数学建模优化模型与Lingo Lindo软件

型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.
规
记甲、乙、丙、丁、戊分别为队员 i=1，2，3，4，5；
划
记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿 j=1，2，3，
模
4；记队员 i 的第 j 种泳姿的百米成绩为 cij（s），则表 一可以表示成为：
3.此外，为了解决实际问题的需要，还可以分为： 单目标规划，多目标规划，动态规划，多层规划等。
（1）线性规划（LP）的一般形式
常
目标函数和所有的约束条件都是变量的线性 函数。
用
n
的 min f x ci xi , i 1,2,...,n
优
i 1
化 模 型
n
s.t. i1
ai xi
bi , bi
蛙泳 1’27” 1’06”4 1’24”6 1’09”6 1’23”8
自由泳 58”6
53”
59”4
57”2 1’02”4
问题分析：问题要求从5名队员中选出4人组成接
力队，每人一种泳姿，且四人的泳姿各不相同，使
接力队成绩最好。容易想到穷举法，组成接力队的
方案有5！=120中，逐一计算并做比较即可找出最优
（1）
s. t. h( x ) 0 i 1,2, ,m
（2）
g( x ) 0 j 1,2, ,n （3）
这里opt 最优化的意思，可以是min（求极大， 即minamize的缩写）或max （求极小，即minamize 的缩写）的两者之一；s.t. （即subject to）“受约 束于”之意。
优化模型基本类型
1.决策变量x的所有分量xi均为连续数值
a）f ,hi ,gi都是线性函数，则为线性规划（LP） b）f ,hi ,gi至少有一个是非线性，则为非线性规划（NLP）
c） f 是二次函数,hi ,gi 都是线性，则为二次规划（QP）
2.决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值
a） x的至少一个分量只取整数数值，则为整数规划（IP） b） x的分量限定只取整数0或1，则为0-1规划（ZOP）
优化模型：Lingo Lindo软件
优化模型
优化模型的三要素
（1）决策变量，通常是某一问题需要求解的未知量，
用n维向量x= x1 ,x2 , xn T 表示，当对x赋值后它通常
称为该问题的一个解；
（2）目标函数，通常是某一问题需要优化（最大或 最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的 函数，可以 抽象的记作f ( x )；
两个约束条件：
① 每人最多只能入选4种泳姿之一，即对于员 i=1，2，3，
4，应该有：
4
xij 1
j 1
② 每种泳姿有且只能有1人入选，即对于员 j=1，2，3，4，
5，应该有：
5
xij 1
i 1
综上所述，这个问题的优化模型可以写作：
45
min
cij xij ;
x1 x2 x3 x6 x7 50
线 性 规
x1 x2 x3 x4 x7 50 x1 x2 x3 x4 x5 80 x2 x3 x4 x5 x6 90
划
x3 x4 x5 x6 x7 90
模
显然，人数应该是正整数，所以
型
xi 0 i 1, 2, 7
问题归结为在以上约束条件下求解min z的 整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于 决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向 行规划模型。
模
目标函数：目标函数即是聘用总人数，即
型
z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件：由每天需要的人数确定。由于每人连续
工作五天，所以一周的雇员应该是周四到周一聘用的， 按照需要至少50人，于是
x1 x4 x5 x6 x7 50
类似的，有
x1 x2 x5 x6 x7 50
（3）约束条件，由该问题对决策变量的现实条件给 出，即x允许的取值范围为x ，称为可行域，常
用一组关于x的等式hi( x ) 0i 1,2, m和（或）不 等式g j( x ) 0 j 1,2, n来界定，分别称为等式约
束和不等式约束。
于是，优化模型从数学上可以表述为
opt z f ( x )
, bi ,
形 式
xi 0,i 1,2,...,n
（2）二次规划问题
常
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束。
用 的
n
1n
min f
x
i 1
ci xi
2
i,
bij
j 1
xi
x
Hale Waihona Puke j优 化 模 型 形 式
n
ai xi bi , bi
, bi .
s
.t
.
i 1
xi
0.
i, j 1,2,...,n.
例-2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成
接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。
5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示，
线
问应该如何选拔队员组成接力队？
性
规
表一 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
划
队员
甲
乙
丙
丁
戊
模
蝶泳 1’06”8 57”2 1’18” 1’10” 1’07”4
型
仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11”