高等代数克拉默法则

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齐次线性方程组
定理
如果齐次线性方程组


a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
= =
0, 0,
∑n ∑
∑n ∑n
Aik aijcj =
aijAikcj
i=1
j=1
i=1 j=1
∑n ∑n
=
aijAikcj
j=1
∑n
(i=∑ 1n
)
=
aijAik cj
j=1 i=1
= dck.
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克拉默法则
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克拉默法则
注 定理中包含着三个结论：
1 方程组有解； 2 解是唯一的； 3 解可以通过如上的公式给出.
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克拉默法则
注 定理中包含着三个结论：
1 方程组有解； 2 解是唯一的； 3 解可以通过如上的公式给出.
0 2 −5 2
14 0 6
2 1 −5 8
1 d4 =
−3
0
9 = 27,
0 2 −1 −5
1 4 −7 0
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克拉默法则
21 8 1
d3 = 1 −3
9
−6 = −27,
0 2 −5 2
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克拉默法则的意义
克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一 点在以后许多问题的讨论中是重要的. 但是用克拉默法则进行计 算是不方便的，因为按这一法则解一个 n 个未知量 n 个方程的 线性方程组就要计算 n + 1 个 n 级行列式，这个计算量是很大的.
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克拉默法则
1 d
∑n aijdj
=
1 d
∑n aij
∑ bsAsj
j=1
j=1 s=1
=
1 d
∑n ∑n aijAsjbs
j=1 s=1
=
1 d
∑n ∑n aijAsjbs
s=1 j=1

=
1 d
∑n ∑n aijAsj bs
s=1 j=1
=
1 d
·
dbi
=
bi.
(
)
,
d2 d
,
·
·
·
,
dn d
代人方程组，验证它确是解.
2 假如方程组有解，证明它的解必由上面的公式给出.
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克拉默法则
证 把方程组简写为
∑n aijxj = bj, i = 1, 2, · · · , n.
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克拉默法则
的行列式
d = |A| ̸= 0,
那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为
x1
=
d1 d
,
x2
=
d2 d
,
·
·
·
, xn
=
dn d
,
其中 dj 是把矩阵 A 中第 j 列换成方程组的常数项 b1, b2, · · · , bn 所成的矩阵的行列式，即
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克拉默法则
本节的主要结果是
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克拉默法则
本节的主要结果是
定理 (克拉默法则)
如果线性方程组


a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
j=1
(
)
首先来证明
d1 d
,
d2 d
,
·
·
·
,
dn d
的确是方程组的解. 把它代入第 i
个方程，左端为
∑n
aij
dj d
=
1 d
∑n
aijdj.
j=1
j=1
因为
∑n dj = b1A1j + b2A2j + · · · + bnAnj = bsAsj,
s=1
所以
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克拉默法则
例 解方程组


2x1 x1
+x2 −3x2
−5x3
+x4 −6x4
= =
8, 9,

x1
2x2 +4x2
−x3 −7x3
+2x4 +6x4
= =
−5, 0.
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克拉默法则
注 定理中包含着三个结论：
1 方程组有解；
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克拉默法则
注 定理中包含着三个结论：
1 方程组有解； 2 解是唯一的；
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这与第 i 个方程的右端一致. 换句话说，把
d1 d
,
d2 d
,
·
·
·
,
dn d
代
入方程使它们同时变成恒等式，因而它确为方. 程. . 组. . 的. . 解. . .. . . . . . .
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. .. . . ..
克拉默法则
设 (c1, c2, · · · , cn) 是方程组的一个解，于是有 n 个恒等式
( d1 d
,
d2 d
,
·
·
·
,
dn d
)
,
因而方程组最多有一解.
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克拉默法则
注 克拉默法则所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它 只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形， 将在下一章的一般情形中一并讨论.
. .. . . ..
齐次线性方程组
证 应用克拉默法则，因为行列式 dj 中有一列为零，所以
dj = 0, j = 1, 2, · · · , n.
这就是说，它的唯一解是
(
d1 d
,
d2 d
,
·
·
·
,
dn ) d
=
(0, 0,
···
, 0).
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j=1
这还是 n 个恒等式. 把它们加起来，即得
∑n ∑n
∑n
Aik aijcj = biAik.
i=1
j=1
i=1
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克拉默法则
等式右端等于在行列式 d 按第 k 列的展开式中把 aik 分别换成 bi (i = 1, 2, · · · , n)，因此，它等于把行列式 d 中第 k 列换成 b1, b2, · · · , bn 所得的行列式，也就是 dk. 再来看等式左端. 即
14 0 6
2 1 −5 8
1 d4 =
−3
0
9 = 27,
0 2 −1 −5
1 4 −7 0
所以方程组的唯一解为 x1 = 3, x2 = −4, x3 = −1, x4 = 1.
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齐次线性方程组
{ λx1 + x2 = 0, x1 + λx2 = 0.
有非零解.
Leabharlann Baidu
解 如果齐次线性方程组有非零解，那么系数行列式
λ 1 = λ2 − 1 = 0, 1λ
所以 λ = ±1. 不难验证，当 λ = ±1 时，方程组有非零解.
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代人方程组，验证它确是解.
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克拉默法则
注 定理中包含着三个结论：
1 方程组有解； 2 解是唯一的； 3 解可以通过如上的公式给出.
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
(
)
1把
d1 d
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齐次线性方程组
例 求 λ 在什么条件下，方程组
{ λx1 + x2 = 0, x1 + λx2 = 0.
有非零解.
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齐次线性方程组
例 求 λ 在什么条件下，方程组
解 方程组的系数行列式
2 1 −5 1
d = 1 −3
0
−6 = −27 ̸= 0,
0 2 −1 2
1 4 −7 6
因之可以应用于克拉默法则. 由于
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克拉默法则
8 1 −5 1 d1 = 9 −3 0 −6 = 81
方程个数与未知量个数相等的线性方程组
现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题. 在这里只考虑方 程个数与未知量的个数相等的情形. 以后会看到，这是一个重要 的情形. 至于更一般的情形留到下一章讨论. 下面我们将得出与 二元和三元线性方程组相仿的公式.
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−5 2 −1 2 0 4 −7 6
2 8 −5 1 d2 = 1 9 0 −6 = −108
0 −5 −1 2 1 0 −7 6
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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克拉默法则
21 8 1
d3 = 1 −3
9
−6 = −27,
a11 · · · a1,j−1 b1 a1,j+1 · · · a1n
dj =
a21 ...
···
a2,j−1 ...
b2 ...
a2,j+1 ...
···
a2n ...
, j = 1, 2, · · · , n.
an1 · · · an,j−1 bn an,j+1 · · · ann
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最后一个等式成立用到了行列式按列展开定理

∑n
d, 当 j = k,
i=1 aijAik = 0, 当 j ̸= k.
于是，得到
dck = dk, k = 1, 2, · · · , n.
也就是
ck
=
dk d
,
k
=
1, 2, · · ·
, n.
这就是说，如果 (c1, c2, · · · , cn) 是方程组的一个解，它必为
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. .. . . ..
克拉默法则
例 解方程组


2x1 x1
+x2 −3x2
−5x3
+x4 −6x4
= =
8, 9,

x1
2x2 +4x2
−x3 −7x3
+2x4 +6x4
= =
−5, 0.

········· an1x1 + an2x2 + · · · + annxn
=
0.
的系数矩阵的行列式 |A| ̸= 0，那么它只有零解. 换句话说，如果 上面的齐次线性方程组有非零解，那么必有 |A| = 0.
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克拉默法则
注 定理中包含着三个结论：
1 方程组有解； 2 解是唯一的； 3 解可以通过如上的公式给出.
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
(
)
1把
d1 d
,
d2 d
,
·
·
·
,
dn d
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组. 显然，齐次方 程组总是有解的，因为 (0, 0, · · · , 0) 就是一个解，它称为零解. 对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以 外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解. 对于方程个数 与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有
= =
b1, b2,

········· an1x1 + an2x2 + · · · + annxn
=
bn.
的系数矩阵


A = aa12... 11
a12
a22 ...
··· ···
a1n
a2n ...

an1
an2
···
ann
. . . .... .... .... .
∑n aijcj = bi, i = 1, 2, · · · , n.
j=1
为了证明
ck
=
dk d
，我们取系数矩阵中第
k
列元素的代数余子式
A1k, A2k, · · · , Ank，用它们分别乘上面 n 个恒等式，有
∑n Aik aijcj = biAik, i = 1, 2, · · · , n,