高三数学12月月考试题理6
高三数学月考试题(12月)
高三数学月考试题一、选择题1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B xx ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（ A ） A ．}10|{<<x x B ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （ B ） A 9 B 12 C 15 D 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B =，那么角A 等于 （ D ）A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（ C ）A ．B ． 43πC 27D ． 43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（ B ）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（ A ） A ． 122=-y xB ．1242522=+yxC ．11522=-yx D ．1151622=+yx8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b<，则1b a>；③若()2log fx x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y⋅-=有两个交点，则a =．其中错误命题个数是（ D ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题 9、复数21i i-所对应的点在_______象限．1i -+（二象限）10、在A B C ∆中，4B π∠=，AC =cos 5C =，则BC 边的长是_________；11、已知点F 是双曲线22221x y ab-=（0a >，0b >）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是_____________．答案：e =212、若满足2220x y y ++=的实数x ，y ，使不等式0x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 ．)1 +∞，13、过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2CB B F= ，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_____________________．23y x =解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC|＝2|BF|得，点B 到准线的距离为|BF|，则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°，则直线l 的倾斜角为60°．由|AF|＝3，如图连结AH ⊥HC ，EF ⊥AH ，则AE ＝3－p ， 则cos60°＝3－p 3，故p ＝32．∴抛物线方程为y 2＝3x ．14、将编号为1、2、3的三个小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有 种；24 如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有 种．10 三、解答题15、设函数()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．解: （1）()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=1cos 21cos 2cos sin 2sin sin 233222xx x x ππ--+=-所以函数()f x2π．（2）2C f ⎛⎫⎪⎝⎭=1sin 22C -=14-，所以sin 2C =，因为C 为锐角，所以3C π=， 又因为在∆ABC 中，cosB=13，所以sin B =，所以()11sin sin sin cos cos sin 2326A B C B C B C =+=+=+⨯=．16、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠= ，12AB AA ==，1A C =，M ，N 分别是11A B ，B C 的中点．（Ⅰ）证明：//M N 平面11AC C A ；（Ⅱ）试求线段MN 与平面ABC 所成角的余弦值．解：（空间向量）依条件可知A B ，A C ，1A A 两两垂直．如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．依条件可知A B ，A C ，1A A 两两垂直.如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -。
重庆市沙坪坝区2024届高三上学期12月月考数学试题含答案
2023年重庆高2024届12月月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2101x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2ln 22B y y x x ==++，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,1 C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】解分式不等式求集合A ，求对数复合函数的值域求集合B ，应用集合交运算求结果.【详解】由(21)(1)0211011012x x x x x x +-≤⎧+≤⇒⇒-≤<⎨-≠-⎩，即1[,1)2A =-，由()2222111x x x ++=++≥，故[0,)B =+∞，所以[0,1)A B = .故选：B2.已知p ：双曲线C 的方程为22194x y -=，q ：双曲线C 的渐近线方程为23y x =±，则（）A.p 是q 的充要条件B.p 是q 的充分不必要条件C.p 是q 的必要不充分条件D.p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项.【详解】若双曲线C 的方程为22194x y -=，则渐近线方程为23y x =±，若双曲线C 的渐近线方程为23y x =±，则双曲线的方程为()22094x y λλ-=≠，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：B3.()1:sin3010l a x y +︒++=，)2:20l x y +︒+=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.72-B.56-C.52D.16【答案】C 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可.【详解】由题意12l l ⊥，则当且仅当()sin 3011tan1200a +⨯+=，即1302a +-=，解得52a =.故选：C.4.设22tan22.51tan 22.5a ︒=-︒，sin861cos86b ︒=+︒，c =，则有（）A.b a c <<B.a c b <<C.c b a <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.【详解】22tan22.5=tan 451tan 22.5a ︒=︒-︒，22sin862sin43cos432sin43cos43=tan 431cos8612cos 4312cos 43b ︒︒︒︒︒===︒+︒+︒-︒，cos 47.5sin 42.5=sin 47.5cos 42.5c ︒︒=︒︒因为tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 42.5tan 43tan 45︒<︒<︒，即c b a <<，故选：C .5.已知在四面体-P ABC 中，底面ABC，D 为PA 的中点，则直线BP 与直线CD 所成角的余弦值为（）A.24-B.24C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】利用中位线将异面直线所成角转化为相交直线DE 与DC 所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【详解】取AB 中点E ，连接DE ，由D 为PA 中点，则//DE PB，且122DE PB ==；则EDC ∠（或其补角）即为直线BP 与直线CD 所成角.又底面三角形ABC是边长为的等边三角形，则中线长31522CE ==；在PAC △中，设中线长DC m =，则cos cos 0ADC PDC ∠+∠=，由余弦定理得,222222022DA DC AC DP DC PC DA DC DP DC +-+-+=⋅⋅，所以222222202m ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得23m =，解得m =，则有DC =，在DEC 中，由余弦定理得,222115324cos 224DE DC EC EDC DE DC +-+-∠==-⋅,直线BP 与直线CD 所成角为锐角，则余弦值为24.故选：B .6.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）A.216种B.384种C.408种D.432种【答案】D 【解析】【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有1242C A 8=种，再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有44A 24=种，此时共有824192´=种；若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有1242C A 8=种，再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有13C 3=种，其余三科全排有33A 6=种，此时共有836144⨯⨯=种；若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有14C 4=种，将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有1222C A 4=种，再把余下的三科安排在下午作全排有33A 6=种，此时共有44696⨯⨯=种；综上，共有19214496432++=种.故选：D7.已知{}n a 为正项等比数列，且10121a =，若函数()212ln 1x f x x x -=-+，则()()()122023f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（）A.2023B.2024C.20232D.1012【答案】A 【解析】【分析】由等比数列的性质可得222311202322012020211a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===L ，再由题意可得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由倒序相加法可求出答案.【详解】因为{}n a 为正项等比数列，且10121a =，所以222311202322012020211a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===L ，由()212ln 1x f x x x -=-+可得22111112ln 12ln 11x x f x x x x x⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=-+=++ ⎪⎝⎭，所以()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以设()()()122023S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则()()()202320221S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，所以两式相加可得：222023S =⨯，故2023S =，故选：A .8.已知a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d - 的最大值为（）A.22113+ B.4C.23+ D.313【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得出c d -为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：不妨设)()()()()13,0,0,1,,,,,3,0a OA b OB OC m n OD p q A ======-，满足3a = ，1= b ，0a b ⋅= ，又4c a c a ++-=()()22221334223m n m n a c A A ++-+=>=，由椭圆的定义可知点C 在以1,A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，222,3,431a c b a c ===--，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2430d b d -⋅+= ，即22430p q q +-+=，即()2221p q +-=，这表明了点D 在圆()2221x y +-=上面运动，其中点()0,2E为圆心，1r =为半径，又1c d OC OD CD CE ED CE -=-=≤+=+，等号成立当且仅当,,C D E 三点共线，故只需求CE 的最大值即可，因为点C 2214x y +=在椭圆上面运动，所以不妨设()2cos ,sin C θθ，所以()()222224cos sin 241sin sin 4sin 43sin 4sin 8CE θθθθθθθ=+--+-+--+，所以当()42sin 233θ-=-=-⨯-且,,C D E 三点共线时，c d - 有最大值max113CE +==+.故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知左、右焦点分别为1F ，2F 的椭圆222:13x y C a +=的长轴长为4，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，则（）A.离心率2e =B.若线段PQ 垂直于x 轴，则3PQ =C.2PQF 的周长为8D.2PQF 的内切圆半径为1【答案】BC 【解析】【分析】首先由题意把参数a 求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断A ；由题意将=1x -代入椭圆方程求出弦长即可判断B ；由椭圆定义即可判断C ；由2PQF 的周长是定值，但面积会随着直线的倾斜程度而变化，由此即可判断D.【详解】对于A ，由题意椭圆222:13x y C a +=的长轴长为4，所以124a =，解得22112,43a a b ==>=，所以12,1a a c =====，离心率为12c e a ==，故A 错误；对于B ，由A 可知椭圆方程为22143x y +=，由题意若直线PQ 的方程为=1x -，将其代入椭圆方程可得32y =±，即33322PQ ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，2PQF 的周长为()()2212122248PQ QF F P PF PF QF QF a a a ++=+++=+==，故C 正确；对于D ，由题意直线PQ 斜率不为0且经过点()1,0-，不妨设直线()()1122:1,,,,PQ x my P x y Q x y =-，将其与椭圆方程22143x y +=联立消去x 得()2234690m y my +--=，()()2221212226936363414410,,3434m m m m y y y y m m -∆=++=+>+==++，一方面()()()()222221212121222222363413612142343434PQF m m m S F F y y y y y y m m m ++=-=+-++++ ，另一方面，由C 选项分析可知228PQ QF F P ++=，不妨设2PQF 的内切圆的半径为r ，所以()222142PQF S PQ QF F P r r =++= ，对比两式可知223134m r m +=+，即r 与m 有关，故D 错误.故选：BC.10.与二项式定理()0C nnk n k k n k a b a b -=+=∑类似，有莱布尼兹公式：()()()()()()()()()()()()0112200120C C C C C nn n n n n n k kn k nnnnn n uv u vuv uv u vuv ---==+++⋅⋅⋅+=∑，其中()k u （0,1k =，2，…，n ）为u 的k 阶导数，()0u u =，()0v v =，则（）A.1C2nknnk ==∑ B.1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=C.()()()()nnuv vu = D.()6e x f x x =，则()()606!f =【答案】BCD 【解析】【分析】由二项式定理，分别赋值,a b ，即可判断AB ；再根据莱布尼兹公式，结合组合数公式和性质，即可判断CD .【详解】A.由二项式定理可知，当1a b ==时，()0C 1111C 2nnnnk n k k k nn k k -==+===∑∑，1C221nkn n k n n C ==-=-∑，故A 错误；B.由二项式定理可知，当1,1a b ==-时，()012345.1C C C C C C .1.nn n n n n n =-+-+-+-()()024135C C C ...C C C ...0n n n n n n =+++-+++=，所以024135C C C ...C C C ...n n n n n n +++=+++又由A 可知，012345C C C C C C ...2nn n n n n n ++++++=，所以1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=，故B 正确；C.()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n uv u v u v u v u v--=++++()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n vu v u v u v u v u--=++++，由组合数的性质可知，0C C n n n =，11C C n n n -=，22C C n n n -=，……，可知，()()()()n nuv vu =，故C 正确；D.()()()()()()()()()()()()()()()()()()6605142066061626666666e C e C e C e ...C e x xx xx x x x x x =++++，因为()()e e n xx =，()()066x x =，()()1656x x =，()()26465x x =⋅⋅，()()363654x x =⋅⋅⋅，()()4626543x x =⋅⋅⋅⋅，()()5665432x x =⋅⋅⋅⋅⋅，()()666543216!x =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以()()606!f =，故D 正确.故选：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（）A.全球游戏高手占比不超过10%B.某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC 【解析】【分析】利用全概率公式和条件概率定义进行计算.【详解】A 项，高智商中有的人是游戏高手概率为0.0050.950.00475⨯=，非高智商人群中是游戏高手的概率为0.9950.050.04975⨯=，所以全球游戏高手占比为0.004750.049750.05450.1+=<，所以A 项正确；B 项，既是游戏高手，也是高智商的概率为0.0050.950.004750.001⨯=>，所以B 项错误；C 项，设事件A 为某人是游戏高手，事件B 为某人是高智商，则()0.0545P A =，则()()()0.0050.9519|0.0870.080.0545218P AB P B A P A ⨯===≈>，所以C 项正确；D 项，由C 项知，()19|0.0870.085218P B A =≈>，所以D 项错误.故选：AC.12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2ln ln 2xf x f x x x +'+=，()11f =，且实数()a f x <对任意0x >都成立（ln20.693≈，ln3 1.098≈），则（）A.()18f ''= B.()f x 有极小值，无极大值C.()f x 既有极小值，也有极大值D.23<a 【答案】ABD 【解析】【分析】将题设条件化为()222[][ln ]x f x x x ''=，进而有()222ln x f x x x C =+，其中C 为常数，()0,x ∈+∞，根据已知求得()221ln f x x x =+，对函数求导判断A 、B 、C ；问题化为()0,x ∈+∞上()min a f x <，结合()f x 的极值()2200222000111ln (f x x x x x =+=+且0(1,2)x ∈求参数范围判断D.【详解】由题设()()222(ln ln )f x xf x x x =+'+，则()()2222(ln ln )xf x x f x x x x x +'+=，所以()222[][ln ]x f x x x ''=，故()222ln x f x x x C =+，其中C 为常数，()0,x ∈+∞，又()11f =，则()11f C ==，所以()222ln 1x f x x x =+，即()221ln f x x x=+，所以()32ln 2x f x x x '=-，故()242(1ln )6x f x x x-''=+，则()18f ''=，A 对；由()232(ln 1)x x f x x -'=且()0,x ∈+∞，令21ln ()x x x g =-在()0,x ∈+∞上递增，(1)10g =-<，1ln 20.4430)4(2g -=≈>，故0(1,2)x ∃∈使0()0g x =，即0201ln x x =，0(0,)x 上()0g x <，即()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 递增；所以()f x 有极小值，无极大值，B 对，C 错；由题设，()0,x ∈+∞上()min a f x <，即()2200222000111ln ()f x x a x x x =+=+>，令2011(,1)4t x =∈，则()20f x y t t ==+在1(,1)4t ∈上递增，故()05(,2)16f x y =∈，所以52163a ≤<，D 对.故选：ABD【点睛】关键点睛：根据题设条件得到()222[][ln ]x f x x x ''=，进而求得()221ln f x x x =+为关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 满足211n n n a a a +-+=，且113a =，则9a =______．【答案】13【解析】【分析】先求得数列的周期性，再应用周期性求值即可.【详解】由211n n n a a a +-+=，得2421111211211nn n nn n n n n a a a a a a a a a +++---+====-+++，则95113a a a ===.故答案为：13.14.已知()220x x m m -+=∈R 的两共轭虚根为1x ，2x，且12x x +=，则m =______．【答案】3【解析】【分析】由根与系数关系有12122x x mx x =⎧⎨+=⎩，设11i x a =+，21i x a =-且R a ∈，结合题设和复数模长、乘法运算求参数.【详解】由题设12122x x mx x =⎧⎨+=⎩，可令11i x a =+，21i x a =-且R a ∈，所以2122x x a +==⇒=，所以21213x x a m =+==.故答案为：315.已知圆()()22:344C x y -+-=，过直线:4310l x y ++=上一动点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB +的最小值为______．【答案】425【解析】【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用PC 的最小值，即可求解.【详解】如图，连结,CA CB ，CA PA ⊥，CB PB ⊥，AB 和CP 交于点D ，2PA PB PD += ，因为2PA PD PC =，所以2244PAPC PD PC PCPCPC-===-,设4y x x=-，易知其在()0,∞+为增函数，则PC 的最小值为圆心()3,4C 到直线:4310l x y ++=的距离5d ==，所以PD 的最小值为421555-=，那么PA PB + 的最小值为425.故答案为：42516.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E ，F 分别是棱CD ，1DD 的中点，M 是正方体的表面上一动点，当四面体BEFM 的体积最大时，四面体BEFM 的外接球的表面积为______．【答案】11π【解析】【分析】根据题意只需M 点离平面1BEFA 最远即可，构建空间直角坐标系，应用向量法求各点到面1BEFA 距离得到M 与1C 重合，再将1EFC △置于如下直角坐标系中求1EFC △外接圆圆心，进而确定空间坐标系中外接球球心O 坐标，即可求球的表面积.【详解】如下图，11////EF CD BA ，即1,,,B E F A 四点共面，要使四面体BEFM 的体积最大，只需M 点离平面1BEFA 最远即可，显然点D 、线段1CD 上点到平面1BEFA 距离都相等，构建下图空间直角坐标系D xyz -，则(0,1,0),(0,0,1),(2,2,0)E F B ，所以(0,1,1),(2,1,0)EF EB =-= ，若面1BEFA 的一个法向量为(,,)m x y z =，则020EF m y z EB m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2y =，则(1,2,2)m =- ，而11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(2,2,2)C C A B ，则(0,2,0)AB = ，(0,1,0)EC =，1(0,1,2)EC = ，1(0,0,2)BB =，所以A 到面1BEFA 距离为||43||m AB m ⋅= ，C 到面1BEFA 距离为||23||m EC m ⋅= ，1C 到面1BEFA 距离为1||2||m EC m ⋅= ，1B 到面1BEFA 距离为1||43||m BB m ⋅=，综上，正方体的表面上1C 到面1BEFA 距离最远，故四面体BEFM 的体积最大，M 与1C重合，首先确定1EFC △外接圆圆心1O 坐标，将1EFC △置于如下直角坐标系中，则1(2,2),(0,1),(1,0)C F E ，则1O 是直线1:DC y x =与1FC 的垂直平分线l 的交点，由112FC k =，则2l k =-，且1FC 中点为3(1,)2，故3:2(1)2l y x -=--，即:4270l x y +-=，联立76427076x y x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩，即177(,)66O 对应到空间直角坐标系的坐标为177(0,,66O ，由四面体BEFM 的外接球球心O 在过1O 垂直于面1EFC 的直线上，设77(,,66O n ，由||||OB OE ==76n =，=24π11π⨯=.故答案为：11π【点睛】关键点点睛：利用向量法求出正方体的表面上到面1BEFA 距离最远的点为关键.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()20P k χ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.828（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；喜欢看演唱会不喜欢看演唱会合计文科老师30理科老师40合计50（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关（2）2855【解析】【分析】（1）根据表格进行运算即可得到完整的列联表，再根据卡方计算公式运算对比临界值即可求解.（2）根据超几何分布的概率计算公式进行运算即可求解.【小问1详解】由表可知喜欢看演唱会的理科老师有503020-=人，理科老师共有204060+=人，文科老师共有1006040-=人，不喜欢看演唱会的文科老师有403010-=人，不喜欢看演唱会的人有104050+=人，完成22⨯列联表如下表所示：喜欢看演唱会不喜欢看演唱会合计文科老师301040理科老师204060合计5050100()()()()()()22210012002005016.667 3.841406050503n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-===≈>++++⨯⨯⨯，故有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关.【小问2详解】由题意11名老师中，有4名老师喜欢看演唱会，有7名老师不喜欢看演唱会，若从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会，则只能从4名喜欢看演唱会的老师中抽取1人，从7名不喜欢看演唱会的老师中抽取2人，即所求的概率为1247311C C 42128C 16555p ⨯===.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，18AA =，6AB =，E ，F 为1CC 上分别靠近C 和1C 的四等分点，若多面体11AA B BEF 的体积为40．（1）求EF 到平面11AA B B 的距离；（2）求二面角1E AB B --的大小．【答案】（1）2；（2）π4.【解析】【分析】（1）由直三棱柱结构特征有11//CC AA ，应用线面平行判定证1//CC 面11AA B B ，问题化为求C 到面11AA B B 的距离，再结合面ABC ⊥面11AA B B ，进一步化为求ABC 中AB 上的高h ，根据多面体体积列方程求结果；（2）过C 作CD AB ⊥于D ，过E 作EH ⊥面11AA B B 于H ，连接,DH DE ，证AB ⊥面CEHD ，进而有EDH ∠为二面角1E AB B --的平面角，即可求大小.【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C -中11//CC AA ，1CC ⊄面11AA B B ，1AA ⊂面11AA B B ，所以1//CC 面11AA B B ，即//EF 面11AA B B ，只需求C 到面11AA B B 的距离，又面ABC⊥面11AA B B ，面ABC ⋂面11AA B B AB =，则C 在面11AA B B 上的射影在直线AB 上，即C 到面11AA B B 距离为ABC 中AB 上的高h ，又E ，F 为1CC 上分别靠近C 和1C 的四等分点，且多面体11AA B BEF 的体积为40，所以111118622640232AA B BEF V h h =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，可得2h =，即EF 到平面11AA B B 的距离为2.【小问2详解】过C 作CD AB ⊥于D ，过E 作EH ⊥面11AA B B 于H ，连接,DH DE ，由（1）分析易知：,//CD EH CD EH =，即四边形CEHD 为平行四边形，由1CC ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，则1CC AB ⊥，由1CD CC C = ，1,CD CC ⊂面CEHD ，则AB ⊥面CEHD ，而,DE DH ⊂面CEHD ，则AB DH ⊥，AB DE ⊥，故EDH ∠为二面角1E AB B --的平面角，由（1）知：2EH CD h ===，2CE DH ==，所以tan 1EH EDH DH ∠==，故锐二面角1E AB B --为π4.19.已知数列{}n a 满足12a =，23a =，且()*2123n n n a a a n +++=∈N．（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；（2）若()1111nn n n b a a +⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．【答案】（1）证明见解析（2）1(1)221n n--++【解析】【分析】（1）根据已知等式变形得()2112n n n n a a a a +++-=-，利用等比数列的定义证明即可；（2）对项数n 分奇偶讨论，由裂项相消法求和可得.【小问1详解】()*2123n n n a a a n +++=∈N ，且12a =，23a =，()()*2112n n n n a a a a n +++∴=-∈-N ，且2110a a -=≠，()*2112n n n na a n a a +++=--∈∴N ，故数列{}1n n a a +-是以1为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，112n n n a a -+-=，则有211a a -=，322a a -=，21,2n n n a a ---= ，各式相加得122111212222112n n n n a a ----=++++==--- ，又12a =，则121n n a -=+.()1111n n n n b a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当n 为奇数时，122334111111111111n n n n n a a a S a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111221n n a a +=--=--+；当n 为偶数时，122334111111111111n n n n n a a a S a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111221n n a a +=-+=-++；综上所述，1(1)221n n n S -=-++.20.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，a c +成等比数列．（1）若π5A =，求角C ；（2）若ABC 的面积为S ，求2Sa 的取值范围．【答案】（1）2π5C =；（2）13(,22.【解析】【分析】（1）由题设可得22b a ac -=，结合余弦定理可得2cos c a a B =+，应用正弦边角关系、三角恒等变换可得sin()sin B A A -=，进而有B A A -=，即可求角C ；（2）由（1）有2B A =，结合锐角三角形得ππ64A <<，应用三角形面积公式、三角恒等变换可得2222tan (3tan )(1tan )S A A a A -=+，令tan 3t A =∈，利用导数求等式右侧单调性，再求值域即得范围.【小问1详解】由题设2()b a a c =+，即22b a ac -=，且π()C A B =-+，由2222cos 2cos b a c ac B a c a B =+-⇒=-，即2cos c a a B =+，所以sin sin 2sin cos C A A B =+，即sin()sin 2sin cos A B A A B +=+，所以cos sin sin sin cos A B A A B =+，故sin()sin B A A -=，所以B A A -=或πB A A -=-（舍），可得2π25B A ==，故2π5C =.【小问2详解】由（1）知2B A =，ABC 为锐角三角形，则π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得ππ64A <<，又1sin 2S ac B =，则2sin sin sin sin(3)sin(2)22sin 2sin S c B C B A A a a A A===，所以221sin(3)cos sin cos cos 2cos sin 2sin 2(cos 2)2S A A A A A A A A A a ==+=+，又22tan sin 21tan A A A =+，221tan cos 21tan A A A -=+，故22222tan 1tan 1()1tan 1tan 2S A A a A A -=⨯+++，整理得2222tan (3tan )(1tan )S A A a A -=+，令3tan 3t A =∈，则32223()(1)S t t f t a t -==+，所以2423312()(1)t t f t t -+'=+，令42()123g t t t =-+，则2()4(6)0g t t t '=-<，故()g t在,1)3t ∈上递减，8()()039g t g <=-<，即()0f t '<，所以()f t在(,1)3t ∈上递减，故322231()(,)(1)22S t t f t a t -==∈+.21.已知抛物线2:4y x Γ=的准线l 交x 轴于M ，过()1,1P -作斜率为1k 的直线1l 交Γ于,C D ，过()1,1Q --作斜率为2k 的直线2l 交Γ于,E G ．（1）若抛物线的焦点2F l ∈，判断直线l 与以EG 为直径的圆的位置关系，并证明；（2）若,,C E M 三点共线，①证明：21k k -为定值；②求直线1l 与2l 夹角θ的余弦值的最小值．【答案】（1）相切，证明见解析（2）①1；②35【解析】【分析】（1）将直线EG 和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段EG 的中点和长度，即可得以EG 为直径的圆的方程，通过判断圆心与直线l 的距离与半径的大小关系来去顶直线与圆的位置关系；（2）①设221212,,,44y y C y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过,,C E M 三点共线即斜率相等可得124y y =，再将其代入21212221111144y y k k y y +--=-++计算即可；②设直线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，()2121tan tan tan tan 1tan tan 1k k k k βαθβαβα--=-==++，通过21,k k 的关系代入消2k ，通过直线和抛物型线相交，利用判别式求出1k 的范围，进而可得最值.【小问1详解】若抛物线的焦点2F l ∈，则直线EG 即为直线QF ，又()1,0F 故()10:111EG l y x --=---，整理得:210EG l x y --=联立22104x y y x--=⎧⎨=⎩，消去x 得2840y y --=，6416800D =+=>则8E G y y +=，124y y =-，所以()2218E G E G x x y y +=++=，且20EG =，故以EG 为直径的圆的圆的方程为()()2294100x y -+-=，其圆心为()9,4，半径为10，所以以EG 为直径的圆的圆心到直线l 的距离为9110+=，故直线l 与以EG 为直径的圆相切；【小问2详解】①设221212,,,44y y C y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()()1,0,1,1,1,1M P Q ----，因为,,C E M 三点共线，所以CE CM k k =，即1212221211444y y y y y y -=-+，整理得124y y =，所以()()2212212121222221211111441111114444y y y y y y k k y y y y ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭-=-=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222212112212122122222211221112444444121441644y y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫+++-+-- ⎪++⎝⎭===+++++,即21k k -为定值1；②设直线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则()()21221111tan tan 11tan tan 1tan tan 1111324k k k k k k k βαθβαβα--=-====++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭由已知可得()11:11l y k x =++，联立()12114y k x y x⎧=++⎨=⎩，消去x 得2114440y y k k -++=，所以21144440k k ⎛⎫⎛⎫∆=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11122k ---+<<，当112k =-时，()max 14tan 334θ==，此时θ最大，cos θ最小，此时由22sin 4cos 3sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 5θ=.即直线1l 与2l 夹角θ的余弦值的最小值为35.【点睛】关键点睛：本题关键是在解答第（2）①中设出点的坐标，将条件和目标式都坐标化，从而可以真正的通过计算得出结论.22.已知()()()2341e 3x f x x kx kx k =--+∈R （1）当0k =时，求()f x 过点()()1,1f 的切线方程；（2）若对[]1,2k ∀∈，[]0,x k ∈，不等式()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．[参考不等式：()21e 102x x x x ≥++≥]【答案】（1）22e e 0x y --=；（2）452e 3a ≥-.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）构造()2()1e x g x x =-、343()kx kx h x =-并应用导数研究单调性，进而判断[]0,x k ∈上()()()f x g x h x =-最大值所在区间，利用导数研究()f x 在1(,]2x k ∈的最值，得到242max 4()(1)e 3k f x k k k =--+，利用导数求右侧最大值，即可得参数范围.【小问1详解】由题设()()21e x f x x =-，则()()221e xf x x '=-，所以()10f =，()21e f '=，故过点()()1,1f 的切线方程为2(e 1)y x =-，即为22e e 0x y --=.【小问2详解】下述过程均在[]1,2k ∈且[]0,x k ∈条件下，令()2()1e x g x x =-，则()2()21e xg x x '=-，令1()02g x x '=⇒=，故1[0,)2x ∈上()0g x '<，()g x 递减，1(,]2x k ∈上()0g x '>，()g x 递增，且21e (0)1,(,()(1)e 22k g g g k k =-=-=-，令343()kx kx h x =-，则2)()(41x h x k '-=，令1()02h x x '=⇒=，故1[0,)2x ∈上()0h x '<，()h x 递减，1(,]2x k ∈上()0h x '>，()h x 递增，且2214(0)0,(),()(1)233k h h h k k k ==-=-，由()()()f x g x h x =-，而11(0)((0)()22h h g g >>>，故1[0,2x ∈上()0f x <，32k =时33e 39()()()()2222g k g h k h ==>==，故1(,]2x k ∈上可能存在()0f x >（特殊值法判断最大值可能区间），要使不等式()f x a ≤恒成立，即max ()a f x ≥，只需找到1(,]2x k ∈上max ()f x ，在1(,]2x k ∈上2(21)(e 2)()x f x kx k x =-'--，显然210x ->，且()010f =-<，令22()e x kx k x ϕ=--且1(,]2x k ∈，则2e )0()2(x x k ϕ=->'且为增函数，若e [1,]2k ∈时01()()22e k x ϕϕ>=≥-，即()0f x '≥，()f x 递增，则max ()()f x f k =；若e (,2]2k ∈时e 01()22k ϕ=<-，22112(220))12(k k k k k k ϕ≥++⋅--=+>，所以01(,]2x k ∃∈使0200e 20()x x k x k ϕ--==，即020e 2x kx k =+，此时01(,)2x x ∈上()0f x '<，()f x 递减，0(,]x x k ∈上()0f x '>，()f x 递增，1e 0232k f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故01(,)2x x ∈上()0f x <，只需()0f k >则必为最大值，此时max ()f x 在0(,]x x k ∈上右侧端点上取得；综上，在[]1,2k ∈上确定2424()(1)e 3kf k k k k =--+的最大值即可，令2424()(1)e 3k k k k k φ=--+，[]1,2k ∈，则2316()(21)e 23k k k k k φ'=--+，令()()k k ηφ'=，则2()4(e 4)2k k k k η'=-+，对于2e 4k y k =-有22e 40k y '=->，即2e 4k y k =-在[]1,2k ∈上递增，所以22e 4e 40k y k =->->，即()0k η'>，则()()k k ηφ'=递增，所以216()(1)e 203k φφ''>=+->，即()k φ递增，则4max 52()(2)e 3k φφ==-，故4max 52()e 3f x =-，即452e 3a ≥-.【点睛】关键点睛：第二问，构造中间函数研究()f x 最大值位置，进而得到max ()f x 关于参数k 的表达式为关键.。
2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x<m}，且A∪B=R，那么m的值可以是A. −1B. 0C. 1D. 22.下列函数中，定义域为R的奇函数是( )A. y=x2+1B. y=tan xC. y=2xD. y=x+sin x3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为( )A. x±3y=0B. 3x±y=0C. x±3y=0D. 3x±y=04.已知函数f(x)=cos x−3sin x，则下列结论错误的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的图象关于直线x=8π3对称C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在(π2,π)上单调递减5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()．A. 4B. 5C. 6D. 76.已知a与b是非零向量，且a≠±b，则|a|=|b|是(a+b)与(a−b)垂直的( )A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 充要条件；D. 既不充分也不必要条件．7.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x−2y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [0,2)D. (−∞,2)8.直线l过点(2,0)且与双曲线x2−y2=2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9.已知点P是抛物线y2=−4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y−4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是( )A. 2B. 2C. 52D. 52210.已知圆M:x2+y2−6y=0与圆N:(x−cosθ)2+(y−sinθ)2=1(0≤θ≤2π)交于A、B两点，则▵ABM(M 为圆M的圆心)面积的最大值为( )A. 2B. 94C. 22 D. 92二、填空题：本大题共5小题，共25分。
河北省重点中学2024年高三第6次月考数学试题
河北省重点中学2024年高三第6次月考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．292．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．723． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．454．将函数()32cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 5．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．1210．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年重庆市长寿中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
重庆市长寿中学校高三上期·12月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2．复数在复平面内对应点的点是，则复数是虚数单位的虚部为( )A. B. C. D.3．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. 或B.C. 或D.4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则( )A. B.C. D.5．某地高考规定每一考场安排名考生，编成六行四列就坐若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是( )A. B. C. D.6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则当取最大值时，外接圆的面积( )A. B. C. D.7．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且如图将四边形沿折起，连结、、如图在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( ) 平面；、、、四点不可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直．A. 1B. 2C. 3D. 48．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. 或B. 或C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9．已知函数，下列叙述正确的有( )A. 函数是偶函数B. 函数的周期为C. 函数在区间上单调递减D. ，，10．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则( )A. 的最小值为B. 面积的最大值为C. 直线的斜率为D. 直线与直线的斜率之积为定值11．已知二项式的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的是( )A. B. 展开式中二项式系数和为C.展开式中项的系数为D.展开式中有项有理项12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．以下判断正确的是( )A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B. 该单位每月最低可获利元C. 该单位每月不获利也不亏损D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．14．已知函数为奇函数，设，则．15．若，，，且，，共面，则．16．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为．四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2024届河南省九师联盟大联考高三上学期12月月考数学试题及答案
高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2log 0A x x =<，{}220B x x x =--≤，则BA =ð（ ）A. (,2)-∞B. (1,0]-C. (1,2)-D. [1,0][1,2]- 2. 已知复数11i z =-，2i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2- B. 2C. 1- D. 13. 函数()cos exx x f x =的图象大致为（ ）B.A.D.C.4. 已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若//m α，//n β，且//m n ，则//αβB. 若//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C. 若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥5. 已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点，将角θ的终边顺时针旋转π3后得到角β，则tan β=（ ）A.B. C. D. 6. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过E 上的一点A 作l 的垂线，垂足为B ，若3AB OF =（O 为坐标原点），且ABF △的面积为，则E 的方程为（ ）A. 24y x =B. 2y =C. 28y x =D. 2y =7.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球1O 后，再放入一个球2O ，则球2O 的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）A481B.127C.D.8. 已知函数()f x 的定义域为3π3π,44⎛⎫-⎪⎝⎭，且()sin 2,sin cos sin ,sin cos x x x f x x x x<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()f x a =有4个不同实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<，则()12341sin2x x x x f x +++的取值范围是（ ）A. 12⎛ ⎝B. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D. (二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）.10. 若矩形ABCD 的所有顶点都在椭圆222:1(0)2x y E a a +=>上，且AB =，AC =，点P 是E 上与,,,A B C D 不重合的动点，则（ ）A. E 的长轴长为4B. 存在点P ，使得12PA PC ⋅=-C. 直线,PA PB 的斜率之积恒为12-D. 直线,PA PC 的斜率之积恒为12-11. 已知正数,,x y z 满足5915x y z ==，则（ ）A. 220xz yz xy +-= B. 5915x y z<< C. 22xy z < D. 9216x y z+<12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若12μ=，则P 点轨迹所在直线与平面1ACD 平行B. 若1λμ+=，则1A C BP⊥C. 若λμ=D. 若BP 与平面11CC D D 所成角的大小为π4，则λμ的最大值为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2()3f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线方程为______.14. ()52221x y y ---的展开式中22x y 的系数为______.（用数字作答）15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为a ，作两条互相垂直的直线，相交于点O ，在一条直线上截取OA a =，在另一条直线上截取2=OB a ，在直线,OB OA 上分别取点,C D ，使90ACD BDC ∠=∠=︒（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点A ，另一个直角尺的边缘通过点B ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为,C D ），则线段OC 即为所求立方体的一边.以直线OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，若圆E 经过点,,A C D ，则圆E 的方程为______.16. 已知数列{}n a 满足12π3n n a a +=+，集合{}*sin N n S a n =∈，若S 恰有4个子集，则S =______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，21(1)(21)2n n n a n S ++++=.（1）求n S ；（2）若21(21)n nb n n S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为锐角，ABC 的面积为S ，()2224bS a b c a =+-.（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如图，若π4ABC ∠=，BC =，O 为ABC 内一点，且1OC =，3π4AOC ∠=，求OB 的长.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，116A A A C ==，11A C =1A BC ⊥平面11AAC C .（1）求证：1BC CC ⊥；（2）若11A B A C ⊥，三棱锥1A ABC -的体积为18，点D 在棱AC 上，且12AD DC =，求平面11A DB与的平面ABC夹角的余弦值.20. 2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中A B C D E F、、、、、等高校为C919大飞机做出了重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：（1）某科普博主准备从A B C D E F、、、、、共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求C D、被选到，且C在第2天被介绍的概率；（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从B高校参与6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求X的分布列与期望.21. 已知双曲线Γ：()222210,0x ya ba b-=>>，1A，2A为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，1PA的斜率与2PA的斜率之积为14．过点()3,0A且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．（1）求Γ的方程；（2）若点E，F为直线3x=上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．的22 已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.（1）若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；（2）当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <..高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2log 0A x x =<，{}220B x x x =--≤，则BA =ð（ ）A. (,2)-∞B. (1,0]-C. (1,2)-D. [1,0][1,2]- 【答案】D 【解析】【分析】解对数不等式、一元二次不等式求集合，再应用补运算求集合.【详解】由题设{|01}A x x =<<，{|(1)(2)0}{|12}B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以[1,0][1,2]B A =- ð故选：D2. 已知复数11i z =-，2i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2- B. 2C. 1- D. 1【答案】C 【解析】【分析】应用复数乘法及纯虚数定义列方程求参数.【详解】12i (1i i)11)()(z a a a z ++-+-⋅==为纯虚数，所以10110a a a +=⎧⇒=-⎨-≠⎩.故选：C 3. 函数()cos exx xf x =的图象大致为（ ） B.A. D.C..【答案】B 【解析】【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当π(0,)2x ∈时，函数值的正负即可判断作答.【详解】函数()cos e x x x f x =的定义域为R ，()()()cos cos e ex xx x x xf x f x ----==-=-，即函数()f x 是奇函数，排除CD ；当π(0,2x ∈时，()cos 0exx x f x =>，即当π(0,2x ∈时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，显然A 不满足，B 满足.故选：B4. 已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若//m α，//n β，且//m n ，则//αβB. 若//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C. 若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分别分析各个选项可得解.【详解】对于A ，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；对于B ，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交或平行，故B 错误；对于C ，若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交或平行，故C 错误；对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则n 在平面α内或//n α，又n β⊥，所以αβ⊥，故D 正确.故选：D.5. 已知角θ始边为x轴非负半轴，终边经过点，将角θ的终边顺时针旋转π3后得到角β，则tan β=（ ）的A.B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的定义可得tan θ=，依题意得π3βθ=-，结合两角差的正切公式运算求值.【详解】因角θ的终边经过点，由三角函数的定义可得tan θ=，又依题意得π3βθ=-，所以tan tanπ3tan =tan 31tan tan 3πθβθπθ-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+⋅，故选：B.6. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过E 上的一点A 作l 的垂线，垂足为B ，若3AB OF =（O 为坐标原点），且ABF △的面积为，则E 的方程为（ ）A. 24y x =B. 2y =C. 28y x=D. 2y =【答案】C 【解析】【分析】表达出AB 和点A 坐标，利用ABF △的面积求出p ，即可得出E 的方程.【详解】由题意，在抛物线2:2(0)E y px p =>中，3AB OF =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线:2p l x =-∴2p OF =，32AB p =，则(),A p∴113222ABFA S AB y =⋅=⋅ ，解得：4p =∴E 的方程为：28y x =.故选：C.7.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球1O 后，再放入一个球2O ，则球2O 的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）A.481B.127C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题设易知放入一个半径为1的小球1O 后，圆锥轴截面中小球1O 的截面圆为内切圆，要使比值最大，球2O 的半径2r 最大，利用内切圆性质求2r ，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.【详解】由边长为1113r =⨯=，即轴截面是边长为1，所以放入一个半径为1的小球1O 后，再放一个球2O ，如下图，要使球2O 的表面积与容器表面积之比的最大，即球2O 的半径2r 最大，所以只需球2O 与球1O 、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时21112)33r r =⨯=，所以球2O 的表面积为224π4π9r =，圆锥表面积为13π9π2+⨯=，所以球2O 的表面积与容器表面积之比的最大值为481.故选：A8. 已知函数()f x 的定义域为3π3π,44⎛⎫-⎪⎝⎭，且()sin 2,sin cos sin ,sin cos x x x f x x x x <⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()f x a =有4个不同实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<，则()12341sin 2x x x x f x +++的取值范围是（ ）A. 12⎛⎝ B. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. D. (【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式得πsin cos 4x x x -=-，讨论其符号求x 范围，进而写出()f x 解析式并画出草图，数形结合得1234π,π2x x x x +=-+=1()1f x <<，即可得答案.【详解】由πsin cos )4x x x -=-，若sin cos x x <，则πsin()04x -<，可得()()π21π21π,4k x k k +<-<+∈Z ，所以5π9π2π2π,44k x k k +<<+∈Z ,若sin cos x x ≥，则πsin(04x -≥，可得()π2π21π,4k x k k ≤-≤+∈Z ，所以π5π2π2π,44k x k k +≤≤+∈Z ，所以3ππsin 2,44()π3πsin ,44x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，其函数图象如下图，要使()f x a =有4个不同实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<1a <<，由图知：1234π,π2x x x x +=-+=，故1234π24x x x x +++=1()1f x <<，所以()12341sin 2x x x x f x +++的范围为12⎛ ⎝.故选：A【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出()f x 的图象为关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）【答案】BC 【解析】【分析】由图1和图2可判断A 选项，由图3可判断B 选项，由图4可判断C 、D 选项【详解】由图1和图2可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比为97.6%37.2%36.3%⨯≈，故A 正确；由图3可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为60%，故B 错误；由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为23.7%30.6%27.15%2+=，故C 错误；由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为150 3.9%45041.8%75030.6%105023.7%672.3⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确.故选：BC10. 若矩形ABCD 的所有顶点都在椭圆222:1(0)2x y E a a +=>上，且AB =，AC =，点P 是E 上与,,,A B C D 不重合的动点，则（ ）A. E 的长轴长为B.4存在点P ，使得12PA PC ⋅=-C. 直线,PA PB 的斜率之积恒为12- D. 直线,PA PC 的斜率之积恒为12-【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据椭圆的对称性结合AB =可判断椭圆焦点在x 轴上，由此求得,,,A B C D 坐标，代入椭圆方程求得2a =，得解；对B 、D ，设点(),P x y 代入运算可判断得解；对C ，举反例可判断.【详解】因为矩形ABCD 的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得,A C 关于原点对称，,B D 关于原点对称，由22212x y a +=，AB =，可得22a >，即椭圆焦点在x 轴上，如图所示，又AC =2BC ∴=，易得)A ，()B ，()1C -，)1D-.对于A ，将点)A代入椭圆方程可得22112a +=，解得2a =，椭圆的方程为22142x y +=，所以椭圆的长轴长为4，故A 正确；对于B ，设点(),P x y ，且2224x y +=，x ≠，则),1PA x y =-- ，(),1PC x y =--，所以)()()()2221131PA PC x x y y x y y ⋅=--+---=+-=- ，又y ≤≤，即当y =时，12PA PC ⋅=- ，故B 正确；对于C ，当点P 是左顶点时，()2,0P -，则PA k =，PB k =所以12PA PB k k ⋅==，故C 错误；对于D ，设点(),P x y ，且2224x y +=，x ≠则PA k =，PC k =，所以22221112222PA PC y y k k x y --⋅===---，故D 正确.故选：ABD.11. 已知正数,,x y z 满足5915x y z ==，则（ ）A. 220xz yz xy +-= B. 5915x y z<< C. 22xy z < D. 9216x y z+<【答案】AB 【解析】【分析】设15915,x y z t t ==>=，求出,,x y z ，利用对数的运算及换底公式计算判断A ；利用作商法计算判断B ；利用作差法计算判断CD.【详解】依题意，设15915,x y z t t ==>=，则log 5log 9log 151t t t x y z ===，11,,log 5log 9t t x y z ===对于A ，22592log 5log 92log 15)lo 0122(g 122)5(t t t t x x z yz xy xyz xyz z yz y x ⨯++-=+--===，A 正确；对于B ，9555log 95log 999log 5t t x y ==，而51046993933381()15555125==⨯<<，即有955log 91<，则59x y <，又5393log 1593log 151555log 9t t y y z z ===，33571551251932439==<⨯，即有539log 151<，则915y z <，所以5915x y z <<，B 正确；对于C ，由选项A 知，1220y x z +-=，得22xyz x y=+，则2222222(2)8(2)22(02(2)(2)xy x y xy xy x y xy z xy xy x y x y x y +---=-=⋅=>+++，C错误；对于D ，232()(2)32(32)092921692222x y x y xy x y xy x y x y x yx x z y y +-++---==>++=++，因此9216x y z +>，D 错误.故选：AB12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若12μ=，则P 点轨迹所在直线与平面1ACD 平行B. 若1λμ+=，则1A C BP⊥C. 若λμ=，则1DP A P +的最小值为D. 若BP 与平面11CC D D 所成角的大小为π4，则λμ的最大值为12【答案】ABD 【解析】【分析】A 、B 、C 根据条件确定P 点轨迹，结合线面平行判定、线面垂直的判定及性质、平面上两点距离最短判断；D 由条件得P 在线段 1C D上运动，令π[0,]2DCP θ∠=∈，则cos ,sin λθμθ==，结合三角恒等变换及正弦型函数性质求最值判断.【详解】A ：若,E F 11,CC DD 中点，当12μ=时P 在线段EF 上运动，而//EF CD ，EF ⊄面1ACD ，CD ⊂面1ACD ，则//EF 面1ACD ，A 对；B ：由1λμ+=，则P 在线段1C D 上运动；在正方体中易知11B C BC ⊥，且11A B ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，则11A B ⊥1BC ，1111B C A B B = ，111,B C A B ⊂面11A B C ，则1BC ⊥面11A B C ，1AC ⊂面11A B C ，为所以1BC ⊥1AC ，同理可证BD ⊥1AC ，又1BC BD B = ，1,BC BD ⊂面1BC D ，所以1A C ⊥面1BC D ，BP ⊂面1BC D ，则1A C BP ⊥，B 对；C ：若λμ=，则P 在线段1CD 上运动；将面1CDD 翻折至与面11BCD A 共面，如下图，111111,135DD A D DD A ==∠=︒，所以1,,D P A 共线时1DP A P +的最小值为1DA ==，C 错；D ：若BP 与平面11CC D D 所成角的大小为π4，连接1,BC BD ，又BC ⊥面11CDD C ，结合正方体性质1π4CC B CDB ∠=∠=，要使线面角CPB ∠恒为π4，只需P 在面11CDD C 中以C 为圆心，1CC 为半径的圆弧 1C D上运动；如上图，令π[0,]2DCP θ∠=∈，则cos ,sin λθμθ==，所以11sin cos sin 222λμθθθ==≤，当且仅当π4θ=时取等号，所以λμ的最大值为12，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据条件确定P 点运动轨迹为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2()3f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线方程为______.【答案】10x y ++=【解析】【分析】应用导数几何意义求切线方程即可.【详解】由题设()23f x x '=-，则(1)1f '=-，故点(1,2)-处的切线方程为2(1)y x +=--，所以10x y ++=.故答案为：10x y ++=14. ()52221x y y ---的展开式中22x y 的系数为______.（用数字作答）【答案】140【解析】【分析】要产生22x y 可能是1个2x ，1个2y -，3个1-或1个2x ，2个2y -，2个1-，分别进行计算求解即可.【详解】()52221x y y ---的展开式中要产生22x y 可能是1个2x ，1个2y -，3个1-或1个2x ，2个2y -，2个1-，故展开式中含22x y 项为()()()()32212123122222543542C C C 1C C 2C 1140x yx y x y --+--=，即展开式中22x y 的系数为140.故答案为：140.15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为a ，作两条互相垂直的直线，相交于点O ，在一条直线上截取OA a =，在另一条直线上截取2=OB a ，在直线,OB OA 上分别取点,C D ，使90ACD BDC ∠=∠=︒（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点A ，另一个直角尺的边缘通过点B ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为,C D ），则线段OC 即为所求立方体的一边.以直线OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，若圆E 经过点,,A C D ，则圆E 的方程为______.【答案】222()x y -+=【解析】【分析】根据题设有22OC OA ODOD OC OB ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩求OC 、OD ，再求出E 坐标和圆的半径，进而写出圆的方程.【详解】由题设，222OC OA OD a OD OD OC OB a OC⎧=⋅=⎪⎨=⋅=⎪⎩，则432OC a OC OC =⇒=，所以OD =，由=90ACD ∠︒，要使圆E 经过点,,A C D ，则圆心E 为AD 中点，所以,0)Ea ，故圆E的方程为222()x y +=.故答案为：222()x y +=16. 已知数列{}n a 满足12π3n n a a +=+，集合{}*sin N n S a n =∈，若S 恰有4个子集，则S =______.【答案】1{1,}2-或1{,1}2-【解析】【分析】根据题设sin n a 有且仅有2个对应值，结合等差数列定义得12π2π33n a a n =-+，*N n ∈，根据正弦型函数周期性，只需研究123sin sin ,sin a a a ,是否相等，应用分类讨论求对应集合S .【详解】由S 恰有4个子集，故集合S 共有2个元素，即sin n a 有且仅有2个对应值，由12π3n n a a +-=，即{}n a 是公差为2π3的等差数列，则12π2π33n a a n =-+，*N n ∈，所以n a 的最小正周期为3T =，则角n a 必与123,,a a a 中的一个终边相同，所以S 中有且仅有123sin sin ,sin a a a ,且必有两个相等，若123sin sin sin a a a =≠，则11sin sin )2π3(a a +=1π03a +=，所以1πππ,Z 32a k k +=+∈，则1ππ,Z 6a k k =+∈，故121sin sin 2a a ==±，当121sin sin 2a a ==时，不妨取1π6，则25π6a =，33π2a =，此时1{1,}2S =-满足；当121sin sin 2a a ==-时，不妨取15π6a =-，则2π6a =-，3π2a =，此时1{,1}2S =-满足；若132sin sin sin a a a =≠，则11sin sin )4π3(a a +=1π)06a +=，所以1ππ,Z 6a k k +=∈，则1ππ,Z 6a k k =-∈，故131sin sin 2a a ==±，当131sin sin 2a a ==时，不妨取15π6a =，则23π2a =，313π6a =，此时1{1,}2S =-满足；当131sin sin 2a a ==-时，不妨取1π6a =-，则2π2a =，37π6a =，此时1{,1}2S =-满足；若231sin sin sin a a a =≠，则22sin sin )2π3(a a +=2π)06a +=，所以2ππ,Z 6a k k +=∈，则2ππ,Z 6a k k =-∈，故231sin sin 2a a ==±，当231sin sin 2a a ==时，不妨取25π6a =，则2π6a =，33π2a =，此时1{1,}2S =-满足；当231sin sin 2a a ==-时，不妨取2π6a =-，则15π6a =-，3π2a =，此时1{,1}2S =-满足；综上，1{1,}2S =-或1{,1}2-.故答案为：1{1,}2-或1{,1}2-【点睛】关键点点睛：利用集合子集个数得sin n a 有且仅有2个对应值，根据等差数列定义、正弦型函数的周期性，转化为研究123sin sin ,sin a a a ,且必有两个相等为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，21(1)(21)2n n n a n S ++++=.（1）求n S ；（2）若21(21)n nb n n S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）221n n S n+=； （2）21nn +.【解析】【分析】（1）由题设及,n n a S 关系得221(1)2n n n S n S +-+=，构造新数列并结合等差数列定义写出通项公式，进而可得n S ；（2）应用裂项相消法求前n 项和.【小问1详解】由题设21(1)(21)2()n n n n S S n S ++++-=，则221(1)2n n n S n S +-+=，又12113S a ⨯==，故2{}n n S 是首项为3，公差为2的等差数列，所以232(1)21n n S n n =+-=+，则221n n S n +=.【小问2详解】由（1）得1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ .18. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为锐角，ABC 的面积为S ，()2224bS a b c a =+-.（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如图，若π4ABC ∠=，BC =，O 为ABC 内一点，且1OC =，3π4AOC ∠=，求OB 的长.【答案】（1）直角三角形或钝角三角形 （2）2【解析】【分析】（1）利用面积公式及余弦定理代入化简，然后利用正弦定理边化角可得答案；（2）由（1）的结果得到ABC 为等腰直角三角形，然后解AOC ，可得ACO ∠，进而可得BCO ∠，再解BOC 即可求出OB 的长.【小问1详解】()2224bS a b c a =+-Q ，14sin 2cos 2b bc A a bc A ∴⋅=⋅，即sin cos b A a A =，再由正弦定理边化角得sin sin sin cos B A A A =，sin 0A ≠ ，sin cos B A ∴=，又A 锐角，sin sin 2πB A ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，2πB A ∴=-或2πB A π+-=，2πB A ∴+=或π2B A =+，ABC ∴ 为直角三角形或钝角三角形；【小问2详解】由（1）的结果以及4ABC π∠=，可得4BAC ABC π∠=∠=，ABC ∴为等腰直角三角形，又BC =，AC BC ∴==，为在AOC 中，则215cos 2AO AOC AO +-∠==，解得AO =，负值舍去，又sin sin AO AC ACO AOC=∠∠，sin sin AO AOCACO AC∠∴∠===πcos cos sin 2BCO ACO ACO ⎛⎫∴∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭在BOC中，2222cos 1524BO OC BC OC BC BCO =+-⋅⋅∠=+-=，2BO ∴=.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，116A A A C ==，11A C =1A BC ⊥平面11AAC C .（1）求证：1BC CC ⊥；（2）若11A B A C ⊥，三棱锥1A ABC -的体积为18，点D 在棱AC 上，且12AD DC =，求平面11A DB 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）通过11⊥A A AC 以及平面1A BC ⊥平面11AAC C ，利用面面垂直的性质得1A A ⊥面1A BC ，进而利用三棱柱的性质可得1BC CC ⊥；（2）先利用体积求出1BA ，在利用111,,A B AC A A 两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法可求面面角.【小问1详解】116A A AC ==，11A C =，22221111A A A C A C AC ∴+==，即1A AC △为直角三角形，11A A AC ∴⊥，又 平面1A BC ⊥平面11AAC C ，平面1A BC ⋂平面111AA C C A C =，1A A ⊂平面11AAC C1A A \^面1A BC ，又BC ⊂面1A BC ，1A A BC \^，又11A A CC ∥，1BC CC ∴⊥；【小问2详解】由（1）得1A A ⊥面1A BC ，又11A B A C ⊥，故111,,A B AC A A 两两垂直，则11111116618332A ABC AA C V S BA BA -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，得13BA =，如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,6,0,0,0,3,0,0,0,6,6,3,0,4,0,2A A B C B D -，设面11A DB 的法向量为(),,n x y z =，且()()1114,0,2,6,3,0A D A B ==- ，111420630n A D x z n A B x y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2y =得()1,2,2n =- ，设面ABC 的法向量为()000,,m x y z =，且()()6,3,0,6,0,6AB AC =-=- ，0000630660m AB x y m AC x z ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取01x =得()1,2,1m =，cos ,n m n m n m ⋅∴===，即平面11A DB 与平面ABC20. 2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中A B C D E F、、、、、等高校为C919大飞机做出了重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：（1）某科普博主准备从A B C D E F、、、、、共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求C D、被选到，且C在第2天被介绍的概率；（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从B高校参与的6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求X的分布列与期望.【答案】（1）115;（2）4592; （3）X 的分布列为X345P153515()1313454555E X =⨯+⨯+⨯=.【解析】【分析】（1）C 、D 均被选到，且C 在第2天被介绍有1124C A 种情况，再由古典概型的概率公式即可求得结果；（2）从A 高校参与设计的20人中随机选3人，选到航电设计人员，从对立事件求其概率；选到气动总体设计人员的情况，也从对立事件求其概率，再结合条件事件的概率公式()()()P BC P C B P B =即可求得结果；（3）6个论证项目中，其中有4个项目B 高校参与教师人数为1人；有2个项目B 高校参与教师人数为2人，由分析可知，3,4,5X =，进而写出X 的分布列，求出()E X .【小问1详解】C 、D 均被选到，且C 在第2天被介绍记为事件A ，()112436C A 1A 15P A ∴==.【小问2详解】从A 高校参与设计的20人中随机选3人，选到航电设计人员记为事件B ，从A 高校参与设计的20人中随机选3人，选到气动总体设计人员记为事件C ，()332017320C C 460C 1140P B -∴==,()()()332112321123203312312551251212320C C C C C C C C C C C C 225C 1140P BC ⎡⎤-++++++⎣⎦==,()()()4592P BC P C B P B ∴==,所以在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率为4592.【小问3详解】由题意知，3,4,5X =，()3436C 13C 5P X ∴===;()214236C C 34C 5P X ===;()124236C C 15C 5P X ===.X ∴的分布列为X345P153515()1313454555E X ∴=⨯+⨯+⨯=.21. 已知双曲线Γ：()222210,0x y a ba b -=>>，1A ，2A 为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，1PA 的斜率与2PA 的斜率之积为14．过点()3,0A 且不垂直于x 轴的直线l 与Γ交于M ，N 两点．（1）求Γ的方程；（2）若点E ，F 为直线3x =上关于x 轴对称的不重合两点，证明：直线ME ，NF 的交点在定直线上．【答案】（1）2214x y -=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可知()()12,0,,0A a A a -，根据条件列出方程组，进而即得；（2）设直线MN 的方程为3,0x ty t =+≠，联立双曲线方程求得1212,y y y y +，再由直线ME 和NF的方程，求得交点的横坐标，即可求解．【小问1详解】由题意得()()12,0,,0A a A a -，又P 为Γ上一点，1PA 的斜率与2PA 的斜率之积为14，所以22731414a b ⎧-=⎪=，解得224,1a b ==，所以双曲线Γ的标准方程为2214x y -=；【小问2详解】设直线MN 的方程为3,0x ty t =+≠，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()224650t y ty -++=，则240t -≠，()()2262040t t ∆=-->，设()11,M x y ，()22,N x y ，()3,E m ，()3,F m -，0m ≠，所以12122265,44t y y y y t t +=-=--， 直线ME l ：()1133y m y m x x --=--，NF l ：()2233y my m x x ++=--，联立两方程，可得：()()()()()2122121212112264233335334tmy y y m y m y m y m t m x x x x t x x ty ty ty y t m -+⎛⎫⎛⎫+-+--=--=--=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-，解得43x =，当直线MN 与x 轴重合时，则()()2,0,2,0M N -，ME l ：()25y m x =+，NF l ：()2y m x =--，联立可得43x =，综上，直线ME 与NF 的交点在定直线43x =上.22. 已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.（1）若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；（2）当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.【答案】（1）0a ≤； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，分析极值点情况即可得解.（2）由（1）信息可设1202x x <<<，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得.的【小问1详解】函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞，求导得2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x--'=-++=，当0a >时，若12a =，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点，不符合题意；若102a <<，当02x <<或1x a >时，()0f x '>，当12x a<<时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,2),(,)a+∞上单调递增，在1(2,)a 上单调递减，函数()f x 有两个极值点，不符合题意；若12a >，当10x a<<或2x >时，()0f x '>，当12x a <<时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,),(2,)a+∞上单调递增，在1(,2)a 上单调递减，函数()f x 有两个极值点，不符合题意；当0a ≤时，当02x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，2是函数()f x 的极大值点，且是唯一极值点，所以a 的取值范围是0a ≤.【小问2详解】当0a ≤时，函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，由12()()f x f x =，12x x ≠，不妨令1202x x <<<，要证124x x <，只证124x x <，即证()124f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，就证()2240f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，令4()()(),2g x f x f x x =->，求导得244()()()()g x f x f x x '''=-⋅-22)442(1)(2)(1)(2(2)4(4)(1)4)(2a ax x x x a ax x x x x x x x x=----+-=---+⋅2222282(2)[(24)](1x x a x x a x x x ax x x x x ----++-=-+=⋅223(2)[(1)3]0x a x a x x-++-=<，于是函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，()(2)0g x g <=，而22x >，则2()0g x <，即222244()()0()(f x f f x f x x -<⇔<，又12()()f x f x =，因此124()()f x f x <，显然12402,02x x <<<<，又函数()f x 在(0,2)上单调递增，则有124x x <，所以124x x <.【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.。
辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
（1）证明：直线 l 与椭圆 C 相切；
（2）已知直线 l 与椭圆 D ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 交于 A
， B 两点，且点W
为
AB
的中
点.
（i）证明：椭圆 D 的离心率为定值；
试卷第61 页，共33 页
( ) （ii）记VOAB
的面积为 S
，若 b2
=
4 3
+
1 4n
，证明：
Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an
an+1 an
=
2
答案第11 页，共22 页
所以{an} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
an = 1× 2n-1 = 2n-1
Qa1 = 1 ，符合上式
所以{an} 是通项为 an = 2n-1 的等比数列，A 选项正确；
对于 B，已知 Sn = 2n +1 ，所以 Sn+1 = 2n+1 +1 ， a1 = S1 = 21 +1 = 3
Sn+1 - Sn = 2n+1 - 2n = 2n an+1 = 2n an = 2n-1
Q a1 = 3 ，不符合上式 所以，B 选项错误；
对于 C，已知 an+1 = 2an ，当首项为零时，不符合题意，C 选项错误；
的虚部为 sin1 > 0 ， 因此命题①②③都正确，即正确说法的个数为 3. 故选：A 3．A
【分析】用 Sn 与 an 的关系，求出{an} 通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.
2023届黑龙江省尚志市尚志中学高三上学期12月月考数学试卷
尚志中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题一、单选题(共40分)1．设全集(){}*N 60U x x x =∈-≤，集合{}13,5A =,，{}0,2,4B =，则()AC B U ⋂=（ ）A ．{}2,4B ．{}0,2,4C ．{}1,3,5D ．{}0,2,4,62．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知函数()cos f x x x =，则()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知72cos()4πθ+=则sin2θ=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24255．若12,e e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在数列{}n a 中，已知12a =，122n n naa a +=+，则n a =（ ）A ．21n + B ．2nC ．1n +D ．1n n+ 7．已知点F 是双曲线22221x y a b-=的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G ､H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(2,12)D ．(1,12)8．函数()()221log 816,249,2a a x x x f x a x b x ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩，对任意[]4,2b ∈--，函数()f x 在上满足()()21210f x f x x x ->-，则的取值范围为（ ）A ．()7,9B ．[)7,9C ．[]7,9D ．(]7,9二、多选题(共20分)9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A ．三棱锥C EFG -的体积为1B ．1AC ⊥平面EFGC ．11//AD 平面EFG D ．平面EGF 与平面ABCD 310．函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴 B ．()g x 在ππ(,)26-上单调递增C ．若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则23π29π(,]1212α∈ D ．()g x 在ππ[,]42上的最大值为1211．若正数,a b 满足31=++ab a b ，那么（ ） A ．ab 最小值是13B ．ab 最小值是1C ．a b +最小值是2D ．a b +最小值是312．已知函数()22,02πsin ,242x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论正确的有（ ）A ．52()22f =-B ．函数图像关于直线1x =对称C ．函数的值域为[]1,0-D ．若函数()y f x m =-有四个零点，则实数m 的取值范围是(]1,0-三、填空题(共20分) 13．已知点(0,1)A ，(1,2)B -，向量(4,1)AC =-，则BC =__________．14．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为______.15．过抛物线()220y px p =>焦点F的直线与双曲线2213y x -=的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B 两点，若AF BF>，且2AF =，则p 的值为__________ .16．已知函数()21ln --⋅=xxe ax xf x 在()∞＋,0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题(共70分)17．（1）求展开式63331x x x x⎛⎫⎫⎪⎪⎭⎭中的常数项． （2）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． ①全体站成一排，男生不能站一起；②全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1sin sin cos sin 2B AC C -=. (1)求∠A ；(2)若2c =，D 为BC 边的中点，72AD =，求a 的值. 19．已知数列{}n a 的前n 项和nS 满足2392222n n S a n n =-+-． (1)求1a ，并证明数列{}3n a n +为等比数列；(2)若(3)nn b n a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PD =，PA PD ⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为AB 上的动点（与,A B 两点不重合）．(1)判断平面PAE 与平面PDE 是否互相垂直？如果垂直，请证明：如果不垂直，请说明理由； (2)若2AB AD ==，试求二面角D PE C --的余弦值的绝对值的取值范围．21．已知1F ，2F 是椭圆E ：()222210y xa b a b+=>>的两个焦点，点()1,2A -在椭圆E 上，且12AF F △6(1)求椭圆E 的方程.(2)过点()2,0B 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，直线AC ，AD 分别与直线2x =交于M ，N 两点.若MBm =，NB n =，试问()2m n mn+是否为定值？若是，求出该定值；若不是说明理由. 22．已知函数()2ln f x x x x x =-+.(1)设()f x 的零点为m ，求曲线()y f x =在点()0m ,处的切线方程； (2)若不等式()()()22120af x a a x ax a ≤+--≠对1,e x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭恒成立，求的取值范围月考答案一．选择题：1-8ABAACBBB 9AB 10AC 11BC 12AC二．填空题（13）（14）（15）1 （16）（0，）三．解答题17（1）由题知：原式＝，的通项为，令，得；令，得.即原式展开式中的常数项为：．（2）①先将女生全排有种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，由乘法原理共有种排法．②将甲乙捆在一起，与剩下的3人（除丙丁）全排，再将丙丁插空到5个空隙中的2个有种，再将甲乙交换位置有种，由乘法原理共有种．18（1）由题意得，所以，所以.因为，所以.因为，所以.（2）由，可得.因为，，，所以，解得.因为，所以.19（1）当时，，，当时，①，②，由②①得，，，∴是一个以2为首项，公比为2的等比数列．（2），,①②由①②，得，.20（1）平面平面，证明如下：平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）取中点，连接，，为中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，平面，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，设，则，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，，，，，，，即，二面角的余弦值的绝对值的取值范围为.21（1）因为，所以，解得，将代入椭圆方程得，又，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，，联立直线和椭圆方程得①，，解得，当时，，此时直线与椭圆相切，代入①得，所以，，，，直线：，将，代入得，所以，同理可得，则，，，所以是定值，定值为4.22（1）由题意可得的定义域为，，设函数，则在上是增函数，又，所以，因为，所以，且，所以曲线在点处的切线方程为即.（2）由对恒成立，得对恒成立，当时由，得，设函数，则，当时，，当时，所以在上是增函数，在上是减函数，所以的最大值为，则，又，解得．当时，由，得，当时，，当时，，所以的最小值为0，则，又，得，综上a的取值范围是.。
届高三数学12月月考试题理试题
外国语2021届高三数学12月月考试题 理创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日本套试卷满分是150分，考试时间是是100 分钟。
考前须知：1．在答题之前，考试必须先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写上在相应位置；2．答选择题时，必须使需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案标准、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效； 5．在在考试完毕之后以后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第一卷一、选择题1. 集合{A k =∈N |10-∈k }N ，{|2B x x n ==或者3,x n n =∈}N ，那么〔 〕A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 假设复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位〕，那么〔 〕A ．-2-4iB ．-2+4iC ．4+2iD ．4-2i 3.?九章算术?中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ 〞其大意：“直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？〞现假设向此三角形内随机投一粒豆子，那么豆子落在其内切圆外的概率是〔 〕 A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 4、ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，那么“223x <<〞是“ABC ∆有两个解〞的 ( )A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件5. ?九章算术?是我国古代的数学名著，表达了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输〞中，有一竹节容量问题，某老师根据这一问题的思想设计了如下图的程序框图，假设输出的值是35，那么输入的值是〔 〕 A. B. C. D.6、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 〕A ．2843122++B ．3643122++ C. 3642123++ D ．44122+ 7、变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，假设目的函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，那么实数a 的取值范围为 ( )A.),21(+∞ B ．(3,5)C ．(－1,2)D.)1,31(8、将函数的图像仅向右平移个单位或者仅向左平移个单位，所得的函数均关于原点对称，那么= ( )A .B .C . D. 9、是上可导的增函数，是上可导的奇函数，对都有成立，等差数列的前项和为，f(x)同时满足以下两件条件：，，那么的值是〔 〕A . 10B . -5 C. 5 D. 1510、 如右图所示,点G 是ABC ∆的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点,且,那么2x y +的最小值( )A ．2B ．13 C ．3223+ D ．3411、抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于A ，B 两点，且，那么直线AB 与x 轴交点横坐标为 ( )A . B. C . D . 212. ()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(xf x e x f x e=++是自然对数的底数〕，()01f =，假设不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，那么实数k 的取值范围是〔 〕A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题13、在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.假设6cos b aC a b+=， 那么tan tan tan tan C CA B+的值是________14、假设,那么____15、椭圆点M 与椭圆的焦点不重合，假设M 关于焦点的对称点分别为A,B ，线段MN 的中点在椭圆上，那么|AN|+|BN|=_____________ 16、对于定义域为上的函数f(x),假如同时满足以下三条：(1)对任意的,总有, (2)假设,都有成立(3)假设，那么 那么称函数f(x)为“超级囧函数〞。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案
2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x x =-≤≤，{}2230B x x x =+-≤，则()RAB =（ ）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．[)3,1-D ．[]3,1-【答案】A【分析】求出集合B ，用补集和交集的运算性质计算即可.【详解】因为集合{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以{}31R B x x x =-或．又{}32A x x =-≤≤，所以(){}12R A B x x ⋂=<≤． 故选：A ．2．设函数()2log f x x =，若13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.2C f e =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a b c <<【答案】A【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，由此可得3(log 2)a f =，然后利用对数函数和指数函数的性质比较0.253log 2,log 2,e 的大小，从而可比较出a ，b ，c 的大小【详解】解：因为22()log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以1333(lo lo g 2)(log 22)g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，当0x >时，2(x)log f x =在(0,)+∞上为增函数， 因为530log 2log 21<<<，0.201e e >=， 所以0.2530log 2log 2e <<<， 因为()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以0.253(log 2)(log 2)()f f f e <<，所以b a c <<， 故选：A【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.3．已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=，若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．40,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．400,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由奇偶性求得()f x ，()g x ，化简不等式，并用分离参数法变形为()()24e e eex x xx a --+≤-，设e e x x t -+=，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a 的范围．【详解】解：已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，则()()()(),f x f x g x g x =-=--，又()()e x f x g x +=①，则()()()()e e x xf xg x f x g x ---+-=⇒-=②，由①②可得()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==， 则不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，转化为：()2e e e e 04x xx x a ---+-≥在()0,ln3上恒成立，因为()0,ln3x ∈，所以e e 0x x -->，即()()()()224e e 4e e e e e e 4x xxxx xxxa ----++≤=-+-，令e e x x t -+=，则24444t a t t t≤=--，e e x x t -=+，()0,ln3x ∈，则e e 0x x t -'=->，e e x x t -=+在()0,ln3上是增函数，102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又4y t t =-在102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是增函数，所以432015t t <-<，则41548t t >-， 又()()24e e ee x x xx a --+≤-在()0,ln3x ∈上恒成立，则158a ≤． 则正实数a 的取值范围是150,8⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D ．4．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由1()02f ->排除两个选项，再由2x >时，()0f x >排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln 1f x x x =+-，所以113()ln 0222f -=>，故排除C ，D ，当2x >时，()(1)ln(1)0f x x x =+->恒成立，排除A ， 故选：B ．5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为A ．18B ．17C ．15D ．13【答案】D【分析】由已知可得()221T k Z k π=∈+，结合2T πω=，得到21k ω=+（k Z ∈），再由96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，可得1692ππ-≤T ，即9T π≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1+42442k T k Z πππ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()221T k Z k π=∈+， 又2T πω=，∴21k ω=+（k Z ∈）．∵96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，∴1692ππ-≤T ，即9T π≥，∵221T k π=+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，174k πϕπ-+=，k Z ∈，∴174k πϕπ=+，k Z ∈，∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 174A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴17ω=不符合题意； ②当7k =，即15ω=时，154k πϕπ-+=，k Z ∈，∴154k ϕππ=+，k Z ∈， ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=-，此时()sin 154A x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴15ω=不符合题意； ③当6k =，即13ω=时，134k πϕπ-+=，k Z ∈，∴134k ϕππ=+，k Z ∈． ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 134A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴13ω=符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，ω对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.6．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA ==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）A 3B ．3C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯3=.故选：B7．在等差数列{}n a 中，12022a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2022S =（ ） A ．2021 B ．-2021C ．-2022D ．2022【答案】C【分析】由等差数列前n 项和公式可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据1082108S S -=可得公差为1，即可求解20222022S的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，故1()2n n n a a S +=，则12n n S a an +=，当2n ≥时，11112n n S a a n --+=-，则111111222n n n n n n S S a a a a a an n ---++--=-=-， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ．又10822108S S d -==，即1d =，又1120221S a ==-，所以()202212023n S n n n =-+-=-+，所以20222023202212022S=-+=-，即20222022S =-． 故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2e xf x f x -=，当0x >时，()()0f x f x +'>，若()()1e 212a f a f a -+≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．][(),11,-∞-⋃+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+【答案】C【分析】令()()e x g x f x =，根据()()2e xf x f x -=，可得()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，再根据当0x >时，()()0f x f x +'>，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再根据()()1e 212a f a f a -+≥+，即()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，即()()212g a g a +≥+，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()()2e xf x f x -=，所以()()()e e ex x xf x f x f x --==-， 令()()e xg x f x =，则()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()0f x f x +'>，所以()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在(),0∞-上单调递减， 因为()()1e212a f a f a -+≥+， 所以()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，所以()()212g a g a +≥+， 即212a a +≥+， 解得1a ≤-或1a ≥. 故选：C.【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.二、多选题9．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=；②m ∀，()0,n ∈+∞，当m n ≠时，都有()()0f m f n m n-<-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()()34f f >-B ．若()()12f m f -<，则()3,m ∈+∞C ．若()0f x x<，()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ≤【答案】ACD【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A ，根据函数性质比较函数值大小；对于B ，()()12f m f -<，等价于12m ->，求得参数范围；对于C ，若()0f x x<，分类讨论求得不等式解集；对于D ，根据函数的性质知，函数存在最大值()0f ，从而满足条件.【详解】由①知函数()f x 为偶函数；由②知，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递减； 则函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增； 对于A ，()()3(3)4f f f =->-，故A 正确；对于B ，()()12f m f -<，则12m ->，解得()(,3,1)m ∈⋃-∞-+∞，故B 错误； 对于C ，若()0f x x<，由题知()1(1)0f f -==，则当0x >时，()0f x <，解得1x >；当0x <时，()0f x >，解得10x -<<，故C 正确；对于D ，根据函数单调性及函数在R 上的图形连续知，函数存在最大值()0f ，则只需()0M f ≥，即可满足条件，故D 正确； 故选：ACD10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的有（ ）A ．166AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1AA 与1B C 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】ABD【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，及线面垂直的判定定理逐项分析即得.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，则11AC AB AD AA =++， ()2211AC AB AD AA =++()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()3636362366cos60216=+++⨯⨯⨯︒=，所以166AC =A 选项正确；由题可知四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC ， 又BD AD AB =-，()1111BD CC AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅66cos6066cos600=⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以1BD CC ⊥，即1BD CC ⊥，由于1AC CC C ⋂=，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ， 所以BD ⊥平面1ACC ，B 选项正确；由题可知1BB 与1B C 的夹角为120，也即1B C 与1AA 的夹角为120，C 选项错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()22222111112BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅()363636266cos6066cos6066cos6072=+++⨯⨯⨯︒-⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以162BD =AC AB AD =+，()2222236266cos 6036108AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=，所以63AC =()()11BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 266cos6036=⨯⨯⨯︒=，设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,6BDAC BD AC BD ACθ⋅===⋅D 选项正确. 故选：ABD.11．关于函数()cos 2cos f x x x x =-⋅，则下列命题正确的是（ ） A ．存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立 B ．()f x 在区间[]63ππ-，上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度后与()2sin 2g x x =的图象重合. 【答案】AC【分析】化简f (x )的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒【详解】()cos 2cos cos 222cos(2)3f x x x x x x x π=-⋅==+，A 选项，周期为22ππ=，根据f (x )图像的对称性知存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立，A 对；B 选项，[],20,,2cos 633x x y t ππππ⎡⎤∈-⇒+∈=⎢⎥⎣⎦在[]0,t π∈上单调递减，故()f x 在区间[]63ππ-，上单调递减，B 错；C 选项，因为()2cos(2)012123f πππ=⨯+=，所以函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称，C 对； D 选项，()f x 的图象向左平移512π个单位长度后为()52cos 22sin 22sin21233h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 错； 故选：AC.12．树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第()*,2n n n ∈N 天募得的捐款数为1180012n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭元.若甲小组前n 天募得捐款数累计为n S 元，乙小组前n 天募得捐款数累计为n T 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ） A ．66S T >B ．甲小组募得捐款为9550元C ．从第7天起，总有n n S T <D ．121800800,2142n n nT n n --=+⋅≤≤且*n ∈N 【答案】AC【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B 错误； 利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D 错误； 计算出66,S T ，比较得到大小；令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，先计算出70C >，再结合数列单调性得到答案. 【详解】由题可知114n ≤≤且*n ∈N ， 设n a 代表第n 天甲小组募得捐款，且0n a >，对于甲小组，11000,50a d ==-，所以()115010500n a a n d n =+-=-+>，所以120n ≤≤， 所以()12251025,142n n n a a S n n n +==-+且*n ∈N ，所以149450S =，故选项B 不正确；设n b 代表第n 天乙小组募得捐款，由题可知，11000,118001,22n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以12321600111400800180018001222n n n T b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()231111140080018002222n n -⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭，*1800800400,22,14n n n n -=+-∈≤≤N ，故选项D 错误； 因为6665250,5175S T S ==<，故该选项A 正确；选项C ，令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，所以737.50C =>， 而当7n ≥时，18005020002n n n C C n +-=+->， 所以数列{}n C 为递增数列，因此0n n S T -<，所以n n S T <，故选项C 正确. 故选：AC三、填空题13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） 【答案】2027【分析】n 年后产生的垃圾为()3000150%n⨯+，得到不等式()3000150%30000n⨯+>，解得答案. 【详解】n 年后产生的垃圾为()3000150%n ⨯+，故()3000150%30000n⨯+>，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()lg3lg21n ->，即1 5.68lg 3lg 2n >≈-，故6n ≥， 故2027年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为：202714．在三角形ABC 中，已知1tan 2A =，1tan 3B =，若2sin()sin()sin cos x A x B C x ++=，则tan x 的值为__________． 【答案】43-或12【分析】由tan 12A =，1tan 3B =解出A ，B ，C 的正余弦值，将等式化简后代入，解出tan x . 【详解】因为tan 12A =，1tan 3B =，A ，()0,πB ∈， 所以5sin 5A =，5cos 52A =，10sin 10B =，310cos 10B =，2sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=． ()()()()22sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x A x B x A x A x B x B C xx++++==，即()()25102sin cos 3sin cos 2510cos 2x x x x x ⨯++=， 所以()()2tan 13tan 15x x ++=，解得4tan 3x =-或1tan 2x =.故答案为：43-或12．15．如图所示，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ､B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________【答案】2-【分析】由向量的线性运算得2PA PB PO +=，因此()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅，只要求得PO PC ⋅的最大值即可，这可由基本不等式得结论． 【详解】解：因为O 为AB 的中点，所以2PA PB PO +=，从而()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅.又2PO PC OC +==为定值，再根据2()12PO PCPO PC +⋅≤=，可得22PO PC -⋅≥-，所以当且仅当1PO PC ==时，即P 为OC 的中点时，等号成立，()PA PB PC +⋅取得最小值是2-， 故答案为：2-. 16．若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是______. 【答案】[)2,+∞【分析】求出导函数，只需()0f x '=有正解，分离参数可得1a x x=+，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为()0,∞+，导函数为()1f x x a x'=-+，使得存在垂直于y 轴的切线，即()0f x '=有正解，可得1a x x=+有解， 因为0x >，所以12a x x =+≥，当且仅当“1x x=，即1x =”时等号成立， 所以实数a 的取值范围是[)2,+∞ 故答案为：[)2,+∞四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1126sin sin A B +=3C π=，6c =. (1)求证：2a b +=； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得sin A =sin B =再由11sin sin A B+=11a b += （2）由余弦定理结合（1）的结论可求得12ab =，从而可求出三角形的面积 【详解】（1）证明：3C π=，6c =，所以sin cC=根据正弦定理得sin A =sin B =，又11sin sin A B+=所以11a b +=2a b +=（2）由余弦定理得()2222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 由（1），得a b +=，结合6c =可得()26720ab ab --=. 即()()1260ab ab -+=，解得12ab =或6ab =- （舍去），所以1sin 2ABCSab C ==18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+. （1）证明：{}1n a -为等比数列； （2）设1n n b =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14【解析】(1)利用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值【详解】解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥, 故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-, 所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122n n n b n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭, 所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥. 故t 的最小值为14.【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，2803,020,()3000(2)90,20.(1)x x H x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪+⎩(1)写出年利润()M x （万元）关于年产是x （万箱）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况讨论，根据利润=销售收入-成本得到函数解析式； （2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：当020x <≤时，()()2280340100318040M x x x x x x =---=-+-，当20x >时，()()()()()30002300029010040104011x x M x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩； （2）解：当020x <≤时，()223180403(30)2660M x x x x =-+-=--+，对称轴为30x =，开口向下，故()max ()202360M x M ==，当20x >时，()()()3000210401x M x x x -=-+-+()()300013 10401x x x +-=-+-+90001029601x x =--++ ()900010129701x x =-+-++ ()90002101297023701x x ≤-+⋅+=+， 当且仅当()90001011x x +=+，即29x =时，等号成立，因为 23702360>，所以当29x =时，利润最大，最大值为2370万元，故年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD π∠=∠=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； (3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ⊥． 【答案】3215(3)证明见解析【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示PC 再进行模长计算即可； （2）由基底表示PC 、BD ，再代入向量夹角公式计算即可； （3）由()AP DE AP AE AD ⋅=⋅-计算即可得结果. 【详解】（1）因为PC PA AC PA AB AD =+=++，所以222222244122213PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯=， ∴||3PC =，所以线段PC（2）∵()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++⋅-PA AD AB AB AD AD PA AB AB AD AD AB=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅111222112200222=-⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯+-=-，||5BD =，∴cos ,3PC BD PC BD PC BD⋅-<>===⋅故异面直线PC 与BD . （3）因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又∵()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=，∴AP DE ⊥，即PA ED ⊥． 21．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos (0)m x n x x ωωωω=-=>，函数()f x m n =⋅图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()012f x =，求0cos2x 的值.【答案】（1）1()sin(2)62f x x π=--；（2）【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-，化简，由条件22T ππω==求得参数1ω=，从而写出解析式.（2）由()012f x =得0sin(2)6x π-=，根据角的范围求得0cos(2)6x π-，从而有0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---，求得结果.【详解】（1）由题知，()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-1cos 212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--， 又函数相邻两条对称轴之间的距离为2π.即22T ππω==，则1ω=，1()sin(2)62f x x π=--（2）由题知，0011()sin(2)622f x x π=--=，则0sin(2)6x π-=07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当02,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，0)6sin(2x π-∈，而0sin(2)6x π-=， 因此02,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时0cos(2)6x π-= 则0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---12==22．已知函数()()1ln R f x x a ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行.(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点12x x ，，且12x x <，求证：121x x +>.【答案】(1)=2a ，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出a ，然后分析导函数的符号得出函数()f x 的单调性；（2）由已知得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，得121211ln ln 022x x x x -+-=，即有1212122ln x x x x x x -=，令12,x t x =构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()h t 的单调性和范围可得证.【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,∞+，由()1ln f x x ax =+可得()211f x x ax'=-， 所以由题意可得()11112f a=-='，解得=2a ， ()1ln 2f x x x∴=+， ()22112122x f x x x x -'∴=-=， 令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令0fx，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增； （2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=， 因此1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<， 则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<， 则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->，故命题121x x +>得证【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数证明有关函数零点的不等式，解题思路是对两个零点120x x <<，引入参数1201x t x <=<，把有关12,x x 的表达式表示为t 的函数，然后再由导数研究新函数得证结论。
福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题(解析版)
福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ） A ．23B ．233πC ．23π D ．32π 3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．137．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．2311．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π412．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________. 四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △2(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A(),A B(),B A(),B B甲30天20天40天10天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >【答案】D【分析】由于集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >,从而可求出k 的取值范围 【详解】解：因为集合A 中至少有2个元素， 所以2log 3k >，解得8k >， 故选：D2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ）A ．23B C D 【答案】B【分析】分别计算侧面积和面积作比即可. 【详解】设底面圆的半径为r ，则母线长为2r ， 得侧面积是212222r r r ππ⨯⨯=轴截面是一个正三角形，边长为2r ， 则其面积2122sin6032r r r ⨯⨯⨯= .故选：B3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tan y x =与sin y x =的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tan y x =的对称中心为(π,0),Z 2kk ∈，sin y x =的对称中心为(π,0),Z k k ∈，tan y x=的对称中心不一定为sin y x =的对称中心；sin y x =的对称中心一定为tan y x =的对称中心. 故选：B ．4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】D【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算整理的()2221b a -=+，即复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上，根据圆的性质求z 的最大值.【详解】设()=+i,,R z a b a b ∈，则()()2i=+2i,+2i=2i z a b z a b ----∵()()()()()222i 2i =2i 2i 21a b a b b z z a +----=⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦+⎦⎣-∴复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上圆()2221x y +-=的圆心()0,2C ，半径=1r ，则z 的最大值为3OC r +=，其中O 为复平面的坐标原点 故选:D.5．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得3k d =+，由0d >，即可得k 的最小值. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ， 则0d >，1q >，因为121a b ==，26a b =， 所以41d q +=①，而10k a b =， 所以81(1)k d q +-=②，由①②得：2(1)1(1)d k d +=+-， 即3k d =+，0d >，k *∈N ，所以k 的最小值为4. 故选：B6．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．13【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=， ∴21522522)23333333323(2)(x y x yx y y x x xy y y x +=+=⋅++≥++，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值. 7．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>【答案】A【分析】由双曲线定义有122F F c =、122F N F N a -=，结合正多边形的性质求得12F N F N -关于c 的表达式，即可求各图对应双曲线的离心率.【详解】在图1中，122F F c =，又122(31)F N F N a c -==，则1232e =-在图2中，122F F c =，221210(2)2F N c c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，22F N =， 121022F N F N a --==，则2102e =-． 在图3中，122F F c =，212F N c =，由余弦定理得：2211221222cos 60F N F F F N F F F N =+-︒13=，121312F N F N a --==，则3131e =-． 因为232102131<，所以123e e e >>． 故选：A8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-【答案】C【分析】对()f x 求导得()f x '，得到m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系可得m ，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()ln f x x x ax =+-得：2121()2x ax f x x a x x-+=+-=' m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系得：1,22a m n mn +==，故12n m=22222221()()ln ln lnln 24m f m f n m m am n n an m n m m n m-=+---+=-+=+-， 令[]2,1,4x m x =∈记[]1()ln 2,1,44g x x x x x =+-∈，则()222222111414()10444x x x g x x x x x----'=--==<，故()g x 在[]1,4x ∈上单调递减. ()()max 311n24g x g ==-故选：C二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+ B ．-≤-a b C ．22a b ≥ D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确； 因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确； 2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】BCD【分析】由题得()2sin 6πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，令6x k πωπ-=，求出,6k x ππωω=+解不等式062ππω<得解.【详解】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得,06k x ππωωω=+>，取k ＝0， 062ππω∴<，即13ω． 故选：BCD11．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4【答案】BCD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明PA ⊥平面EFP ，根据面面垂直判定定理证明平面APF ⊥平面EPF ，判断B ，根据锥体体积公式求三棱锥P AEF -的体积判断A ，由线面垂直的性质判断C ，由球的截面的性质判断D.【详解】由已知22215F AE A =+22112=+=EF 翻折前AB BE ⊥，CE CF ⊥，AD DF ⊥， 翻折后，则有PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF ⊥， 因为PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF P =，,PE PF ⊂平面EFP ，所以PA ⊥平面EFP ，因为PA ⊥平面EFP ，PE PF ⊥，又1PE PF ==，2PA =，所以111123323P AEF A EFP EFPV V SAP --==⨯⨯=⨯⨯=，A 错误，因为PA ⊥平面EFP ，又PA ⊂平面APF ，所以平面APF ⊥平面EPF ，B 正确，因为PA ⊥平面EFP ，EF ⊂平面EFP ，所以PA EF ⊥， 因为PA PF ⊥，PE PF ⊥，PA PE P =，,PE PA ⊂平面PAE ，所以PF ⊥平面PAE ，又AE ⊂平面PAE ，所以PF ⊥AE ， 同理可证PE AF ⊥，所以三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直，C 正确， 将三棱锥P AEF -补成长方体PEQA FGNH -，则三棱锥P AEF -的外接球球心O 为体对角线PN 的中点， 且2226PN PE PF PA =++O 的半径为6R =， 所以，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面圆的半径设为r ， 设球心O 到截面圆的距离为d ，则0d OM ≤≤， O 、M 分别为PN 、PH 的中点，则1122OM HN ==， 则102d ≤≤，又22r R d -12d =时，2r 取最小值54，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4，D 正确， 故选：BCD.12．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】问题可转化为,a b 是()ln xf x x=大于2的两个不同零点，利用导数研究单调性并作出图象，结合图象即可求解【详解】因为实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，所以ln ln b a a b =，即ln ln b a a b =， 所以ln ln a ba b=， 令()ln xf x x=，()21ln xf x x -'=， 令0f x解得0e x <<，令()0f x '<解得e x >，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞上单调递减， 作出()ln xf x x=的图象如下：2a >，2b >，不妨设a b >，()()()()ln 2ln 4ln 22,4,24242f f f f ====， 由图象可知：e 4a <<，2e b <<，且422a b -<-=， 所以AB 正确，CD 错误； 故选：AB三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________． 【答案】2y x =【分析】求出两圆圆心坐标，过两圆圆心的直线即为所求直线. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心， 所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 故答案为：2y x =.14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）【答案】30.84【分析】先利用二项式定理将原式化为5(10.998)1+-，再变形为5(20.002)1--，利用二项式定理展开，并近似计算．【详解】原式55(10.998)1(20.002)1=+-=--32051423255555555344C 2C 20.002C 20.002C 20.002C 20.002C 0.0021=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-320.16130.84≈--=故答案为：30.84．15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______ 【答案】2022-【分析】根据()πf x +的图象关于点()π,0-对称判断函数为奇函数，再赋值法确定()3f 的值，进而得到函数是周期函数，找出()2023f 与()1f 的关系可得答案.【详解】()πf x +的图象关于点()π,0-对称，所以()f x 的图象关于点()0,0对称， 即()f x 为奇函数，在()()()63f x f x f =-+中，()()()()36333=0f f f f =-+∴，， 所以()()6f x f x =-，又()(),f x f x =--∴()()6f x f x --=-,()()6,f x f x ∴-=+()()()()612,12f x f x f x f x ∴-+=+∴=+， 所以()f x 是12T =的周期函数，()()()()()202312168776112022.f f f f f =⨯+==+=-=- 故答案为：2022-16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________.【答案】【分析】设直线AB ，MN 的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB ，MN 是过定点的，运用几何意义即可求解.【详解】设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my n A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x my n =+代入24y x =中有2440y my n --= ，故12124,4y y m y y n +==-，又1244,22PA PB k k y y ==++， 所以()()()121212124441442224212PA PB y y m k k y y y y y y m n++++=+===++++++-，解得1n =-， 故直线AB 过定点()1,0Q -.因此点E 在以PQ 为直径的圆上， 同理点F 在以PQ 为直径的圆上.PQ =； 故点E F ､距离的最大值为圆的直径故答案为：四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ． 【答案】(1)证明见解析..【分析】（1）将2sin sin sin()A C B A =+-化为2sin sin()sin()A B A B A =++-，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦定理角化边，即可证明结论;（2）利用（1）的结论和题设，结合余弦定理可推出a c =，再用222cos 2a c b B ac +-=化简求值，可得答案.【详解】（1）由题意知，2sin sin()sin()A B A B A =++-， 所以2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A =++-， 所以2sin 2sin cos A B A =，而(0,π),sin 0B B ∈≠ ，结合正弦定理，所以sin cos sin A aA B b==. （2）由（1）知：222cos 2a b c a A b bc+-==, 所以222ac ac c a =+-，即220a c ac -+=，所以2210a ac c+-=解得a c =（舍）,所以2222211cos 11)2222a c b a c ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-== ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn b =-(2)123236n n S n +=⋅--【分析】（1）先化简()()1311122n nn n a a +--+-=+，再推导出111n n b b +++等于一个常数，即可求解；（2）结合第一问，先求出数列{}n a 的满足的规律，然后再求和.【详解】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Za a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，， 所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+， 其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121nn n b a -==-，22122(21)n n n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n n n S =-+-+-++-+-+-+-++-1233[(21)(21)(21)(21)]n =-+-+-++-1233(2222)3n n =++++-2(12)3312n n -=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)9331【分析】（1）取CD 中点N ，连接,MN NF ，先明平面//MNF 平面PAD ，再证明结论；（2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：证明：取CD 中点N ，连接,MN NF ， 因为M 为CE 中点，所以//MN DE ， 因为MN ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD 所以//MN 平面PAD ，又因为//AD BC ，F 为AB 中点， 所以//FN AD ，因为FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以//FN 平面PAD ，因为MN FN N ⋂=，MN 、FN ⊂平面MNF ， 所以平面//MNF 平面PAD ， 又因为MF ⊂平面MNF ， 所以//MF 平面PAD ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设4AD a =，()0,43E a t t -，()0,2t a ∈，则()0,0,0A ，()2,0,0F ，()4,2,0C ， ()2,2,0FC →=，()2,4FE a t →=--，平面PAD 的法向量为()1,0,0m →=，直线EF 与平面PAD 所成的正弦值为FE mFE m→→→→⋅==⋅，当ta =1sin302=︒=， 解得1a =，(FE →=-， 设平面CEF 的法向量为(),,n x y z →=， 220230FC n x y FE n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y=)n →=，3cos ,311n m n m n m⋅===⋅⋅ 所以平面CEF 与平面PAD20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈. 【答案】(1)73；79 (2)0.8 (3)20【分析】（1）利用题给条件和平均数与第三四分位数的定义即可求得这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（2）利用正态分布的性质即可求得该成绩在区间()6295，的概率； （3）利用独立事件同时发生的概率列出关于n 的不等式，解之即可求得n 的最大值. 【详解】（1）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35701078.7540+⨯=， 则这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值分别为73，79 （2）()()11629520.680.960.820.822P P ξμσξμσ<<=-<<+≈⨯+⨯=≈，（3）()0.80.01n≥，即0.8lg0.012log 0.0120.62lg0.83lg21n -≤==≈-， 故n 的最大值为20.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22142x y += (2)APB ∠为定值90【分析】（1）由离心率可得,,a b c 之间关系，根据通径长可得2b PC a=，由2PACPOCS S=可构造方程求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设直线():0AP y kx k =>，结合斜率公式可求得2AC kk =，由此可得直线AC 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得B 点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得0PA PB ⋅=，由此可得结论. 【详解】（1）椭圆离心率22c e a ==，2212c a ∴=，则222212b a c a =-=， 当C 为椭圆右焦点时，212b PC a a ==； 211122222224PACPOCSSc a ac a ==⨯⋅===，解得：24a =，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）由题意可设直线():0AP y kx k =>，()00,P x kx ，()11,B x y ， 则()00,A x kx --，()0,0C x ，0002AC kx kk x x ∴==+，∴直线()0:2k AC y x x =-； 由()0222142k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22222002280k x k x x k x +-+-=， 2001222k x x x k ∴-+=+，则2010222k x x x k =++， ()2300110002222222k x k x k k y x x x x k k ⎛⎫∴=-=+-= ⎪++⎝⎭，23000222,22k x k x B x k k ⎛⎫∴+ ⎪++⎝⎭；2002222,22k x kx PB k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，又()002,2PA x kx =--，()20000222222022k x kx PA PB x kx k k ⎛⎫∴⋅=-⋅+-⋅-= ⎪++⎝⎭，则PA PB ⊥，APB ∴∠为定值90.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理的结论表示出所求量； ④化简整理可得定值.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >． 【答案】(1)0.3，0.4； (2)分布列见解析，1.9； (3)证明见解析.【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明()()()P NM P N P M >⋅，由此证明()()P M N P M N >.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”， 事件D 为“乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40， 所以()300.3100P C ==，()400.4100P D ==． （2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1， 乙员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2，记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1、2， 所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=． （3）由题知()()P N M P N M >，即()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-，即()()()P NM P N P M >⋅，即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-， 即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，即()()()()P NM P NM P N P N >，即()()P M N P M N >．。
2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}39xA x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=（ ）A ．[)1,0-B ．()0,5C ．[]0,5D ．[]22-,【答案】D【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{}{}392xA x x x =>=>，故{}U2A x x =≤ ，所以(){}[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-.故选:D2．在复平面内，3i1i-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】先化简3i1i-+，即可判断. 【详解】()()()23i 1i 3i 3i 3i 33i 1i 1i 1i 222----+===--++-，故3i 1i -+对应的点为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.3．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：由上表可知其线性回归方程为ˆˆ0.16y bx =+，则ˆb 的值是（ ）．A ．0.28 B ．0.32 C ．0.56 D ．0.64【答案】A【分析】先计算x ，y ，再根据样本中心点(),x y 适合方程ˆˆ0.16ybx =+解得ˆb 的值即可. 【详解】由表中数据可得1234535x ++++==，0.50.61 1.4 1.515y ++++==，将()3,1代入ˆˆ0.16ybx =+，即ˆ130.16b =⨯+，解得ˆ0.28b =． 故选:A ．4．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（ ）A ．34-B ．34C ．32-D ．32【答案】A【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos αα-1sin cos 2αα-=， 所以()21sin cos 12sin co 4s αααα-=-=，则3sin cos 8αα=， 故3sin sin cos 3811tan cos sin 42αααααα===----. 故选：A.5．已知平面向量a ，b 满足3a =3b =，()a b b -⊥，则sin ,a b =（ ） A ．13B ．23CD【答案】D【分析】由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=化简结合已知条件和数量积公式可求出cos ,a b ，再利用同角三角函数的关系求出sin ,a b 的值【详解】由于()a b b -⊥，所以()22cos ,0a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⋅⋅-=，21cos ,03ba b a b==>⋅， 所以,0,2πa b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2122sin ,133a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：D6．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是56，则输入的()*n n N ∈是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】模拟程序运行，得出程序的功能是求和()101231i ++++++-，结合条件从而可得出答案.【详解】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出：()101231S i =++++++-根据题意可得()10123156S i =++++++-=即()()11231552i i i ⨯-++++-== 解得：11=i所以当11112i =+=时，则中止循环，故12n = 故选：C7．()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是（ ）A ．5B ．15C ．20D ．25【答案】B【分析】根据题意得到()52x x y +与()25y x y x+的展开式通项，列出方程即可得到结果.【详解】因为()()()2255522y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，()52x x y +的展开式通项为561552C 2C kkk kk k k T x xy x y --+=⋅⋅=⋅⋅，()25y x y x+的展开式通项为2542155C C r r r rr r r y S x y x y x --++=⋅⋅=⋅⋅， 由6343k r -=⎧⎨-=⎩可得31k r =⎧⎨=⎩因此()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数为31552C C 15-=.故选:B.8．已知函数()()22cos10,2xf x x x ωωω=->∈R ，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的最大值是（ ）． A ．16B ．34C ．1112 D ．53【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数零点性质，即可求解．【详解】()2π2cos1cos 2sin 26xf x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭， 令()0f x =，()ππ6x k k ω+=∈Z ，()ππ6k x k ωω=-∈Z ． 又函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，所以6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩，解得()1116212k k k ω+-≤≤-∈Z ，0ω>， 所以0k =，5012ω<≤，1k =，511612ω≤≤，所以ω的最大值是1112． 故选：C ．9．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，||3||PA AB =，则直线PB 与直线AC 所成角的余弦值是( ) A ．110BC ．15D【答案】D【分析】连接BD 交AC 于O ，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．运用中位线定理，可得AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解△AOE ，即可得到所求值． 【详解】连接BD ，与AC 交于O 点，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．由中位线定理，可得OE PB ∥，且1||||2OE PB =， 即有AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角． 由PA ⊥平面ABCD ，设||3||3PA AB a ==， 可得直角△PAB 中，|10|PB a =，|10|OE =， 在直角△PAD 中，11||||02AE PD =， ∴AOE △为等腰三角形， 在正方形ABCD 中，12||||2AO AC ==， 可得12522cos 11|20|||AO OE AOE a ∠=．故选：D ．10．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>与曲线:E y x =A ，其横坐标为4，记C 的平行于OA 的切线为1,l E 的平行于OA 的切线为2l ，则下列判断错误的是（ ） A ．4p =B ．OA 的方程为20x y -=C ．1l 的方程为210x y --=D ．2l 的方程为210x y --=【答案】D【分析】选项A ：利用点A 的坐标计算出p 即可；选项B ：利用,O A 两点坐标计算出OA 的方程即可；选项C ：设出1l 的方程，利用1l 与C 相切，然后求出直线方程即可；选项D ：设出2l 的方程，利用2l 与E 相切，然后求出直线方程即可.【详解】选项A ：因为点A 的横坐标为4x =，点A 在曲线:E y x =所以()4,2A ，又因为点A 在抛物线()2:20C x py p =>上，所以2422p =⨯，解得4p =，故A 正确；选项B ：因为()4,2A ，()0,0O ，所以得OA 的方程为20x y -=，故B 选项正确；选项C ：由选项A 可知C 的方程为28x y =，设11:2l y x m =+，联立2812x yy x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2480x x m --=， 因为1l 与C 相切，所以()()24480m ∆=--⨯-=，解得12m =-，所以111:22l y x =-，即1l 的方程为210x y --=，故C 选项正确； 设21:2l y x n =+，联立12y y x n⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()224140x n x n +-+=， 因为2l 与E 相切，所以()()22161440n n ∆=--⨯=，解得12n =， 所以211:22l y x =+，即2l 的方程为210x y -+=，故D 错误； 故选：D .11．已知点(),P m n是函数2y =3515m n ++的最小值是（ ） A．22B．22C1- D1 【答案】A【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线35150x y ++=的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值． 【详解】式子2y =22(1)(2)1x y ++-=，又2y ≤，因此函数2y =22(1)(2)1x y ++-=在2y =下方的半圆，如图， 作出直线35150x y ++=，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，(,)P m n 到直线35150x y ++=的距离．圆心为(1,2)C -，半径为1，d =，因此P 到直线35150x y ++=1， 所以3515m n ++的最小值是1)22= 故选：A ．12．若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∵22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∵()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∵()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.二、填空题13．已知函数()2e 8xf x a x x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为5-，则=a ______.【答案】3【分析】求出()0f '，根据()05f '=-即可求解.【详解】由已知得()e 28xf x a x '=+-，因为()085f a '=-=-，所以3a =. 故答案为：3.14．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos sin a C c A B +，则cos B =______.【答案】12##0.5【分析】由正弦定理结合诱导公式得到22sin B B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出sin B =用同角三角函数关系求出答案.【详解】()2cos cos sin a C c A B +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin A C C A B B +，即()2sin sin A C B B +，其中()()sin sin πsin A C B B +=-=，故22sin B B = 因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin B =1cos 2B ==.故答案为：12.15．在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==，PB AC ==5AB PC ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积是______． 【答案】29π【分析】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球．【详解】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ,=5=， 解得：4a =，2b =，3c =．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴222222(2)4294π29πR a b c R S R ⇒⇒球＝＋＋＝＝＝﹒故答案为：29π．16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，它们的离心率分别为1e ，2e ，点P 为它们的一个交点，且1223F PF π∠=，则2212e e +的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出12,PF PF 用12,a a 表示，在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅找到12,,a a c 的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距2c ，点P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，如图：在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅， 整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=， 设211t e =，222t e =，则有1201t t <<<，12314t t +=， 所以121143134t t t t -=-=，即有121143t t t =>-，所以1314t <<， 所以2221111212111424343t t t e e t t t t t -+=+=+=--，设143u t =-，则134u t +=，且01u <<， 所以222124313144u u e e u u u ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭，因为3y x x=+在()0,1上单调递减， 所以34u u+>，所以22122e e >+.故答案为：()2,+∞三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()123*n n a S n N +=+∈． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】(1)3nn a ＝；(2)见解析﹒【分析】(1)利用公式法(n a 与n S 关系)即可求的{}n a 的通项公式； (2)分析{}n b 的通项公式可知其前n 项和可以用错位相减法求得﹒ 【详解】（1）∵123n n a S +=+ ∴当n ≥2时，123n n a S -＝＋ ∴11222n n n n n a a S S a ---＋＝＝ ∴13n n a a ＋＝∴{}n a 为从第二项开始的等比数列，公比为q ＝3， 又13a ＝，∴21239a S ＝＋＝，∴3nn a ＝(n ≥2)，n ＝1时13a ＝也满足上式，∴*3(n n a n N ∈＝)；（2）∵33log log 333n n n n n n a nb a ＝＝＝， ∴231233333n n nT ＝＋＋＋＋ ①∴234111231333333n n n n n T -＋＝＋＋＋＋＋ ② ①－②得，23121111333333n n n n T -＋＝＋＋＋＋ 111123313313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭--＋＝ ∴3134342n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＋ ∵*n N ∈，∴130342n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞，∴34n T ＜． 18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为12.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）1132；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是. 【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．（2）X 的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列． 【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为6524126611111111112222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）（ⅰ）X 的可能取值为34，46，58，()61134264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()5561134612232P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1357581643264P X ==--=， 则X 的分布列为故13571133446586432642EX =⨯+⨯+⨯=. （ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610357⨯-=万元.因为113572<，所以该厂应再招聘1名维修工人. 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，D ，E 分别为11,AA B C 的中点.(1)求证：//DE 平面ABC ；(2)若DE BC ⊥，二面角A BD C --的大小为3π，求直线1B C 与平面BCD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)6π【分析】(1)取BC 的中点M ，连结AM EM ，，根据平行四边形的判断定理和性质可得∥DE AM ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1(0)AB AC b b ==>，，12(0)AA c c =>，根据空间垂直向量的坐标表示求出b ，利用向量法求出平面BCD 、平面ABD 的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c ，再利用向量法即可求出直线1B C 与平面BCD 所成角.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结AM EM ，，则1∥DA BB ，且1112DA BB EM BB =，//，且112EM BB =. 所以∥DA EM ，且DA EM =，所以四边形AMED 为平行四边形，所以∥DE AM .又AM ⊂平面ABC DE ⊄，平面ABC ，所以//DE 平面ABC .（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设11(0)2(0)AB AC b b AA c c ==>=>，，，则11(1,0,0)(0,,0)(0,0,)(1,0,2),,22b B C b D c B c E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，， 所以1,,0(1,,0)22b DE BC b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，. 因为DE BC ⊥，所以0DE BC ⋅=，所以1b =.又(1,1,0)(1,0,)BC BD c =-=-，， 设平面BCD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，则11y z c ==，，所以11,1,n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 又平面ABD 的一个法向量(0,1,0)=AC ，所以cos 3||||⋅=n AC n AC π，即12=c =(1,1,2)n =.又1(1,1,=-BC ， 所以1111cos ,211||n B C n B C n B C ⋅〈===+〉，所以直线1B C 与平面BCD所成角为6π. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1212,,4A A A A =，且过点⎭． (1)求C 的方程；(2)若直线:(4)(0)l y k x k =-≠与C 交于M ，N 两点，直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，1x =.【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设()()1122,,,M x y N x y 则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--，联立直线l 与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k 的范围及12x x +、12x x 关于k 的表达式，再联立直线1A M 与2A N 求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.【详解】（1）因为124A A =，所以24a =，解得2a =．因为C过点⎭221b ⎝⎭=，解得b = 所以C 的方程为22143x y +=． （2）由题意，设()()1122,,,M x y N x y ，则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--． 由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ3243464120k k k =--+->，解得1122k -<<且0k ≠，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+． 由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()()()()()()()21211221212112212224224222424222y y k x x k x x x x x y y k x x k x x x x +-++---+===-+-----+()()221221212112122211211264123222422426234341323838438434k k x x x x x x x x x x k k k x x x x x x k -⨯-⨯--+---++===--+--⨯--+， 所以点G 在定直线1x =上．21．已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈． (1)若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；(2)若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】(1)1(2)()1,+∞【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln 022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【详解】（1）解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=． 若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=． 所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以，21ln a a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>， 所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．（2）解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+， 即212111ln 0x a x x x +-=，将122x x +=代入， 有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=． 令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-， 所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-． 因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点． 考虑到1()ln 22t t a t t ϕ=+-中含参数a ， 取2(1)a t a =>e ．则()222222211ln 22222a aa a a a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ， 当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222aa a ϕ<+-e e ． 令221()222a m a a =+-e ，则()24a m a a '=-e ， 令()24a h a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，()221e 222am a a =+-为()1,+∞上的减函数． 所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ． 又()20t ϕ>，于是()()220a t ϕϕ<e ，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 的取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22t t a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=； (2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.23．已知()()f x x a a R =+∈．（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()32f x x a a +-≥-化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根 即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a =（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，只需232a a ≥-当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；当a<0时，232a a -≥-，解得25a ≤，即a<0； 综上所述，a 的取值范围是(],2∞-【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。
陕西省宝鸡市宝鸡中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题(含答案)
宝鸡中学2022级高三月考三考试试题数学本试卷共四大题，19小题；考试时长120分钟，卷面满分150分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
涂写在本试卷上无效。
3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则b =（ ）A ．BCD ．36．下列函数的图象不可能与直线，相切的是（ ）A ．B ．C ．D ．{}0,1,2,3,6A ={}1B x x A =-∈()AB A ð{}1,5-{}3,6{}0,1,2{}0,6()1i z i ++1i-1i+1122i-1122i+1122mn⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22log log m n <a b ()a ab ⊥- 2b a = a bπ6π4π32π3()22210y x b b-=>y =132y x m =+m R ∈()2f x x x=+()3xf x x e=+()2n 2l x x f x =+()2f x x=7．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后点D 记为．若，则四面体的体积为（ ）A ．BC ．D8．已知是定义域为R 的偶函数，当时，，若有且仅有3个零点，则关于x 的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）A ．B ．这个简谐运动的初相为或C ．在上单调递减D ．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数10．设函数，则（ ）A ．当时，的极大值大于0B ．当时，无极值点D '2BD '=ABCD '()f x 0x ≥()()232f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x ()12f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()(),22,-∞-+∞ 55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(),33,-∞-+∞ ()(),44,-∞-+∞ ()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<2ω=π65π6()f x 5π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x π6()321f x x x ax =-+-1a=-()f x 13a ≥()f xC ．，使在R 上是减函数D ．，曲线的对称中心的横坐标为定值11．已知等比数列的首项，公比为，前n 项和为，前n 项积为，则（）A ．若数列是递增数列，则B ．若数列是递增数列，则C ．当时，存在实数M ，使得恒成立D ．若，则使得成立的n 的最大值为10三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则=______．13．已知正项数列满足，则=______．14．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点所跳跃次数的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）若锐角的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角A 的大小；（2）求的取值范围．16．（本小题15分）如图，三棱柱中，，，，，．（1）求证：平面ABC ；a R ∃∈()f x a R ∀∈()y f x ={}n a 10a >()1q q ≠n S n T {}n S 1q >{}n T 1q >01q <<n S M <564T T T >>1n T >1cos sin 4sin 1cos θθθθ-+=+tan θ{}n a 121n n na a n +=+106a a ()33,33QABC △()cos sin c os cos A B A a B C a -+=22b a b+111ABC A B C -160A AC ∠=︒AC BC ⊥1AC AB ⊥1AC =12AA =1AC ⊥（2）若直线与平面，求二面角的余弦值．17．（本小题15分）已知椭圆C ：经过点，下顶点A 为抛物线的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点，均在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ的斜率之积为，求证：直线PQ 过定点；18．（本小题17分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A ，B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼．（1）该校学生甲、乙、丙三人某周均从A ，B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；（2）该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为．若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为．求丁周日选择B 健身中心健身的概率；（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.02．现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n ．若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值．参考数据：，，．19．（本小题17分）已知函数（，且）．（1）当时，证明：为增函数；（2）若存在两个极值点，．（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设的极大值为M ，求M 的取值范围．宝鸡中学2022级高三月考三考试参考答案1BA 11BCC B 11A BB C --()222210x y a b a b +=>>B ⎛ ⎝24x y =-()11,P x y ()()2212,Q x y y y >12121323121423[]()0,10kk ∈290.980.557≈300.980.545≈310.980.535≈()log x a f x a x =0a >1a ≠a e =()f x ()f x 1x 2x ()f x一．选择题1234567891011DABCCDAAADBDBCD二．填空题12．13．14．10三解答题15．解：（1）因为，所以，即，由正弦定理得：，显然，，所以，所以，因为，所以．（2）因为外接圆的半径为，所以由正弦定理得：，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，即．令，，根据对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，43-485()cos sin c os cos A B A a B C a -+=()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C a B C a B C B C B A +--=sin sin sin cos a B C B A =sin sin sin sin cos A B C C B A =sin 0C >sin 0B >sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =ABC △sin sin a bA B==3a =in b B =222sin 34sin b a B a b b b B B +⎫=+=+=+⎪⎭ABC △π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<1,1sin 2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()34f x x x =+1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭34fx x x =+12⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f =()714f =所以，即，所以，即的取值范围为．16．（1）证明：因为，，，由余弦定理得，所以，所以，又因为，又因为，所以平面ABC ．（2）解：由已知和（1）得，CA 、CB、CA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面和平面的法向量分别为，，，令，，，令，，直线与平面所成角的正弦值为，解得，，，所以二面角的余弦值为．17．解：（1）因为抛物线的焦点为，())2f x ∈)sin si 324n B B +∈36,4sin sin B B ⎫⎡+∈⎪⎣⎭22b a b +6,⎡⎣160A AC ∠=︒1AC =12AA =1AC ==22211A AAC AC =+1AC AC ⊥1AC AB ⊥AC AB A =1AC ⊥()1,0,0A ()0,0,0C ()0,,0B t (1A (1C -(11,B t -()0,,0BC t =-(1BB =- (10,BA t =-11BCC B 11A BB (),,m x y z = (),,nu v w =100BC m ty BB m x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1z =)m = 110BA n tv BB n u ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩w t =)n t = 1BA 11BCC B 11BA m BA m ⋅==⋅ 1t =)m =)n =11A BB C --m n m n ⋅==⋅ 24xy =-()0,1-所以椭圆C 的下顶点，可得，因为椭圆C 经过点，所以，解得，则椭圆C的方程为．（2）证明：当直线PQ 的斜率不存在时，不妨设，此时，则，整理得，由与解得不符题意，所以直线PQ 的斜率存在，因为直线AP ，AQ 斜率同号，所以直线PQ 的斜率存在且不为0，不妨设直线PQ 的方程为，，，联立，消去y 并整理得，此时，即，由韦达定理得，，所以，此时，整理得，即，解得或，当时，直线PQ 方程为，令，解得，()0,1A-1b =B ⎛ ⎝21314a +=24a =2214x y +=()00,Px y ()00,Q x y -2000200011112AP AQy y y k k x x x +-+-=⋅==220012x y +=220012x y +=220014x y +=00x =ykx m =+()11,P x y ()22,Q x y 2214y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=()2216410km ∆=-+>2241k m +>122814kmx x k +=-+21224414m x x k -=+()()()222222212121212224441414m m k y y kx kx k x x km x x m m k m k k m +++--==++=⨯+=++()12122282221414km my y k x x m k m k k -+=++=⨯+=++()121212121211112AP AQy y y y y y k k x x x x +++++=⋅==()121212222y y y y x x +++=222222444422141414m k m m k k k --⨯++=+++1m =-3m =1m =-1ykx =-0x =1y =-所以直线PQ 恒过定点，不符合题意，当时，直线PQ 方程为，令，解得，所以直线PQ 恒过定点，符合题意，综上所述，直线PQ 恒过定点．18．解：（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；（2）记事件C ：丁周六选择A 健身中心，事件D ：丁周日选择B 健身中心，则，，，由全概率公式得，故丁周日选择B 健身中心健身的概率为；（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p ，则，设抽取次数为X ，则X 的分布列为：X 123…nPp…故，又，两式相减得所以，所以在时单调递增，()0,1-3m =3y kx =+0x =3y =()0,3()0,3112112112711111123323323318P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12P C P C ==()13144P D C =-=()21133P D C =-=()()()()()131113242324P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=13240.02p =1n -()1p p -()21p p-()21n p p--()11n p --()()()()()()2211213111n n E X p p p p p p n p p n --=+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ ()()()()()()()()231111213111n np E X p p p p p p p p n p n --=-+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ ()()()()()2211111n n pE X p p p p p p p p p--=+-+-++-+- ()()()()()()()()221111110.9811111110.02nnn n n p p E X p p p p p p -------=+-+-++-+-===-- ()10.980.02n E X -=*n N ∈可知当时，，当时，，当时，，若抽取次数的期望值不超过23，则n 的最大值为30．19．（1）证明：当时，，，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以，所以为增函数．（2）解：（i ）设，则，则．设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，令，由，且在上单调递增，故仅有一个零点，不符合题意；29n =()2910.9810.55722.150.020.02E X --=≈=30n =()3010.9810.54522.750.020.02E X --=≈=31n =()3110.9810.53523.250.020.02E X --=≈=a e =()ln x f x x e =()ln 1x f x e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()ln 1p x x x =+()22111x p x x x x-'=-=01x <<()0p x '<1x >()0p x '>()p x ()0,1()1,+∞()()110p x p ≥=>()0f x '>()f x ()0t ae t =≠()l 1n tx f x e tx =()n 1l ln tx tx txe ef x x x e x tx x t ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭()ln g x x x =()1ln g x x '=+10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,x e ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭()0g x '>()g x ()min 11g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭0t<()1g x t=-()10g =()g x ()1,+∞()1gx t=-0x当时，，①当时，则，此时，，单调递增，不符合题意；②当时，则，此时存在两个零点，当时，，当时，，；当时，，，存在两个极值点，符合题意．综上可知，．（ⅱ）由（i ）可知，且，满足，故，设，则，设，则，故单调递减，且，则，即．0t >()1,g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭t e ≤11t e -≤-()1g x t≥-()0f x '≥()f x te >110e t-<-<()1g x t =-12x x <()10,x x ∈()1g x t>-()0f x '>()12,x x x ∈()1g x t <-()0f x '<()2,x x ∈+∞()1g x t>-()0f x '>()f x (),ea e ∈+∞()1Mf x =110,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11ln 1x x t =-()()111211ln 11l 1n ln tx xM f x e x x x e t-===-()1ln 1,rx =-∈+∞12ln 12rr rrr M er e--+=-=-()l 1n 2r h r r r=-+()()22212110r h r r r r -'=--=-<()hr ()10h =()(),0h r ∈-∞()1ln 21,0r r rMe-+=-∈-。
2024届天津市静海区一中高三上学期12月月考数学试题及答案
静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a << B. b c a <<C. a b c<< D. b a c<<5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 26. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 29. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨--≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 取值范围是（ ）A 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．13. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设的.AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA的面积是三角形的BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 前n 项和n T .（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()cos f x x x a x >-.的静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静 审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，111n n n a a a qq q-=⋅=⋅，.当10a >且01q <<时，则10a q >，且n y q =单调递减，则1n n aa q q=⋅是递减数列，故充分性满足；当1n n a a q q =⋅是递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，故必要性不满足；所以“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的充分不必要条件.故选：A3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx+>-，即()()220x x +⋅-<，所以22x -<<，所以函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()242()log 2xf x x f x x--=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；当()0,2x ∈时，212x x+>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；又()211log 302f =>，所以排除A.故选：D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a<< B. b c a<<C. a b c <<D. b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）A. 1 B. 0C. 1- D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出224log 3,log 3x y ==，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C6. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 【答案】C 【解析】【分析】由题设知三棱锥-P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．【详解】三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥-P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ==，则R =所以该球的表面积为224π4π20πS R ==⋅=．故选：C ．7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A ，整体代入法判断对称中心判断B ，利用函数图象变换法则即可判断CD.【详解】()1πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；当π6x =时，πππ2πsin 2sin 06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 一个对称中心，故B 错误；由πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin(23y x =+，故C 正确；将sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到ππsin[2()]sin(2)63y x x =+=+，故D 正确.故选：B的8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠==，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422aa a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．9. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令94a =和138a =求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点，()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点和()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a =，则2sin 2,0()42,0x x f x x x x π<⎧=⎨--≥⎩，当0x <时，()f x 在区间9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个零点，当0x ≥时，()020f =-<，Δ240=>，()f x 在区间[)0,∞+有1个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除A ､C.令138a =，则2sin 2,0()14,02x x f x x x x π<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，当0x <时，()f x 在区间13,08⎛⎫- ⎪⎝⎭有3个零点，当0x ≥时，()1002f =>，Δ140=>，()f x 在区间[)0,∞+有2个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除B ，故选D.法二（分类讨论）：①当()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点时，满足0532a ∆<⎧⎪⎨-≤-<-⎪⎩，无解；②当()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点时，满足()000522f a ⎧⎪∆>⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得522a <≤；③当()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点时，满足()000322f a ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得3724a <≤，综上所述，a 的取值范围是375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数a .【详解】由题意()()()()()()2i 2i+12241i 41i2i 222i 12i 12i+14155a a a a a a +-++++-===-----，由题意复数2i 2i 1a +-是纯虚数，则2205a-=且4105a +-=，解得1a =.故答案为：1.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB 的中点M 到准线的距离，最后求出弦AB 的中点M 的横坐标.【详解】抛物线28y x =的准线l 的方程为：2x =-，焦点为(2,0)F ,分别过,,A B M ，作,,AC l BD l MH l ⊥⊥⊥，垂足为,,C D H ，在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知：,AC AF BD BF ==，因此有4222AC BDAF BFAB MH ++====，所以点M 的横坐标为422-=.故答案为：2.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．【答案】2【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线0x y -=的距离d ，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆()22200x ax y a =+->可变形为：222()x a y a -+=，所以圆心为(,0)a ，半径r a =，所以圆心到直线0x y -=的距离d ，根据弦长公式可得2==，因为0a >，解得2a =.故答案为：213. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________【答案】20【解析】【分析】先由()πcos2n f n =的周期性及函数值特点，分析数列{}n a 的特点1234n n n n a a a a ++++++=()1,5,9,13,16n = ，；再根据这个特点求解即可.【详解】由()πcos 2n f n =可得：周期为2π4π2T ==，()π1cos 02f ==，()2π2cos 12f ==-，()3π3cos 02f ==，()4π4cos 12f ==.因为()π21cos 2n n a n =-⋅，所以123n n n n a a a a ++++++()()()()()()()1π2π3ππ21cos221cos 241cos 261cos 2222n n n n n n n n +++=-⋅++-⋅++-⋅++-⋅4=，()1,5,9,13,16n = ，所以数列{}n a 的前n 项和具有周期为4的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，所以204520S =⨯=故答案为：20.14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.【答案】8+8+【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为21m n +=，所以()()()()1122262238m n m m n n m n n m n mmnmnm nmn++++++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为0m >，0n >，所以62n m m n +≥=，当且仅当62n m m n =时取等号，即23n m =-=时，()()11m nmn++有最小值8+，故答案为：8+【点睛】关键点睛：利用等式把代数式()()11m n mn++变形为628n m mn++.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.【答案】 ①. 1 ②. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以I 为原点，建立平面直角坐标系，根据,,G B I 三点共线，得到1x y +=，设(,)P x y ，求得)GE AP x ⋅=+ ，令z x =+，转化为求该直线在y 轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】以I 为原点，,BG IO 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为,,G B I 三点共线，且AG xAB y AI =+，所以1x y +=，由正六边形的内角均为120 ，且边长为1，可得31(()22G E A -，设(,)P x y ，可得31),(22GE AP x y ==+ ，则31()22GE AP x y x ⋅=⋅+=+，令z x =，则)y x z =-，当该直线经过点C 时，截距最大，对应的z 最大，此时·GE AP最大值为3，当该直线经过点(G 时，截距最小，对应的z 最小，此时·GE AP的最小值为32-，所以·GE AP 3,32⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；3[,3]2-.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）；（2； （3）1314.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ；(2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sin A C =，∴由正弦定理得a =，又ABC1sin1502ac ︒=，解得2c =，∴a =；【小问2详解】由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴b =.由正弦定理sin sin sin a b A A B =⇒==.【小问3详解】∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A得，cos A =，∴sin 22sin cos A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．的【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）1．【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC ；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB 的法向量，是平面ABC 的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB 的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC ．因为为在中，，，所以，所以．因为AB //CD ，所以．又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA 的面积是三角形BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）2)4y x =-【解析】【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OBP 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P 的坐标，则可求BP 直线方程.【小问1详解】因为，12c e a ==，||3AF =，所以2,3a c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如图，因为四边形OPQA 与三角形BFP 的面积之比为3:1，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122QP AB y OB y ⋅=⋅，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Qy m=-，所以22512434m m m -=-+，解得m =，当m =:2BP x y =+，当m =时，:2BP x y =+，故直线BP的方程为2)y x =-.19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T.（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.【答案】（1）3nn a =，21n b n =-（2）1122(21)3n nT n =-+⋅ （3）175402591648n n +-+⋅【解析】【分析】（1）首先根据n a 与n S 的关系得到n a ，再根据等比数列的性质即可得到n b ；（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当1n =时，11323a a =+，解得13a =.当2n ≥时，11323n n a S --=+，所以113233n n nn n a a a a a --=⇒=-，即{}n a 是以首先13a =，公比为3的等比数列，即3nn a =.因为131log 3b ==，2465,1,3b b b ++-成等比数列，所以()()()2426153b b b +=+-，即()()()213115153d d d ++=+++-，解得2d =.所以()12121n b n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得2112(2)2(21)(21)3n n nn n n b n d b b a n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦，则123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n nn n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅【小问3详解】1223221211k k n n n k c c c c c c c c =++=+++∑ ，因为()()()()2121212221221211021332193n n nn n n n n n n c c c c c c c n n -+-+-++=+=-+=-⋅，设()219n n d n =-⋅，前n 项和为n K ，则()121939219n n K n =⨯+⨯++-⨯ ，()()23191939239219n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，()()()()12118119892992199221919n n n n n K n n -++--=+++--⋅=+⨯--⋅- 1458593232n n n K +-=+⋅.所以211110754025931648n n n k k k c c n K +=+-==+⋅∑第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11x f x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-.【答案】（1）30x y -=（2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()0f '，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，按照1a ≥和1a <分类讨论研究函数的单调性即可；（3）把原不等式作差变形得()()e cos 1ln 0,0,x a x x x x x x ∞++--->∈+，结合()cos cos a x x x x +>+，把不等式证明转化为e cos 1ln 0x x x x +-->问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.【小问1详解】当3a =时，()e 21x x x f =+-，()e 2x f x '=+，所以()00e 23f '=+=，又()00e 10f =-=，由导数几何意义知，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()030y x -=-，即30x y -=.【小问2详解】因为()()e 11x f x a x =+--，所以()e 1x f x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10x f x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减.【小问3详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,x a x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()cos k x x x =+，则()1sin 0k x x ='-≥故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln x xa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos x h x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，的则()21e sin x m x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->.综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x xa x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是()()f x g x >，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式()()f x g x >移项，构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证不等式()0h x >，进而转化为证明min ()0h x >，因此只需在所给区间内判断()h x '的符号，从而得到函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的最小值即可.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福建省莆田市第二十五中学2017届高三数学12月月考试题 理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分 1已知集合{}(){}220,ln 10A x x x B x x =--≤=->，则AB =( )A ．[)1,1-B ．()1,2-C ．[)1,0-D ．()1,0- 2.已知a b ，是实数，则“11()()33a b <”是“33log log a b >”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3若变量x ，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最大值等于（ ）A ．7B ．8C ．11D ．104.若命题“R x ∈∃0,使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是A.[26]，B.[62]--，C.(26)，D.(62)--，5已知数列﹛a n ﹜为等比数列，且π4227131=+a a a ，则)tan(122a a 的值为A ．B ．C ．D ．6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ＞8 B ．i ＞9C ．i ＞10D ．i ＞117. 函数x x x f 3log cos )(-=π的零点个数是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．48. 若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=A. 13-B.79-C.79 D.139.设错误！未找到引用源。
是单位向量，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最小值为（ ）A ．-2B ．错误！未找到引用源。
C.-1 D ．错误！未找到引用源。
10.若101a b c >><<，，则A.c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c <D.log log a b c c<11.已知函数1()ln sin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是A.(32)，B.(32)-，C.(12)，D.(35)，12.已知函数22()3,()2xf x x x ag x x =-++=-,若[()]0f g x ≥对[0,1]x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是A.[,)e -+∞B.[ln 2,)-+∞C.[2,)-+∞D.1(,0]2-第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a,b ∈R,i 为虚数单位,若i(1+ai)=1+bi,则a+b= .14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝_____15.等比数列错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则数列错误！未找到引用源。
的前8项和等于-----------16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间]2,2[-上，2,-20()2,021mx x f x nx x x +≤<⎧⎪=-⎨≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若()()13f f =，则1431()mx n dx -+=⎰.三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17..(本小题满分12分)已知函数235cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f ，求：（1）函数f(x)的最小正周期；（2）函数f(x)的单调递增区间.18如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，且AD =1，四边形ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝120°,AB ＝2AD ． （1）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （2）求二面角A －PB －C 的余弦值．19．设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n ﹣1a n =（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．（20）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos 3sin 0a C a C b c +--= （I ）求A ；（II ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，1292AD =，求ABC ∆的面积．21.（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为 45，对于任意的]2,1[∈t ，函数)2)(()(23mx f x x x g +'+=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：),2(1ln 44ln 33ln 22ln *∈≥<⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯N n n nn n . 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 2sin()14πρθ-=． (1)将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；(2)由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值．ABD数学(理)试卷参考答案及评分标准A B D C A C B D D C A C 13. 0 14.－4315.4 16.817解：（1）235cos 35cos sin 5)(2+-=x x x x f )32sin(5π-=x …………4分∴最小正周期T=ππ=22 …………6分（2）由题意，解不等式)( 223222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ………8分得 )(12512Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ)(x f ∴的单调递增区间是)](125,12[Z k k k ∈++-ππππ ………12分18.(1)证明： 在平行四边形ABCD 中,1=AD ,则2202cos603BD AD AB AD AB =+-⨯⨯⨯=，……1分在ABD ∆中,222AB BD AD =+，所以BD AD ⊥.……2分 又平面⊥PAD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD .……3分 又BD ⊆平面PBD ，所以平面⊥PAD 平面PBD . ……4分(2)由（1）得BD AD ⊥，以D 为空间直角原点， 建立空间直角坐标系xyz D -， ……5分 如图所示，()()()13100,030130022A B C P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，,()()131********AB PB BC ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，……6分 设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0,AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得1111130,1330,2x y x y z ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩令11y =，得113,1x z ==，所以平面PAB 的法向量为 ()3,1,1=n ； ……8分设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，0,0,BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即22220,1330,2x x y z =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令22z =，得21y =， 所以平面PBC 的法向量为()0,1,2=m . ……10分 所以3cos ,5⋅<>==n m n m n m ，……11分所以所求二面角C PB A --的余弦值为35-. ……12分 19【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由a 1+3a 2+32a 3+…+3n ﹣1a n =⇒当n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+…+3n ﹣2a n ﹣1=，两式作差求出数列{a n }的通项．（2）由（1）的结论可知数列{b n }的通项．再用错位相减法求和即可． 【解答】解：（1）∵a 1+3a 2+32a 3+…+3n ﹣1a n =，①∴当n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+…+3n ﹣2a n ﹣1=．②①﹣②，得3n ﹣1a n =， 所以（n ≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n =n•3n．∴S n =3+2×32+3×33+…+n•3n ．③ ∴3S n =32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④ ④﹣③，得2S n =n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n ）， 即2S n =n•3n+1﹣．∴．20．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值． （II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．【解答】（I ）因为cos 3sin 0a C a C b c +--= ，由正弦定理得：sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，即sin cos 3sin sin sin()sin A C A C A C C +=++，……3分化简得：3sin cos 1A A -=，所以1sin(30)2A ︒-=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分 （II ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得43sin 7B =．……7分则3114353sin sin()272714C A B =+=⨯+⨯=．……8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分 故1sin 1032ABC S ac B ∆==．……12分 （21）解：（Ⅰ）由(1)()a x f x x-'=（0x >）， …………………………………1分 ①当0a >时，显然01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以此时()f x 的单调增区间为0,1（），减区间为1+∞（，）；②当0a <时， ()f x 的单调增区间为1+∞（，），减区间为0,1（）；③当0a =时，()3f x =-不是单调函数． …………………………………4分（Ⅱ）由题知(2)12af '=-=，得2a =-， 所以()2ln 23f x x x =-+-， ……………………………5分所以32()(2)22mg x x x x =++-（0x >）， 2()3(4)2g x x m x '=++-． …………………………………………6分∵0∆>，∴()0g x '=一定有两个不等的实根12,x x ， 又∵12203x x ⋅=-<． 不妨设120x x <<，由已知10x x <<时()0g x '<，2x x >时()0g x '>， 即()g x 在2(0,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增，依题意知2(,3)x t ∈，于是只需(1)50(2)2180(3)3370g m g m g m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪'=+>⎩，得3793m -<<-．……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上递增， ∴()ln 3(1)2f x x x f =-+->=-ln 1(1)x x x ⇔<->，…………………9分 在上式中分别令2,3,4,,x n =得ln 21,ln32,ln 43,,ln 1(2)n n n <<<<-≥，………………………10分以上不等式相乘 得ln 2ln3ln 4ln 123(1)(2)n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥，…………………11分两边同除以!n得ln 2ln 3ln 4ln 1234n n n⨯⨯⨯⨯<（2,n n N *≥∈），即证……………………12分22【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为22(3)4x y -+=．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===， ∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=． (2) ∵直线l 2sin()14πρθ-=，∴sin cos 1ρθρθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y -+=． 设直线l 上点P ，切点为A ，圆心(3,0)C ，则有22224PA PC AC PC =-=-， 当PC 最小时，有PA 最小．∵3122PC +≥=∴24842PA PC =-≥-=，∴切线长的最小值为2．。