第七章 二元关系
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例1,已知A＝{a,b},B＝{0,1,2}, 求: A×B和B×A？
例2,设A={1,2},求P(A)×A？
5
如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素?
mn个 若<x,y>A×B,则有
x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有
xA或者y B。
6
笛卡儿积运算的性质
有限集合A上的关系R的幂序列是一个周期性变化的序列。 利用它的周期性可以将R的高次幂化为R的低次幂。
定理7.5 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面 的等式成立。
31
7.4 关系的性质
设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
32
关系R的五种性质
R在A上是自反的 x(x ∈ A→<x,x> ∈ R)=1 R在A上是反自反的 x(x ∈ A→<x,x> R)=1
11
7.2 二元关系Relation
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相 关性。
例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两 个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个 结果可以记作
{<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它 表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关 系。
26
关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则有
定理7.2 设F,G,H是任意的关系, 则有 (3) (F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) (4)
定理7.3 设R是A上的关系,则有 R◦IA＝IA◦R=R
27
定理7.4 设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F G◦F H◦F
18
关系的三种表示方法
有穷集A上的关系R, 可用集合表达式、关系 矩阵和关系图给出。
设A＝{1,2,3,4}, A上的关系 R＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
R的关系矩阵和关系图：
19
20
关系矩阵和关系图
设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令V＝A＝ {x1,x2,···,xn},如果xiRxj,则有向边<xi,xj>∈E。那 么G＝<V,E>就是R的关系图。
F[A]＝ran (F↾A )
25
例2
设F,G是N上的关系,其定义为 F＝{<x,y>｜x,y∈N∧y＝x2 } G＝{<x,y>｜x,y∈N∧y＝x＋1}
说明：由例子不难看出 （1）复合运算是不可交换的, F◦G≠G◦F, ◦ F=F ◦ = （2）在复合关系中,F的值域一定是G的定义域,否则复合关 系为空。复合的结果关系的定义域就是F的定义域,值域就是G 的值域。 （3）F在A上的限制 F↾A是 F 的子关系,即 F↾A F （4）A在F下的像 F[A] 是 ranF 的子集,即 F[A] ranF
1。 若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空 集, 即 B＝B×＝
2。 当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A
所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3。 当A,B,C都不是空集时,有
(A×B)×C≠A×(B×C) 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。
7
4。 笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)； (B∪C)×A ＝(B×A)∪(C×A)； A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)； (B∩C)×A ＝(B×A)∩(C×A)。
定义7.6 关系R的定义域 domR,值域ranR和域fldR 分别是 domR＝{xy(<x,y>∈R)} ranR＝{y| x(<x,y>∈R)} fldR＝domR∪ranR
domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合, ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合。
23
例1
下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的定义域和值域, (1) R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y} (2) R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1} (3) R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x} (4) R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧ x＝ y=3} 解 (1) domR1＝ranR1＝Z (2) R2＝{<0,1 >,<0,－1>,<1,0>,<－1,0>} domR2＝ranR2＝{0,1,－1} (3) domR3＝Z, ranR3＝{2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4＝ranR4＝{-3,3}
A上有多少个不同的二元关系? |A|=n |A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
每一个子集代表一个A上的关系,共2n2个关系。
15
三个特殊的关系
对于任何集合A都有3种特殊的关系:
定义7.5 对任何集合A,
空关系：空集
全域关系EA ： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A
恒等关系IA： IA＝{<x,x>｜x∈A} 例如：A={0,1,2},则
定义7.3 如果一个集合或者为空集或者它的元 素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关 系,一般记作R。
如果<x,y>∈R,则记作xRy； 如果<x,y>R,则记作
14
定义7.4 设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二 元关系称作从A到B的二元关系(RAB),特别当 A＝B时,则叫做A上的二元关系(RAA) 。
一个有序n元组记作<x1,x2,…, xn>, <x1,x2,…, xn>＝ < <x1,x2,…, xn-1>, xn> 例如,空间直角坐标系中点的坐标 <1,－1,3>,<2,4。5,0>等都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。
4
二、笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合,用A中元素为第一元 素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这 样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿 积,记作A×B。符号化表示为： A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}
平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例 如,<1,－1 >,<2,0>,<1,1>, <－1,1> ,…都代表坐 标系中不同的点。
2
一、有序对
有序对的特点：
1。当xy时,<x,y><y,x>。 2。 两个有序对相等,即 <x,y>＝<u, v>
的充分必要条件是x＝u且y＝v。
3
有序n元组
一个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其中第一个元 素是一个有序n－1元组。
证明的一般方法:按照定义证明。 例证见书本
28
关系的幂运算
定义7.8 设R为A上的关系,n为自然数,则R的 n次幂定义如下：
R0=IA R1=R0◦R=R ◦ R0 =R 书例
29
求Rn的方法
1 集合运算: 依据定义
2 关系矩阵: 用关系矩阵M表示关系R,计算 M·M,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元 素rij满足下式(i,j=1,2,3,4) rij = ri1 ·r1j + ri2 ·r2j + ri3 ·r3j + ri4 ·r4j
这里的加法“+”是逻辑加,即 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
3 关系图:对R的关系图G中的任何一个结点x, 考虑从x出发的长为n的路径,如果路径的 终点是y,则在Rn的关系图中有一条从x到y 的有向边。
30
幂运算的性质
定理7.4 设 A 为 n 元集, R 是A上的关系, 则存在自 然数 s和 t, 使得 Rs = Rt。 说明：
EA＝ {<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1
>,<2,2>｝
IA＝{<0,0>,<1,1>,<2,2)}
16
三个常用的关系
（1）设A为实数集R的某个子集,则A上的小于 等于关系定义为: LA＝{<x,y>｜x,y∈A∧x≤y｝
（2）设B为正整数集Z＋的某个子集,则B上的 整除关系定义为: DB＝{<x,y>｜x,y∈B∧xy}。
第七章 二元关系
1. 集合的笛卡尔积与二元关系 2. 关系的运算 3. 关系的性质 4. 关系的闭包 5. 等价关系和偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的 顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序 偶),记作<x,y >,其中x是它的第一元素,y是它的 第二元素。
举例
R在A上是对称的 xy(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)=1
R在A上是反对称的 xy(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)=1
举例
R在A上是传递的 xyz(x,y,z ∈A ∧<x,y> ∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R)=1
Hale Waihona Puke 举例33判断下列关系的性质
全域关系 自反的、对称的和传递的
8
证明 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C) 证明 对于任意的<x,y>,
<x,y>A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(yB∨y∈C) (x∈A∧yB)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>A×B∨<x,y>∈A×C (x,y)∈(A×B)∪(A×C)。 所以
A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。
恒等关系 自反的、对称的、反对称的和传递的
整除关系 自反的、反对称的和传递的
小于等于关系 自反的、反对称的和传递的
幂集上的包含关系 自反的、反对称的和传递的
34
关系的性质的判定定理
定理7.9 设R是A上的关系,则：
（1）R是自反的当且仅当 I A R （2）R是反自反的当且仅当 R I A （3）R是对称的当且仅当 R R1 （4）R是反对称的当且仅当 R R 1 I A （5）R是传递的当且仅当 R R R
12
再如,有a,b,c三个人和四项工作α,,,,已知a可以从 事工作α,δ, b可以从事工作,c可以从事工作α,。 那么人和工作之间的对应关系可以记作 R＝{<a,α>,<a,δ>,<b,>,<c,α>,<c,>}。
这是人的集合{a,b,c}到工作的集合{α,,,}之间的关 系。
13
一、二元关系的定义
9
例3
设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假。 (1)若AC且BD,则有A×BC×D。 (2)若A×BC×D,则有AC且BD。 解 (1)命题为真。 (2)命题为假。当A＝B＝时,或者A≠且B≠时,
该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅有 一个为时,结论不一定成立,例如,令A＝C＝D ＝,B＝｛1｝,这时A×BC×D,但BD。
（3）设A是集合,R是P(A)上的包含关系, R ＝{<x,y>|x,y∈P(A)∧xy>,
17
例如: A={4,0。5,-1},B={1,2,3,6},则 LA＝
{<-1。-1>,<-1。0。5>, <-1,4>。<0。5,0。5>, <0。 5,4>,<4,4>｝ DB＝ {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,2>,<2,6>, <3,3>,<3,6>, <6,6>}。 例,设A＝{a,b},则有P(A)＝{,{a},{b},A} R ＝ {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<{b}, {b}>,< {b},A>,<A,A>}。
设A＝{x1,x2,···,xn},R是A上的关系, 则R的关系矩阵可表示为：
关系矩阵是布尔矩阵。
21
7.3 关系的运算
1. 关系R的定义域,值域和域 2. 关系R的逆运算 3. 关系F与G的复合运算 4. 关系R在集合A上的限制 5. 集合A在关系R下的像 6. 关系R的n次幂
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关系R的定义域,值域和域
10
推广---n阶笛卡儿积
设A1,A2, … , An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡儿积, 记作A1×A2×…×An,其中 Al×A2×…×An＝ {<x1,x2,…xn>|x1∈Al∧x2∈A2∧…xn∈An}。
例如: A={a,b},则 A3={ <a,a,a>,<a,a,b>, <a,b,a>,<a,b,b>, <b,a,a>,<b,a,b>, <b,b,a>,<b,b,b>}
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逆、复合、限制和像
定义7.7 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1) F的逆记作F-1 : F-1＝{<x,y>|yFx} (2) F与G的右复合记作F◦G,
F◦G＝{<x,y>|t(xFt∧tGy)} (3) F在A上的限制，记作 F↾A F↾A ＝{<x,y>|xFy∧x∈A} (4) A在F下的像记作F[A],
例2,设A={1,2},求P(A)×A？
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如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素?
mn个 若<x,y>A×B,则有
x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有
xA或者y B。
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笛卡儿积运算的性质
有限集合A上的关系R的幂序列是一个周期性变化的序列。 利用它的周期性可以将R的高次幂化为R的低次幂。
定理7.5 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面 的等式成立。
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7.4 关系的性质
设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
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关系R的五种性质
R在A上是自反的 x(x ∈ A→<x,x> ∈ R)=1 R在A上是反自反的 x(x ∈ A→<x,x> R)=1
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7.2 二元关系Relation
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相 关性。
例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两 个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个 结果可以记作
{<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它 表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关 系。
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关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则有
定理7.2 设F,G,H是任意的关系, 则有 (3) (F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) (4)
定理7.3 设R是A上的关系,则有 R◦IA＝IA◦R=R
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定理7.4 设F,G,H为任意的关系,则有 (1)F◦ (GH)=F◦GF◦H (2) (GH)◦F=G◦F H◦F (3) F◦ (GH) F◦GF◦H (4) (GH)◦F G◦F H◦F
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关系的三种表示方法
有穷集A上的关系R, 可用集合表达式、关系 矩阵和关系图给出。
设A＝{1,2,3,4}, A上的关系 R＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
R的关系矩阵和关系图：
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关系矩阵和关系图
设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令V＝A＝ {x1,x2,···,xn},如果xiRxj,则有向边<xi,xj>∈E。那 么G＝<V,E>就是R的关系图。
F[A]＝ran (F↾A )
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例2
设F,G是N上的关系,其定义为 F＝{<x,y>｜x,y∈N∧y＝x2 } G＝{<x,y>｜x,y∈N∧y＝x＋1}
说明：由例子不难看出 （1）复合运算是不可交换的, F◦G≠G◦F, ◦ F=F ◦ = （2）在复合关系中,F的值域一定是G的定义域,否则复合关 系为空。复合的结果关系的定义域就是F的定义域,值域就是G 的值域。 （3）F在A上的限制 F↾A是 F 的子关系,即 F↾A F （4）A在F下的像 F[A] 是 ranF 的子集,即 F[A] ranF
1。 若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空 集, 即 B＝B×＝
2。 当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A
所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3。 当A,B,C都不是空集时,有
(A×B)×C≠A×(B×C) 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。
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4。 笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)； (B∪C)×A ＝(B×A)∪(C×A)； A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)； (B∩C)×A ＝(B×A)∩(C×A)。
定义7.6 关系R的定义域 domR,值域ranR和域fldR 分别是 domR＝{xy(<x,y>∈R)} ranR＝{y| x(<x,y>∈R)} fldR＝domR∪ranR
domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合, ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合。
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例1
下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的定义域和值域, (1) R1＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x≤y} (2) R2＝{<x,y>｜x,y∈Z∧x2+y2=1} (3) R3＝{<x,y>｜x,y∈Z∧y＝2x} (4) R4＝{<x,y>｜x,y∈Z∧ x＝ y=3} 解 (1) domR1＝ranR1＝Z (2) R2＝{<0,1 >,<0,－1>,<1,0>,<－1,0>} domR2＝ranR2＝{0,1,－1} (3) domR3＝Z, ranR3＝{2z|z∈Z},即偶数集 (4) domR4＝ranR4＝{-3,3}
A上有多少个不同的二元关系? |A|=n |A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
每一个子集代表一个A上的关系,共2n2个关系。
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三个特殊的关系
对于任何集合A都有3种特殊的关系:
定义7.5 对任何集合A,
空关系：空集
全域关系EA ： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A
恒等关系IA： IA＝{<x,x>｜x∈A} 例如：A={0,1,2},则
定义7.3 如果一个集合或者为空集或者它的元 素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关 系,一般记作R。
如果<x,y>∈R,则记作xRy； 如果<x,y>R,则记作
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定义7.4 设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二 元关系称作从A到B的二元关系(RAB),特别当 A＝B时,则叫做A上的二元关系(RAA) 。
一个有序n元组记作<x1,x2,…, xn>, <x1,x2,…, xn>＝ < <x1,x2,…, xn-1>, xn> 例如,空间直角坐标系中点的坐标 <1,－1,3>,<2,4。5,0>等都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。
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二、笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合,用A中元素为第一元 素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这 样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿 积,记作A×B。符号化表示为： A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}
平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例 如,<1,－1 >,<2,0>,<1,1>, <－1,1> ,…都代表坐 标系中不同的点。
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一、有序对
有序对的特点：
1。当xy时,<x,y><y,x>。 2。 两个有序对相等,即 <x,y>＝<u, v>
的充分必要条件是x＝u且y＝v。
3
有序n元组
一个有序n元组(n≥3)是一个有序对,其中第一个元 素是一个有序n－1元组。
证明的一般方法:按照定义证明。 例证见书本
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关系的幂运算
定义7.8 设R为A上的关系,n为自然数,则R的 n次幂定义如下：
R0=IA R1=R0◦R=R ◦ R0 =R 书例
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求Rn的方法
1 集合运算: 依据定义
2 关系矩阵: 用关系矩阵M表示关系R,计算 M·M,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元 素rij满足下式(i,j=1,2,3,4) rij = ri1 ·r1j + ri2 ·r2j + ri3 ·r3j + ri4 ·r4j
这里的加法“+”是逻辑加,即 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
3 关系图:对R的关系图G中的任何一个结点x, 考虑从x出发的长为n的路径,如果路径的 终点是y,则在Rn的关系图中有一条从x到y 的有向边。
30
幂运算的性质
定理7.4 设 A 为 n 元集, R 是A上的关系, 则存在自 然数 s和 t, 使得 Rs = Rt。 说明：
EA＝ {<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1
>,<2,2>｝
IA＝{<0,0>,<1,1>,<2,2)}
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三个常用的关系
（1）设A为实数集R的某个子集,则A上的小于 等于关系定义为: LA＝{<x,y>｜x,y∈A∧x≤y｝
（2）设B为正整数集Z＋的某个子集,则B上的 整除关系定义为: DB＝{<x,y>｜x,y∈B∧xy}。
第七章 二元关系
1. 集合的笛卡尔积与二元关系 2. 关系的运算 3. 关系的性质 4. 关系的闭包 5. 等价关系和偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的 顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序 偶),记作<x,y >,其中x是它的第一元素,y是它的 第二元素。
举例
R在A上是对称的 xy(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)=1
R在A上是反对称的 xy(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)=1
举例
R在A上是传递的 xyz(x,y,z ∈A ∧<x,y> ∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R)=1
Hale Waihona Puke 举例33判断下列关系的性质
全域关系 自反的、对称的和传递的
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证明 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C) 证明 对于任意的<x,y>,
<x,y>A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(yB∨y∈C) (x∈A∧yB)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>A×B∨<x,y>∈A×C (x,y)∈(A×B)∪(A×C)。 所以
A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。
恒等关系 自反的、对称的、反对称的和传递的
整除关系 自反的、反对称的和传递的
小于等于关系 自反的、反对称的和传递的
幂集上的包含关系 自反的、反对称的和传递的
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关系的性质的判定定理
定理7.9 设R是A上的关系,则：
（1）R是自反的当且仅当 I A R （2）R是反自反的当且仅当 R I A （3）R是对称的当且仅当 R R1 （4）R是反对称的当且仅当 R R 1 I A （5）R是传递的当且仅当 R R R
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再如,有a,b,c三个人和四项工作α,,,,已知a可以从 事工作α,δ, b可以从事工作,c可以从事工作α,。 那么人和工作之间的对应关系可以记作 R＝{<a,α>,<a,δ>,<b,>,<c,α>,<c,>}。
这是人的集合{a,b,c}到工作的集合{α,,,}之间的关 系。
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一、二元关系的定义
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例3
设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假。 (1)若AC且BD,则有A×BC×D。 (2)若A×BC×D,则有AC且BD。 解 (1)命题为真。 (2)命题为假。当A＝B＝时,或者A≠且B≠时,
该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅有 一个为时,结论不一定成立,例如,令A＝C＝D ＝,B＝｛1｝,这时A×BC×D,但BD。
（3）设A是集合,R是P(A)上的包含关系, R ＝{<x,y>|x,y∈P(A)∧xy>,
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例如: A={4,0。5,-1},B={1,2,3,6},则 LA＝
{<-1。-1>,<-1。0。5>, <-1,4>。<0。5,0。5>, <0。 5,4>,<4,4>｝ DB＝ {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,2>,<2,6>, <3,3>,<3,6>, <6,6>}。 例,设A＝{a,b},则有P(A)＝{,{a},{b},A} R ＝ {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<{b}, {b}>,< {b},A>,<A,A>}。
设A＝{x1,x2,···,xn},R是A上的关系, 则R的关系矩阵可表示为：
关系矩阵是布尔矩阵。
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7.3 关系的运算
1. 关系R的定义域,值域和域 2. 关系R的逆运算 3. 关系F与G的复合运算 4. 关系R在集合A上的限制 5. 集合A在关系R下的像 6. 关系R的n次幂
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关系R的定义域,值域和域
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推广---n阶笛卡儿积
设A1,A2, … , An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡儿积, 记作A1×A2×…×An,其中 Al×A2×…×An＝ {<x1,x2,…xn>|x1∈Al∧x2∈A2∧…xn∈An}。
例如: A={a,b},则 A3={ <a,a,a>,<a,a,b>, <a,b,a>,<a,b,b>, <b,a,a>,<b,a,b>, <b,b,a>,<b,b,b>}
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逆、复合、限制和像
定义7.7 设F,G为任意的关系,A为集合,则 (1) F的逆记作F-1 : F-1＝{<x,y>|yFx} (2) F与G的右复合记作F◦G,
F◦G＝{<x,y>|t(xFt∧tGy)} (3) F在A上的限制，记作 F↾A F↾A ＝{<x,y>|xFy∧x∈A} (4) A在F下的像记作F[A],