函数的奇偶性奇偶性的性质
函数的性质之奇偶性
函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义1．偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质：1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-7设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x xx f +=1总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
6、函数奇偶性判断、证明和图象对称性
6、 奇 偶 性1．函数的奇偶性(1)定义： ①奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有，则这个函数叫做奇函数．②偶函数：设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有，则这个函数叫做偶函数．(2)性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数． (3)判断奇偶性①f (x )＝|x |；②f (x )＝1－x 2＋x 2－1 ③f (x )＝x 2 (x ≥1)；④f (x )＝|x ＋1|－|x －1|.2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3．若一次函数y ＝kx ＋b 为奇函数，则b ＝ ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数则b ＝.反比例函数y ＝k x(k ≠0)是函数．对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断． [例1] 1、判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝x 3＋1x；(2)f (x )＝x 2＋1；(3)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(4)f (x )＝2x ＋1；(5)f (x )＝x －1＋1－x ；(6)f (x )＝1|x |－1.2、判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．[例2]已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．2、已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.[例3]1、已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？2、(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小结果为______．(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．[例4]1、已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．2、(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．[例5] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2课堂练习一、选择题1．下列函数不具备奇偶性的是 ( )A ．y ＝－xB ．y ＝－1x C ．y ＝x －1x ＋1D ．y ＝x 2＋22．下列命题中真命题的个数为( )(1)对f (x )定义域内的任意x ，都有f (x )＋f (－x )＝0则f (x )是奇函数(2)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (x )－f (－x )＝0，则f (x )是偶函数(3)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )f (x )＝－1，则f (x )是奇函数(4)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )f (x )＝1，则f (x )是偶函数A ．1B ．2C ．3D ．43．若函数y ＝f (x )为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )的图象上的是 ( ) A ．(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (－a )) C ．(－a ，f (a )) D ．(－a ，－f (a ))4．已知y ＝f (x )是奇函数，且方程f (x )＝0有六个实根，则方程f (x )＝0的所有实根之和是 ( )A ．4B ．2C ．1D ．05．已知f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．部分为增函数，部分为减函数 D ．无法确定增减性 6．偶函数y ＝f (x )在区间[－4，－1]是增函数，下列不等式成立的是( )A ．f (－2)<f (3)B ．f (－π)<f (π)C ．f (1)<f (－3)D ．f (－2)>f (3)二、解答题 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x 是有理数－1 x 是无理数. (2)f (x )＝|2x ＋1|－|2x －1|.(3)f (x )＝2|x |. (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2) x ≥0－x (x ＋2) x <0课后练习一、选择题 1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y 轴一定相交 ④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( ) A ．－15B ．15C ．10D ．－104．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (1) C ．f (2)>f (3) D ．f (－3)<f (5)5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( ) A ．－1B ．1 C.114D ．－1146．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为37．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝2－|x |8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 `D.⎣⎡⎭⎫12，23 9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A ．f (1)<f (2) B ．f (1)＝f (2) C ．f (1)>f (2) D ．不能确定二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________． 12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x .14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．答案1．函数的奇偶性(1)定义： ①奇函数：－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x ) ②偶函数：－x ∈D ，且g (－x )＝g (x ) (2)性质： 坐标原点 坐标原点 y 轴 y 轴 (3)[答案] ①偶 ②既是奇函数，又是偶函数 ③非奇非偶 ④奇 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3． b ＝0， b ＝0 奇.对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称． ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断．[例1] 1、 [分析] 利用函数奇偶性定义来判断． ∴f (x )为奇函数．(2)f (x )定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (4)定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝－2x ＋1， ∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数． (5)定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．2、 [解析] f (x )的定义域为R ，当a ≠0时，f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，当a ＝0时，有f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数.[例2] 1、 [分析] 由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． [解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)－x 2－2x －3 (x ＜0)先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性画出y 轴左边的图象．如下图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]． 2、 [答案] －x ＋1[解析] x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.[例3] 1、已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数还是减函数？[分析] 由函数的奇偶性进行转化．[解析] 设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数．∴f (－x 2)＜f (－x 1) 又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数．[点评] 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的． 2、[答案] (1)f (－5)<f (3)[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－5)＝f (5)，∵f (x )在[2,6]上是减函数， ∴f (5)<f (3)，∴f (－5)<f (3)．(2)设－6≤x 1<x 2≤－1，则1≤－x 2<－x 1≤6，∵f (x )在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f (1)≤f (－x 2)<f (－x 1)≤f (6)＝10， 又∵f (x )为奇函数，∴4≤－f (x 2)<－f (x 1)≤10， ∴－10≤f (x 1)<f (x 2)≤－4，即f (x )在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.[例4] 1、[解析] (1)根据偶函数图象关于y 轴对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(1)． (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(2)．2、 [答案] (1)2 (2)f (3)>f (1)[解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f (x )图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴f (－4)·f (－2)＝(－2)×(－1)＝2.(2)∵偶函数f (x )满足f (－3)>f (－1)， ∴f (3)>f (1)．[点评](1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号¡°f ¡±内的负号，f (－4)·f (－2)＝－f (4)·[－f (2)]＝f (4)·f (2)＝2×1＝2.[辨析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．[例5] [正解] (1)由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f (x )定义域关于原点不对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． 课后练习答案 一、选择题1．[答案] C2．[答案] D[解析] 四个命题都正确，故选D.3．[答案] D[解析] ∵－f (a )＝f (－a )，∴点(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )的图象上，故选D. 4．[答案] D[解析] 奇函数的图象关于原点对称，方程f (x )＝0的六个根，即f (x )图象与x 轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称， ∴和为0.5．[答案] A[解析] ∵f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，因此f (x )在(－5，－2)上为增函数，故选A.6．[答案] D二、解答题a7． [解析] (1)为偶函数．∵x ∈Q 时，－x ∈Q ， ∴f (－x )＝1＝f (x )．同理，x 为无理数时，－x 也为无理数． ∴f (－x )＝－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)奇函数．∵f (－x )＝|－2x ＋1|－|－2x －1|aa ＝|2x －1|－|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)偶函数．∵f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(4)画出其图象如图，可见f (x )为奇函数．课后练习答案 一、选择题 1． [答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错． 2．[答案] B 3．[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15. 解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)． 5．[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x－3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1. 6．[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C. 8．[答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13x <23，∴选A.9．[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1. 解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1. 10．[答案] C [解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较． 二、填空题11． [答案] 奇函数 [解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数． 12． [答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0. 三、解答题13．[解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14． [解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2 又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝25，所以12a1＋⎝⎛⎭⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16． [解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)， ∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1－1<1－a 2<11－a >a 2－1解得0<a <1. 故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17． [解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)， 其图象如图所示．。
函数奇偶性性质
1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。
2、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。
3、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。
4、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。
奇函数和偶函数的判断方法
按定义来说：对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足f(x)=f(-x)
所以,一般来说判断一个函数是奇函数还是偶函数必须要将定义域中的的所有数
带入,这肯定不可能的.
那么我们可以先看看定义域,奇偶函数的定义域必须是对称的,一个函数的定义域若不是对称的,那么就不用判断了,肯定不是.这个基本一看就能看出.
定义域对称,这时候要判断奇偶性,首先是利用公式,若能推出f(x)=f(-x) 或者
f(x)=-f(-x),那么就可以判定了.所以若是有表达式,一般是将-x带入.
还有可以看图像,看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此
为偶函数）.
若以上两种都没有判断出奇偶,一般就很可能是非奇非偶函数了.不过考虑有的函数表达式复杂,f(x)=f(-x) 或者f(x)=-f(-x)难以推断,我们也可以将之分解,化成几个
函数相加减或乘除的形式,然后根据各自的奇偶性再判断.当然这时要记住奇函数、偶函数相加减或乘除之后的奇偶变化.。
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
函数奇偶性的性质
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(-x)=(-x)^2=f(x)$。
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偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$ 为偶函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$。 偶函数的图像关于y轴对称，即对于任意$x$，有$f(-x)=f(x)$。
举例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。 偶函数的导数（如果存在）是奇函数。 偶函数满足$f(-x) = f(x)$的性质。
举例
$f(x) = x^2$是偶函数，因为$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$。
$f(x) = frac{1}{x}$不是偶函数，因为虽 然$f(-x) = -x^{-1} = -f(x)$，但$f(-x) neq f(x)$。
03 非奇非偶函数
定义
• 定义：如果一个函数既不满足奇函数的定义（f(-x) = -f(x)），也不满足偶函数的定义（f(-x) = f(x)），则该函 数被称为非奇非偶函数。
性质
不确定性
非奇非偶函数的性质和行为通常是不 确定的，因为它们既不具有奇函数的 特点也不具有偶函数的对称性。
无规律性
非奇非偶函数通常没有明显的规律性 ，不像奇函数或偶函数那样具有对称 性或周期性。
奇函数的图像关于原点对 称。
01
03 02
举例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
$f(x)=x$不是奇函数，因为当$x=0$时，$f(0)=0$，不满足奇函数的定义。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
函数的奇偶性
函数的奇偶性（一） 主要知识： 1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． （三）典例分析：问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1 1()(1)1x f x x x +=--； ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--； ()3 2()lg(1)f x x x =+-； ()4 22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 问题2．()1已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为()2(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是yxO 2∙ 5∙ ()y f x =∙()2已知函数21()ax f x bx c+=+()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值 .问题5．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围（四）巩固练习：1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=2.已知1()21x f x m =++为奇函数，则(1)f -的值为 3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______ 4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于 .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f.A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数函数的周期性1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT（,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期． 2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），(1)()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； (3)()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()f x a f x b +=-，则()f x 是以T a b =+为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
函数的奇偶性
函数的奇偶性一、定义1、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是偶函数。
2、如果对于 A x ∈,都有 ，称()y f x =是奇函数。
二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个x 都必须成立；3、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f5、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇7、一次函数为奇函数⇔ ；二次函数为奇函数⇔8、奇偶性与单调性 奇函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a ，b)上增减性相反应用一：奇偶性的理解例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数当且仅当(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是0)(=x f )(R x ∈ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例2、对于定义在R 上的函数，下列说法正确的有 。
（1）f （x ）为偶函数，则)2()2(f f =-。
（2）（2）)2()2(f f =-，则f （x ）为偶函数。
（3）),2()2(f f ≠-则f （x ）不为偶函数。
（4）)2()2(f f =-，则f （x ）不为奇函数。
（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是R x y ∈=,0。
（6）()y f x =在]83,[+a a 上是奇函数，则2-=a 。
例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
1、 若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。
（ ）2、 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
函数的奇偶性
函数的奇偶性知识体系一、函数奇偶性的定义已知函数f(x)，对定义域中任意一个自变量x，若都有，则称f(x)为奇函数；若都有，则称f(x)为偶函数。
变式：奇函数；偶函数；二、奇、偶函数的性质1. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称；反之，若一个函数表示的曲线关于原点(y轴对称)，则此函数必为奇(偶)函数；2. 奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇3. 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0方法体系例2. f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x+lgx，求f(x)在x＜0时的解析式解：当x＜0时，一般地，给出奇、偶函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式常用f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)常见的偶函数:二、奇偶性的应用例3.解：设f(-2)=g(-2)+7=-g(2)+7=10例4. 为奇函数，则a=____解：∵f(0)=0，∴log22+a=0 ∴a=-1例5. 为偶函数，则a=_____解：∵f(x)为偶函数，，若改成，则只能根据定义。
例6. 奇函数f(x)在定义域[-4,4]上单增且满足：f(a2-1)+f(a-4)＞0，求a的取值范围解：∵f(a2-1)+f(a-4)＞0，∴f(a2-1)＞-f(a-4)=f(4-a)∴例7. 证明：可导的偶函数其导函数为奇函数，可导的奇函数其导函数为偶函数。
证明：设偶函数为y=f(x)，则有f(-x)=f(x)对上式两边求导，得由奇函数定义知，为奇函数。
同理可证可导的奇函数其导函数为偶函数。
练习题：1. 已知2. 已知f(x)(x∈R，x≠1)，f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2-x+1，则当x＞1时，f(x)的递减区间是_____3. f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点对称，则f(x)在[-4,4]上的单调性____4. 已知f(x)是奇函数，g(x)为偶函数，。
函数奇偶性总结
函数的奇偶性1知识点（1） 定义：偶函数：对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；奇函数: 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
(2) 判断函数奇偶性的步骤①定义域关于原点对称②判断)(x f -与)(x f 的关系若)(x f -=)(x f 则函数)(x f y =为偶函数若)(x f -=)(x f -则函数)(x f y =为奇函数（3）奇函数的性质①奇函数定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称②)(x f y =在0=x 有意义，则=)0(f③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性（4）偶函数的性质①偶函数定义域关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称②偶函数在其关于原点对称的区间上单调性(5)常见的奇偶函数①11-+=x x a a y ，② 11log -+=x x y a ，③ n x y =，④x y sin =⑤x y cos = ⑥⎪⎩⎪⎨⎧<-->-=)0(,2)0(,222x x x x x x y （1） 函数f(x)=a x +a -x 为偶函数;函数f(x)=a x -a -x 为奇函数；（2） 函数f(x)=( a x -a -x )/( a x +a -x )=( a x -1)/( a x +1)其中（a>0且a ≠1）为奇函数；（3） 函数f(x)=log a (11x x-+)为奇函数（a>0且a ≠1）; （4） 函数f(x)= log a(x +为奇函数（a>0且a ≠1） 奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
2.4函数的奇偶性
⑦对于F(x)=f[g(x)]: 若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
3．奇偶性的判断 一.定义法：①看定义域是否关于原点对称
②看f(x)与f(-x)的关系 二.图象法：作出图象，看是否关于原点对称
⑤奇函数 f (x)在 x 0有意义，则 f (0) 0
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为 一个奇函数与一个偶函数之和
f (x) 1 [ f (x) f (x)] 1 [ f (x) f (x)]
2
2
⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
上为增函数,求x的取值范围
练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在 [0,) 上 为减函数，若 f ( a2 a 2) f (2a 1) ，求实数a的取 值范围。
综合应用：与单调性、 不等式联系
备例
例5．f(x)是定义在 (,10] [10,) 上的奇函数，且 f(x)在[10,) 上的单调递减
的奇函数，求函数的解析式。
从性质和图形出 发解题
(书）例4．函数f(x)是定义在D x x 0上的函数，且
f(x)满足对任意 x1, x2 D,有, f (x1.x2 ) f (x1) f (x2 )
①求f(1)的值 ②判断f(x)的奇偶性并证明，
③若 f (4) 1, f (3x 1) f (2x 6) 3且f(x)在 (0,)
(书例1)变式一：已知函数 y f (x)是偶函数，y f (x 2)
在 0,2是单调减函数,则
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
函数的奇偶性
专题4 函数的奇偶性1．函数的奇偶性定义:对于函数f (x )的定义域内任意一个x ：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数．2．函数的奇偶性的性质(1)对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 必须成立；(3)可逆性：f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数；f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数；(4)等价性：偶函数：f (－x )－f (x )＝0；奇函数：f (－x )＋f (x )＝0；(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．3．分类:奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．4．函数的奇偶性判断方法与步骤利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f (－x )＝±f (x )哪一个成立．1．函数f (x )＝x ＋2x( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．14．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.5．若奇函数f (x )的定义域为[p ，q ]，则p ＋q ＝________.6．奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，若f (x )在[0,2]上单调递减，且f (1＋m )＋f (m )<0，则实数m 的取值范围是________．7．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数则( )A ．a ·b ＝0B ．a ＋b ＝0C ．a 2＋b 2＝0D ．a ＝b8．定义在[－2,2]上的奇函数f (x )，当x ∈(0,2]时，f (x )＝－12x ＋1，则不等式f (x )－f (－x )≥2x 的解集为________．。
函数的性质(奇偶性、解析式)(补课)
函数的性质（奇偶性、单调性）一、函数的奇偶性1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－ x)= — f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．3.判断函数奇偶性的方法：（1）图像法：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．4.奇偶函数的简单性质：（1）奇函数：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.（2）偶函数：奇函数的图象关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.二、函数的解析式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要 求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、换元法、待定系数法、消参法.相关习题一、 选择题1. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．-5C ．5D ．不确定2. y f x x R =∈()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上（ ）A ． (())a f a ，-B ． (())--a f a ，C ． (())---a f a ，D ．(())a f a ，-3. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ） A ．增函数，最小值是-5 B ．增函数，最大值是-5C ．减函数，最小值是-5D ．减函数，最大值是-54. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．25. f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) < f (3),下列各式一定成立的是（ ）A.f(0)>f(5)B.f(3)<f(2)C.f(-1)>f(3)D.f(-3)>f(1)6.)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <则（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7. 下列函数为偶函数的是（ ）A.()x x x f +=B.()x x x f 12+=C.()x x x f +=2D.()2xx x f = 8.已知函数())0(2≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 即奇又偶函数D.非奇非偶函数9.如果奇函数）（x f 在],[b a 具有最大值）（a f ，那么该函数在],[a b --有 （ ）A .最大值）（a -fB .最小值）（a -fC .最大值）（b -fD .最小值）（b -f10.()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+, （a R ∈）的大小关系是（ ）A ．()2f -<()223f a a -+ B ．()2f -≥()223f a a -+ C ．()2f ->()223f aa -+ D ．与a 的取值无关若函数 二、填空题11. 若函数f ( x )=ax 73++bx ,有f ( 5 )= 3则f(－5)= ；12. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图，则不等式()0<x f 的解是 ；13. 已知)(x f 是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数， （12题） （13题）当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域是 ；14. 62)23()(2-++-=k x k k x f 在R 上是增函数且为奇函数, K 的范围为 .三、 解答题15.判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2432)(x x x f +=； （3）1)(23--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ； （6）2211)(x x x f -+-=；（7）2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩16. 根据要求求函数解析式（1）已知()x x x f 312+=+，求()x f ；（2）已知3311xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ； （3）已知○1()()23+=--x x f x f ， ○2()112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x f x f ，分别求()x f ；（4）求一个一次函数()x f ，使得()78]}[{+=x x f f f .（5）已知：()10=f ,对于任意实数y x ,，等式())12()(+--=-y x y x f y x f 恒成 立，求()x f 的表达式.17.（1）()x f 为R 上奇函数，当0>x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；（2）()x f 为R 上偶函数，当0<x 时，()132+-=x x x f ，求()x f 在R 上解析式．（3）())(,x g x f 都是定义在R 上的函数，且()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，且有 ()2-x x x g x f 2+=+)(，试求())(,x g x f 的解析式.18.（1）)(x f 在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(>-+-m f m f ，求m 的取值范围；（2）)(x f 在]3,3[-上为偶函数，且在]0,3[-上是减函数0)3()12(>---a f a f ，求a 的取值范围.19. 函数)(x f y =与)(x g y =的图像如图所示，设)()()(x g x f x F =,求)(x F 取得最大值时相应的x 的值.。
函数的基本性质——奇偶性
函数的基本性质——奇偶性一、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =-，则称函数()f x 为偶函数；如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =--，则称函数()f x 为奇函数。
2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
3.函数奇偶性的判断(证明)(1)比较()f x 与()f x ±-的关系； (2)()()f x f x -（()0f x -≠）与1±的关系； (3)()()f x f x ±-与0的关系4.简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇二．典例解析题型一：判断函数的奇偶性例1．讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f x xx );0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数 题型二：奇偶性的应用例2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
题型三：奇偶性与其它性质的综合应用例3.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0，则xf (x )<0的解集为_________. 例4.定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。
函数奇偶性
函数奇偶性一、主要知识：1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．二、主要方法：1. 判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； 图象法；性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，奇±偶＝非奇非偶；（同不变，异为非。
） 奇×÷奇＝偶，偶⨯÷偶=偶，奇⨯÷偶=奇；（奇为负，偶为正。
） 复合函数奇偶性；（一偶则偶，同奇则奇。
）②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．例1.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R)B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.例2.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析]y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.例3.(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.例4.(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.例5.(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.例6.(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．例7.(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0 B．2C．4 D．不能确定[答案] C[解析]∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.例8.定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗x(x⊕2)－2() A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.例9.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∴b <a <c .故选C.例10.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析]由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，例11.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析]∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x <1，∴－1<x <0，故选A.例12.(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A [解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x＋log 22＋x2－x ＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例13.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案] C[解析] ∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.例14.(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2 [解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2.例15.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.例16.(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.例17.(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.例18.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析]∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.例19.(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析]∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg(a ＋2)x ＋a1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．例19.(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.例20.(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1.∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解．∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3.(2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2.∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13. ∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值． 又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.例21.(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2，∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0.例22.(文)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析](1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a ＝0， 解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y， 由2x >0知1＋y 1－y>0， ∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0.例23.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0.[解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .①因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .②又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3.从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3.由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0.因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c＝a (m ＋n )(m －n )>0.若m <0，则n >0.同理可得F (m )＋F (n )>0.综上可知F (m )＋F (n )>0.例24.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x 、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1),试证明：(1) f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21x xx --)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(21121x x x x --)∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴12121x x x x -->0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f(21121x x x x --)<0即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.例25.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a －23)2－45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a<3,得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).。
6函数的奇偶性
a
1
为奇函数，则实数
1
a
值
x1 xa
(4)若 f x ax2 b 1 x 3, x a2 2,a
为偶函数，则实数 a __1___,b __1___ .
注：函数的奇偶性给出了等量关系
Ex：已知 f x是R上的偶函数,当 x 0 时,
f x x2 x,则 x 0 时,f x __x_2___x______. Ex：定义在R上奇函数 f x ,在 x 0 时
f x x2 x 1 ,求函数解析式. x2 x 1 x 0
f x 2x 2x , g x 2x 2x
2 f x 1 0有五个不同的实根x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,,
则x1 x5 __0___ .可利用示意图帮助判断
问：如果是R上关于直线 x 2对称的函数呢？ 10
Ex：设 f x 是连续的偶函数，且当x 0时，
f
x是单调函数,则满足
x2 2x
x
2
2
x
x0 x0
奇
奇偶性的证明方法一般是定义法： ①.看定义域是否关于原点对称
②.若满足①，再看f(x)与f(-x)的关系
对复杂函数的奇偶性判断，不要轻易下结论，应 先化简
Ex：判断下列函数的奇偶性
1
f
x
x 2
x 1 2x
2 f x log2 1 x2 x5 5
f
x
f
x3 x 4
的所有
的 x 之和___8___.
Ex：设函数 f x是定义在R上奇函数,当x 0
函数的性质-奇偶性
对于奇函数在对称区间上的定积分为0，而偶函数在对称区间上的定积分为两倍于 半个区间的定积分，利用这一性质可以简化计算。
周期性问题中的奇偶性应用
判断周期性
如果一个函数具有周期性，且周期为T， 则f(x+T)=f(x)。对于奇函数和偶函数， 其周期性判断可以转化为判断f(x+T) 与f(x)的关系。
03
2. 偶函数与偶函数相加或相减
仍为偶函数。
04
3. 偶函数与奇函数相乘得到奇 函数。
05
4. 若一个函数的导数是偶函数， 则原函数是奇函数加上一个常数。
06
奇偶性判断方法
代数法
图像法
通过代入$-x$，比较$f(-x)$与$f(x)$或$f(x)$的关系来判断。
观察函数的图像是否关于原点或y轴对称来 判断。
拓展：复变函数中的奇偶性
01
复变函数的奇偶性定义
类似于实函数，复变函数也有奇偶性的概念。若复变函数f(z)满 足f(-z)=-f(z)，则称其为奇函数；若满足f(-z)=f(z)，则称其为 偶函数。
02 03
奇偶性与共轭复数
在复变函数中，共轭复数与奇偶性密切相关。若f(z)为奇函数， 则其共轭复数函数f*(z)也为奇函数；若f(z)为偶函数，则f*(z) 也为偶函数。
拓展应用
复变函数的奇偶性在复数域的分析和计算中具有广泛应用，如求 解复变函数的积分、判断复变函数的解析性等。
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感谢观看
指数函数$y = a^x$（$a > 0$，$a neq 1$）既不是奇函数也不是偶函数，因为$a^{-x} neq a^x$且 $a^{-x} neq -a^x$。
其他典型函数的奇偶性
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3.奇偶函数的性质
x
x
基础训练(口答)
1.如图给出了奇函数 y＝f(x)的局部图象， 求f(－4). -2
y 2 O
y 2 –3 –1 O x
4 x
2.如图给出了偶函数 y＝f(x)的局部图象， 试比较f(1)与f(3)的 大小. f(1) ＜ f(3)
提升训练(动笔)
4.f(x)是偶函数，且在区间[0,7]上是减函数， 则在区间[-7,0]上是 增 函数.
1.求解析式
1.已知f(x)是奇函数，且当x≥0 时，f ( x) x2 3x , 求当x＜0 时f(x)的解析式.
解：当x＜0时，-x＞0， ∴f(-x)=(-x)² -3(-x)=x²+3x， 又f(x)是奇函数， ∴ f(-x)=-f(x)=x²+3x， ∴ f(x)=- x²-3x(x＜0)。
★ ★已知定义在R上的函数f(x)，对 任意实数a,b都有f(a·b)=bf(a)+af(b)， (1)求f(1)和f(-1)的值， (2)确定函数f(x)的奇偶性
设y=f(x),x ∈ R，对一切x,y ∈ R， 都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x) · f(y）， 且f(0) ≠ 0，试判断f(x)的奇偶性
2
(2) f ( x)
x
2
( x [3,1]) (4) f ( x) 2 x 1
思考：
有没有函数，它既是奇函数又是偶函数？
f(x)=0 (定义域关于观点对称.)
1.奇函数图象关于 原点 对称， 偶函数图象关于 y轴 对称 2.奇函数在对称区间上的单调性 相同 . 偶函数在对称区间上的单调性 相反 . 3.若函数是定义在R上的奇函数， 则f(0)= 0 .
作业:
P39习题1.3A组：6 B组：3(不用证明)
课堂练习２
判断函数的奇偶性 1 x (1)f(x)=(x-1) 1 x 1 x2 (2) f ( x) x2 x2
课堂练习３
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时， f(x)=x(1-x)，求当x≥0函数的解析式 解：当x>0时，-x<0，因当x<0时f(x)=x(1-x)， 则f(-x)=-x(1+x)． 又f(x)为奇函数有f(-x)=- f(x)， 所以-f(x)=-x(1+x)，则f(x)=x(1+x)， 又f(0)=f(-0)=-f(0)，则f(0)=0， 则当x≥0 时，f(x)=x(1+x)。
x2 3x，x 0 函数解析式为 f(x) 2 x 3x，x 0
急速练习
★已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)=x(x+1), x²-x 。 则当x>0时，f(x)=______
1.求解析式
2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 且 f ( x) g ( x) x2 2x ， 2 2x 则f(x)= ,g(x)= . x
1.3.2函数的奇偶性(2)
性质及应用
学习目标：
1.掌握函数奇偶性定义及判断方法； 2.掌握奇、偶函数的性质；
3.应用函数奇偶性解题。
重、难点：
奇、偶函数的性质及其应用.
往事回顾：
(1)判断函数奇偶性的步骤?
课前演练：
判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) 2 x
函数，g(x)是偶函数， 证明f(x)+g(x)是偶函数
偶函数+偶函数------奇函数+奇函数------偶函数+奇函数------偶函数×偶函数-----奇函数×奇函数-----偶函数×奇函数------
. . . . . .
小结：
1.奇偶函数的性质； 2.求解析式 ； 3.求参数； 4.求值； 5.解不等式.
课堂练习４
若f(1-m)<f(m), 求实数m的取值范围
定义在[2，上的偶函数 2] f(x) 在区间[0,2]上是减函数，
-2 3.函数f(x)是奇函数，且定义域为[2a,4],则a=___.
5.已知f(x)=x5+bx3+cx,且f(-2)=10,那么f(2)=( A ) A.-10 B.10 C.20 D.与b,c有关
笔记！
★ ★已知函数f(x)，x ∈R,若对任意 实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)， 求f(0)，并判断函数f(x)的奇偶性