高中数学思维能力的培养

高中数学思维能力的培养关键词：数学教学、思维能力．摘要：在数学教学中，培养学生的数学思维能力显得尤为重要．为了进一步提高数学学习的质量，有必要对培养学生思维能力问题开展进一步的研究．如何通过教学培养和提高学生的数学思维能力，是每一位教师必须认真思考的问题．新的《高中数学课程标准》提出：注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．这表明数学新课程体系已革新了传统课程体系，传输数学知识逐渐转向以学生为中心培养学生的思维能力．著名数学教育家郑毓信说：相对于具体的数学知识内容而言，思维训练显然更为重要的．在教学中，教师应努力创造条件，激发求知欲望，启迪学生思维，发展思维能力．那么高中数学教学中如何有效培养学生的思维能力呢？一、创设情境，激发学生的兴趣，推动思维发展所谓情境是指问题情境，它能引发学生强烈的好奇心和求知欲，有助于学生思维能力的提高．而“情境教学法”是指在教学过程中，教师有目的的引入或创设具有一定情绪色彩、以形象为主的、生动具体的场景，使学生获得一定的态度体验，更好地理解教材，得到良好发展的方法．如计算1031847182352----，观察后发现20018182=+，15010347=+，因此，运用减法的运算性质、加法交换律和结合律，便可使计算简便迅速: =----1031847182352 2150200352)10347()18182(352=--=+---等．这样教学，才能逐步培养学生能够有条理有根据地进行观察思考，动脑筋想问题，学生才会质疑问难，才能提出自己的独立见解，从而培养学生思维的敏捷性和灵活性．二、巧设问题，激发学生思维“成功的教学，需要的不是强制，而是激发学生兴趣，自觉地启动思维的闸门”．亚理斯多德说过：“人的思维是从质疑开始的．”一切知识的获得，大多从发问而来．爱因斯坦说过：“提出问题往往比解决一个问题更重要．”一个人如果发现不了问题，也提不出问题，就很难成为创造性的人才．事实上，有疑方能创新，小疑则小进，大疑则大进．思源于疑，没有问题就无以思维．因此在教学中，教师要通过提出启发性问题或质疑性问题，给学生创造思维的良好环境，让学生经过思考、分析、比较来加深对知识的理解．例如，在复习三角形、平行四边形、梯形面积时，要求学生想象如何把梯形的上底变得与下底同样长，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系?如果把梯形上底缩短为0，这时又变成了什么图形?与梯形面积有什么关系？问题一提出学生想象的闸门打开了：三角形可以看作上底为0的梯形，平行四边形可以看作是上底和下底相等的梯形．这样拓宽了学生思维的空间，培养了学生想象思维的能力．三、营造愉悦的氛围，培养学生思维能力课堂教学过程绝不只是教师讲、学生听的单一的教学过程，也不只是教师向学生“奉送”知识的过程，而应成为学生自己去探索自己、去发现的过程，是学生发挥主观能动性的过程．教师应努力营造愉悦、和谐的课堂氛围，使每个学生都能激发起思维欲望的氛围中．如在进行 “空间几何体”第一节“旋转体”的结构特征时，当我和学生探究出旋转体的概念后，为了加深对旋转体概念的理解，我设计了一个问题“请同学们根据旋转体概念作一个旋转体的图形，看谁作的又好又有创意．” 学生们兴致盎然，个个投入了紧张的创作之中，很多学生设计出的几何图形新颖、独特、精巧、别致，使我都感到震惊，最后我还让学生评出了最佳作图和最佳创意……课堂的氛围活跃、和谐了，学生个个跃跃欲试，畅所欲言．愉悦的氛围是激发学生思维活动的催化剂，能刺激学生大脑把贮藏在大脑中的知识闸门打开，促进思维的发散，迸发出智慧的火花，创造性地解决问题．四、一题多变，培养学生的思维能力在传统的接受式教学中，学生的思维往往习惯于求同性、定向性．要使学生克服已有的思维定势，有创新意识，离不开教师的精心培育，而在诸多方法中，“一题多变（解）”是一种有效途径．“一题多变”是培养学生发散思维和思维灵活的有效方法，使学生的思维能力随问题的不断变换而得以提高，有效地促进学生的思维活动．通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创造性增强．例1．,,a b R ∈且1a b +=．求证：2225(2)(2).2a b +++≥ 分析：观察条件与待证不等式的结构，发现连接它们的“桥”较多．因此可以从不同的角度来证明该不等式．证法一：(比较法),,1,1,a b R a b b a ∈+=∴=-∴2225(2)(2)2a b +++-= 22222511(2)(3)222()0.222a a a a a ++--=-+=-≥即原不等式成立. 证法二：(分析法）122222525(2)(2)4()822b a a b a b a b =-+++≥⇐++++≥⇐21()02a -≥．21()02a -≥∴显然成立， 原不等式成立． 证法三：(综合法) ,,1,1,ab R a b b a ∈+=∴=-∴1221()02()022b a a b a a =-+-≥⇒-≥2 224()8a b a b ⇒++++222525(2)(2).22a b ≥⇒+++≥ 证法四：(反证法)假设2225(2)(2)2a b +++<,则22254()82a b a b ++++<． 由1a b +=，得1,b a =-于是有，222251(1)12,()0,22a a a +-+<∴-<这与21()02a -≥矛盾． ∴原不等式成立．证法五：(放缩法)2222(2)(2)125(2)(2)2[][()4](1).222a b a b a b a b ++++++≥=++≥+= 证法六：(均值换元) ,,1,1,a b R a b b a ∈+=∴=-∴可设22222111125,(),(2)(2)(2)(2)222222a tb t t R a b t t t =+=-∈+++=+++-+=+则 25.2≥(当且仅当0,.t =时取等号) 证法七：(构造函数法)设22(2)(2)1,1,y a b a b b a =++++=∴=- 22212525(2)(3)2().222y a a a ∴=++-=-+≥ 证法八：(判别式法) 22(2)(2)1,1,y a b a b b a =++++=∴=- 222y a a ∴=- 213,22130a a y +-+-=即25,442(13)0,..2a R y y ∈∴=-⋅⋅-≥≥△即故原不等式成立 证法九：(数形结合法)将22(,)1,(2)(2)ab a b a b +=+++看成直线上的点则看成(,)a b 点与点)2,2(--的距离的平方．=--d d b a 2min ,,22则）的距离为）与（，设点（225,2= ∴原不等式成立． 通过此例可见，教师在平时的教学中，不但要教会学生常规解题的方法，还要向学生提供一题多解的问题．一题多解不仅能复习较多的知识，激发学生的学习兴趣，而且能培养学生从多角度地分析问题，得出多解的解题方法，更能活跃学生的数学思维，充分挖掘问题的本质，使学生的发散性思维得到提高．五、注重例题、习题的探究，培养学生的思维能力例题往往以其示范性、典型性、功能性、综合性等特点贯穿教材各个章节，构成教学内容的重要组成部分．例题都是直截了当地给出结论，教师不应以得到例题的解答为满足，应通过对命题的推广或应用，培养学生追求创新的意识，引导他们大胆猜想积极探索，挖掘其中蕴含着的值得深思的问题，从而获得解决新问题的方法．这不仅能使学生对所学知识不断深化，而且让学生深刻认识到一个问题的各个方面，达到深层地认识问题的本质，领悟数学方法的实质，培养学生的思维能力．正如波利亚说：“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好象通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”．例3. 246.u t t =++-求函数的最值 分析：由于函数右端根号内t 同为t 的一次式，若只做简单换元24t m +=，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到上面函数右边有两个根号，故可采用两步换元．解:262x t y t u x y =+=-=+设，，则，228(022022)x y x y +=≤≤≤≤且， 2228u y x u x y =-++=所给函数化为以为参数的直线方程，它与圆在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如右图）min 22,u = 当直线与圆相切于第一象限时，u 取最大值,,利用圆的性质知22(2)1u+ 22=,2626u u ==得±，取 ∴u max =26六、加强逆向思维训练，开发学生的思维能力所谓逆向思维就是反过来想，有意识地从相反的角度去思考问题的思维方式．这种思维方式看似荒唐，实际上是一种奇特而又美妙的思维方法，常常出奇制胜．它能激发学生的兴趣，启发学生思考，变被动接受为主动探索，还可以开发学生的思维能力，开拓学生视野，大胆创新．因此，在课堂教学中要有意识地培养学生的逆向思维．如：集合A 集合B 的子集时，A B A = ；如果反过来，已知A B A = 时，就可以知道A 是B 的子集了。

七、触类旁通巧思，培养学生的思维能力“苦思冥想”固然需要，但“巧思”两字不可少．“熟能生巧”，学生对所学知识融汇贯通是“巧思的基础”，而教师也应不失时机， 通过典型的实例经常给学生介绍一些解题的方法和技巧，然后有针对性地汇编一些习题让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉 ，掌握科学的解题法则．那么，“触类旁通”的“巧思”也一定会顺其自然而产生．只有让学生的思维在“巧”字上下功夫，才能取得“事半功倍”的良好效果，学生的思维在不断的展开中得到充分的训练和培养．例 求直线022=+-y x 关于点)3,2(-P 对称的直线方程．教师引导学生分析，假设直线方程已求出，不妨设所求直线方程上任意一点),(y x M ，点M 关于点P 对称点是Q ，则显然MQ 的中点坐标是)3,2(-，利用中点坐标公式可得点Q 的坐标是)6,4(y x ---．因为点Q 是在直线022=+-y x 上，所以02)6()4(2=+----y x ，化简后得0162=--y x 就是要求的直线方程．然后教师进一步引导学生讲座探索一般性规律．把已知曲线改成一般性0),(=y x F ，对称点改为一般性),(b a P ，求它的对称曲线方程又如何解决呢？让学生展开讨论、分析、探索解题思路，方法仿效．最后师生一起归纳、推广出一般规律：设曲线方程0),(=y x F ，那么0),(=y x F 的图象关于交点),(b a P 对称的曲线方程是0)2,2(=--y b x a F ．证明后，引导学生得出特例：设曲线方程0),(=y x F ，那么0),(=y x F 的图象关于：（1）原点)0,0(对称的曲线方程是0),(=--y x F ；（2）定点)0,(a 对称的曲线方程是0),2(=--y x a F ；（3）定点),0(b 对称的曲线方程是0)2,(=--y b x F ．用规律解题，思维线路短，过程简，大大提高解题的速度．这样既能达到触类傍通、融会贯通，掌握解题的技能技巧，又在教师的引导下，同学们自己创新性地“发现”，证明了一个新的结论． 总之，在培养学生思维能力的过程中，我们既要提供让学生展开思维的空间，激发其思维的活跃性，使他们勇于思维；还要巧于点拨，使他们学会思维，科学地思维，提高其思维的质量．这样，才能在数学教学中激发学生的思维，点燃学生创新的火苗．。