江苏省海安高级中学2020届高三3月线上考试数学试题及答案word

江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷

数学1

方差公式()()()

2222

121n s x x x x x x n ⎡⎤=

-+-++-⎢⎥⎣⎦L ，其中()121

n x x x x n

=+++L .

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相．．．．应位置上．．．．

. 1. 已知集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =>，则A B =I ______. 2. 复数()1z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限.

3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[]40,60内的汽车有______辆.

4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______.

5. 在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为______.

6. 如图所示的算法流程图中，最后输出值为______.

7. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面. ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；

④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n .

上述命题中为真命题的是______.（填写所有真命题的序号）.

8. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.（1匹=4丈，1丈=10尺） 9. 若cos 2cos 4παα⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

，则tan 8πα⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭

______. 10. 如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD ⋅=u u u r u u u r

______.

11. 已知关于x 的方程()1x x a -=在()2,-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______. 12. 已知0a >，0b >，且

111a b +=，则32b

a b a

++上的最小值等于______. 13. 如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r

的最大值为______.

14. 若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[]1,3x ∈及任意的实数[]2,4b ∈恒成立，则实数

a 的取值范围是______.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知ABC ∆内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且()()1tan 1tan 2A B ++=. （1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆面积的最大值.

16. 如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且

AF

AC

λ=.

（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED .

17. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB =4AD =.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，

PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF =现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足

150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上.

（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值. 18. 已知椭圆E ：()2

2

2

90x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，

线段AB 的中点为M .

（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r

的范围；

（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点,

3m m ⎛

⎫

⎪⎝⎭

，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由.

19. 已知函数()x

f x ae =，()ln ln

g x x a =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切

线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l . （1）求1l ，2l 之间的距离；

（2）若存在x 使不等式

()

x m

f x ->m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()

g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称()()00f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差.求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有1

1213211333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭

L 成立.

①求数列{}n b 的通项公式；

②设数列n n n c a b =⋅，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

数学（理科）附加题

说明：

1. 以下题目的答案请直接填写在答卷上.

2. 本卷总分40分，考试时间30分钟.

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并．在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修4—1：几何证明选讲]

如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证：

2AB BE CD =⋅.