人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读

高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读
山东 尹承利
一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算
（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.
零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.
（2）空间向量的加减与数乘运算
①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；
②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如
A B B C C D A D
++=，A B
B C C D D A +++=0
等．
2．共线向量的充要条件
（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b
的充要条件是存在实数λ，
使a
b
λ=．
（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a
． ①
在l 上取A B
=a
，则①式可化为O P
O A t A B
=+． ②
①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．
（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线
()
P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．
3．共面向量的充要条件
（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 注：空间任意两个向量总是共面的．
（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p
与向量a b ，共面的充
要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使
p x =a y +b
．
（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A P
x A B y A C
=+；或对空间任意一点O ，有O P
O A x A B y A C
=++． ③
③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向
量惟一确定．
（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O P
x O A y O B z O C
=++，且当且仅当
1
x y z ++=时，四点P A B C ，，，共
面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算
（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a
，O B
=b
，
则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b
．
如果
，a b
π2
=
，那么向量，a b 互相垂直，记作a
b
⊥．
注：0π
a b ，≤≤．
（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b
=，，．
（3）数量积的性质：
①零向量与任何向量的数量积为0，即a
a =00··0
=；②a a
a
a
==2
2
·，即
a =；③
c o s a b a b a b
=
，·；④a
b a b ⊥⇔·0
=．
（4）数量积的运算律： ①()()
a b
a b λλ=··；②a b
b a
=··（交换律）；③()a b
c a b a c
+=+···（分配律）．
注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()
a b c a b c a b c ≠，，，··．
（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．
二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p
，存在有序实数组
{}，，x y z ，使得
p x =+a y b z +c
，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做
基向量．
注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．
（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．
2．空间向量运算的坐标表示
设a
123()
=，，a a a ，b
123()
=，，b b b ，则
（1）空间向量的直角坐标运算
a b +=112233()
+++，，a b a b a b ，a
b -=112233()
a b a b a b ---，，；
λ=a 123()
λλλ，，a a a ；a b
=·112233
++a b a b a b ．
（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()
a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；
②a
b ⊥1122330
⇔++=a b a b a b 。

（3）夹角和距离公式
①
=
a
=
②c o s
a b
，=
；
③A B
d =A
B =
注：将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，可以使立体几何许多问题的解决变得简单．。