数学 二次函数的专项 培优练习题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-

72）或（0，32

）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】

【分析】 （1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.

（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【详解】

解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，

∴y ＝2x ﹣6，

令y ＝0，解得：x ＝3，

∴B 的坐标是（3，0）．

∵A 为顶点，

∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，

把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，

解得a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

（2）存在．

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．

设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-13

2

（m＝

1+13

2

＞0，舍），

∴P（1-13，13-1）．

（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴1

DQ

AD

OD DB

=，即5

6

=1

35

，∴DQ1＝

5

2

，

∴OQ1＝7

2

，即Q1（0，-

7

2

）；

②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴2

OQ

OB

OD OB

=，即2

3

63

OQ

=，

∴OQ2＝3

2

，即Q2（0，

3

2

）；

③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴3

3

OQ

OB

Q E AE

=，即3

3

3

41

OQ

OQ

=

-

∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

综上，Q点坐标为（0，-

7

2

）或（0，

3

2

）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=--+.

（2）3210.

（3）①2S m 4m 3=---.

②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.

【详解】

解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），

∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.

又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.

∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.

（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.

∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.

∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，

∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.