公园内道路设计问题

公园内道路设计问题

摘要

某大学要建一个长200米，宽100米的矩形公园，该公园有8个入口，坐标 已给出。在一定的约束条件下，我们需要建立一个模型去设计道路让任意两个入 口相连使总的道路长度和最小。

问题一指定了公园内的道路交叉点。8个入口4个交叉点共12个点，我们通过matlab 编程，得到12阶的邻接矩阵，根据题目要求及约束条件对邻接矩阵进行修改得到新的邻接矩阵，然后运用prim 算法求出这12个点构成的最小生成树。再由约束条件进行优化，最终得到满足要求的道路设计图（如图5），最短总路程为394.5596米。

对于问题二，题目中没有给定道路交叉点，我们可以任意修路，但是要使道路总路程最短。我们引入费马点的定义，通过寻找费马点来求公园内的道路交叉点。我们找到了两个费马点（道路交叉点）1Q （62.33373 ，77.86494）和

2Q （173.0980，43.64328），加上8个入口共10个点。这样一来，问题又回到了问题一，我们在问题一的基础上进行求解，得到满足要求的道路设计图（如图10），最短总路程为358.4320米。

问题三在问题二的基础上添加了一条矩形的湖。这是个带约束条件的问题二，我们把被湖覆盖区域的道路重新进行设计修建，通过寻找费马点的方法来求新的道路交叉点。我们运用两种方案，找到了两个费马点3Q （181.1422，47.94938）和4Q （161.7519，30.73196），分别求出的最短总路程为360.5758米、364.9386米。通过比较，方案一最优，修改后的道路交叉点为

1Q （62.33373 ，77.86494）和3Q （181.1422，47.94938），得到的道路设计图（如图14），最短总路程为360.5758米。

关键字：最小生成树；prim 算法；费马点；最短总路程

1.问题重述

1.1问题背景

某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也想为其学生提供更好的生活条件。

1.2问题提出

公园计划有若干个入口，现在我们需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连（可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长），使总的道路长度和最小，前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。

主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园，其相关数据为：长200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别为：P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),

P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).示意图见附录一，其中图2即是一种满足要求的设计，但不是最优的。

现完成以下问题：

问题一：假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)，C(120,40)，D(115,70）。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计，计算新修路的总路程。

问题二：现在公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标，画出道路设计，计算新修路的总路程。问题三：若公园内有一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可以到达湖四周的边，示意图见附录一中的图3。重复完成问题二的任务。其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。

注：以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。

2.问题分析

某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也想为其学生提供更好的生活条件。要在公园里修建道路，如果道路修的多，则方便快捷，但是花费的财力物力大；若修少了，虽然可以节约资金，但是要想逛公园就得绕很大的圈，不便于游玩。那么，应该如何铺路？这里虽然不涉

及花费，但是要求铺设的路总路程最短。

该公园长200米，宽100米，有8个入口，每个入口的坐标已给出，要求任意两个入口相连，可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长，使总的道路长度和最小，但前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍，且公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。要铺出满足要求的路，用穷举法显然是可以的，通过计算每一种方案得出总路程，比较得到最小总路程。但是用这种方法求解比较繁杂，显然不是解决这类问题的好办法，而且随着问题规模的变大，穷举法的计算量将是无法接受的。我们想到的是构造最小生成树法。显然该最小生成树是包含了约束条件的。通过最小生成树求出最短路径，从而使得总路程最短。

2.1问题一的分析

对于问题一，要求公园内有四个道路交叉点，分别为A(50，75)，B(40，40)，C(120，40)，D(115，70）。公园的8个入口分别为P1(20，0)，P2(50，0)，P3(160，0)，P4(200，50)，P5(120，100)，P6(35，100)，P7(10，100)，P8(0，25)。8个入口4个交叉点共12个点，记为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，其中，前面的1-8为8个入口，后面的9-12为4个交叉点。我们先编程算出任意两点间的距离，并生成邻接矩阵。由于可以利用公园周边的路，且此路径不列入总路程，因此，我们可以尽量多用边界路线。根据约束条件：任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍，对邻接矩阵进行适当的修改。当两入口的边界路线长度小于等于连线距离的1.4倍时，令这两个入口对应的邻接矩阵元素为0。再通过prim 算法，生成由这12个点构造的最小生成树。然后由约束条件找出合理路径。2.2问题二的分析

问题二是在不知道公园内道路交叉点的情况下铺设道路，要求依然是任意两个入口相连，可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长，使总的道路长度和最小，但前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍，且公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。我们可以在公园内任意修路，但是总路程要最短。