国科大王焕华X射线晶体学作业参考答案教材

X 射线晶体学作业参考答案

第三章：晶体结构与空间点阵

1. 六角晶系的晶面指数一般写成四个(h k -h-k l )，但在衍射的计算和处理软件中，仍然用三个基矢(hkl )。计算出六角晶系的倒格基矢，并写出六角晶系的两个晶面之间的夹角的表达式。已知六角晶系的基矢为

解：根据倒格子的定义式，计算可得：

()

k a c j ac b j i ac a 2***323Ω=Ω=+Ω=πππ 任意两个晶面(hkl)和(h ’k ’l ’)的晶面夹角θ是： ()()()()

22222222222222222222222222'''''''3''''434'

3)''(2)''(4'

3''''434'3)'2')(2('3arccos l a k k h h c l a k hk h c ll a k h hk c kk hh c l a k k h h c l a k hk h c ll a k h k h c hh c G G G G l k h hkl l k h hkl +++⨯+++++++=+++⨯+++++++=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∙= θ

2. 分别以晶格常数为单位和以实际大小写出SrTiO 3晶胞中各离子的坐标，并计算SrTiO3的质量密度和电子数密度。

解：Sr 原子量87.62，电子数38；Ti 原子量47.9，电子数22；O 原子量15.999，电子数8 （数据取自国际衍射数据中心）。

质量密度：

k

c c j i a b i

a a =+-==)2321(

电子数密度：

3.*为什么位错不能终止于晶体内部？请说明原因。

答：作为一维缺陷的位错如果终止在晶体内部，则必然在遭到破坏的方向上产生连带的破坏，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而只能露头于晶体表面（包括晶界），同时Burgers vector 的封闭性（守恒）也要求位错不能终止在晶体内部。同时，若它终止于晶体内部，则必与其他位错线相连接，或在晶体内部形成封闭线，形成封闭线的位错称为位错环。

4.* 阅读论文以下论文

1) S. B. Zhang, S.-H. Wei, and Alex Zunger ，Physical Review B , V ol. 63, 075205

(2001)；

2) Eun-Cheol Lee, Y .-S. Kim, Y .-G . Jin, and K. J. Chang ， Physical Review B , V ol. 64,

085120 (2001)

并用V-K 符号写出论文中讲到的p 型ZnO 中可能存在的各种点缺陷, 简要说明该符号的含义。（供物理、材料专业的有关同学选作）

答：

∙

∙+)(|2Zn ， ()∙∙-2O

V ，()"+2Zn V ，()"-|

2O III 族掺杂：

III 族掺杂：

缺陷联体：

第四章：衍射的运动学理论

1 设计固熔体消光材料Ca 1-x Sr x TiO 3或Sr 1-x Ca x VO 3，求出其中的掺杂浓度x 。选一种固熔体，写出详细的论证与解决步骤。

注1：CaTiO 3: cubic,3.827 Å； SrTiO 3: cubic,3.905 Å；SrVO 3: cubic,3.841 Å 注2：各原子或离子的散射因子拟合参数参见网络课堂上的上传国际表格，也可通过网络搜索得到；目前O 2－的参数只能用O －的参数代替(x)。

解一： 取用Ca 1-x Sr x TiO 3固溶体

重复上述步骤，得到x=0.4593,基本收敛。所以材料配比为34593.05407.0O Ti Sr Ca 解二： 取用Sr 1-x Ca x VO 3固溶体

x =0.55

该值已经收敛，所以最后的化合物为Sr 0.45Ca 0.55VO 3（如果不考虑V 3+成分）。

2. 推导出双分子气体Br 2气的散射强度I 与散射矢量Q 的关系式，写出详细的论证与解决步骤，并使用任何你喜欢的计算机语言编写程序，画出Br 2气的I －Q 曲线。改变Br 2分子的结构（此即化学键长），I －Q 曲线有何变化？

解：

每个Br 2分子内两个原子之间的散射相干，要振幅叠加；但不同Br 2分子之间无固定相位差，非相干，要强度叠加。

结构因子：∑⋅+==

rj r Q i r Q i j hkl fe f e

Q f F j hkl )( 其中j f 为原子散射因子。

散射强度为： O 2中氧原子间距

|r|固定，但不同氧分子的r 的取向不同，并且随时间变化，因此应对r 的方向进行平均才得到测量强度

r 的取向呈球分布 所以，测量强度与Q 的关系为:

()

)(222r Q i r Q i e e f f Q I ⋅⋅-++=r Q i r Q i e e ⋅-⋅=()r Q i e f f Q I ⋅+22方向平均22＝⎰⎰=⋅ϕααϕαααd d d d e e iQr r Q i sin sin cos ()Qr Qr d e iQr sin 4sin 20cos ==⎰πααππα()

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==Qr Qr f Q I I )sin(122

图2-1 I-Q 曲线

若再考虑极化因子则：

θλ

πsin 22=Q ，单位为r /2π，所以λθ⨯=r Q 2/sin ，设λ=1.54 Å (Cu K α辐射) 程序为：

r=1.52;

Q=0.01:0.04:6; % unit: 2*pi/r

c=(Q/(2*r)).^2;

f=3.0485*exp(-13.2771*c)+2.2868*exp(-5.7011*c)+1.5463*exp(-0.3239*c)+0.867*exp(-32.9089*c)+0.2508;

Intensity=2*f.^2.*(1+sin(Q*r)./(Q*r)); %Unit: r02

ssita=Q./(2*r)*1.54;%sin(sita)

ssita_2=sqrt(1-ssita.^2).*2.*ssita;%sin(2sita)

fa=(1+(1-2.*ssita.^2).^2)/2./ssita_2;%计算洛仑兹因子和极化因子

Intensity=Intensity.*fa;

%semilogy(Q,Intensity)

plot(Q,Intensity)

xlabel('Q (2\pi/r)', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)

ylabel('Intensity', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)

改变Br 2分子中的原子间距，可以看出散射峰之间的距离随原子间距的增大而减小，这符合正空间的材料结构与其散射花样之间是倒易关系（傅立叶变换）。

3. EuTiO 3具有理想的立方钙钛矿结构，其晶格常数与SrTiO 3的相等，均为3.905 Å，这二者可以组成一个比较理想无应力体系，用于研究复杂结构的氧化物薄膜无应力生长的机理。

a) 从课程网站上下载实验数据，使用你喜欢的任何软件画出EuTiO 3粉末的XRD

谱，然后计算并标出各个衍射峰的指数（写出计算过程和结果）。

b) *（选做）写一个电脑程序计算 EuTiO 3 的粉末衍射谱，5°<2q <80°, l=1.54 Å (Cu

K a 辐射)。可以用任何你喜欢的语言。解决方案中应包括程序代码，两列数据（角度和强度）和相关图线，其中一张图谱是实验数据和计算数据的比较。计算程序需要考虑的因素包括:

1) 原子形状因子

2) 结构因子

3) Debye-Waller 因子

4) Compton 散射

5) 热漫散射

()22cos 1)sin(1222θ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==Qr Qr f Q I I