二次函数全章分类专题练习(全套!!!)
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1、 下列函数：①
y = 3x2 ；②
y = x2 - x (1 + x) ；③
y = x2 (x2 + x)- 4；④
y=
1 x2
+
x
；⑤
y=
x (1-
x) ，其中是二次函数的是
，c =
，其中a =
，b =
3、当 m
时，函数y = (m - 2) x2 + 3x - 5（m 为常数）是关于 x 的二次函数
（或
2
），顶点坐标是
，当 x
时，y 随 x 的增大而增大，当 x
时，y 随 x 的增大而减小，当 x=
时，该函数有最
值是
；
2、对于函数 y 2x 2 下列说法：①当 x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；
③y 随 x 的增大而减小；④图象关于 y 轴对称.其中正确的是
4、当m = _ _ _ _ 时，函数y = (m2 + )m xm2- 2m- 1 是关于 x 的二次函数
5、当 m = _ _ _ _ 时，函数 y = (m - 4) xm2- 5m+ 6 +3x 是关于 x 的二次函数
6、若点 A ( 2, m ) 在函数 y x 2 1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.
1、抛物线 y 1 x 32 ，顶点坐标是
,当 x
2
最
值.
时,y 随 x 的增大而减小， 函数有
2、试写出抛物线 y 3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.
2
（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个
(完整word版)二次函数中考复习(题型分类练习)
二次函数题型分析练习题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用1.(2015•兰州）在下列二次函数中,其图象对称轴为x =﹣2的是( ）A ． y =（x +2）2B ．y =2x 2﹣2C ．y =﹣2x 2﹣2D ．y =2（x ﹣2）22.（2014•浙江)已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab )在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）A 。
（﹣3,7） B.（﹣1，7） C.(﹣4，10） D 。
（0，10） 3.在同一坐标系中,图像与y=2x 2的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A 。
212y x = B 。
212y x =- C.22y x =- D 。
2y x =-4。
二次函数 无论k 取何值,其图象的顶点都在（ ） A.直线上 B 。
直线上 C.x 轴上 D.y 轴上5。
(2012•烟台)已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法:①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时,y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.(2014•扬州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0)且平行于y 轴的直线，若点P （4，0)在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ． 7。
已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等,则当取时，函数值为（ ）A.B .C 。
D 。
c8.如图所示，已知二次函数的图象经过（-1,0）和（0，-1)两点,则化简代数式= 。
第2题图题型二：平移 1。
抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（ ）A. B 。
C 。
D.2.(2012上海）将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________3。
二次函数()23212-+=x y 的图象是由函数221x y =的图象先向 (左、右）平移 个单位长度,再向（上、下）平移 个单位长度得到的.4。
(完整版)二次函数综合题型分类训练
专题一二次函数之面积、周长最值问题y- 1 x2bx c1、如图，抛物线2与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2 ，OC=3 ． (1)求抛物线的剖析式。
(2)假设点 D(2 ， 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，可否存在一点 P，使得△ BDP 的周长最小，假设存在，央求出点P的坐标，假设不存在，请说明原由．22、如图，抛物线y= － x +bx+c 与素来线订交于 A 〔－ 1，（1〕抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2〕设点 M 在对称轴上一点，求使 MN+MD 的值最小时的 M的坐标；〔3〕假设 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值．3、如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 2〔 a≠ 0〕与 x 轴交于 A 、B两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D〔 2，3〕， tan∠ DBA= 1 2．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，按次连接点B 、M 、C、 A ，求四边形 BMCA 面积的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是〔 4，0〕，并且 OA=OC=4OB ，动点 P 在过 A ，B ，C 三点的抛物线上．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕可否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？假设存在，求出所有吻合条件的点 P 的坐标；假设不存在，说明原由；（3〕过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线．垂足为 F，连接 EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．y-1x2bx c5、如图 12，二次函数2的图象与 x 轴的正半轴订交于点 A 、 B，与 y 轴订交于点C，且 OC2=OA · OB ．(1)求 c 的值；(2)假设△ ABC 的面积为3，求该二次函数的剖析式；(3)设 D 是 (2)中所确定的二次函数图象的极点，试问在直线 AC 上可否存在一点P 使△ PBD 的周长最小 ?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．6、如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为〔－ 2， 0〕，连接 OA ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°，获取线段 OB.（1〕求点 B 的坐标；（2〕求经过 A 、 O、B 三点的抛物线的剖析式；〔 3〕在〔 2〕中抛物线的对称轴上可否存在点C，使△ BOC的周长最小？假设存在，求出点 C 的坐标；假设不存在，请说明原由.〔 4〕若是点P 是〔 2〕中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB面积？假设有，求出此时P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；假设没有，请说明原由.可否有最大专题二二次函数之等腰三角形问题1、如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过 ABC △的三个极点， BC∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC ．〔 1〕求抛物线的对称轴；（2〕写出 A 、B 、 C 三点的坐标并求抛物线的剖析式；（3〕研究：假设点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，可否存在 PAB 是等腰三角形．假设存在，求出所有吻合条件的点P 坐标；不存在，请说明原由．2、如图，抛物线与x 轴交于A〔 -1，0〕，B〔 3，0〕两点，与y 轴交于点C〔 0，3〕．〔 1〕求抛物线的剖析式；〔 2〕设抛物线的极点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上可否存在点P，使得△ PDC是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由；M 〔 3〕点 M 是抛物线上一点，以 B ，C， D， M 为极点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标．3、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x 2﹣〔 m+n〕x+mn〔 m＞ n〕与 x 轴订交于 A 、B两点〔点 A 位于点 B 的右侧〕，与 y 轴订交于点 C．（1〕假设 m=2， n=1，求 A 、 B 两点的坐标；（2〕假设 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是〔 0，﹣ 1〕，求∠ ACB 的大小；〔3〕假设 m=2，△ ABC 是等腰三角形，求n 的值．4、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A〔 3，0〕，与 y 轴的交点为 B〔 0，3〕，其极点为 C，对称轴为 x=1 ．〔 1〕求抛物线的剖析式；（2〕点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3〕将△ AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度〔 0＜ m＜ 3〕获取另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠局部的面积记为S，用 m 的代数式表示S．5、如图，抛物线经过 A 〔 1，0〕， B〔 0，3〕两点，对称轴是x= ﹣1．（1〕求抛物线对应的函数关系式；（2〕动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．①当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；②△ AON 可否为等腰三角形？假设能，求出t 的值；假设不能够，请说明原由．6、如图，抛物线y= ﹣14 x2+bx+4 与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C，假设 A 点的坐标为A〔﹣2， 0〕．（1〕求抛物线的剖析式及它的对称轴方程；（2〕求点 C 的坐标，连接 AC 、BC 并求线段 BC 所在直线的剖析式；（3〕试判断△ AOC 与△ COB 可否相似？并说明原由；〔4〕在抛物线的对称轴上可否存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形？假设不存在，求出吻合条件的 Q 点坐标；假设不存在，请说明原由．7、 Rt△ ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB 与 x 轴重合〔其中OA ＜ OB〕，直角极点在y 轴正半轴上。
(完整版)二次函数专题
专题训练(三) 与函数有关的最值问题类型之一由不等关系确定的最值问题1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？类型之二由一次函数确定的最值问题2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.(1)有多少种生产方案？(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)类型之三由二次函数确定的最值问题3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．图Z－3－14.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？图Z－3－2类型之四用换元法求最值5．求函数y＝x－1－2x的最值．类型之五用数形结合法求最值6．函数y＝x2－4x＋13＋x2－12x＋37的最小值是________．类型之六自变量x在某一范围内的最值7．求二次函数y＝－4x2＋8x－3在－2≤x≤2上的最大值和最小值．8．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y ＝x2－6x＋7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2－6x＋7的图象的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，当x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则当x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则当x＝m时，y的最大值为m2－6m＋7.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当－2≤x≤4时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为________；(2)若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值；(3)若t≤x≤t＋2时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为31，则t的值为________．图Z－3－3 专题训练(五) 巧用抛物线的对称性妙解题类型之一利用对称性比较函数值的大小1．点A(－2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝2(x－1)2－1的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象过点A(1，n)，B(3，n)，若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上，则下列结论正确的是( ) A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2类型之二利用对称性求交点坐标3.如图5－ZT－1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()图5－ZT－1A．(2，3) B．(3，2)C．(3，3) D．(4，3)4．如图5－ZT－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( )图5－ZT－2A．0 B．－1C．1 D．25．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．类型之三利用对称性求长度6．如图5－ZT－3是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距点A10 m处的立柱FE 的高度为3.6 m.(1)求正中间的立柱OC的高度；(2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半？请说明理由．图5－ZT－3类型之四巧用对称性求二次函数的表达式7．已知二次函数的函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x＝－3，此二次函数的表达式为________________．8．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x ＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．9．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．类型之五利用对称性求面积10．二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y 轴对称，顶点A和它的x轴的两个交点B，C所构成的△ABC的面积为( )A．1 B．2 C.12D.3211．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”“＜”)；(2)如图5－ZT－4，此二次函数y＝2x2＋m的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x 轴上，求图中阴影部分的面积之和．图5－ZT－4类型六 利用对称性求不等式的解集或字母的取值范围12．如图5－ZT －5是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是______________．图5－ZT －513．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上部分点的对应值如下表：则当y <0时，x 的取值范围为____________． 类型之七 利用对称性解决线段和最短问题14．如图5－ZT －6，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________(用含a 的式子表示)．图5－ZT －615．[2015·酒泉] 如图5－ZT －7，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x 轴相交于点M.(1)求抛物线的表达式和对称轴．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图5－ZT －7专题训练(四) 二次函数图象信息专题 类型之一 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．已知b ＜0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列四个图象之一．试根据图象分析，a 的值应等于()图4－ZT －1A ．－2B ．－1C ．1D ．22.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －2所示，则abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个式子中，值为正数的有()图4－ZT －2A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．[2016·广安] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图4－ZT －3所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根．下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数为( )图4－ZT－3A．1 B．2 C．3 D．4类型之二利用二次函数的图象比较大小4．[2016·兰州] 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3类型之三利用二次函数的图象求方程或不等式的解5．如图4－ZT－4，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的正数解的范围是()图4－ZT－4A．2＜x＜3 B．3＜x＜4C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．如图4－ZT－5，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式x2＋1＜kx的解集是( )图4－ZT－5A．x＞1 B．x＜0C．0＜x＜1 D．－1＜x＜07．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4－Z－6所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是______________．图4－ZT－68．如图4－ZT－7是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是______________．图4－ZT－7类型之四根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－8所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为()图4－ZT－8图4－ZT－910．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图4－Z－10所示，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第________象限．图4－ZT－10类型之五有关二次函数的综合题11．如图4－ZT－11，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝x23(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，过点D作直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则DEAB＝________．图4－ZT－1112.如图4－ZT－12，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．图4－ZT－1213．已知抛物线y＝x2－(k＋2)x＋5k＋24和直线y＝(k＋1)x ＋(k＋1)2.(1)求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴都有两个不同的交点；(2)抛物线与x轴交于点A，B，直线与x轴交于点C，设A，B，C三点的横坐标分别是x1，x2，x3，求x1·x2·x3的最大值；(3)如图4－ZT－13所示，如果抛物线与x轴交于点A，B，点A，B在原点的右边，直线与x轴交于点C，点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D，E，直线AD交直线CE 于点G，且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的函数表达式．图4－ZT－13。
二次函数经典分类讲解以及练习题_
一、二次函数的定义定义： y=ax ² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1) χ - 2χ+1 是二次函数？ 二、二次函数的图像及性质1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其顶点坐标为 对称轴式 2、增减性练习： 1、y=2x 2对称轴 顶点坐标2、y=x 2-1对称轴 顶点坐标3、y=-3(x+2)2对称轴 顶点坐标4、y=4(x-3)2+1对称轴 顶点坐标5、y=-2x 2+6x-1对称轴 顶点坐标 三、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a ≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a ≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
例1已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。
求a 、b 、c 。
四、a ，b ，c 符号的确定 练习7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。
二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-16 34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标.（2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1） 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值， 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2） 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1） 求点C 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ）件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.2.∵43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时m m m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1） 当AC=BC 时， 94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2） 当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y . （3） 当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m ， ∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m0)1(122222+=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0，得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====，∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ②解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1；△ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0.同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10. 二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ²122+-=b x .∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1²x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a .解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ，01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b .∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a cx x a bx x =⋅-=+2121,.又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a ca b .① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b.③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y .33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ²OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1³4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y .解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ²OB=OC 2.∴ x 1²x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ， ∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5³4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.（2）∵4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3）在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8， ∴1821⨯=⨯⨯y AB .即8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ²AB=2³（2+6）=16. ∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴FHEDAH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2=EF ²EB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）.39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ，化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ²OC=BC ²AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB.图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45.40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴ OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CP MP=+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ²OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1²x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y.图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ D CA D PB ABPC S S S ∆∆-=四边形 ).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。
二次函数超全超全图像及综合大题
专题训练1 二次函数图像分析1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y yx x A B C D2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知二次函数2yax bxc 的图象如下，则下列结论正确的是 （ ）A 0abB 0bcC 0a b c D0a b c4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个yx5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，240b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，240b ac ->7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b．A ．1B 2C .3 D. 411、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 213、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时,x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个14、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4y–1 3 3 O xP115、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系的大致图象是（）16、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）17、函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )18、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( ) A.ab>0,c>0 B.ab<0,c>0C.ab>0,c<0 D.ab<0,c<019、)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为 （ ）xOyy y y yO x O x O x O xA B C D20、已知函数y=ax2+ax与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是( )21、在同一坐标系中，函数)0(2>++=+=bcbxaxycaxy和的图象大致是（）22、函数2y ax b y ax bx c=+=++和在同一直角坐标系的图象大致是（）23、在同一直角坐标系中，函数y mx m=+和222y mx x=-++（m是常数，且0m≠）的图象可能．．是（）24、次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）O xyDAOxyCOxyOxyBxyOＡ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．A ．B ．C ．D ．25、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝经过平移得到抛物线y ＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1626.如图，抛物线的顶点为(2,2),P -与y 轴交于点(0,3)A ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点'(2,2)P -，点A 的对应点为'A ，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为27.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值围是．专题训练2 二次函数的应用1.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。
中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题含答案
1、二次函数的定义定义：y=ax2 ＋bx ＋c （a 、b 、c是常数， a ≠0）定义重点：①a≠0②最高次数为 2 ③代数式必定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函数的有____个。
m2m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？2、二次函数的图像及性质y抛物线极点坐标xy=ax2+bx+c(a>0)4acb2a,4ay0 xy=ax2+bx+c(a<0)b4acb22a,4ab直线x 直线xb对称轴地点张口方向增减性最值2a由a,b和c的符号确立a>0,张口向上在对称轴的左边,y跟着x的增大而减小.在对称轴的右边,y跟着x的增大而增大.当x b 时,y最小值为4acb22 a4a2a由a,b和c的符号确立a<0,张口向下在对称轴的左边,y跟着x的增大而增大.在对称轴的右边,y跟着x的增大而减小.当x b时,y最大值为4acb22a4a例2：已知二次函数y1232x21）求抛物线张口方向，对称轴和极点M 的坐标。
2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。
3）x 为什么值时，y 随的增大而减少，x 为什么值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ 4）x 为什么值时，y<0？x 为什么值时，y>0？3、求抛物线分析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，往常设分析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,极点式：已知抛物线极点坐标（h,k ），往常设抛物线分析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),往常设分析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)练习：依据以下条件，求二次函数的分析式。
二次函数基础分类练习试题[含答案解析]
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练习一 二次函数1、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 21yx x ；⑤ 1yx x ，其中是二次函数的是 ，其中a，b，c3、当m 时，函数2235y mx x （m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m 时，函数2221m m y mm x是关于x 的二次函数5、当____m时，函数2564mm ymx +3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.练习二 函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm ymx 的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.st O st O stOs t O练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 . 4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位. 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y .（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；（5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿. 5、把二次函数215322yx x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式； 2） 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2yx px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224ymx x mm 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2yax bxc 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： 1）,a b 同号；2）当1x 和3x 时，函数值相同；3）40a b ；4）当2y 时，x 的值只能为0；其中正确的是8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m= 9、二次函数2yx ax b 中，若0a b ，则它的图象必经过点（ ）A 1,1B 1,1C 1,1 D1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A 、0,0>>c ab B 、0,0><c ab C 、0,0<>c ab D 、0,0<<c ab 11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c 的最大值是3a ，且它的图象经过1,2，1,6两点，求a 、b 、c 。
(专题精选)初中数学二次函数分类汇编附答案
（专题精选）初中数学二次函数分类汇编附答案一、选择题1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1B ．12＜m ≤1C ．1＜m ≤2D ．1＜m ＜2 【答案】B【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12．此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意． 当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m ＝12不符合题． ∴m ＞12． 综合①②可得：当12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B ．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.2．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．BC ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．3．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限， 故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ，∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．5．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．6．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4，∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，∴﹣4≤t＜5；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．7．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．9．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．10．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．11．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系12．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜9 8①当a＜0时，110111 aa++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，110111 aa++≥⎧⎨-+≥⎩解得：a≥1∴1≤a＜9 8综上所述：1≤a＜98或a≤﹣2故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD→方向运动，当P运动到B点时，P Q、点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，APQ∆的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．14．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当12n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误【答案】A【解析】【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．【详解】解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭Q 3122n n ∴-<- ∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确； ②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象. 【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确；②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0， ∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.16．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．17．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax 2+（a+c ）x+c=ax+c ，解得，x 1=0，x 2=-c a， ∴二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 与一次函数y=ax+c 的交点为（0，c ），（−c a ，0）， 选项A 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，故选项A 不符题意，选项B 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B 不符题意，选项C 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D 符合题意，选项D 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，故选项C 不符题意，故选：D ．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断．【详解】解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴302a -<应在y 轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a ＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴302a->在y 轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a ＞0，而由二次函数图像开口方向可知a ＜0，故此选项错误； 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．19．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ）A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移32个单位，再向下平移92个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可．【详解】解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意；由C 选项可得L '为：239()22y x =+-， 则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92）关于原点的对称点为（32，92）， 当x ＝32时，y ＝92，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2(3)9y x =+-，则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．20．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴, 故③错误；∵.∴B（-c，0）∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，∴， ac2-bc+c=0∴，ac-b+1=0，∴，故②正确；∴，b=ac+1∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．。
九年级数学二次函数全章测试题及答案
二次函数 测试 姓名一、填空题（每小题4分，共24分）1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____． 3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______．5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______．6．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________． 二、选择题（每小题4分，共28分）7．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )A ．(－5，1)B ．(1，－5)C ．(－1，1)D ．(－1，3)8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( )A ．ab x -=B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝39．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．－2＜x ＜410．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( ) A ．①②B ．②③，C ．②④D ．③④12．下列命题中，正确的是( )①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac ＞0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3； ④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根． A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④13. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y3 14.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A.B.C.D.三、解答题（14-16每小题12分，17-18每小题16分共68分）15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?16．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP 的面积．17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．18.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.19.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.20．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?参考答案1．高，(0，15)． 2．y ＝－x －2． 3．y ＝x 2＋4x ＋3． 4．b ＝－4． 5．c ＝5或13． 6．⋅+--=21212x x y7．C ． 8．D ． 9．A ． 10．C ． 11．C ． 12．B ． 13．C ． 14．221)3(21--=x y 顶点坐标)21,3(-，对称轴方程x ＝3，当y ＜0时，2＜x ＜4，．15．,325212+-=x x y 当25=x 时，⋅-=81最小值y16．(1)由31,4==+n m n m 得m ＝1，n ＝3．∴y ＝－x 2＋4x －3；(2)S △ACP ＝6． 17．(1)直线y ＝x －3与坐标轴的交点坐标分别为B (3，0)，C (0，－3)，以A 、B 、C三点的坐标分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-,3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a ∴所求抛物线的解析式是y ＝x 2－2x －3． (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．(3)经过原点且与直线y ＝x －3垂直的直线OM 的方程为y ＝－x ，设M (x ，－x )， 因为M 点在抛物线上，∴x 2－2x －3＝－x ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅±-=±=2131,2131y x 因点M 在第四象限，取,2131+=x ).2131,2131(+-+∴M 18解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).19. 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ， 则可得S △MCB=15.20．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q (元)是时间t (月)的二次函数，由图象可知， 抛物线的顶点为(6，4)，∴可设Q ＝a (t －6)2＋4．又∵图象过点(3，1)， ∴1＝a (3－6)2＋4，解之⋅-=31a,84314)6(3122-+-=+--=∴t t t Q 由题知t ＝3，4，5，6，7．(3)由图象可知，M (元)是t (月)的一次函数，∴可设M ＝kt ＋b ． ∵点(3，6)，(6，8)在直线上，⎩⎨⎧=+=+∴.86,63b k b k 解之⎪⎩⎪⎨⎧==.4,32b k .432+=∴t M)8431(4322-+--+=-=∴t t t Q M W 12310312+-=t t 311)5(312+-=t 其中t ＝3，4，5，6，7．∴当t ＝5时，311=最小值W 元 ∴该公司在一月份内最少获利11000030000311=⨯元．。
第26章 二次函数全章复习与测试(原卷版)-【暑假预习】2024年新九年级数学核心知识点与常见题型通
第26章 二次函数全章复习与测试【知识梳理】1.二次函数的概念 解析式形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数；它的定义域为一切实数； 2.二次函数的图像与性质24a a【考点剖析】 一．二次函数的定义（共3小题）1．（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是（ ） A ．y ＝x +1B ．y ＝x （x +1）C ．y ＝（x +1）2﹣x 2D ．2．（2022秋•宝山区校级期末）如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数，那么m ＝ ．3．（2022秋•黄浦区校级月考）已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +3，当x ＝2时，y ＝3．则这个二次函数的表达式是 ． 二．二次函数的图象（共2小题）4．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的抛物线y ＝x 2﹣bx +b 2﹣9的图象，那么b 的值是 ．5．（2022秋•宝山区校级期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．三．二次函数图象与系数的关系（共7小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜07．（2022秋•金山区校级期末）如果抛物线y＝（k﹣2）x2的开口向上，那么k的取值范围是．8．（2023•普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象如图所示，那么下列说法中正确的是（）A．m＞0，k＞0B．m＞0，k＜0C．m＜0，k＞0D．m＜0，k＜09．（2023•虹口区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．abc＜010．（2022秋•嘉定区校级期末）如果抛物线y＝（a+2）x2+a的开口向下，那么a的取值范围是．11．（2023•徐汇区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP ＝1，下列选项中正确的是（）A．a＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．b＜012．（2023•杨浦区一模）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．四．二次函数图象上点的坐标特征（共13小题）13．（2023•普陀区一模）下列函数图象中，与y轴交点的坐标是（0，1）的是（）A．y＝2x B．y＝2x﹣1C．y＝2x2+1D．y＝2（x+1）214．（2023•长宁区一模）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣115．（2022秋•徐汇区校级期末）下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16）B．（﹣1，﹣16）C．（﹣3，﹣8）D．（3，24）16．（2023•徐汇区一模）已知点A（﹣3，m）、B（﹣2，n）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+4上，则m n（填“＞”、“＝”或“＜”）．17．（2022秋•青浦区校级期末）已知点A（0，y1）、B（﹣1，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．18．（2022秋•金山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…m﹣3﹣2﹣3﹣6…那么m的值为．19．（2022秋•杨浦区校级期末）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，﹣t），则称点P为函数图象上的“相反点”，例如：直线y＝2x﹣3上存在“相反点”P（1，﹣1）．若二次函数y＝x2+2mx+m+2的图象上存在唯一“相反点”，则m＝．20．（2022秋•黄浦区校级期末）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+x+（m2﹣1）的图象过原点，那么m＝．21．（2022秋•青浦区校级期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．22．（2023•青浦区二模）已知点M（﹣1，2）和点N都在抛物线y＝x2﹣2x+c上，如果MN∥x轴，那么点N的坐标为．23．（2023•崇明区一模）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．24．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．25．（2023•静安区校级一模）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．五．二次函数图象与几何变换（共6小题）26．（2023•虹口区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+2x沿着y轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为．27．（2023•金山区一模）将抛物线y＝2（x+4）2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是．28．（2023•松江区一模）把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．29．（2023•宝山区一模）将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝x2B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2+3D．y＝（x﹣3）2+330．（2022秋•金山区校级期末）若将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向下平移3个单位，则所得到的新抛物线表达式为．31．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．六．二次函数综合题（共9小题）32．（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．（1）求直线BC的表达式；（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D；①求新抛物线的表达式（用含m的式子表示），并写出m的取值范围；②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．33．（2023•长宁区二模）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP 的表达式．34．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且＝时，求点E的坐标．35．（2023•杨浦区三模）已知抛物线与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果PE＝PB，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线EC、ED的距离相等，求线段EF的长．36．（2023•虹口区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点C（2，n）在该抛物线上．（1）如图，点B的坐标为（0，1）．①求点A的坐标和n的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A1，如果四边形DCAA1为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．37．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面xOy中，直线y＝﹣x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（m＞0），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当PE＝QD时，求点Q的坐标．38．（2023•浦东新区模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ax2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求tan∠MAC的值；（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．39．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角∠EBC等于∠ABD．①求点E的坐标；②二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一．部分落在△ECB的内部，求实数b的取值范围．40．（2023•青浦区二模）如图，已知抛物线经过点B（6，0）和C（0，3），与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）将该抛物线向右平移m个单位（m＞0），点C移到点D，点A移到点E，若∠DEC＝90°，求m的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交于点F，求点C 到直线GF的距离．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（）A．（2，﹣4）B．（1，2）C．（﹣4，0）D．（3，2）2．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点3．下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（）A．a＜0、b＞0、c＞0B．a＜0、b＜0、c＞0C．a＜0、b＞0、c＜0D．a＜0、b＜0、c＜05．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣36．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题）7．如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为．8．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．9．如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b0（填入“＜”或“＞”）．10．将抛物线y＝2x2+4绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为．11．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点．12．如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是．13．将抛物线y＝2（x+2）2+2经过适当的几何变换得到抛物线y＝2x2﹣2，请写出一种满足条件的变换方法．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣mx+4与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点B，点A在抛物线上，点B关于点A的对称点D恰好落在x轴负半轴上，过点A作x轴的平行线交抛物线于点E．若点A、D的横坐标分别为1、﹣1，则线段AE与线段CB的长度和为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．16．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝（x﹣h）2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是．18．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x 轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于．三．解答题（共7小题）19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）在网格中，画出该函数的图象．（2）（1）中图象与x轴的交点记为A，B，若该图象上存在一点C，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．20．将抛物线y＝先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．21．抛物线y＝x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．23．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．（3）求抛物线y＝x2﹣2x+2在抛物线y＝x2+c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x2+（3﹣m）x经过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线C的表达式；（2）将抛物线C沿直线y＝1翻折，得到的新抛物线记为C1，求抛物线C1的顶点坐标；（3）将抛物线C沿直线y＝n翻折，得到的图象记为C2，设C与C2围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．25．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2﹣x+n与y2＝﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y＝（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．。
九年级数学二次函数全章例题+练习(基础、培优)
二次函数概念1．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a ，b ，c ．(1)下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝(x －1)2－1C ．y ＝12(x ＋1)(x －1) D ．y ＝(x －2)2－x 2(2)二次函数y ＝x 2＋4x 中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【点拨】 判断二次函数要紧扣定义．2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y ＝ax ＋b(a ，b 是常数，a≠0)、y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)．二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．一般地，当a>0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．2．一般地，当a<0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．3．从二次函数y ＝ax 2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y 随x 的增大而减小，当x>0时，y 随x 的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y 随x 的增大而增大，当x>0时，y 随x 的增大而减小．4．(1)抛物线y ＝2x 2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点； (2)抛物线y ＝－3x 2的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；(3)在抛物线y ＝2x 2对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大； (4)在抛物线y ＝－3x 2对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质二次函数y＝ax2＋k的图象和性质二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质例1、求二次函数y＝2x2＋4x－1的对称轴，顶点坐标，并画出其函数图象．例2、将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴．(1)y＝x2－4x＋5；(2)y＝－2x2－12x－22.用待定系数法确定二次函数的解析式例1如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式．【跟踪训练1】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．例2已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式．【点拨】 特别地，当抛物线的顶点为原点时，h ＝0，k ＝0，可设函数的解析式为y ＝ax 2； 当抛物线的对称轴为y 轴时，h ＝0，可设函数的解析式为y ＝ax 2＋k ； 当抛物线的顶点在x 轴上时，k ＝0，可设函数的解析式为y ＝a (x －h )2.【跟踪训练2】 已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y 轴的交点是(0，－4)，则这个二次函数的解析式是 ．例3已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (1，0)并经过点M (0，1)，求此抛物线的解析式．【点拨】 交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)中，x 1和x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线x ＝x 1＋x 22就是抛物线的对称轴．【跟踪训练3】 已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为 ．巩固训练1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为( )A ．y ＝x 2－3x ＋2B ．y ＝2x 2－6x ＋4C ．y ＝2x 2－6x －4D ．y ＝x 2－3x －22．如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y 轴的交点是(0，－4)，则它的解析式为( )A ．y ＝－13x 2＋2x －4B ．y ＝－13x 2－2x －4C ．y ＝－13(x ＋3)2－1 D ．y ＝－x 2＋6x －123．如图，抛物线的解析式为( )A ．y ＝－x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－2x 2＋x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋24．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式为( )x －1 0 1 ax 21 ax 2＋bx ＋c83A .y ＝x 2－3x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－4x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋85、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，自变量x 与函数y 之间的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y …﹣1232…在该函数的图象上有A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)两点，且﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4，y 1与y 2的大小关系正确的是( ) A. y 1≥y 2 B. y 1＞y 2 C. y 1≤y 2 D. y 1＜y 26.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）B ．C ．D ．1111xoyyoxyoxxoy7.已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ▲ ）8.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是Oy x1-1A ． xyO 1-1B ． xy O1-1xyO1-1图像性质提高1．作出二次函数y=x2-2x-3的图象，当y=0时，自变量x= ；当y＜0时，自变量x的取值范围是；当y＞0时，自变量x的取值范围是.2、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a-2b+c＞0；③8a+c＞0；④c=3a-3b；⑤直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2=5．其中正确的结论是（只填序号）3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞04．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③2a+b ＜0；④b＜﹣1；⑤b2﹣4ac＜8a，正确的结论是（只填序号）5、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-51x 2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 m6、如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（-1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1，0＜x 2＜1，下列结论：①4a-2b+c ＜0；②2a-b ＞0；③a ＜-1；④b 2+8a ＞4ac.其中正确的有： （填写番号）．7、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①9a-3b+c=0；②4a-2b+c ＞0；③方程ax 2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；④方程a （x-1）2+b （x-1）+c=0的两根是x 1=-2，x 2=2．其中正确的有： （填写番号）．8．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点（﹣1，2），下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＞0；③2a +b ＜0；④b ＜﹣1；⑤b 2﹣4ac ＜8a ，正确的结论是 （只填序号）9．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a +b ＝0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④若方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2；⑤若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2．其中正确的结论是 ．二次函数的应用1．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB的长为x米，矩形绿化带的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD面积S的最大值．2.如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是 .3．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件（x≥13）．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为w（元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．4．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲．节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量y（件）是销售单价x（元/件）的一次函数．销售单价x（元/件）…30 40 50 60 …每天销售量y（件）…350 300 250 200 …（1）求出y与x的函数关系；（2）物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于100%：①当销售单价x取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元？（利润＝销售总价﹣成本价）；②试确定销售单价x取何值时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润W（元）最大？并求出花店销该鲜花礼盒每天获得的最大利润．5.某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w （元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）求w与x之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？6．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．7．2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？8．某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为x（10≤x≤90）件，线下销售的每件利润为y1元，线上销售的每件利润为y2元．如图中折线ABC、线段DE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求y1与x之间的函数表达式；（2）若70≤x≤90，问线下的销售量为多少时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少？{)5840(1402)7158(82≤≤+-≤<+-=x x x x y（3）①求他的销售利润w （元）与销售单价x （元/双）之间的函数关系式．（4）②小王每月需向银行还贷2075元，另童鞋店每月需缴纳水电费、营业税等固定费用3000元，通过计算判断，小王每月（按30天计算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余=销售利润-固定费用-银行贷款）二次函数的综合如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b ≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点． （1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
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专题训练1：二次函数2()y a x h k =++的图象与性质1、二次函数2(3)2y x =--+的顶点坐标是 ，函数有最 值 .2、将抛物线212y x =向右平移2个单位，在向下平移一个单位，所得的抛物线是（ ）A 、21(2)12y x =--B 、21(2)12y x =-+C 、21(2)12y x =++D 、21(2)12y x =+-3、对于抛物线21(1)32y x =-++，下面的结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线3x =③顶点坐标为（-1,3）；④当1x >时，y 随x 的增大而减小.其中正确的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、34、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的 对称轴相同，则下列结论不正确的是（ ）A 、k n =B 、h m =C 、k n >D 、0,0h n ><5、已知二次函数2(2)(0)y a x c a =-+>，若自变量x 分别取2,3,0时，对应的函数值分别为123,,y y y ，则下列关于123,,y y y 的大小关系正确的是（ ）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、213y y y <<D 、312y y y <<6、若二次函数2()y a x m n =-+的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的 图象不经过（ ）A 、第四象限B 、第三象限C 、第二象限D 、第一象限7、已知函数23y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两个实数根是（ ）A 、121,1x x ==-B 、121,2x x ==C 、121,0x x ==D 、121,3x x ==8、已知抛物线221y ax x =-+与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 （ ）A 、第四象限B 、第三象限C 、第二象限D 、第一象限 9、如图，是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，且过点(3,0)A ， 二次函数图象的对称轴是直线1x =，下列结论正确的是（ ） A 、24b ac > B 、0ac > C 、0a b c -+> D 、420a b c ++<10、如图，点A,B的坐标分别为（1,4）和（4,4），抛物线2=-+的顶点在()y a x m n线段AB上运动，与x轴交于,C D两点（点C在点D的左侧），点C的横坐标最小值为3-，则点D的横坐标最大值为（）A、-3B、1C、5D、811、已知抛物线2=--的顶点为C，若一次函数32(2)6y x=-+的图象经过点C，y kx则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .12、某广场中心标志性建筑物处有高低不同的各种喷泉,其中一根高度为1米喷水管所喷出水柱的最大高度为3米，此时喷水水平距离为1米．若水柱是抛物线形，2在如图所示的坐标系中，求抛物线形水柱的表达式.专题训练2：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质1、将二次函数223y x x =-+化成2()y x h k =-+的形式，结果为（ ）A 、2(1)4y x =++B 、2(1)2y x =++C 、2(1)4y x =-+D 、2(1)2y x =-+ 2、由二次函数22y x x =-+，可知（ ）A 、其图象的开口向上B 、其图象的对称轴为直线1x =C 、其最大值为D 、其图象不经过原点3、如图，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为直线12x =，且经过点（2，0）.下列说法：①0abc <；②0a b +=；③420a b c ++<；④若1(2,)y -，（25,2y ）是抛物线上的两点，则12y y <，其中正确的是（ ） A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②4、用配方法，把下列函数化成2()y x h k =-+的形式，并指出其对称轴、顶点坐标。
（1）23123y x x =-+- （2）21212y x x =--5、已知二次函数243y x x =-+.（1）用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数值随自变量的值的增减而变化的情况； （2）求函数图象与x 轴的交点,A B 的坐标及ABC ∆的面积.专题训练3：作二次函数图象1、已知二次函数21322y x x =-- （1）求它的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中画出它的图象．2、已知二次函数215322y x x =-+-．（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．3、已知：二次函数2y x =与一次函数23y x =+的图象交于A 、B 两点， 在下面的直角坐标系中画出图象，并求ACB S ∆．4、已知二次函数243y x x =++．（1）用配方法将243y x x =++化成2()y a x h k =-+的形式； （2）在在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； （3）写出当x 为何值时，0y >．专题训练4：二次函数表示---图表法1、二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表值如下表：x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y125-3-4-3512则该函数图象的顶点坐标为（ ） A ．（-1，0）B ．（0，-3）C ．（1，-4）D ．（2，-3）2、二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表值如下表：x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y125-3-4-3512给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为-3；（2）当122x -<< 时，0y <；（3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．03、二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac ＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小．（3）3是方程2(1)0ax b x c +-+=的一个根；（4）当-1＜x ＜3时，2(1)0ax b x c +-+>． 其中正确的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4、已知二次函数2y ax bx c =++与x 的部分对应值如下表所示：则下列对该函数的判断中正确的是（ ） A ．图象开口向上 B ．y 的最小值为-2C ．图象与y 轴相交于负半轴D ．方程20ax bx c ++=的正根在2与3之间5、二次函数2y ax bx c=++（a、b、c为常数，且0a≠），x与y的部分对应值如下表：x -2 -1 0 1 2 3y -16 -6 0 2 0 -6（1）请写出这个二次函数的对称轴方程；（2）判断点A（1,12）是否在该二次函数的图象上，并说明理由．专题训练5：二次函数图象与性质1、3、已知二次函数()20y ax bx c a=++≠）的图象如图所示，现有下列结论：①b2－4a c＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是A、2个B、3个C、4个D、5个2、在同一坐标系中，一次函数y=a x+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）3、已知二次函数2y ax bx c=++(0a≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac->；②0abc>；③80a c+>；④930a b c++<．其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4yxO1x=1-2-4、如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，直线1x =-是对称轴，有下列判断：①20b a -=；②420a b c -+<；③9a b c a -+=-；④若（﹣3，1y ），（，2y ）是抛物线上两点，则12y y >，其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④C ． ①②④D ． ②③④5、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b -<；③420a b c -+<；④22().a c b +< 其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46、已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图，则下列5个代数式：,,42,2,2ac a b c a b c a b a b ++-++-,其值大于0的个数为（ ）A 、3B 、2C 、5D 、4专题训练6：二次函数与一元二次方程1、已知函数23y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两个实数根是（ ）A 、121,1x x ==-B 、121,2x x ==C 、121,0x x ==D 、121,3x x ==2、已知抛物线221y ax x =-+与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 （ ）A 、第四象限B 、第三象限C 、第二象限D 、第一象限3、如图，是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，且过点(3,0)A ， 二次函数图象的对称轴是直线1x =，下列结论正确的是（ ） A 、24b ac > B 、0ac > C 、0a b c -+> D 、420a b c ++<4、若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12,x x ，且12x x ≠，则下列结论： ①12,3x x ==；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标分别为 （2,0）和（3,0），其中正确的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 x891011 12 ax 2+bx+c -4.56 -2.01 -0.381.23.420ax bx c ++=0a ≠,,a b c ） A ．8＜x ＜9B ．9＜x ＜10C ．10＜x ＜11D ．11＜x ＜126、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 为常数）中的x 与y 的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y125-3-4-3512给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为-3； （2）当122x -<<时，0y <；2y ax bx c =++x y 则其中正确结论的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、二次函数2y ax bx c =++,,a b c x … -3 -2 -1 01…y…-3-2-3-6 -11 …则关于x 的一元二次方程26ax bx c ++=-的解为（ ）A 、0x =B 、124,0x x =-=C 、4x =-D 、120,4x x ==8、二次函数y =(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是 . 9、已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C ，使ABC ∆的面积为10，则C 点坐标为 .10、图象是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .11、若函数22(1)(21)1y m x m x =-+++的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为 .12、已知关于x 的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根12,x x . (1) 求k 的取值范围； (2) 试说明120,0x x <<；(3) 若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A ，B 两点，点,A B 到原点的距离分别为OA ，OB ，23OA OB OA OB +=-，求k 的值.13、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程20ax bx c ++=的两个根； （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围； （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根， 求k 的取值范围.专题训练7：二次函数的应用1、如图，小刚在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意的成绩， 函数23.5 4.9h t t =-（t 的单位： s ，h 的单位：m ）可以 描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心 最高时所用的时间是（ ）A.0.71sB. 0.70sC. 0.63sD. 0.36s2、为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离 球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门横梁底侧高）入网． 若足球运行的路线是抛物线2y ax bx c =++（如图所示）， 则下列结论正确的是（ ） ①160a <-；②1060a -<< ；③0abc -+>；④012b a <<-． A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3、某中学篮球队队员张睿在某次投篮中，球的运动路线 是抛物线21 3.55y x =-+ 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2m B.4m C.4.5m D.4,6m4、如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关是2125.1233y x x =-++ 则他将铅球推出的距离是 m ．5、某型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数表达式是260 1.5y x x =-，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来.6、丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线20.1() 2.5y x k =--+，求铅球的落点与丁丁的距离 ．7、杂技团进行杂技表演训练，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．8、如图，排球运动员在O 点练习发球，将球从O 正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式2(6)y a x h =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当 2.6h =时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当 2.6h =时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．专题练习8---拱形桥（门）问题1、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m 水面宽4m ，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22y x = B. 22y x =- C. 212y x =- D.212y x =2、如图是我省某地一座抛物线形拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥面相交于A 、B ，桥拱最高点C 到AB 的距离为9m ，AB=36m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为5m ，则DE 的长为 m ．3、如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．4、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．建立如图所示的直角坐标系，则此抛物线的解析式为 ．5、如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是21(6)49y x =--+则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ．6、如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为9m ，AB=36m ，D ，E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7m ．建立平面直角坐标系，求： （1）此抛物线的解析式； （2）点D 、E 的坐标及DE 的长．7、有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ．把它的截面边缘的图形放在如图所示的的直角坐标系中． （1）直接写出抛物线的顶点坐标； （2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m 处，桥洞离水面的高是多少？8、如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为4m （最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其对应的函数表达式为2y x =-. （1）求城门洞最宽处AB 的长；（2）现在有一高2.6m ，宽2.2m 的小型运货车， 问它能否完全通过此城门？请说明理由．11、某校的围墙上端由一段相同的凹曲拱桥栅栏组成，如图所示其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线2y ax的解析式；（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）★12、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20m, 如果水位上升3m,水面CD的宽为10m，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）.问：此船能否顺利通过这座拱桥？（3）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？专题训练9：二次函数与实际问题（销售问题）1、一种进价为40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？2、我国东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？3、某小商场以每件20元的价格购买一种服装先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：x（元/件）38 36 34 32 30 28 26t（件） 4 8 12 16 20 24 28（1）试求t与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）4、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．5、金秋十月，某绿色种植基地种植的农产品喜获丰收，但由于同类农产品的大量上市，本地市场价格第一天为每千克4.8元，第二天降为每千克4.6元，且价格p （元/千克）与天数x （天）（1≤x≤7且x 为整数）满足一次函数关系．销售量q （千克）与天数x （天）之间满足q=100x+1500（1≤x ＜7且x 为整数）． （1）求价格p （元/千克）与天数x （天）之间的函数关系式： （2）第几天的销售收入最大？并求这个最大值．（3）若该农产品不能在7天内出售，将会因变质而不能出售．依此情况，基地将l0吨该农产品运往外地销售．已知在第五天将农产品运到了外地，并在当天全部销售完．外地销售这种农产品的价格比同一天在本地销售的价格高a%（0＜a ＜20），而在运输过程中有0.6a%损耗，这样，除去各种费用l200元后收入40000元．请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．（参考数据：45.26≈，74.314≈，28.753≈，42.755≈）专题10：二次函数与几何问题专练1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(4,0),(0,4),(2,0)A B C --三点. （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值.2、如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4,0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在直线AC 上方的抛物线上，作PH ⊥AC 于点H ，当PH 的最大时，求出此时点P 的坐标；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于E ，交直线AC 于D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，求线段EF 的最小值．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4,0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．答案：（1）234y x x =-++ （2）P （2,6）或（-2，-6） （3） P （317,22+）或（317,22-）4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线24=++经过点A（-1，0）、B（4，0），y ax bx与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=++经过A、B、C三点，已y ax bx c知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．答案：（1）223=--+y x x（2）PE最大-- 周长最大 --315(,)P-24用心教育 用心服务 第 21 页 共 21 页 6、如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于(1,0)A -，C （2,3）两点，与y 轴交于点N .其顶点为D .（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴于直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值7、如图，对称轴为直线1x =-的抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴相交于,A B 两点，其中A 的坐标为（3,0-）.（1）求点B 的坐标．（2）已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且4POC BOC S S ∆∆=，求点P 的坐标．②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD x ⊥轴交抛物线上点D ，求线段QD 长度的最大值．。