第三讲 间接效用函数与支出函数.ppt

性质2的证明
v(tp,ty) [max u(x),受约束于tpx ty]， 它显然等价于[max u(x), px y] 用t>0去除约束条件两边， 得到v(tp,ty) [max u(x),tpx ty] v( p, y)
B0
B2
B1
x( p0 , w0 )
•
x( p1, w1)
•
征收销售税：税率向量为t = (t1, t2, , t )，ti 为购买一单位商品 i 的税额。按税率 t 征收销 售税，相当于价格从 p上升到 p+t，于是需求 从 xD( p, r) 变到 y ( p+t, r)，所纳的税额为
T = ty。注意 y ( p+t, r ) D ( p, r)，故 y x。
ICC
PCC
三、间接效用函数的性质
• 1、在价格和财富上是连续的。 • 2、它对于价格和财富是零次齐次的，即价格
和财富的同比例变化并不影响效用水平。 • 3、在财富上是严格递增的。 • 4、而在价格上则是严格递减的。 • 5、满足罗伊恒等式。
性质1说明和证明
Rn表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正， 没有一维价格为零，n表示n维价格。R表示收入的定义域， 收入可以为零。Rn R表示预算集的定义域。性质1说明 当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用函数也是 会有微量的变化的。理由是，如果效用u(x)是连续的，那么其极大 化了的值一定也是连续的。
• 最大值函数(Maximum Value Function)
• 最优规划问题max f (x), x x g(x) c 中， x 我们知道最优解是与参数有关的函数， 即 x x(c) ，因此在最优解处，目标函数的值 为： f (x) f (x(c)) V (c)
• 即目标函数在最优解处的解也是与参数c有 关的函数，我们定义为 V (c) ，称之为最大 值函数。
由于这些条件用于定义解x(a)与 (a), 我们可将
它们写成恒等式。
L关于参数a 的偏导数将为： j
L f (x(a), a) (a) g ( x(a), a)
a j
a j
a j
如果我们在( x(a), (a))处给这个导数取值, 将有 :
L
f ( x(a), a) (a) g ( x(a), a) ....(2)
• 在 1 处取值。此等式即为包络定理。
• 更加一般的，对于最优规划问题：
max f (x, ) x
s.t. g(x, ) 0
• 其中选择变量x为n维向量，参数为m维向 量，包络定理为：
V L
j
a j x(a), (a)
• 即参数 aj 对最大值函数（目标函数的最大 值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对 参数 aj 求偏导数，并在最优解 x 处取值。
y 2 p1
)0.5(
y 2 p2
)0.5
y
2
p 0.5 1
p 0.5 2
y 2(0.25)0.5 .1
2
（1）如果征收0.5所得税,消费者的间接效用
y=2-0.5=1.5
v=
1.5 2(0.25)0.5 .1
1.5
(2)如果征收商品税0.25,总量为0.5,消费者的间接效用
p 1
0.5,
p2
1,
y
2,
v( p p ,y)=
y
1, 2
2(p1 )0.5 ( p2 )0.5
y 2(0.5)0.5.1 1.41 1.5
可见, 开征商品税对于消费者的间接效用的负面作用
大于开征所得税所带来的负面作用。
原因：商品税具有降低实际收入和提高相对价格的双
重功效，而所得税只是单纯降低实际收入。
(一) 所得税与消费税的比较
)
1
y
(
p(r 1) 1
( p1r
p(r 1) 2
p2r )
)
1
y
(
p1r p1r
p2r p2r )
y( p1r
p2r
)
1 r
• 验证（略） • 性质3 • 性质4 • 性质5
三、间接效用函数的应用
• 间接效用函数的存在对于说明政府政策的福利影响有比较便利的 条件。
p y • 控制消费者行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现。控 制价格 ，实质就是价格改革和价格政策；控制收入 ，实质 便是收入政策的内容。如：最低生活保障制度。
x R2 : u(x) v
5、罗伊恒等关系
• 如果间接效用函数 v( p, w) 在点上 ( p, w)
是可导的且 v( p, w) 0 ，
• 一定存在
w
x
j
(
p,
w)
v( p, p j
w)
v( p, w) , j 1, 2,L , n w
• 这个证明要用到包络定理
包络定理(Envelope Theorem)
•
最低生活保障制度是一种保证收入 y不低于 I( p) 的制度。
条件 y I( p) 就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出
条件。
• 现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与 销售税的比较，价格补贴发放办法比较。
• 问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种
L(x, )
p
| xx( p,w)
x
• 由于
0, xi* 0
所以 v( p, w) 0 p
性质5证明
由 max u f ( p, y)
s.t px y
得，L(x,)= u(x)+ (y- px)
v( p, y
y)
L(x, )
y
|xx( p,y)
v( p, p
y)
L(x, )
p
| xx( p, y)
y
|x x ( p, y )
u ( x*) x
pi*
由于u (.)格 增
x1 x2 , u1 u2 x 0, u 0
u ( x*) 0 x
p Rn pi 0
* 0
v( p, y) 0 y
性质4证明
• 多加一个假设条件 xi 0,用与性质3同样的方 法,可证
v( p, w) p
包络定理证明
首先, 构建最优化问题的拉格朗日函数,即有:
L f (x, a) [g (x, a)] 如果x(a)是方程的解，那么存在(a)满足详尽的一阶
库恩-塔克条件。 如果则有：
f ( x(a), a) (a) g ( x(a), a) 0......(1)
xi
xi
g ( x(a), a) 0
是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额 是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些? • 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ • 商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格， 不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨 价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消 费者更为有利？ • 为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费 者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。
x yz
( p,r- T )
(二) 价格补贴发放办法比较
不许涨价：在把价格补贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况
下，消费者的选择为 xD( p, r)。
允许涨价：允许商品涨价，把价格补
贴发放给消费者。涨价后的价格体系
为q，补贴使得消费者收入从r 提高到s， 消费者的选择从 x 变为 y (q, s)。 补贴标准：补贴后，要保证消费者仍
1、比较开征所得税和销售税对消费 者效用的影响。
• 设效用函数为 u(x1, x2 ) x1x2
•由
max x1x2
s.t.p1x1 p2 x2 y
L x1x2 ( y p1x1 p2 x2 )
解得x1
y 2 p1
x2
y 2 p2
•
如果p 1
0.25,
p2
1,
y
2,
则v(p p ,y)=( 1, 2
• 更一般的，如果参数不仅出现在约束，而 且也出现在目标函数，我们有：
V () maxf (x,) g(x,) 0 f (x(),) x
• 其中x x(为 )参数为 时的选择变量的最优解，
或者称最优反应。因此，根据定义， 如果
对一任意 ， 则x'有
f (x(， ),等) 号f (当x',且) 仅
x y D ( p, r)
( p+t, r)
征收所得税：把销售税改为所得税，直接 从消费者收入r中扣除销售税情况下所缴纳的
税额T = ty，则预算集合变为 ( p, r- T )，消费 者选择变为 zD( p, r- T )。
结果比较：可以看出， y( p, r- T )，因而
y z。这说明：虽然缴纳的税额相同, 但征 收所得税要比征收销售税对居民更为有利些。
xi
将此式代入求和项的方括中，并将v(a)的偏导数改写成：
v(a) (a)
n
－
g ( x(a),
a)
xi
(a)
f
( x(a),
a)
....(3)
a j
i1
xi
a j
a j
再返回一阶条件公式(1),并对方程组的第二个恒等式g(x(a), a) 0
求关于a
的微分
j
:
来自百度文库
n
g(x(a), a)
• 这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先 从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。
• 最低生活保障制度。为了保证消费者在收入限制下选择到生活 需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入
标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf { p x: xX }。
a j x ( a ), ( a )
a j
a j
对最大值函数v(a)求关于a
的偏导数：
j
v(a)
a j
n i 1
f
(x(a), a)
xi
xi (a) a j
f
(x(a), a) a j
返回一阶条件公式（1），将第一个式子移项得：
f (x(a), a) (a) g(x(a), a)
xi
• 与比较静态分析相关的一个重要工具是包络定理。 比较静态分析的思想是在其它条件（参数）不变 得前提下，研究单个参数的变化对均衡解的影响， 以此来表达决策者的行为。而另一类重要的问题 是，我们常常要考虑此参数的变化对目标函数 （最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费 者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要 素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响， 都属此类情形。在进入正式的讨论之前，我们先 介绍一个概念：最大值函数
a j
xi
a j
所以公式(2)和公式(4)右边相等,故有 :
v(a) L
a j
a j x(a), (a)
性质3证明
由 max u v( p, y)
s.t
px y
得，L (x, )= u(x)+ (y- px)
L( x , )
x
u ( x*) x
pi
0
v( p, y) y
L( x , )
x
两式相除，就可以得到罗伊恒等式
• 例:从直接效用函数
1
u(x1, x2 ) (x1 x2 ) , 0 1, 推出 接效用函
v( p, y),
• 并验证性质5。
1
x1 x2
p1 p2
1
, x1
x2
p1 p2
1
y p1 x1 p2 x2
y
x2
1
p1 1
p2 1
p2 1
x2
1
yp2 1
p1 1 p2 1
x1
1
yp1 1
p1 1 p2 1
令 r 1
x1 x2
yp1r 1 p1r p2 r
yp2 r 1 p1r p2 r
1
v( p, y) [x1( p, y) x2 ( p, y) ]
1
(
yp1r 1 p1r p2r
)
(
yp2r 1 p1r p2r
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义
• 直接效用函数：效用u(x) 是消费计划
•
x x1, x2,...xn 的函数。
• 若 v( p, y) u x( p, y) 成立，则 v( p, y) 就为间接效 用函数。
二、使用间接效用函数的原因：
• 间接效用函数使用收入和价格两个变量 来描述的消费者的最优消费均衡。
xi
(a)
g ( x(a),
a)
0
i1 xi
a j
a j
再整理得到 :
g(x(a), a)
n
g ( x(a),
a)
xi
(a)
a j
i1 xi
a j
将该式的减号移入方括号内, 再用该恒等式的右边 替代公式(3)中的整个求和式,从而得:
v(a) (a) g(x(a), a) f (x(a), a) ....(4)
当
时取得x'。 x因 此x(，) 最大值函数
与函数 是V有()区 f别(x(的),，) 一般而言f (x，, ) ，
当且仅当
时， V () ， f (即x,)为参数 的最x x( )
优反V (应) 时f (x取,)得等号x。我们用 一简单的图示
来说明这一关系。
• 包络定理：包络曲线 V (与) 曲线 f (x1,) 相切 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为： V f (x1,)