北师大版数学高二-必修5试题 1-2-1等差数列(二)

2.1 等差数列(二)
双基达标 (限时20分钟)
1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于 ( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 a 2＋a 8＝2a 5＝12，∴a 5＝6.
答案 C
2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于 ( )．
A ．40
B ．42
C ．43
D ．45
解析 ∵a 2＋a 3＝2a 1＋3d ，∴d ＝3，∴a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 2＋a 3＋3×3d ＝42.
答案 B
3．在等差数列{a n }中，a 3，a 9是方程2x 2－x －7＝0的两根，则a 6等于 ( )．
A.12
B.14 C ．－72 D ．－74 解析 依题意有a 3＋a 9＝12，∴a 6＝a 3＋a 92＝14
. 答案 B
4．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.
解析 ∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.
答案 15
5．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }
的第37项为________．
解析 因为数列{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n ＋b n }的首项是a 1＋b 1＝25＋75＝100， 又a 2＋b 2＝100，所以公差为0，所以第37项为100.
答案 100
6．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；
(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .
解 法一 (1)直接化成a 1和d 的方程如下：
(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，
即4(a 1＋12d )＝48，∴4a 13＝48，∴a 13＝12.
(2)直接化成a 1和d 的方程如下：
⎩
⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3. 法二 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，
得4a 13＝48，∴a 13＝12.
(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34.
即a 2＋a 5＝17，解⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2
＝4－133＝－3. 综合提高（限时25分钟）
7．在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝16，a 4＝1，则a 6的值为 ( )．
A ．15
B ．17
C ．36
D ．64
解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∵a 4＋a 6＝2a 5，∴a 6＝2a 5－a 4＝15.
答案 A
8．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为 ( )．
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝2n －3
C ．a n ＝2n －1
D ．a n ＝2n ＋1
解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0. ∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3，故选B.
答案 B
9．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，则x 的值为________．
解析 由2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)，可得2x ＝7，∴x ＝log 27.
答案 log 27
10．已知{a n }是公差为－2的等差数列，若a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝－82，则a 1＋a 4＋a 7＋…
＋a 97等于________．
解析 a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97
＝a 3－2d ＋a 6－2d ＋a 9－2d ＋…＋a 99－2d
＝(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99)－2×33d
＝－82－66×(－2)＝50.
答案50
11．已知等差数列{a n}，a1＝a，公差d＝1，若b n＝a n2－a n＋12(n∈N＋)，试判断数列{b n}是否为等差数列？并证明你的结论．
解数列{b n}是等差数列，证明如下：
∵等差数列{a n}中，a1＝a，d＝1，
∴a n＝a＋(n－1)＝n－1＋a，∴b n＝a n2－a n＋12＝
(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2＝1－2n－2a，
∴b n＋1＝1－2(n＋1)－2a.
∴b n＋1－b n＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.
所以数列{b n}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．
12．(创新拓展)数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{a n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
解(1)由于a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，且a1＝1.
所以当a2＝－1时，有－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：
由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
故a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列．。