最新版初二上册数学分式

第十六章 分式一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．知识点一：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二： 与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） 经典例题 1、在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4 2、当1a =-时，分式211a a +-（ ）A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义 3、已知分式1-x 的值是零，那么x 的值是（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±5、下列命题中，正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式，则式子A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义 ③分式2116x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

③确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题1、把分式a a b+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ） A .不变 B .扩大2倍 C .缩小2倍 D .扩大4倍2、下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y-+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y -+ 3、下列化简结果正确的是（ ）A .222222x y y x z z -=-+B .220()()a b a b a b -=-+-C .63233x y x x y= D .231m m a a a +-= 4、约分：222________20ab a b =； 通分：222,,693x y z ab a bc abc-5、已知511=+ba )(b a ≠，求)()(b a a b b a b a ---的值.知识点六分式的四则运算与分式的乘方① 分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为：cb ac b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为:bd bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

②分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：d b c a d c b a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为c c ••=•=÷b d a d b a d c b a ③分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④分式的混合运算: 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）经典例题 1、下列运算正确的是（ ） A .62x x x = B .0x y x y +=+ C .1x y x y -+=-- D .a x a b x b+=+ 2、下列各式的计算结果错误的是（ ）A .b n y bnx a m x amy ⨯÷=B .b n y bmy a m x anx⨯÷= C .b n y bmx a m x any ÷÷= D .()b n y bmx a m x any ÷⨯= 3、知识点七整数指数幂1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。

即：其中m ，n 均为整数。

★n m n m aa +=⋅a ★()mn n m a a = ★()n n nb b a a = ★n m n m a a -=÷a （0≠a ） ★n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛n ★n a 1=-n a （0≠a ） ★10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 经典例题计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.2、科学记数法①若一个数x 是0<x<1的数，则可以表示为n10a ⨯（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定：n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。

②若一个数x 是x>10的数则可以表示为n 10a ⨯（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。

知识点八分式方程。

1、 定义：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

注：产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

经典例题1.解分式方程：22322=--+x x x 2.交叉法解方程：23313222--=-+x x x x3.比例法：解方程x x a b a b b -+=-+≠110() 4.换元法： 解方程y y y y -+-+-=3248305. 分离常数法：解方程87329821+++++=+++++x x x x x x x x 6.解含有字母的方程)0(≠+=--d c d c x b a x7.倒数法：21323221174x x x x -+++-= 已知：x x x x +=+=1212122，求____________。

8.若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

知识点八列分式方程基本步骤①审—仔细审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—根据等量关系列出方程（组）。

④解—解出方程（组）。

注意检验⑤答—答题。

经典例题1.A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？2.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？3.在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用。