复数的运算总结

证明：（1）设z ? a ? bi,则z ? a - bi，
所以z ?z ? (a ? bi)(a ? bi) ? a 2 ? abi ? bai ? b 2i 2
?
a2
? b2
?
z2
?
2
z
（2）设z ? a ? bi,则z 2 ? (a ? bi)2 ? a 2 ? b2 ? 2abi，
( z) 2 ? (a ? bi) ? a 2 ? ห้องสมุดไป่ตู้ 2 ? 2abi
复数的加法按照以下的法则进行：
(a+bi ) + ( c+di) = ( a+c) + ( b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
容易验证：对于任意Z1，Z2 ，Z3∈C，有 Z1+ Z2= Z2+ Z1 ，（交换律）
(Z1+ Z2)+Z3= Z1+(Z2+ ZZ3) （. 结合律）
2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数
3.2 复数的运算
复习回顾：实数运算法则
1、交换律：a?b? b? a或a?b? b?a
2、结合律：(a?b)? c? a? (b? c)或a ?(b?c) ? (a ?b) ?c
3、分配律：a?(b? c) ? ab? ac
1、复数加法的运算法则
设 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di 是任意两个复数，
ad d2
i
由刚才的求商过程可以形式上写成 (体会其中的过程 ):
(a ? bi) ? (c ? di) ? a ? bi ? (a ? bi)(c ? di) c ? di (c ? di)(c ? di)
?
ac ?
bd ? (bc ? c2 ? d2
ad )i
所以z 2 ? (z)2
（3）设z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di，
则z1 ?z2 ? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
z1 ?z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
O
Z2 x
3.2.2复数的乘法和除法
1、复数的乘法法则
(a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bdi2 即(a ? bi)(c ? di) ?（ac ? bd) ? (bc ? ad)i
说明： 1、两个复数的积仍然是一个复数；
2、复数的乘法与多项式的乘法是类似的，
即 a ? bi ? x ? yi ,那么 x ? ? , y ? ?
c ? di
(a? bi)? (c ? di) ? a ? bi ? x ? yi,那么x ? ? , y ? ? c ? di
除法法则:
(a ?
bi) ?
(c ?
di) ?
a? c?
bi di
?
ac ? c2 ?
bd d2
?
bc ? c2 ?
2.那么复数的除法又应怎样进行呢 ? 注意到 ,实数的 除法运算是乘法的逆运算 ,类
比思考,我们可定义复数的除法 :
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
记为 (a ? bi) ? (c ? di)或 a ? bi . c ? di
? 4 ? 2i
例2.计算(2 - 5i) ? (3 ? 7i) ? (5 ? 4i).
解：(2 - 5i) ? (3 ? 7i) - (5 ? 4i)
? (2 ? 3 - 5) ? (-5 ? 7 - 4)i
? ? 2i
探究？ 复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数y 加法的几何意义吗？
x+yi( x, y ? R )，叫做复数a+bi减去复数c+di的差 记作：x+yi＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有
c+x=a ， d+y=b 由此，x=a－c ， y=b－d
∴ (a+bi )－(c+ di) = ( a－c) + ( b－d)i
说明： 1、两个复数的差仍然是一个复数
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a + bi 及复数 c + di对应，则 OZ1,= (a,b)
OZ2 = (c, d )
OZ = OZ1 + OZ 2 = (a,b) + (c, d)
= (a + c,b + d )
Z 2 (c, d ) O
Z
Z 1 (a, b) x
∴向量 OZ 就是与复数 (a+ c)+ (b+ d)i 对应的向量.
所以z1 ?z2 ? z1 ?z2
例1表明， 两个互为共轭复数的乘积等于这个复数（或其 共轭复数）模的平方
复数的乘方也就是相同复数的乘积。 由于实数集R中正整数指数的运算律,在复数 集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 OZ1 及 OZ2 分别与复数 a + bi 及复数 c + di对应，则 OZ1 ,= (a,b)
OZ2 = (c,d )
y Z1
复数减法的几何意义 ：
OZ1 - OZ2 = Z2Z1
只是在运算过程中把 i 2换成－1，然后实、
虚部分别合并。 3、复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
例1.已知z1 ? 2 ? i, z2 ? 3 ? 4i, 计算z1 ? z2
解：z1 ? z2 ? (2 ? i)(3 ? 4i)
? 6 - 8i ? 3i - 4i 2 ? 10 - 5i
例2.求证：（1）z ?z ? z 2 ? z 2 ; (2)z 2 ? ( z)2 ; (3)z1 ?z2 ? z1 ?z2
2、复数减法是加法的逆运算
3、复数的加减法可类比多项式的加减法
(a+bi )±(c+ di) = ( a±c) + ( b±d)i
例1.已知z1 ? 3 ? 2i, z2 ? 1? 4i,计算z1 ? z2 , z1 ? z2.
解：z1 ? z2 ? (3 ? 2i) ? (1 ? 4i) ? (3 ? 1) ? (2 ? 4)i