完全平方公式的综合应用习题及答案

完全平方公式的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】
① 观察题目特征（已知两数之差与两数之积11x x
⋅=，所求为两数的平方与），判断此类题目为“知二求二”问题；
② “x ”即为公式中的a ，“1x
”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2
221112x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x
⋅=代入求解即可； ④ 同理，2
4224221112x x x x x x
⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．
【过程书写】
例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．
【思路分析】
此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=．
根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-．
➢ 巩固练习
1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．
2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a
+的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．
（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________．
6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．
7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值．
➢ 思考小结
1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？
2. 阅读理解题：
若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，
则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=，
由222()2a b a ab b +=++得，
即22(210)(200)x x -+-的值为508．
根据以上材料，请解答下题：
若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=，
则(2015)(2013)x x --=______．
【参考答案】
➢ 例题示范
例1．解：12x x -=∵
例2：1
-3 ➢ 巩固练习
1. 9
13 2. 5
17 3. 7 47
4. ±6 ±24
5. 5 24x - -4 8x -8x 4x
6. 8
7. 4a =时取得最小值，最小值为-2 8. 最小值为3
➢ 思考小结
1. 不相等，相差2
()4a b -
2. 2 014。