西安交大少年班选拔考试数学试题
西交大少年班备考专题(四)几何初步(测试题)(含答案)
西交大少年班备考专题（四）几何初步（测试题）试卷简介:整张试卷共四道选择题，共100分，针对我们专题一种的三种类型，希望同学们能独立认真地做一遍，争取把这四种类型题全面掌握。
学习建议:几何初步在考试中往往以选择、填空等小题出现，对同学们的要求是又快又准，大家注意我们课程讲解的四种类型，掌握每一种类型的解题套路和方法。
一、单选题(共4道，每道25分)1.已知△ABC为等腰三角形，BC边上的高等于BC长的一半，∠BAC的度数不可能为（）A.90°B.75°C.30°D.15°答案：C解题思路：（1）若BC为等腰三角形的底，作AH⊥BC于H，则H为BC的中点，且，故△AHB和△AHC都是等腰直角三角形，故∠BAC=90°；（2）BC为等腰三角形中的一腰：①当∠ABC为锐角时，，故∠B=30°，∠BAC=75°；②当∠ABC=90°时，AB=BC=AH，这与矛盾；③当∠ABC为钝角时，，故∠ABH=30°，∠BAC=∠C=15°综上所述，∠BAC的度数可能为90°、75°或15°.易错点：分类标准不清晰，漏掉若干情况。
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8.则BC=（）A.B.C.D.答案：C解题思路：如图，延长CA至点D，使AD=AB则∠D=∠ABD==∠C故△CBD∽△DAB则，又因为∠C=∠D，则BC=BD=，答案为C.易错点：没有注意到“二倍角”这个几何特征，构造不出相似三角形试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.如图，设E、F分别是△ABC边AC、AB上的点，线段BE、CF交于点D.已知△BDF、△BCD、△CDE的面积分别为3、7、7.则四边形AEDF的面积为（）A.15B.10C.14D.18答案：D解题思路：易错点：没有注意到三角形的面积与线段比之间的两种常用思路，设未知数表达也是非常重要的方法。
2019年西安交通大学少年班文化课考试初试试卷(数学)
西安交通大学少年班文化课考试初试试卷（数学）一．填空题（5分×9）1.一种产品以质量从小到大分为十个档次，第一个档次每件产品的利润为8元，平均销量为60件，每提高一个档次，利润增加2元，平均销量减少3件。
若要取得最大利润，则应选择哪一档次。
2.如图，在平面直角坐标系xOy上，有两个正方形，第一个正方形两个顶点在坐标轴上，另两个顶点P1、P2在函数上；第二个正方形一个顶点在x轴上，另两个顶点P2、P3在函数上。
求P3的坐标。
3.如图，在△ABC中，AD、BE、CF为垂线，AB=6，BC=5，EF=4，求BE的长。
4.把七个球放入三个空箱子，每个箱子可以选择不放，求共有多少种放法。
5.直角边为整数，且周长为面积的整数倍的直角三角形有多少种？6.已知：，，求：的值。
7.如图，△AED为Rt△，以AD为边长在三角形同侧作正方形ABCD。
AE=5，E点距正方形中心3√2，求ED。
8.如图，△ABC为等腰Rt△，角A为90°，F为AC中点，EF⊥BE，且交BC与点F。
AB=2，求S△EFC。
9.已知二次函数：y=x2+b，且与x轴的两个交点与原点之间的距离之和小于等于1。
求|b max|+|b min|的值。
二．解答题。
1. （12分）有四艘快艇A、B、C、D，速度分别为v1、v2、v3、v4（v1>v2>v3>v4）,现进行一场比赛，D顺流而下，A、B、C逆流而上，一小时后，A、B、C掉头追赶D，水流速度为v，问谁先追上D？2.（15分）已知：a、b、c为正整数，且满足：a+b+c=32，问：是否存在以√a、√b、√c为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角。
3.暂时缺失（28分）。
西交大少年班备考专题二《方程与不等式》测试题(含答案)
西交大少年班备考专题二《方程与不等式》测试题试卷简介:整张试卷共四道选择题，共100分，针对我们专题二中的四种类型，希望同学们能独立认真地做一遍，争取把这四种类型题全面掌握。
一、单选题(共4道，每道25分)1.已知3m2-2m-5=0，5n2+2n-3=0，其中m、n为实数，且，则=（）A.－1B.0C.D.-5答案：C解题思路：易知，方程5n2+2n-3=0两端同时除以n2可得，因为，所以我们可以把m和看成方程的两根，则易错点：没有注意到两个方程的相似结构，直接求m、n，比较复杂还容易计算出错.试题难度：三颗星知识点：一元二次方程2.已知实数a、b满足和，求代数式的值等于（）A.7B.5C.3D.6答案：A解题思路：由于实数a、b满足和，也就是它们分别满足和，于是可知，从而我们可以将和看成是方程的两个不等根，从而，，所以易错点：不能从两个方程的机构识别所要构造的一元二次方程的两根.试题难度：四颗星知识点：一元二次方程3.实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是（）A.B.C.D.答案：C解题思路：对于三元代数式中某一字母的最值问题，通常利用一元二次方程的根与系数关系，构造一个一元二次方程的两个实数根恰为另两个字母，根据判别式求出所需字母的范围。
解：因为x+y=5-z，xy=3-z(y+x)=3-z(5-z)=z2-5z+3，所以x、y是关于t的一元二次方程t2-(5-z)t+z2-5z+3=0的两个实根，因为，即3z2-10z-13≤0，，所以z≤，当x=y=时，z=，故此时z的最大值为易错点：构造含参数的一元二次方程，利用判别式求字母的取值范围套路不清晰。
试题难度：三颗星知识点：一元二次方程4.关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）A.2组B.3组C.4组D.无穷多组答案：C解题思路：易错点：不知道应该选定主元，转化为一元二次方程来求范围. 试题难度：四颗星知识点：根的判别式。
西安交大少年班历届考试题目
西安交大少年班历届考试题目和有关事项50[ 标签：西安,交大,少年班]西安交大少年班历届语文、数学、英语、物理考过什么题目，面试内容一般是什么考试时有什么注意事项等等知道多少，回答多少，多多益善！谢了！Kaka 回答:2 人气:116 解决时间:2009-02-07 11:55满意答案好评率：87%1.一矩形分成四个小矩形，在每个小矩形内种四种不同的花，相邻小矩形种的种类不同，共有__种不同的种法。
（2008年西安交通大学少年班数学试题）2.在三角形ABC中，BE为AC边的中线，D、F为BC的三等分点。
BE与AD、AF分别相交于点M、N，求BM：MN：NE。
（2006年西安交通大学少年班数学试题）面试内容包括科普知识、人生、社会、心理等综合内容。
2006交大面试题，希望对大家有用1、假如你知道你在学校所学的知识到了社会工作时全都没有用，你作何感想2、有一家国有企业和微软同时邀请你，你去哪一家3、请对近日国内外大事举一例，并解读。
4、你对医保有什么看法你认为国家应采取什么措施5、所有老师中你最喜欢与最不喜欢的是怎样的老师不喜欢的老师的课，你会上得好吗6、根据四个英语单词twins，identilal，doctor，fun编一个故事。
7、就社会上的学术造假发表你的看法8、和别的考生相比，你有何优势9、网络黑客算不算创新10、高校自主招生，我们考察的是什么11、分析烟酒奶粉等出现造假现象的原因，并提三条解决意见。
12、谈谈应试教育和素质教育的关系。
13、给我介绍一个你的朋友。
二、考生认为最难的问题1、山西省会在哪里2、你对雷锋怎么看3、交大的校训是什么4、昨天的新闻有些什么内容5、步行器电机功率是多少6、你的综合能力体面在哪些方面7、你知道国家的十一五规划吗8、你对上海房屋规划中的房屋间隔问题了解吗9、你是否知道矛盾论请运用矛盾论解题。
10、如果你在政府部门身居要职，有公司因第一次审批不合格，就暗中塞钱给你，你又因结婚、搬家等事急着用钱，反之，现在不收钱，这个企业也会把质量搞好，但要等个把月，你的选择是11、有人觉得探月计划劳民伤财，不适合中国国情，你怎么看简述三条理由。
西交大少年班备考专题(五)圆中综合应用(测试题)(含答案)
西交大少年班备考专题（五）圆中综合应用（测试题）试卷简介:整张试卷共四道选择题，共100分，针对我们专题一种的三种类型，希望同学们能独立认真地做一遍，争取把这四种类型题全面掌握。
学习建议:在圆中做题有一些基本的原则，注意圆的对称性（如垂径定理的应用），旋转不变性（用来转移线段和角非常有帮助），做辅助线的第一原则是连圆心构造半径或直径！除此之外，一些看似没有圆的题目，如果有明显圆的特征，可以来构造辅助圆解题！一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为（）A.（3，3）B.（3,2）C.（2,3）D.（3，4）答案：A解题思路：∵∠AOB=90°、∠AOP=45°∴∠BOP=∠AOP=45°连结PB、PA，过P分别作PC⊥OB 于C、作PD⊥OA于D.∵O、A、P、B四点共圆，∠BOP=∠AOP ∴BP=AP、PD=PC=OD=OC 在Rt△BPC和Rt△APD中BP=AP、PC=PD ∴Rt△BPC≌Rt△APD ∴BC=AD ∴OC+OD=OB+OA=6=2OD ∴PC=PD=OD=3 ∴点P的坐标为（3，3）；易错点：内接四边形定理应用不熟练，对圆中线段和角的转换不熟悉。
试题难度：四颗星知识点：圆2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（5，1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：D解题思路：“与点A（1，2）距离为1的直线”其实就是以A为圆心，以1为半径的圆的切线；同样，可知“与点B（5，1）距离为2的直线”就是以B为圆心，以2为半径的圆的切线，即这条直线需要是两圆的公切线。
又因为两圆相离，因此有四条公切线如图所示：易错点：没有将题目条件有效地转化为“圆心到切线的距离等于半径”，构造出辅助圆；没有注意到两圆的关系是相离的，因此有四条公切线！试题难度：四颗星知识点：直线与圆的位置关系3.以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点,且,则∠CAB=( )A.15°B.30°C.75°D.15°或75°答案：D解题思路：过C作CD⊥AB于D.∵AB为半圆的直径∴∠ACB=90°∴∴若D在OB上：在Rt△OCD中，∠COB=30°，∠CAB=15°；若D在OA上：在Rt△OCD中，∠COB=150°，∠CAB=75°。
西交大少年班历届试题
西交大少年班历届试题
1.从正方体的8个顶点中取出3个，使至少有两个顶点在同一条棱上，其取法数为
A.44 B.48 C.50 D.52
2.已知函数f(x)、g(x)在R上有定义，且f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，若f⑴＝f⑵≠0，则g⑴＋g(－1)＝ ________.
3.对于α、β∈[osβ，求直角坐标系上点(x，y)的轨迹.
4.一矩形分成四个小矩形，在每个小矩形内种四种不同的花，相邻小矩形种的种类不同，共有__种不同的种法。
5.在三角形ABC中，BE为AC边的中线，D、F为BC的三等分点。BE与AD、AF分别相交于点M、N，求BM：MN：NE。
6. 不大于"根号2与根号3和的6次方"的最大整数为 。
西安交大少年班选拔考试试题
西安交大少年班选拔考试试题满分：100分时量：90分钟姓名_________得分_________一、选择题（每小题2分，共30分）1、如果，那么代数式的值是（）（A） 0（B）正数（C）负数（D）非负数2、已知： 4x=9y=6，则等于()（A）2（B）1（C）（D）3、若不等式组的解集是，则（）（A）（B）（C）（D）4、已知，则的值为（）（A）-1（B）1（C）2（D）不能确定5、如图，四边形ABCDxx，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（）（A）（B）（C）12（D）6、已知三角形的三条边长分别8、x2、84，其中是正整数，这样的互不全等的三角形共有（）个.A．5B．．7D．87、一个样本为1，3，2，2，a，b，c。
已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为（）A.8B.D.8、若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．（A）a≤（B）a≥4（C）a≤或a≥4（D）≤a≤49、运算符号的含义是，则方程的所有根之和为（）A．B． C．2D．410、若关于的方程没有实根，那么，必有实根的方程是（）．、；、；、；、．11、正方形中，分别是上的点，交于，交于；若平分，；记,,,则有（）.、；、；、；、．12、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示．公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在()A区B区C区(A)A区(B)B区(C)C区(D)A、B两区之间13、若实数满足等式，，则可能取的最大值为（）A．0.B．1.C．2.D．3.14、在△ABCxx，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC ＝（）A..B. .C. .D. .15、设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A..B. .C. .D.二、填空题（每小题2分，共30分）16、已知实数满足方程组则.17、已知a＝－1，则3＋2－－12 的值等于．18、一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t＝．19、如图，在平面直角坐标系xOyxx，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l 经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．20、二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．21、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值。
2018西安交通大学少年班数学试题(回忆版)
爱的教育AIDI JIAOYU个性化爱心教育机构 132******** 132******** 第 1 页 共 2 页 ID Education 2018西少招生初试（数学）一、填空题 1 原点到直线y ＝2x ＋5的距离为_______.2 已知凸四边形的内角和是360°，则凹四边形的内角和为__________.3 用科学记数法表示233为a ×10b ，则b ＝______.4 ○●○○●○○○●○○○○……，则第10个黑球与第20个黑球之间为_____个白球.5 长方形长a ，宽b ，周长为80，面积为8，则3√a ＋3√b ＝_______.6 代数式|x －1|＋|2x －1|取最小值时，x ＝______.7 点P 在y ＝ √3 上，⊙P 与x 轴相切，与直线y ＝√3 x 相切，则点P 坐标为______. x 8 抛物线y ＝2x 2－3x －2，则关于点（1，1）对称的抛物线解析式为________. 91 ＋ 1 ＋ 1 ＋……＋ 1 ＝__________. 1×2×3 2×3×4 3×4×5 n (n +1)( n +2)10 在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 与D ，AD ＝2，BD ＝1，当△ABC 的面积最大时，△ABC 的周长为________.二、解答题1 如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，AC ＝2，CD 是AB 边上的高，（1）求CD 的长；（2）求△ABC 的面积.2 有一列数｛1，3，5，7，9｝（1）求任意三个数可构成三角形的概率；（2）设a ，b ，c 分别为其中的三个数，求证：方程ax 2＋bx －c ＝0无有理数根.3 如图，在半径为10的⊙O 中，劣弧AB 沿弦AB 向下翻折， OF ∥AB ，OF ＝8时点F 恰落在弧AB 上.（1）求弦AB 的长；（2）P 是弦AB 上一点，①当OP ＋PF 最小时，求AP 的长； ②将优弧AB 的一部分从适当的位置和方向向上翻折，折痕 为CD ，使点F 刚好在劣弧CD 上，劣弧CD 与劣弧AB 另交于 点M ，求证：O ，F ，P 三点在CD 的同侧.－－－－爱的教育 AIDI JIAOYU个性化爱心教育机构 132******** 132******** 第2 页 共2 页 ID Education 45 （1）已知a 2＋b 2＝c 2，请比较a 3＋b 3与c 3的大小. （2）①已知一数为（2n ＋1），求能与其构成勾股数的另两数. ②已知a 3＋b 3＝c 3，其中a ，b ，c 为三角形之三边，试判断该三角形的形状. 6 （1）求下列满足条件的数m .①m ≡1（mod 3）, m ≡3（mod 5），m ≡6（mod 7） ②m ≡2（mod 3）, m ≡4（mod 6），m ≡7（mod 8）（2）求代数式φ。
西安交通大学2012届少年班招生考试初试_数学
西安交通大学2012届少年班招生考试初试数学一. 填空题(每题5分,共40分).1.29222=++y xy x 的整数解共有______组.2.在凸四边形ABCD 中, AB=BC=CD, ∠A:∠B:∠C=1:1:2, 则∠D=______.3.抛物线c bx ax y ++=2, 交y 轴于一点A(0,1),交x 轴于M(0,1x ),N )0,(2x , 且210x x <<,过点A 的直线交x 轴于点C, 交抛物线于另一点B,且AMN BMN S S △△25=. 若△CAN 为等腰直角三角形,则抛物线的解析式为______.4.直线2121+-=x y 与坐标轴围成的三角形面积为1S ; 3132+-=x y 与坐标轴围成的三角形面积为S 2……直线111+++-=n x n n y 与坐标轴围成的三角形面积为S n, 则201221...S S S +++=______.5.如图,△ABC 中,BE,DC 是△ABC 的内角平分线,DE=3,A,D,F,E 四点共圆,则△DEF 的内接圆半径为______.(第5题) (第7题) 6.设i=1,2,3,...,n, 且0<i x <1, i i x x x x x x ++++=+++...19...2121, 则n 的最小整数解为______.7.如图, 正方形ABCD 中, AB=AG ,EF ⊥AG , 若EG=4, FG=6, BM=23, 则MN=______.8. (暂缺).二. 解答题(共5大题, 60分)9. (暂缺)10.如图,正方形ABCD, 正方形DEFG的对称中心重合,连接AE,BF,CG,DH,实数a,b,c,d,e,f,g,h分别在点A,B,C,D,E,F,G,H上, 已知每一个四边形顶点上的数字和都相等,求证:这八个数都相等.。
西安交大少年班考试题
西安交大少年班考试题
一、单项选择题
1. 下列哪个城市是陕西省的省会？
A. 西安
B. 西宁
C. 西宁
D. 西宁
2. 西安市古城墙周长约为多少公里？
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
3. 陕西省著名的历史遗迹“兵马俑”位于哪个地方？
A. 西安
B. 咸阳
C. 宝鸡
D. 渭南
4. 西安交大少年班的校训是什么？
A. 求实创新、笃行敬业
B. 自强不息、百折不挠
C. 厚德博学、敏而好学
D. 公正廉洁、自强不息
5. 西安交大少年班的校训“求实创新、笃行敬业”体现了学校的哪种精神？
A. 实事求是
B. 刻苦学习
C. 勤奋进取
D. 谦和友善
二、填空题
6. 西安交大少年班的创办时间是____年。
7. 陕西省省会西安的历史可以追溯到____年。
8. 兵马俑是哪位中国第一位皇帝的陪葬品？____（填名字）
9. 西安交大少年班的校训共有几个字？____个
三、简答题
10. 请简要介绍一下西安交大少年班的办学特色和优势。
11. 你认为西安有哪些著名的旅游景点？请简要描述其中一个。
以上就是西安交大少年班的考试题，希望你能认真作答，祝你考试顺利！。
西安交大少年班选拔考试试题
西安交大少年班选拔考试试题西安交大少年班选拔考试试题满分：100分时量：90分钟姓名__________ 得分一、选择题(每小题2分，共30分)1、如果x y 1 ,那么代数式山x 1 ( )(A) 0(D)非负数已知：()(A)2323、若不等式组4、)(A) m已知a)(A)-192丄b2b(B) 正数4x=9y=6(B)1x 4mx 1 m10(B) m 50，则b的值为7 b(B)1(C)1丄的值是x(C)负数(D)的解集是(C) m 9(C)2不能确定5、如图，四边形/ ABC=60°, AD=4, CD=10,则( )(A) 4.13 (B) 8 3(C) 12 (D) 10 36、已知三角形的三条边长分别8x、x2、(D)ABCD中，/ A=Z C=90° ,BD 的长等于10(D)84,其中x是正整数，这样的互不全等的三角形共有()个.A .5 B.6 C .7D .87、一个样本为1, 3,样 ( 2,2, a , b , c 。
的已知这个样本的众数为 方3, 平均数为2,那 差么这个为A.8B.4C .87D.-7 &若实数a , 满足1aab b 2，则 的取值范围是). (A) a < 2 (B) a > 4 (C ) a < 2或 a > 4(D )9、运算符号的含义是a, a b, a则方程(1 x) (1 2x)5的所有根之和为D .10、若关于 实根的方程是x 的方程2ax 7 a 10 0没有实根，那么，必 )・2x 2ax 3a 2 0 ；2x 2ax 5a 6； 11、 x 2 2ax 10a 21 0； 正方形ABCD 中, 2x 2ax 2a 3.E,F 分别是AB, BC 上的点，DE 交AC 于 AF 交BD 于N ；若AF 平分 BAC , DE BE . BN x 则有AF EMOD y CF z BF12、某公司员工分别住在 A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线 上，位置如图所示•公司的接送车打算在此间只设一个 停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少 那 么 停 靠 点 的 位 置 应(15、设正方形ABCD 的中心为点0,在以五个点A 、B 、 C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，100 米一一-B 区200米区 B 两区之间(B)B 区 (C)C 区(A)A (D)A 、 13、 若实数a,b,c 满足等式2石3|b| 6，伍9|b| 6c ，则c 可能取的最大值为()A . 0.B . 1.D . 3.14、 在厶ABC 中，最大角/ A 是最小角/ C 的两倍， AB = 7, AC = 8,贝V BC = ( )A. 7血.B. 10.C.D. . .2.^1Q 5 .它们的面积相等的概率为（）A.舟.D. 7二、填空题（每小题2分，共30分）3 316、已知实数x,y满足方程组X y 19,则x2 y2.x y 1,17、已知a = 5 —1，贝q 2a3+ 7a2—2a —12 的值等于__________ .18、一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间. 过了10 分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t19、如图，在平面直角坐标系的顶点坐标分别是0 （0,C （4, 4），D （6,多边形OABCDE xOy 中,0），A（0，6），B（4，6），点M（2, 3），且将多边形OABCDE 两部分，则直线I的函数表达式是—若直线I经过分割成面积相等的20、二次函数y x2 bx c的图象与x轴正方向交于A, B两点，与y 轴正方向交于点C .已知AB 3AC , CAO 30 , 则c ______________ .21、 设a, b 是方程x 268x 1 0的两个根，C,d 是方程x 286x 1 0的两个根，则(a+ c)( b + c)( a - d)( b - d)的值 __22、 有人问一位老师所教班级有多少人，老师说：“半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一 的学生在读外语，还剩不足六位同学在操场踢足球”， 则这个班有 _______ •名学生。
西安交大少年班选拔考试试题.pdf
西安交大少年班选拔考试试题满分：100分 时量：90分钟 姓名_________ 得分_________ 一、选择题（每小题2分，共30分）1、如果1−<<y x ，那么代数式xyx y −++11的值是 （ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数2、已知： 4x =9y=6， 则y 1x 1+等于 ( )（A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 3、若不等式组⎩⎨⎧>++<+−m x x m x 1104的解集是4>x ，则 （ ）（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m4、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为 （ ）（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定5、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于 （ ） （A ）134 （B ）38 （C ）12 （D ）3106、已知三角形的三条边长分别8x 、x 2、84，其中x 是正整数，这样的互不全等的三角形共有（ ）个.A ．5B ．6C ．7D ．87、一个样本为1，3，2，2，a ，b ，c 。
已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为 （ ）A.8B.4C.87D.478、若实数a ，b 满足21202a ab b −++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2− （B ）a ≥4 （C ）a ≤2−或 a ≥4 （D ）2−≤a ≤49、运算符号∆的含义是,,a a ba b b a b≥⎧∆=⎨<⎩，则方程(1)(12)5x x +∆−=的所有根之和为 （ ）A ．2−B ．0C ．2D ．410、若关于x 的方程227100x ax a ++−=没有实根，那么，必有实根的方程是 （ ）．()A 、22320x ax a ++−=； ()B 、22560x ax a ++−=； ()C 、2210210x ax a ++−=； ()D 、22230x ax a +++=．NMEFOD A BC11、正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于N ；若AF 平分BAC ∠，DE AF ⊥；记BE x OM =,BN y ON =,CFz BF=,则有 （ ）.()A 、x y z >>； ()B 、x y z ==；()C 、x y z =>； ()D 、x y z >=．12、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示．公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在 ( )(A)A 区 (B)B 区 (C)C区 (D)A 、B 两区之间 13、若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c −=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.14、在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ ） A.72. B. 10. C.105. D. 73.15、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47二、填空题（每小题2分，共30分）16、已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .17、已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．18、一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过 点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两 部分，则直线l 的函数表达式是 ．（第19题100米200米A 区B 区C 区654321OFEDC BA 第十题图M C DAB20、二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．21、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610x x −+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a − d )( b − d )的值 。
少年班试题
西安交大少年班数学部分试题一、填空题（每题5分，共40分）1. x2+xy+2y2=29的整数解有_组2.已知凸四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠A：∠B：∠C = 1:1:2 ，则∠D = _3.题目太长，二次函数与一次函数中的面积问题4.题目太长，一次函数中的找规律问题5.（有图）三角形ABC中，∠A与∠B的角平分线分别与BC、AC交于点E、D，两角平分线的交点为O，且A、E、O、D四点共圆，DE=3，则三角形EDO的内切圆半径为_6.已知对于x（i) ，i=1，2,3,4。
n ，均满足|x(i)| ＜1且|x1|+|x2|+|x3|+。
+|xn| = 19+|x1+x2+x3+...+xn|，则正整数n的最小值为_7.（有图）正方形ABCD中E、F分别在BC、CD上，三角形AEF的高AG长度等于正方形的边长，连接BD，交AE于M，交AF于N ，已知BM=3√2（三倍根号二），EG=4，GF=6，则MN长为_8.已知-1 ≤x≤1x1+x2+x3+ ...+xn =19x1平方+x2平方+x3平方+...+xn平方=99则x1立方+x2立方+x3立方+...+xn立方的最大值为_，最小值为_2013年西安交通大学少年班体育测试标准2013西安交大“少年班”面试真题抢先看考核为综合较量，题海战术不适合少年班当然，这个分数不是指应试教育分数，而是对学生综合能力的一个比喻。
少年班更看重学生的想法和用知识解决实际问题的能力，面试设置的一些考题，就是要“透过知识看能力”。
此次“少年班”面试题目有5道。
第一题是“自我介绍”，要求考生用1分钟时间，进行自我介绍，中英文皆可。
第二题，考察人文素养，给出一幅图，要求考生在两分半钟内在纸上写出自己对图的理解，并用1分钟讲述自己是如何思考的。
第三题，考察心理素质——如果你是一朵花（乐器/动物/交通工具），你愿意是什么？为什么？以上4道题都要回答，且须在2分钟内写出答案并加以说明。
西安交大少年班初试数学试题
西安交大少年班初试数学试题（填空题10题每题4分，解答题4题，每题15分，共100分）一、填空：1、x=1时3ax 3-bx+4=7，若x=-1，则原式= 2、反比例函数x y 3=上有点A 、B ，B 与A 关于原点中心对称，以AB 为边向第三象限做等边三角形ABC ，C 在函数x k y =上，则k= 3、一块西瓜，横切三刀，竖切三刀，吃完之后剩 块西瓜皮4、代数式122-=--x a x 中，x 总为非负，则a 的取值范围是多少 5、有一圆柱，底面周长为6，高为4，一蚂蚁从A 点爬到B 点，再爬回A 点最短距离为6、AD ⊥BC ，BD=6，DC=4，∠BAC=45°，AD=7、在矩形ABCD 中AB=6，BC=8，在矩形内作等腰三角形要求一点在矩形顶点上，另外两点在矩形边上，求等腰三角形面积（至少列出两种情况）8、()()()0321≥+--x x x ，求x 的范围 9、2121++++-=n x n n y 与坐标轴两交点与原点构成的三角形面积为n S ，求20152014321S S S S S ++⋯⋯+++=10、在菱形ABCD 中M 为AB 中点，N 为AD 所在直线上动点，∠A=60°，以MN 为折B A C DB C M痕将△AMN对折，对折后连接'A C，则'A C最短为11、2个八年级同学与m个九年级同学参加象棋比赛，每两个人之间都赛了一场，赢了加三分，平局得一分，输了不得分，平局数不超过总局数的一半，赛后所有人得分和为130分，则m=12、已知△ABC≌△DEF，AB=AC=10，BC=12，E为BC上动点，以1单位长度每秒的速度向右平移。
13、求当△AEM为等腰三角形时，t的值（最后两道大题数据不全）。
2022-2023学年西安交大少年班数学冲刺第一次阶段性联考含答案
2023届西交大少年班冲刺第一次阶段性联考（数学卷）考试时间：100min 满分100分1.若方程√kk−2xx=−xx有两个不相等的实数根，则实数kk的取值范围是_________.2.如图，在直角三角形ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，ΔΔΔΔ=ΔΔΔΔ=4,EE、FF分别为ΔΔΔΔ、ΔΔΔΔ的中点，PP为⌒上任意一点，连接ΔΔPP、ΔΔPP, 则12ΔΔPP+ΔΔPP的最小值为扇形ΔΔEEFF的弧EF_______________.3.如图 , 抛物线yy=12xx2−7xx+452与xx轴交于点ΔΔ、ΔΔ. 记抛物线在xx轴及其下方的部分为ΔΔ1, 将ΔΔ1向左平移得到ΔΔ2,ΔΔ2与xx轴交于点ΔΔ、DD. 若直线yy=12xx+ mm与ΔΔ1、ΔΔ2共有三个不同的交点, 则mm的取值范围是_______________.4.如图, 菱形ΔΔΔΔΔΔDD的顶点分别在反比例函数yy=kk1xx和yy=kk2xx的图像上. 若∠ΔΔΔΔDD =120∘, 则�kk1kk2�=_______________.5.已知DD、EE分别为等边△ΔΔΔΔΔΔ的边ΔΔΔΔ、ΔΔΔΔ上的动点, 且ΔΔDD=ΔΔEE, 联结ΔΔDD、ΔΔEE, 交于点FF. 当点DD从点ΔΔ运动到点ΔΔ时, 点FF运动路径的长度为2√3ππ.则SS△AAAAAA=_______________.6.如图, ⊙OO为△ΔΔΔΔΔΔ的外接圆, ∠ΔΔΔΔΔΔ=45∘,ΔΔDD⊥ΔΔΔΔ于点DD, 延长ΔΔDD, 与⊙OO交于点EE. 若ΔΔDD=4, ΔΔDD=1, 则弦ΔΔEE的长为_______________.7.若一个四位数与它的各位数字之和为 2026 , 则这个四位数为_______________.8.在△ΔΔΔΔΔΔ中, 已知ΔΔΔΔ=ΔΔΔΔ,∠ΔΔ=40∘, PP为ΔΔΔΔ上一点, ∠ΔΔΔΔPP=20∘. 则AAAA AAAA=_______________.9.已知实数xx、yy满足xx2+yy2=1. 记xx4+xxyy+yy4的最大值、最小值分别为SS max 、SS min. . 则SS max+SS min=_______________.10.已知关于xx的方程�xx2−2xx+1−�xx2−4xx+4+2�xx2−6xx+9=tt+4 (1)恰有两个实数解. 则tt的取值范围是_______________.11.如图 ,ΔΔΔΔ为⊙OO的直径, 弦ΔΔDD与ΔΔΔΔ交于点EE, 过点ΔΔ作圆的切线, 与ΔΔDD的延长线交于点FF. 若ΔΔEE:DDEE:DDFF=4:3:3,ΔΔΔΔ=24, 求弦ΔΔΔΔ的长及sin∠ΔΔΔΔFF的值.12.如图, 四边形ΔΔΔΔΔΔDD内接于⊙OO, 对角线ΔΔΔΔ、ΔΔDD交于点EE, 延长DDΔΔ、ΔΔΔΔ, 交于点FF, 且∠ΔΔΔΔDD=60∘,DDΔΔ=DDEE. 证明 : ∠ΔΔΔΔFF=2∠ΔΔEEFF.13.已知关于xx的方程|xx2+2ppxx+5−3pp2|−qq=0(pp、qq∈RR).(1)若qq=0, 方程有两个不相等的实数根xx1、xx2, 且xx2xx1+xx1xx2=−163, 求实数pp的值;(2)若方程有三个不相等的实数根xx1、xx2、xx3, 且1xx1+1xx2+1xx3=0, 求实数pp、qq的值.14.已知直线yy=−34xx+3与xx轴交于点ΔΔ,与yy轴交于点ΔΔ, 拋物线yy=aaxx2+34xx+ cc经过ΔΔ、ΔΔ两点, 且与xx轴的第二个交点为ΔΔ.(1)如图,EE为直线ΔΔΔΔ右上方抛物线上的一动点, 当△ΔΔEEΔΔ的面积最大时, 求过点EE的切线ll的方程和△ΔΔEEΔΔ面积的最大值.(2)在 (1) 的结论下, 过点EE作yy轴的平行线, 与直线ΔΔΔΔ交于点MM, 联结ΔΔMM,QQ为抛物线对称轴上的动点, 在抛物线上是否存在点PP, 使得以PP、QQ、ΔΔ、MM为顶点的四边形为平行四边形? 若存在, 请直接写出点PP的坐标; 若不存在, 请说明理由.(3)如图, 点NN(1,0), 将线段OONN绕点OO逆时针方向旋转得到OONN′, 旋转角为αα(0∘<αα<90∘), 求NN′ΔΔ+13NN′ΔΔ的最小值.填空题：每题6分.共60分. 1.−1<k ≤0.由原方程得 x 2+2x −k =0(x ≤0). 据题意有 Δ=4+4k >0⇒k >−1. 由 x 1x 2=−k ≥0⇒k ≤0. 综上, −1<k ≤0.2.√17.在边 AB 上取一点 T , 使得 AT = 1 , 联结 PT 、PA 、CT .由 PA =2,AT =1,AB =4⇒PA 2=AT ⋅AB ⇒PA AT =ABPA. (1)结合 ∠PAT =∠PAB , 得△PAT ∽△BAP ⇒PT PB =PA AB =12⇒PT =12PB⇒12PB +CP =CP +PT (2)则 CT =√AT 2+AC 2=√17. 由 PC +PT ≥TC⇒12PB +PC ≥√17. (3)因此, 12PB +PC 的最小值为 √17.3.−298<m <−52.据题意得 B(5,0),A(9,0) ，C 2:y =12(x −3)2−2. 当直线 y =12x +m 过点 B 时, 直线与 C 1、C 2 共有两个交点,则 0=52+m ⇒m =−52;当直线 y =12x +m 与抛物线 C 2 相切时, 直线与 C 1、C 2 共有两个交点, 则西少数学第一阶段测试答案解析12x +m =12(x −3)2−2⇒x 2−7x +5−2m =0⇒Δ=49−20+8m =0⇒m =−298 (4)故 −298<m <−52.S △COM=|k 2|2,S △ODN =|k 1|2. (5) 由 △COM ∽△ODN⇒S △COM S △ODN =(CO DO)2=|k 2k 1|. (6)又 ∠BCD =120∘,∠OCD =60∘, 故 tan 60∘=DO CO=√3⇒|k1k 2|=3.5.81√34. 由题意, 知 △ABD ≅△BCE , 则 ∠BAD =∠CBE ⇒∠AFB =120∘. 于是, 点 F 的运动轨迹是以 O 为圆心、 OA 为半径的弧, 如图. 此时, ∠AOB =120∘. 由弧长公式得120π⋅OA180=2√3π⇒OA =3√3. (7)又 OC 垂直平分 AB , 故AB =2OA cos 30∘=9⇒S △ABC =√34AB 2=81√34 (8)4.3.联结OD 、OC . 作CM ⊥x 轴于点M,DN ⊥x 轴于点N .由对称性及菱形的性质, 知菱形对角线过原点, 且OD ⊥OC . 由反比例函数的几何意义知如图, 以直线 AB 为对称轴向 △ABC 形 外作 △ABD 的对称 △ABG , 以直线 AC 为对 称轴向 △ABC 形外作 △ACD 的对称 △ACF , 延长 GB 、FC , 交于点 H .易知, AD =AG,BG =BD =4, CF =CD =1, 四边形 AGHF 为正方形. 设 AD =x . 则 BH =x −4,CH =x −1. 由 ∠H =90∘⇒(x −4)2+(x −1)2=25⇒x =5+√412. (9)在 ⊙O 中, 由相交弦定理得 DE ⋅AD =BD ⋅CD⇒DE =√41−52⇒AE =AD +DE =√41. (10) 7.2021.设此四位数为 abcd , 其中, 1≤a ≤9,0≤ b 、c,d ≤9. 依题意得1000a +100b +10c +d +a +b +c +d =2026 ⇒1001a +101b +11c +2d =2026. (1)(1)当 a =1 时,式(1)可化为101b +11c +2d =1025.注意到, 11c +2d 的最大值为99+18=117.则 101b ≥1025−117=908⇒b =9⇒11c +2d =1025−909=116.由 0≤2d ≤18⇒98≤11c ≤116⇒c =9⇒2d =17, (11)不合题意,此时四位数不存在.(2)当 a =2 时,式(1)可化为 101b +11c +2d =24. 显然, b =0, 于是, 11c +2d =24.此时, c 只能为 2 , 则 d =1.从而, 此四位数为 2021 .(3)当 3≤a ≤9 时, 1000a >3000, 显然不合题意.综上, abcd =2021.如图, 作 AD ⊥ BC 于点 D , 则 BD =CD .在 △ABC 外作∠CAE =20∘ , 则 ∠BAE =60∘ . 作 CE ⊥AE 于点E , PF ⊥AE 于点 F . 易证 △ACE ≅△ACD .于是, CE =CD =12BC . 由 PF =PA sin ∠BAE =√32AP ,PF =CE ,故 BCAP =√3.9.98. 注意到,(x −y)2=x 2−2xy +y 2≥0⇒2|xy|≤x 2+y 2=1⇒−12≤xy ≤12 (12)令 S =x 4+xy +y 4. 则 S =(x 2+y2)2−2x 2y 2+xy =−2x 2y 2+xy +1 =−2(xy −14)2+98.由函数增减性知：当 xy =14时, S max =98;当 xy =−12 时, S min =0. 因此 S max +S min =98.10.t >−3 且 t ≠−1.令 y 1=√x 2−2x +1−√x 2−4x +4+ y 2=t .则 y 1=|x −1|−|x −2|+2|x +3|−4={1−2x,x <1;−1,1≤x <2;3−2x,2≤x <3;2x −9,x ≥3.画函数图像 如图 .要使原方程 恰有两个实数 解, 则 y 1 与 y 2 的 图像恰有两个不 同的交点.观察图像, 知 t >−3 且 t ≠−1.解答题：11-14题分别为20,20,20,30分.11.AC=8√5,sin∠ACF=√66.(两个都对得20分，对一个给10分，如果过程思路正确但两个都计算错误则给5分.)联结AD. 设CE=4x,AE=y.则DF=DE=3x,EF=6x.由勾股定理及切割线定理得AF2=EF2−AE2=DF⋅CF⇒36x2−y2=30x2⇒y2=6x2 (13)由相交弦定理得AE⋅BE=CE⋅DE⇒y(24−y)=4x⋅3x=12x2⇒24y−y2=12x2. (14)结合式(13)解得y=8,x=4√63.因为AB是⊙O的直径, AF是⊙O的切线, 所以,∠EAF=90∘,∠ACD=∠DAF.由D为 Rt △AEF的斜边EF的中点⇒DA=DE=DF⇒∠DAF=∠F.又∠ACD=∠F, 则AC=AF=√30x=8√5.在 Rt △AEF中,sin∠ACF=sin F=AEEF =y6x=√66.12.(证明正确给20分，错误给0分)因为DC=DE, 所以,∠AEB=∠DEC=∠DCE.由四边形ABCD内接于⊙O⇒∠ACD=∠ABD=∠DCE=∠ABE⇒∠ABE=∠AEB⇒AB=AE.令∠ABE=α. 则∠ACD=∠DEC=α⇒∠ADB=α−60∘,∠BDC=180∘−2α⇒∠ABF=∠FDC=∠ADB+∠BDC=120∘−α⇒∠DCB=∠ACB+∠ACD=∠ADB+∠ACD=2α−60∘⇒∠DFC=180∘−∠FDC−∠FCD=120∘−α⇒∠AFB =∠DFC =∠ABF ⇒AF =AB =AE⇒A 为 △BEF 的外心⇒∠BAF =2∠BEF.13.（第一问两个根对一个给5分，对两个给10分，如果计算全错但是过程思路正确给5分；第二问p,q 都对给10分，有部分错误给5分，如果计算全错但是过程思路正确给5分） (1)由题意, 知方程x 2+2px +5−3p 2=0 (15)有两个不相等的实数根.则 Δ=(2p)2−4(5−3p 2)>0⇒p 2>54.由韦达定理知x 1+x 2=−2p,x 1x 2=5−3p 2.故 x 2x 1+x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2−2=4p 25−3p 2−2=−163⇒p =±53. (16)(2)显然, q >0.方程 |x 2+2px +5−3p 2|=q 有三个不相同的实数根, 即抛物线 y 1=x 2+2px +5−3p 2与直线 y 2=±q 有三个不同的交点.因为 y 1 的开口向上,所以, y 1 与直线 y 2=q 必有两个不同的交点.故 x 1、x 2 是方程 x 2+2px +5−3p 2−q =0 的两个不相等的实数根.由韦达定理知x 1+x 2=−2p,x 1x 2=5−3p 2−q. (17)同时, y 1 与直线 y 2=−q 有唯一交点, 即直 线 y 2=−q 与抛物线 y 1 朷于顶点 (−p,5−4p 2).故 x 3=−p,q =4p 2−5.(1)由1x 1+1x 2+1x 3=0⇒x 1+x 2x 1x 2+1x 3=−2p 5−3p 2−q −1p =0⇒q =5−p 2. (18)再由式(1), 得 p =±√2,q =3.14.（第一问面积和直线方程每个给5分，计算错误没分；第二问三个坐标都对给10分，只对两个给6分，只对一个给3分；第三问10分，答案错误没分） (1)由题意知A(−2,0),B(0,3),C(4,0). (19)于是, 抛物线的解析式为y =−38x 2+34x +3. (20)过点 E 作 y 轴的平行线, 与 BC 交于点 H . 设 E (x,−38x 2+34x +3).则 H (x,−34x +3). 故 S △BEC =12EH ⋅OC=12×4(−38x 2+34x +3+34x −3) (21)=−34x 2+3x . (22)又 −34<0, 从而, S △BEC 有最大值 3 , 此 时, 点 E(2,3). 设直线 l:y =kx +b .因为 l//BC , 所以, k =−34.由点 E(2,3) 在直线 l 上得 b =92.因此,直线 l:y =−34x +92.(2)存在.易知 M (2,32),抛物线的对称轴为直线 x =1.设点 P(m,n),Q(1,s). 则 n =−38m 2+34m +3.(i)若 AM 为平行四边形的边. 注意到, 点 A 先向右平移 4 个单位,再向 上平移 32 个单位得到点 M .于是,点 Q(P) 应先向右平移 4 个单位, 再向上平移 32 个单位得到 P(Q).从而, m =1+4=5 或 m =1−4=−3.故 P (5,−218) 或 (−3,−218).(ii)若 AM 为平行四边形的对角线. 由中点坐标公式得−2+2=m +1⇒m =−1. (23)故 P (−1,158). 综上, 点 P 的坐标为(5,−218) 或 (−3,−218) 或 (−1,158). (24) (3)如图 , 在 y 轴上取一点 M ′, 使 得 OM ′=13, 联结 CM ′; 在 CM ′ 上取一点 N ′, 使得ON ′=ON . 由 ON ′=1,和OM ′⋅OB =13×3=1, (25)知 ON ′2=OM ′⋅OB .⇒ON ′OM ′=OB ON ′. 又 ∠BON ′=∠M ′ON ′, 于是, △M ′ON ′∼△N ′OB ⇒M ′N ′BN ′=ON ′OB =13⇒M ′N ′=13BN ′⇒CN ′+13BN ′=CN ′+N ′M ′=CM ′. (26)此时, CN ′+13BN ′ 最小, 这是因为两点 间线段最短, 须 C 、M ′、N ′ 三点共线时. 故所求最小值为CM ′=√42+(13)2=√1453. (27)。