国科大王焕华X射线晶体学作业参考答案教材

X 射线晶体学作业参考答案第三章：晶体结构与空间点阵1. 六角晶系的晶面指数一般写成四个(h k -h-k l )，但在衍射的计算和处理软件中，仍然用三个基矢(hkl )。

计算出六角晶系的倒格基矢，并写出六角晶系的两个晶面之间的夹角的表达式。

已知六角晶系的基矢为解：根据倒格子的定义式，计算可得：()k a c j ac b j i ac a 2***323Ω=Ω=+Ω=πππ 任意两个晶面(hkl)和(h ’k ’l ’)的晶面夹角θ是： ()()()()22222222222222222222222222'''''''3''''434'3)''(2)''(4'3''''434'3)'2')(2('3arccos l a k k h h c l a k hk h c ll a k h hk c kk hh c l a k k h h c l a k hk h c ll a k h k h c hh c G G G G l k h hkl l k h hkl +++⨯+++++++=+++⨯+++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙= θ2. 分别以晶格常数为单位和以实际大小写出SrTiO 3晶胞中各离子的坐标，并计算SrTiO3的质量密度和电子数密度。

解：Sr 原子量87.62，电子数38；Ti 原子量47.9，电子数22；O 原子量15.999，电子数8 （数据取自国际衍射数据中心）。

质量密度：kc c j i a b ia a =+-==)2321(电子数密度：3.*为什么位错不能终止于晶体内部？请说明原因。

答：作为一维缺陷的位错如果终止在晶体内部，则必然在遭到破坏的方向上产生连带的破坏，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而只能露头于晶体表面（包括晶界），同时Burgers vector 的封闭性（守恒）也要求位错不能终止在晶体内部。

同时，若它终止于晶体内部，则必与其他位错线相连接，或在晶体内部形成封闭线，形成封闭线的位错称为位错环。

4.* 阅读论文以下论文1) S. B. Zhang, S.-H. Wei, and Alex Zunger ，Physical Review B , V ol. 63, 075205(2001)；2) Eun-Cheol Lee, Y .-S. Kim, Y .-G . Jin, and K. J. Chang ， Physical Review B , V ol. 64,085120 (2001)并用V-K 符号写出论文中讲到的p 型ZnO 中可能存在的各种点缺陷, 简要说明该符号的含义。

（供物理、材料专业的有关同学选作）答：∙∙+)(|2Zn ， ()∙∙-2OV ，()"+2Zn V ，()"-|2O III 族掺杂：III 族掺杂：缺陷联体：第四章：衍射的运动学理论1 设计固熔体消光材料Ca 1-x Sr x TiO 3或Sr 1-x Ca x VO 3，求出其中的掺杂浓度x 。

选一种固熔体，写出详细的论证与解决步骤。

注1：CaTiO 3: cubic,3.827 Å； SrTiO 3: cubic,3.905 Å；SrVO 3: cubic,3.841 Å 注2：各原子或离子的散射因子拟合参数参见网络课堂上的上传国际表格，也可通过网络搜索得到；目前O 2－的参数只能用O －的参数代替(x)。

解一： 取用Ca 1-x Sr x TiO 3固溶体重复上述步骤，得到x=0.4593,基本收敛。

所以材料配比为34593.05407.0O Ti Sr Ca 解二： 取用Sr 1-x Ca x VO 3固溶体x =0.55该值已经收敛，所以最后的化合物为Sr 0.45Ca 0.55VO 3（如果不考虑V 3+成分）。

2. 推导出双分子气体Br 2气的散射强度I 与散射矢量Q 的关系式，写出详细的论证与解决步骤，并使用任何你喜欢的计算机语言编写程序，画出Br 2气的I －Q 曲线。

改变Br 2分子的结构（此即化学键长），I －Q 曲线有何变化？解：每个Br 2分子内两个原子之间的散射相干，要振幅叠加；但不同Br 2分子之间无固定相位差，非相干，要强度叠加。

结构因子：∑⋅+==rj r Q i r Q i j hkl fe f eQ f F j hkl )( 其中j f 为原子散射因子。

散射强度为： O 2中氧原子间距|r|固定，但不同氧分子的r 的取向不同，并且随时间变化，因此应对r 的方向进行平均才得到测量强度r 的取向呈球分布 所以，测量强度与Q 的关系为:())(222r Q i r Q i e e f f Q I ⋅⋅-++=r Q i r Q i e e ⋅-⋅=()r Q i e f f Q I ⋅+22方向平均22＝⎰⎰=⋅ϕααϕαααd d d d e e iQr r Q i sin sin cos ()Qr Qr d e iQr sin 4sin 20cos ==⎰πααππα()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==Qr Qr f Q I I )sin(122图2-1 I-Q 曲线若再考虑极化因子则：θλπsin 22=Q ，单位为r /2π，所以λθ⨯=r Q 2/sin ，设λ=1.54 Å (Cu K α辐射) 程序为：r=1.52;Q=0.01:0.04:6; % unit: 2*pi/rc=(Q/(2*r)).^2;f=3.0485*exp(-13.2771*c)+2.2868*exp(-5.7011*c)+1.5463*exp(-0.3239*c)+0.867*exp(-32.9089*c)+0.2508;Intensity=2*f.^2.*(1+sin(Q*r)./(Q*r)); %Unit: r02ssita=Q./(2*r)*1.54;%sin(sita)ssita_2=sqrt(1-ssita.^2).*2.*ssita;%sin(2sita)fa=(1+(1-2.*ssita.^2).^2)/2./ssita_2;%计算洛仑兹因子和极化因子Intensity=Intensity.*fa;%semilogy(Q,Intensity)plot(Q,Intensity)xlabel('Q (2\pi/r)', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)ylabel('Intensity', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)改变Br 2分子中的原子间距，可以看出散射峰之间的距离随原子间距的增大而减小，这符合正空间的材料结构与其散射花样之间是倒易关系（傅立叶变换）。

3. EuTiO 3具有理想的立方钙钛矿结构，其晶格常数与SrTiO 3的相等，均为3.905 Å，这二者可以组成一个比较理想无应力体系，用于研究复杂结构的氧化物薄膜无应力生长的机理。

a) 从课程网站上下载实验数据，使用你喜欢的任何软件画出EuTiO 3粉末的XRD谱，然后计算并标出各个衍射峰的指数（写出计算过程和结果）。

b) *（选做）写一个电脑程序计算 EuTiO 3 的粉末衍射谱，5°<2q <80°, l=1.54 Å (CuK a 辐射)。

可以用任何你喜欢的语言。

解决方案中应包括程序代码，两列数据（角度和强度）和相关图线，其中一张图谱是实验数据和计算数据的比较。

计算程序需要考虑的因素包括:1) 原子形状因子2) 结构因子3) Debye-Waller 因子4) Compton 散射5) 热漫散射()22cos 1)sin(1222θ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==Qr Qr f Q I I6) 有限尺寸因子7) 多重性因子8) 仪器分辨率关于仪器分辨率，X 主光束的发散角为0.12°，探测器的前狭缝处在距样品17cm 远处，缝宽为0.1 mm, 因此张角为0.03°, 根据实验测量结果，二者的卷积大约为0.13°。

解：(1) 衍射峰的位置由布拉格方程决定，其衍射峰的强度由以上因素决定：λθ=sin 2d 立方结构的面间距：222lk h cd ++= c 为晶格常数。

(100)方向，即h=1,k=l=0。

2c d = 所以c 2sin λθ= c2a r c s i n λθ==11.372 deg 。

(H K L)%布拉格方程计算衍射峰的位置,其中第7项不存在,因为 h^2+k^+l^!=7lamda=1.54;%入射x 光波长c=3.905; %晶格常数for i=1:1:10d=2*c/sqrt(i);sita(i)=asin(lamda/d);endsita/pi*180 %转化为角度接下来以(100)方向为例计算衍射强度：各参数的意义为：I ：衍射的强度； I 0：入射X 射线的强度；R 0：样品到衍射环的距离；re=e2/4pe0mc2，电子的经典半径；N 0：单位体积样品中晶胞的数目；λ：X 射线的波长；Vcr ：样品被X 射线照射到的面积；F ：为结构因子；M f ：多重性因子；M e 2-：为温度因子即Debye-Waller 因子。

(1+cos22qB ）/sin2qBcosqB ：角因子，也称为洛仑兹-偏振因子。

A 为吸收因子。

现已知晶格常数，和入射X 射线波长，再假定样品的体积一定，则可合并一些常数则累计强度为：'0k I I = M BB B f e M F 2222cos sin 2cos 1-+θθθ A 又因为A 和M e 2-都受θ变化的影响，且两者变化方向相反，虽然数值不完全相等，但大致可抵消[1]，故用相对强度表示为：BB B f M F I θθθcos sin 2cos 1222+=相对 1. 考虑原子形状因子：原子结构因子的计算公式为:c e a f i b i +⋅=∑-41)/(sin 2)/(sin λθλθ(6) 通过查阅International Table of Crystallography 可获得c b a i i ,, θ=11.372，λ=1.54 A 代入上式可得：f_Eu= 56.6490 f_O=7.2621 f_Ti=16.80912. 结构因子：首先计算其结构散射因子为：∑=rjr Q i j hkl j hkl e Q f F )(其中:))((.***c z b y a x c l b k a h r Q j j j j hkl ++++==2)(j j j lz ky hx ++π∴∑++=rj lz ky hx i j hkl j j j eQ f F )(2)(π(100)方向即h=k=0，l=1；将(2)式具体展开可得:F 001=)1(πππi i o i Ti Eu e e f e f f ++++=o Ti Eu f f f --|F 100|2 =1061.3。