运动副间隙对机构运动特性的影响分析

运动副间隙对机构运动特性的影响分析 引言由于装配、制造误差和磨损，运动副中的间隙是不可避免的[1]，间隙使实际机构与理想机构的运动发生偏离，降低了机构运动精度，而且容易引起冲击动载荷，同时产生振动和噪声，影响系统载荷传递，以及造成运动副的破坏和失效，这对机构的效率和寿命都有影响[2]。

所以，含间隙机构动力学已经成为目前国内外工程界迫切要解决的关键问题。

当前对运动副模型的建立分为三类[3]：(1)连续接触模型：由于运动副元素间分离、碰撞的时间特别短，可假定运动副始终处于连续接触状态；(2) 二状态运动模型：只考虑运动副接触和自由两种状态，加入运动副元素接触表面弹性和阻尼；(3) 三状态模型：考虑运动副元素接触、分离和碰撞三种状态。

连续接触模型较简单，较难反映副元素间动力学特性；三状态模型较复杂，且不能求解接触碰撞力； 二状态模型在模型精确性或求解难度均符合实际需要，在二状态模型基础上逐渐发展成为碰撞铰模型。

本文基于间隙矢量模型，考虑构件制造、装配误差建立平面连杆传动机构含间隙球副的碰撞铰模型，并用非线性弹簧阻尼模型描述运动副元素法向接触力与位移关系，用修正的库伦摩擦模型描述运动副元素切向摩擦力与位移关系，建立该传动机构动力学模型，并嵌入LMS 软件，分析运动副间隙对该传动机构动力学特性的影响。

1 含间隙机构动力学建模运动副铰间间隙会引起相连两体的内碰撞，在机构运行期间，运动副包含有间隙，体与体之间的连接产生了松动，运动副关节元素存在失去接触的现象，进入到自由运动状态，待再接触时会产生碰撞，因此间隙总是要包含着一定的接触和碰撞过程。

含间隙机械系统动力学建模的关键是如何把间隙模型嵌入到系统的动力学模型中，这需要考虑间隙运动副的真实描述和间隙接触碰撞过程的正确描述。

1.1 运动副间隙矢量模型间隙矢量模型通过在平面球铰中引入一个间隙矢量来表达。

在该模型中，间隙矢量代表了球铰所连接的两相邻构件连接点的精确的相对位置，可以有效处理间隙运动副连接点相对位置的变化。

间隙矢量[4]以轴套的回转中心为基准起始点，方向指向轴和轴套相对运动时的潜在接触点，该潜在接触点构成了轴与轴套的相对碰撞点。

间隙矢量的大小被严格限制在以轴套回转中心为圆心且以轴和轴套的径向尺寸公差为半径的间隙圆内，因此间隙矢量大小的变化能够反映构件的加工误差，并且矢量大小的变化能够反映间隙运动副元素是否接触。

对含间隙球铰，间隙大小用轴承与轴半径之差来描述，则间隙为: i j c R R =- （1）其中i R 为轴套半径，j R 为轴半径。

轴套与轴中心距为e ，定义δ=e-c 为接触点法向穿透深度。

则可以定义碰撞接触条件为[5]：δ<0 未接触；δ=0 开始接触或开始分离；δ>0 接触变形穿透深度。

1.2 含运动副间隙的机构动力学模型平面连杆机构含间隙的运动副处两零件没有接触时，其动力学方程可表示为[6]..(,)0T q M q Kq Q q t ϕλϕ⎧⎪++=⎨⎪=⎩ （2） 式中，M 和K 分别为连杆机构系统的广义质量矩阵、广义刚度矩阵；q 为系统位置向量；ϕ和q ϕ分别为约束方程、约束方程的雅可比矩阵；λ为拉格朗日乘子；Q 为广义力矩阵。

当含间隙的运动副处两零件有接触时，将引起约束条件的变化，增加力约束，机构的动力学方程可表示[7]..'(,)0T q M q Kq Q F q t ϕλϕ⎧⎪++=+⎨⎪=⎩ （3）式中，'F 为接触力。

在LMS 中，零件间接触力用Contact 工具来定义。

Contact 对碰撞力的计算采用Restitution 类型，即等效弹簧阻尼模型[8]。

它将接触模型简化成一个弹簧阻尼系统。

弹簧接触力根据Hertz 接触理论来计算，同时，用阻尼器模拟接触过程中的能量损失[9]。

用等效弹簧阻尼模型来计算接触碰撞力，其法向接触力广义形式为[10]..()n m n n F K D K C δδδδδ=+=+ （4）式中，n F 是接触点处的法向接触力；n K 也是等效接触刚度；δ是接触点法向穿透深度；.δ是接触点处法向相对速度；()C δ是与δ有关的阻尼因子，m 为非线性弹性力幂指数。

系数D 为碰撞过程的阻尼系数， D 的表达式为2().3(1)4n e K c D δδ--=（5）其中，e c 为恢复系数；().δ-为撞击点的初始相对速度。

运动副间隙切向接触特性可以通过切向摩擦力模型来描述，本文考虑运动副间隙摩擦为干摩擦，不考虑润滑。

由于铰间摩擦力的存在，铰结构的相对运动将受到铰间摩擦阻力矩的影响并会进一步影响到整个间隙机构的动力学响应。

铰间隙碰撞接触处的切向摩擦力模型采用修正的库仑摩擦定律，其切向摩擦力可以表示为[11]t t f d nv F c F v τμ=- （6） 式中，f μ为动摩擦因数，d c 为动态修正系数；t v 为相对切线速度。

2 含运动副间隙的平面连杆机构仿真分析2.1 含运动副间隙的平面连杆机构多体动力学模型的建立平面连杆机构，如图1所示。

在LMS 中，铰A 、D 处两杆均通过固定副Braket Joint 固接于地面，两摇杆通过旋转副Revolute Joint 与固定在地面上的杆连接，摇杆和连杆通过铰B 、C 连接。

当B 、C 铰无间隙时，施加理想球副Spherical Joint 连接两构件，当有间隙存在时，通过施加球与球套之间的接触力Contact 来模拟由间隙存在产生的碰撞力。

由于间隙通常很小，为了表达清楚，间隙放大，如图2所示。

假设球副外壳为铜，弹性模量E 117Gpa =，泊松比为0.30，密度为338.910kg/m ⨯；内球为钢，弹性模量E 200Gpa =，泊松比为0.29，密度为337.8510kg/m ⨯。

二者相对运动速度为50mm/s 。

设置各零件的材料属性和初始状态，最后，在旋转副A 处施加驱动．以建立起平面连杆机构的动力学模型。

以下对间隙运动副的不同因素对机构运动的影响进行分析。

图1 平面连杆机构几何模型图2 球副放大示意图2.2 间隙大小对机构运动的影响为了研究间隙大小对机构运动特性的影响，间隙半径分别取1mm 、0.1mm 与无间隙状态下情况进行对比。

研究发现，当间隙较小时，含间隙时随动杆的位移与理想球副不含间隙时的位移曲线几乎完全重合，速度围绕理想无间隙速度出现小的波动，但整体趋势相同，这表明较小间隙状态下，间隙对机构的位移、速度影响较小。

此结论与文献3～5中得到的结论相同。

但随着间隙的增大，位移峰值稍微增大一些，在碰撞后位移呈振荡状态慢慢下降；而速度出现较大差异，在碰撞后速度出现高频振荡特点，并且远大于前两种状态下的速度。

但是对于加速度两者有较大差别，理想机构加速度曲线很光滑，加速度值也很小。

但考虑铰间间隙时，加速度出现明显的波动，存在许多峰值，并且幅值比理想机构增大很多，可知铰间间隙对随动杆的加速度有较大的影响。

并且加速度峰值随着间隙的增大出现明显的滞后效应，加速度在运动起始阶段会呈现强烈的冲击效应，具有较高的瞬时峰值。

间隙较小的加速度峰值出现较早一些，但峰值却较大一些。

由分析可知，由于球与球套之间存在间隙，因此产生了间隙碰撞力，是一种局部效应，每次碰撞时间极短，因此对位移影响不大，但对加速度影响较明显。

由于理想机构球铰没有间隙，所以，碰撞力曲线很光滑，且值数量级很小，接近于零。

图3为间隙为0.1mm和1mm状态下，球铰碰撞力曲线对比图。

点划线为间隙为0.1mm状态，小碎点线为间隙为1mm状态。

图3 不同间隙状态下球铰碰撞力曲线图从图中可以看出，由于间隙的存在，产生了脉冲式的间隙碰撞力，碰撞力幅值较大并且体现出高频振荡的特点。

随着间隙的增大，碰撞的频率变低．这是因为间隙变大时，铰接的两零件的碰撞间隔加长。

2.3 不同运动副参数对机构运动的影响实际使用的运动副材料多种多样，材料特性也相差较大。

图4为当球副间隙为1mm，二者相对运动速度为50mm/s时，钢球钢套与钢球铜套球副的碰撞力对比图，点划线为钢球钢套材料的球副碰撞力，实线为钢球铜套材料的球副碰撞力。

图4 不同运动副材料时球副的碰撞力对比图从图中可以看出，材料弹性模量较大的钢球钢套运动副和弹性模量较小的钢球铜套运动副中的碰撞有所不同，弹性模量较大时，运动副变形较小，碰撞力也较小；弹性模量较小时，运动副元素变形较大，碰撞力也较大，碰撞刚度明显降低。

3.4 碰撞速度对机构运动的影响不同的碰撞速度造成构件的变形不同，碰撞过程也会有所不同。

图5为当球副间隙为1mm时，二者相对运动速度分别为50mm/s和500mm/s时，球副的碰撞力对比图，点划线为速度为500m/s的球副碰撞力，实线为速度为50m/s的球副碰撞力。

图5 不同碰撞速度时球副的碰撞力对比图从图中可以看出，随着速度的增大，碰撞力急剧增大，碰撞时间缩短，此时造成的碰撞变形也增大，碰撞刚度也迅速增大。

3.5 多间隙与单间隙对机构运动的影响之前几种情况讨论的均是在单运动副间隙状态下，机构的动力学响应问题。

但现实生活中，大多数复杂机构存在着多运动副间隙的状况，所以，在本算例中将曲柄和连杆、连杆和摇杆都设为含运动副间隙，两个间隙r 都取0.1mm，对机构进行动力学仿真，与之前含一个运动副间隙的状态进行对比。

图6为双运动副间隙与单运动副间隙下连杆的速度对比图，其中点划线和实线分别表示双运动副间隙、单运动副间隙状态。

图6 双运动副间隙与单运动副间隙下连杆的速度对比由图6可以看出，双运动副间隙会使连杆的速度产生一定的波动，其明显大于单运动副间隙对机构的影响，且速度的幅值存在明显的滞后效应。

图7、图8分别为单运动副间隙和双运动副间隙状态下连杆的加速度-时间曲线。

图7 单运动副状态下连杆的加速度-时间曲线图8 双运动副状态下连杆的加速度-时间曲线由以上两图对比可以看出，双运动副间隙所产生的加速度波动更加复杂，连杆的加速度幅值增大很多，也存在明显的滞后效应。

由于双运动副间隙的耦合，机构动力学响应的不确定性更大，更加趋近于机构实际的运动情况，由间隙造成的机构整体传递误差会变得更加明显。

3 结论通过在LMS软件平台下对曲柄摇杆机构进行不同间隙因素影响下的建模仿真分析，对比其动力学响应特性，发现间隙大小、不同运动副参数、运动副轴与轴套的碰撞速度以及多间隙与单间隙运动副结构等多种因素对机构运动的影响均很大，得出的一些规律可为之后的结构设计提供参考。