cm B．12cm C．16cm D．12cm或16cm7．已知一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，则x1•x2的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1 8．九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x．则可列方程为（）A．10x+x2＝12.1B．10（x+1）＝12.1C．10（1+x）2＝12.1D．10+10（1+x）＝12.19．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（）A．27B．36C．27或36D．1810．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝112024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷（含答案）11．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无实数根12．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570二．填空题13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的一个根为x＝2，另一个根为．14．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是．15．今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤40元上涨到第三季度的每公斤元90，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为．16．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为．17．某企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，2015年达到2160元．设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，可列方程为．18．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般式为．三．解答题19．解下列方程．（1）（4x﹣1）2＝225．（2）（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5．20．已知：关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根．21．a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．22．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．23．方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）24．2019年国庆档上映了多部优质国产影片，其中《我和我的祖国》、《中国机长》这两部影片不管是剧情还是制作，都非常值得一看．《中国机长》是根据真实故事改编的，影片中全组机组人员以自己的实际行动捍卫安全、呵护生命，堪称是“新时代的英雄”、“民航奇迹的创造者”，据统计，某地10月1日该影片的票房约为1亿，10月3日的票房约为1.96亿．（1）求该地这两天《中国机长》票房的平均增长率；（2）电影《我和我的祖国》、《中国机长》的票价分别为40元、45元，10月份，某企业准备购买200张不同时段的两种电影票，预计总花费不超过8350元，其中《我和我的祖国》的票数不多于《中国机长》票数的2倍，请求出该企业有多少种购买方案，并写出最省钱的方案及所需费用．25．为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．参考答案一．选择题1．解：（x﹣2）2＝0，则x1＝x2＝2，故选：B．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：由已知得：，解得：m≤且m≠0．故选：D．4．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，∴22﹣2a×2+4＝0，即﹣4a＝﹣8解得，a＝2．故选：C．5．解：根据题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：D．6．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C．7．解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，所以x1•x2＝＝﹣1．故选：D．8．解：设每月增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝12.1．故选：C．9．解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，∴原方程为x2﹣12x+27＝0，∴x1＝3，x2＝9，∵3+3＜9，∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形∴k＝27舍去；当3为底边长时，△＝（﹣12）2﹣4k＝0，解得：k＝36．故选：B．10．解：x2﹣8x+5＝0，x2﹣8x＝﹣5，x2﹣8x+16＝﹣5+16，（x﹣4）2＝11．故选：D．11．解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．故选：C．12．解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：方程整理为x2﹣3x+2＝0，设方程的另一个解为t，则2t＝2，解得t＝1，即方程的另一个解为1．故答案为1．14．解：设矩形的长为xm，则宽为m，依题意，得：x•＝24，整理，得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝6，x2＝4．∵x≥，∴x≥5，∴x＝6，＝4．故答案为：6m，4m．15．解：设平均每个季度的增长率为x，依题意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．故答案为：50%．16．解：∵a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两个实数解，∴a+b＝4，ab＝1，而a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴＝+＝×＝×＝1．故答案为1．17．解：如果设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，那么根据题意得今年退休金为：1500（1+x）2，列出方程为：1500（1+x）2＝2160．故答案为：1500（1+x）2＝2160．18．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则长方形纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，即x2﹣8x+7＝0．故答案为：x2﹣8x+7＝0．三．解答题（共7小题）19．解：（1）∵（4x﹣1）2＝225，∴4x﹣1＝15或4x﹣1＝﹣15，解得x＝4或x＝﹣；（2）∵（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，则x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x＝5或x＝7．20．（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝0时，方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．21．解：（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，变形为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，解得a≤﹣1．即a的取值范围是a≤﹣1；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，∵（x1﹣x2）2+x1x2＝12，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，解得a1＝﹣2，a2＝7，∵a≤﹣1，∴a的值为﹣2．22．解：（1）由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m2的花圃．23．解：∵x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，∴x2+ax+b＝x2+bx+a，∴（a﹣b）x＝a﹣b，∵a≠b，∴x＝1，∴x1＝b，x2＝a，∴a+b＝﹣1，∴x1+x2＝﹣1，∵x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，∴x2﹣cx+d＝x2﹣dx+c，∴﹣（d﹣c）x＝d﹣c，∵c≠d，∴x＝﹣1，∴x3＝﹣d，x4＝﹣c，∴d+c＝﹣1，∴x3+x4＝1，∵a、b＜0，c、d＜0，∴（﹣x1）+（﹣x2）≥2，x3+x4≥2，∴0＜x1x2≤，0＜x3x4≤，∴0＜x1x2x3x4≤．24．解：（1）设该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为x．根据题意得：1×（1+x）2＝1.96解得：x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍）答：该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为40%．（2）设购买《我和我的祖国》a张，则购买《中国机长》（200﹣a）张根据题意得：解得：130≤a≤∵a为正整数∴a＝130，131，132，133∴该企业共有4种购买方案，购买《我和我的祖国》133张，《中国机长》67张时最省钱，费用为：40×133+45×67＝8335（元）．答：最省钱的方案为购买《我和我的祖国》133张，《中国机长》67张，所需费用为8335元．25．解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．11。
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一元二次方程单元测试题
(考试时间：90分钟 满分：120分) 一、填空题：(每小题3分，共60分) 1.把一元二次方程
化为一般形式是________________，其中二次项为：
______，一次项系数为：______，常数项为：______. 2.写出一个有一根为
的一元二次方程___________________.
3.已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程
x
2
-14x+48=0的一个
根，则这个三角形的周长为 。
4.关于x 一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。
5.已知方程x 2+kx+3=0的一个根是-1，则k=______， 另一根为______.
6.若两数和为-7，积为12，则这两个数是___________.
7.直角三角形的两直角边的比是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是______.
8.已知关于x 的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值
是
9.已知x 1 x 2是方程x 2
-2x-1=0的两根，则
x 1
1
+x 2
1等于 。
10.如果
x
x
1-
12
—8=0，则x 1
的值是 。
二、选择题：(每小题3分，共60分)
11、下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ) (A) (B) (C)
(D)
12、已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x 2-8x+7的两根，则此三角形的斜 边长为（ ） A
3 B 6 C 9 D 12
13．关于的一元二次方程
有实数根，则( )
(A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0
14．用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为( )
(A)(B)
(C)(D)
15．使分式的值等于0的x的值是( )
A 2
B -2
C ±2
D ±4
16、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（）
A、-1
B、0
C、1
D、2
17、王刚同学在解关于x的方程x²-3x+c=0时，误将-3x看作+3x，结果解得x1=1 x2=-4，则原方程的解为（）
A x
1=-1 x
2
=-4 B x
1
=1 x
2
=4 C x
1
=-1 x
2
=4 D x
1
=2 x
2
=3
18．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A x(x+1)=1035
B x(x-1)=1035
C x(x+1)=1035
D x(x-1)=1035
19、某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）
A 500（1+x2）=720
B 500(1+x)2=720
C 500(1+2x)=720
D 720(1+x)2=500
20、一个面积为120的矩形苗圃，他的长比宽多2米，苗圃长是（）
A 10
B 12
C 13
D 14
三、解答题：(60分)
21．解下列方程：(20分)
(1)(2)
(3)(4）x2+4x=2
22、（8分）已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
23．(8分)如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.
24、(8分)竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v0t-gt2，其中重力加速度g以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度v0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？
25、(8分)阅读下面的例题：
解方程
解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)；
当x＜0时，原方程化为x2+ x-2=0，解得：x1=1，(不合题意，舍去)x2=-2；
∴原方程的根是x1=2，x2=-2.
请参照例题解方程.
26、（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快
．．．．，商场决定采取适当的降价措施，经调
．．减少库存
查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？。