函数的奇偶性 知识点及习题

轴对称，故此函数非奇非偶。
命题5：设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)＝f(x)＋f(－x) 为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数． 此命题正确。由函数奇偶性易证。 命题6：已知函数是奇函数，且有定义，则。
此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题7：已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之
函数的奇偶性
一、关于函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称 偶函数；
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称 奇函数；
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必 须成立； 3、可逆性：是偶函数；奇函数； 4、等价性：；； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函 数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域
为偶函数，则
的值是（ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A.
B.
C.
D.
6.若偶函数
在
上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A．
B．
C．
D．
7.函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （
）
A. B. C.
D.或
8.已知
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断的单调性并证明。
9.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.
。
【例2】设f（x）是定义在R上的偶函数，若当x≥0时，f（x）
=log3（1+x），则f（－2）=____ _。
【例3】 是定义在R上的奇函数,则=___；若有，则___；
若；则___；
【例4】已知函数,若为奇函数，则___；
2、利用奇偶性比较大小
【例5】已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。
和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的
定义可知：若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命
题成立。
五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇
函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函
数一定是f（x）=0（x∈R） ( )A.1
B.2
C.3
D.4
【提高练习】 1.已知定义域为的偶函数在上为减函数，且有，则满足的的集合为 _________； 2.已知函数为R上的奇函数，若，则____； 3.已知偶函数在区间上为减函数且有最大值为5，则在区间上为____函 数且有最___值为____；若是奇函数在区间上为增函数且有最小值为 5，则在区间上为____函数且有最___值为____。 4.若函数是奇函数，则 5.已知函数
六、关于奇偶函数的图像特征
一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图
像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于轴对称，
反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
图象法：如二次函数成为偶函数，必须要使对称轴，即；若二次函
数成为奇函数，必须要使；当时，二次函数是非奇非偶函数。
判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否 与、相等，判断步骤如下：
1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函 数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能
2、数量关系哪个成立； 判断分段函数的奇偶性 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域 中，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫 做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法
上：
奇±奇＝奇（函数） 偶±偶＝偶（函数） 奇×奇＝偶（函数） 偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇 （函数）
8、多项式函数的奇偶性 多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
9、复合函数的奇偶性 若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到的奇偶性的规律是:
也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关 系，首先要特别注意X与—X的范围，然后将它们代入相应段的函数表达 式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义 进行比较。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定
命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要 不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇 非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶 函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它 们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可 能既是奇函数又是偶函数，如，，可以看出函数与都是定义域上的函 数，它们的差只在区间上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是 偶函数。 命题3：是任意函数，那么与都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数不能保证或；另一方面，对于一个任意 函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域 关于原点对称，那么函数是偶函数。 命题4：如果函数满足：，那么函数是奇函数或偶函数。 此命题错误。如函数从图像上看，的图像既不关于原点对称，也不关于
奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相
反。
七、关于函数奇偶性的简单应用
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点
内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析
式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：
1、利用奇偶性求函数值
【例1】已知且，那么
【例6】若是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成 立的是：（ ）
【例7】 如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为 ，那么 在区间 上是（ ）
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
【例8】
，
大小关系。
为偶函数，试比较
【例9】 值范围。
为偶函数，
5、利用奇偶性求参数的值 【例16】定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如 何？
【例17】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若 f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 6、利用奇偶性证明不等式 【例18】求证
7、函数奇偶性的判定问题 【例19】 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（x－1）·； （3）f（x）=； （4）f（x）= （5） 【例20】判断下列函数的奇偶性
，若
3、利用奇偶性求解析式
的 ，求 取
【例10】已知为偶函数，当时，，当时，求的解析式。
【例11】若是定义在（-∞，0）（0，+∞）上的奇函数，当x<0时，， 求当时，函数的解析式。
【例12】设是定义在R上的奇函数,且当，试求函数的解析式。
4、利用奇偶性讨论函数的单调性 【例15】若是偶函数，讨论函数的单调区间。
函数
奇偶性
奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数.
三、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数 奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数四种情况。
【例21】判断函数f(x)＝的奇偶性．
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有
当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图
象判定．
8、奇偶函数的图象问题
【例22】下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点